1.3: Watazamaji na Nukuu ya kisayansi

Malengo ya kujifunza

• Sheria mbalimbali za Watazamaji
• Nukuu ya kisayansi

Wanahisabati, wanasayansi, na wanauchumi kwa kawaida hukutana na idadi kubwa sana na ndogo sana. Lakini inaweza kuwa dhahiri jinsi takwimu hizo zilivyo kawaida katika maisha ya kila siku. Kwa mfano, pixel ni kitengo kidogo cha mwanga ambacho kinaweza kuonekana na kurekodi na kamera ya digital. Kamera fulani inaweza kurekodi picha ambayo ni\(2,048\) saizi kwa\(1,536\) saizi, ambayo ni picha ya azimio la juu sana. Inaweza pia kutambua kina cha rangi (gradations katika rangi) ya hadi\(48\) bits kwa sura, na inaweza kupiga sawa na\(24\) muafaka kwa pili. Nambari ya juu ya kutosha ya bits ya habari iliyotumiwa kupiga filamu ya saa moja (\(3,600\)-sekunde) ya digital ni idadi kubwa sana.

Kutumia calculator, tunaingia\(2,048×1\)\(536×48×24×3\),\(600\) na waandishi wa habari kuingia. Maonyesho ya calculator\(1.304596316E13\). Hii ina maana gani? Sehemu ya “\(E13\)” ya matokeo inawakilisha kipaji\(13\) cha kumi, kwa hiyo kuna kiwango cha juu cha takriban\(1.3\times10^{13}\) bits ya data katika filamu hiyo ya saa moja. Katika sehemu hii, sisi kupitia sheria ya exponents kwanza na kisha kuyatumia kwa mahesabu kuwashirikisha idadi kubwa sana au ndogo.

Kutumia Utawala wa Bidhaa wa Watazamaji

Fikiria bidhaa\(x^3\times x^4\). Masharti yote yana msingi sawa\(x\), lakini hufufuliwa kwa watazamaji tofauti. Panua kila kujieleza, na kisha uandike tena maneno yaliyosababisha.

\[ \begin{align*} x^3 \times x^4 &= \overbrace{x \times x \times x}^{\text{3 factors}} \times \overbrace{ x \times x \times x\times x}^{\text{4 factors}} \\[4pt] &= \overbrace{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}^{\text{7 factors}} \\[4pt] &=x^7 \end{align*}\]

Matokeo yake ni kwamba\(x^3\times x^4=x^{3+4}=x^7\).

Kumbuka kwamba exponent ya bidhaa ni jumla ya exponents ya maneno. Kwa maneno mengine, wakati wa kuzidisha maneno ya kielelezo na msingi huo, tunaandika matokeo kwa msingi wa kawaida na kuongeza vielelezo. Hii ni utawala wa bidhaa wa exponents.

\[a^m\times a^n=a^{m+n}\]

Sasa fikiria mfano na namba halisi.

\(2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7\)

Tunaweza daima kuangalia kwamba hii ni kweli kwa kurahisisha kila kujieleza kielelezo. Tunaona kwamba\(2^3\) ni\(8\),\(2^4\) ni\(16\), na\(2^7\) ni\(128\). Bidhaa hiyo\(8\times16\) ni sawa\(128\), hivyo uhusiano ni wa kweli. Tunaweza kutumia utawala wa bidhaa wa exponents kurahisisha maneno ambayo ni bidhaa ya namba mbili au maneno yenye msingi sawa lakini exponents tofauti.

UTAWALA WA BIDHAA WA VIONGOZI

Kwa idadi yoyote halisi na idadi ya asili\(m\) na\(n\), bidhaa utawala wa exponents inasema kwamba

\[a^m\times a^n=a^{m+n} \label{prod}\]

Mfano\(\PageIndex{1}\): Using the Product Rule

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi.

1. \(t^5\times t^3\)
2. \((−3)^5\times(−3)\)
3. \(x^2\times x^5\times x^3\)

Suluhisho

Tumia utawala wa bidhaa (Equation\ ref {prod}) ili kurahisisha kila usemi.

1. \(t^5\times t^3=t^{5+3}=t^8\)
2. \((−3)^5\times(−3)=(−3)^5\times(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6\)
3. \(x^2\times x^5\times x^3\)

Mara ya kwanza, inaweza kuonekana kwamba hatuwezi kurahisisha bidhaa ya mambo matatu. Hata hivyo, kwa kutumia mali ya ushirika wa kuzidisha, kuanza kwa kurahisisha mbili za kwanza.

\[x^2\times x^5\times x^3=(x^2\times x^5) \times x^3=(x^{2+5})\times x^3=x^7\times x^3=x^{7+3}=x^{10} \nonumber\]

Taarifa sisi kupata matokeo sawa kwa kuongeza exponents tatu katika hatua moja.

\[x^2\times x^5\times x^3=x^{2+5+3}=x^{10} \nonumber\]

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi.

1. \(k^6\times k^9\)
2. \(\left(\dfrac{2}{y}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{y}\right)\)
3. \(t^3\times t^6\times t^5\)

Jibu

\(k^{15}\)

Jibu b

\(\left(\dfrac{2}{y}\right)^5\)

Jibu c

\(t^{14}\)

Kutumia Utawala wa Quotient wa Watazamaji

Utawala wa quotient wa vielelezo hutuwezesha kurahisisha usemi unaogawanya namba mbili kwa msingi sawa lakini vielelezo tofauti. Kwa njia sawa na utawala wa bidhaa, tunaweza kurahisisha usemi kama vile\(\dfrac{y^m}{y^n}\), wapi\(m>n\). Fikiria mfano\(\dfrac{y^9}{y^5}\). Fanya mgawanyiko kwa kufuta mambo ya kawaida.

\[\begin{align*} \dfrac{y^9}{y^5} &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}\\ &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y}{1}\\ &= y^4 \end{align*}\]

Kumbuka kwamba exponent ya quotient ni tofauti kati ya exponents ya mgawanyiko na mgao.

\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\]

Kwa maneno mengine, wakati wa kugawa maneno ya kielelezo na msingi huo, tunaandika matokeo kwa msingi wa kawaida na uondoe maonyesho.

\(\dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4\)

Kwa wakati huo, lazima tuwe na ufahamu wa hali hiyo\(m>n\). Vinginevyo, tofauti\(m-n\) inaweza kuwa sifuri au hasi. Uwezekano wale itakuwa kuchunguzwa muda mfupi. Pia, badala ya kufuzu vigezo kama nonzero kila wakati, sisi kurahisisha mambo na kudhani kutoka hapa kwamba vigezo vyote kuwakilisha nonzero namba halisi.

UTAWALA WA QUOTIENT WA EXPONENTS

Kwa idadi yoyote halisi\(a\) na idadi ya asili\(m\) na\(n\), kama vile\(m>n\), utawala wa quotient wa exponents inasema kwamba

\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n} \label{quot}\]

Mfano\(\PageIndex{2}\): Using the Quotient Rule

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi.

1. \(\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}\)
2. \(\dfrac{t^{23}}{t^{15}}\)
3. \(\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}\)

Suluhisho

Tumia utawala wa quotient (Equation\ ref {quot}) ili kurahisisha kila usemi.

1. \(\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5\)
2. \(\dfrac{t^{23}}{t^{15}}\)=t^ {23-15} =t^8\)
3. \(\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}=(z\sqrt{2})^{5−1}=(z\sqrt{2})^4\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi.

1. \(\dfrac{s^{75}}{s^{68}}\)
2. \(\dfrac{(−3)^6}{−3}\)
3. \(\dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3}\)

Jibu

\(s^7\)

Jibu b

\((−3)^5\)

Jibu c

\((ef^2)^2\)

Kutumia Utawala wa Nguvu ya Watazamaji

Tuseme kujieleza kielelezo hufufuliwa kwa nguvu fulani. Je, tunaweza kurahisisha matokeo? Ndiyo. Ili kufanya hivyo, tunatumia utawala wa nguvu wa watazamaji. Fikiria maneno\((x^2)^3\). usemi ndani ya mabano ni kuongezeka mara mbili kwa sababu ina exponent ya\(2\). Kisha matokeo ni kuzidisha mara tatu kwa sababu kujieleza nzima ina exponent ya\(3\).

\[\begin{align*} (x^2)^3 &= (x^2)\times(x^2)\times(x^2)\\ &= x\times x\times x\times x\times x\times x\\ &= x^6 \end{align*}\]

Mtazamaji wa jibu ni bidhaa ya watazamaji:\((x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6\). Kwa maneno mengine, wakati wa kuinua kujieleza kwa nguvu, tunaandika matokeo kwa msingi wa kawaida na bidhaa za watazamaji.

\[(a^m)^n=a^{m⋅n}\]

Kuwa makini kutofautisha kati ya matumizi ya utawala wa bidhaa na utawala wa nguvu. Wakati wa kutumia utawala wa bidhaa, maneno tofauti na besi sawa hufufuliwa kwa watetezi. Katika kesi hii, wewe kuongeza exponents. Wakati wa kutumia utawala wa nguvu, neno katika maelezo ya ufafanuzi hufufuliwa kwa nguvu. Katika kesi hii, wewe kuzidisha exponents.

Jedwali\(\PageIndex{1}\)

Utawala wa Bidhaa	Utawala wa nguvu
\(5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7\)	\((5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}\)
\(x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7\)	\((x^5)^2=x^{5\times2}=x^{10}\)
\((3a)^7\times(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17}\)	\(((3a)^7)^{10}=(3a)^{7\times10}=(3a)^{70}\)

UTAWALA WA NGUVU WA WATAALAMU

Kwa idadi yoyote halisi na integers chanya m na n, utawala wa nguvu wa exponents inasema kwamba

\[(a^m)^n=a^{m⋅n} \label{power}\]

Mfano\(\PageIndex{3}\): Using the Power Rule

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi.

1. \((x^2)^7\)
2. \(((2t)^5)^3\)
3. \(((−3)^5)^{11}\)

Suluhisho

Tumia utawala wa nguvu (Equation\ ref {power}) ili kurahisisha kila usemi.

1. \((x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14}\)
2. \(((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15}\)
3. \(((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55}\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi.

1. \(((3y)^8)^3\)
2. \((t^5)^7\)
3. \(((−g)^4)^4\)

Jibu

\((3y)^{24}\)

Jibu b

\(t^{35}\)

Jibu c

\((−g)^{16}\)

Kutumia Utawala wa Zero wa Watazamaji

Rudi kwenye utawala wa quotient. Sisi alifanya hali ya kwamba\(m>n\) ili tofauti kamwe\(m−n\) kuwa sifuri au hasi. Nini kitatokea kama\(m=n\)? Katika kesi hiyo, tunataka kutumia sifuri exponent utawala wa exponents kurahisisha kujieleza kwa\(1\). Ili kuona jinsi hii inafanyika, hebu tuanze na mfano.

\[\dfrac{t^8}{t^8}=1 \nonumber\]

Kama tungekuwa kurahisisha kujieleza awali kwa kutumia utawala quotient, tutakuwa na

\[\dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 \nonumber\]

Ikiwa tunalinganisha majibu mawili, matokeo yake ni\(t^0=1\). Hii ni kweli kwa nambari yoyote nonzero halisi, au variable yoyote anayewakilisha idadi halisi.

\[a^0=1 \nonumber\]

Mbali pekee ni maneno\(0^0\). Hii inaonekana baadaye katika kozi za juu zaidi, lakini kwa sasa, tutazingatia thamani kuwa haijulikani.

SIFURI EXPONENT UTAWALA WA EXPONENTS

Kwa yoyote nonzero halisi idadi a, sifuri exponent utawala wa exponents inasema kwamba

\[a^0=1\]

Mfano\(\PageIndex{4}\): Using the Zero Exponent Rule

Kurahisisha kila kujieleza kwa kutumia sifuri exponent utawala wa exponents.

1. \(\dfrac{c^3}{c^3}\)
2. \(\dfrac{-3x^5}{x^5}\)
3. \(\dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3}\)
4. \(\dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2}\)

Suluhisho

Matumizi sifuri exponent na sheria nyingine kurahisisha kila kujieleza.

a.\[\begin{align*} \dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3}\\ &= c^0\\ &= 1 \end{align*}\]

b.\[\begin{align*} \dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3\times\dfrac{x^5}{x^5}\\ &= -3\times x^{5-5}\\ &= -3\times x^0\\ &= -3\times 1\\ &= -3 \end{align*}\]

c.\[\begin{align*} \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3} &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^{1+3}} && \text{ Use the product rule in the denominator}\\ &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && \text{ Simplify}\\ &= (j^2k)^{4-4} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= (j^2k)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 \end{align*}\]

d.\[\begin{align*} \dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= 5(rs^2)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 5\times1 && \text{ Use the zero exponent rule}\\ &= 5 && \text{ Simplify} \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Kurahisisha kila kujieleza kwa kutumia sifuri exponent utawala wa exponents.

1. \(\dfrac{t^7}{t^7}\)
2. \(\dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}}\)
3. \(\dfrac{w^4\times w^2}{w^6}\)
4. \(\dfrac{t^3\times t^4}{t^2\times t^5}\)

Jibu

\(1\)

Jibu b

\(\dfrac{1}{2}\)

Jibu c

\(1\)

Jibu d

\(1\)

Kutumia Utawala Hasi wa Watazamaji

Matokeo mengine muhimu hutokea ikiwa tunapumzika hali ambayo\(m>n\) katika utawala wa quotient hata zaidi. Kwa mfano, tunaweza kurahisisha\(\dfrac{t^3}{t^5}\)? Wakati\(m<n\) - yaani, ambapo tofauti\(m−n\) ni hasi - tunaweza kutumia utawala hasi wa exponents kurahisisha kujieleza kwa usawa wake.

Gawanya kujieleza moja kwa moja na mwingine na kielelezo kikubwa. Tumia mfano wetu,\(\dfrac{t^3}{t^5}\).

\[\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= \dfrac{t\times t\times t}{t\times t\times t\times t\times t} \\ &= \dfrac{1}{t\times t}\\ &= \dfrac{1}{h^2} \end{align*}\]

Kama tungekuwa kurahisisha kujieleza awali kwa kutumia utawala quotient, tutakuwa na

\[\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= h^{3-5} \\ &= h^{-2} \end{align*}\]

Kuweka majibu pamoja, tuna\(h^{−2}=\dfrac{1}{h^2}\). Hii ni kweli kwa idadi yoyote nonzero halisi, au variable yoyote anayewakilisha nonzero idadi halisi.

Sababu na exponent hasi inakuwa sababu sawa na exponent chanya kama ni wakiongozwa katika sehemu bar-kutoka namba kwa denominator au kinyume chake.

\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\)na\(a^n=\dfrac{1}{a^{−n}}\)

Tumeonyesha kuwa kielelezo kujieleza ni defined wakati\(n\) ni idadi ya asili\(0\),, au hasi ya idadi ya asili. Hiyo ina maana kwamba ni defined kwa integer yoyote\(n\). Pia, bidhaa na quotient sheria na sheria zote tutaangalia hivi karibuni kushikilia kwa integer yoyote\(n\).

UTAWALA HASI WA EXPONENTS

Kwa yoyote nonzero idadi halisi na idadi ya asili n, utawala hasi wa exponents inasema kwamba

\[a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\]

Mfano\(\PageIndex{5}\): Using the Negative Exponent Rule

Andika kila moja ya quotients zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \(\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}\)
2. \(\dfrac{z^2\times z}{z^4}\)
3. \(\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}\)

Suluhisho

1. \(\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}=\theta^{3-10}=\theta^{-7}=\dfrac{1}{\theta^7}\)
2. \(\dfrac{z^2\times z}{z^4}=\dfrac{z^{2+1}}{z^4}=\dfrac{z^3}{z^4}=z^{3-4}=z^{-1}=\dfrac{1}{z}\)
3. \(\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}=\dfrac{1}{(-5t^3)^4}\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Andika kila moja ya quotients zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \(\dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8}\)
2. \(\dfrac{f^{47}}{f^{49}\times f}\)
3. \(\dfrac{2k^4}{5k^7}\)

Jibu

\(\dfrac{1}{(-3t)^6}\)

Jibu b

\(\dfrac{1}{f^3}\)

Jibu c

\(\dfrac{2}{5k^3}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\): Using the Product and Quotient Rules

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \(b^2\times b^{-8}\)
2. \((-x)^5\times(-x)^{-5}\)
3. \(\dfrac{-7z}{(-7z)^5}\)

Suluhisho

1. \(b^2\times b^{-8}=b^{2-8}=b^{-6}=\dfrac{1}{b^6}\)
2. \((-x)^5\times(-x)^{-5}=(-x)^{5-5}=(-x)^0=1\)
3. \(\dfrac{-7z}{(-7z)^5}= \dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1-5}=(-7z)^{-4}=\dfrac{1}{(-7z)^4}\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Andika kila moja ya bidhaa zifuatazo kwa msingi mmoja. Je, si kurahisisha zaidi. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \(t^{-11}\times t^6\)
2. \(\dfrac{25^{12}}{25^{13}}\)

Jibu

\(t^{-5}=\dfrac{1}{t^5}\)

Jibu b

\(\dfrac{1}{25}\)

Kupata Nguvu ya Bidhaa

Ili kurahisisha nguvu ya bidhaa ya maneno mawili ya kielelezo, tunaweza kutumia nguvu ya utawala wa bidhaa wa vielelezo, ambayo huvunja nguvu za bidhaa ya mambo katika bidhaa za nguvu za mambo. Kwa mfano, fikiria\((pq)^3\). Tunaanza kwa kutumia mali ya associative na commutative ya kuzidisha ili kuunganisha tena mambo.

\[\begin{align*} (pq)^3 &= (pq)\times(pq)\times(pq)\\ &= p\times q\times p\times q\times p\times q\\ &= p^3\times q^3 \end{align*}\]

Kwa maneno mengine,\((pq)^3=p^3\times q^3\).

NGUVU YA UTAWALA WA BIDHAA WA EXPONENTS

Kwa idadi yoyote halisi a na b na n yoyote integer, nguvu ya utawala wa bidhaa ya exponents inasema kwamba

\[(ab)^n=a^nb^n\]

Mfano\(\PageIndex{7}\): Using the Power of a Product Rule

Kurahisisha kila moja ya bidhaa zifuatazo iwezekanavyo kwa kutumia nguvu ya utawala wa bidhaa. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \((ab^2)^3\)
2. \((2t)^{15}\)
3. \((-2w^3)^3\)
4. \(\dfrac{1}{(-7z)^4}\)
5. \((e^{-2}f^2)^7\)

Suluhisho

Matumizi ya bidhaa na quotient sheria na ufafanuzi mpya kurahisisha kila kujieleza.

a.\((ab^2)^3=(a)^3\times(b^2)^3=a^{1\times3}\times b^{2\times3}=a^3b^6\)

b.\((2t)^{15}=(2)^{15}\times(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15}\)

c.\((−2w^3)^3=(−2)^3\times(w^3)^3=−8\times w^{3\times3}=−8w^9\)

d.\(\dfrac{1}{(-7z)^4}=\dfrac{1}{(-7)^4\times(z)^4}=\dfrac{1}{2401z^4}\)

e.\((e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7\times(f^2)^7=e^{−2\times7}\times f^{2\times7}=e^{−14}f^{14}=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}\)

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Kurahisisha kila moja ya bidhaa zifuatazo iwezekanavyo kwa kutumia nguvu ya utawala wa bidhaa. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \((g^2h^3)^5\)
2. \((5t)^3\)
3. \((-3y^5)^3\)
4. \(\dfrac{1}{(a^6b^7)^3}\)
5. \((r^3s^{-2})^4\)

Jibu

\(g^{10}h^{15}\)

Jibu b

\(125t^3\)

Jibu c

\(-27y^{15}\)

Jibu d

\(\dfrac{1}{a^{18}b^{21}}\)

Jibu e

\(\dfrac{r^{12}}{s^8}\)

Kupata Nguvu ya Quotient

Ili kurahisisha nguvu ya quotient ya maneno mawili, tunaweza kutumia nguvu ya utawala wa quotient, ambayo inasema kuwa nguvu ya quotient ya mambo ni quotient ya nguvu za mambo. Kwa mfano, hebu tuangalie mfano unaofuata.

\[(e^{−2}f^2)^7=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}\]

Hebu tupate upya tatizo la awali tofauti na uangalie matokeo.

\[\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}\]

Inaonekana kutoka hatua mbili za mwisho ambazo tunaweza kutumia nguvu ya utawala wa bidhaa kama nguvu ya utawala wa quotient.

\[\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{(f^2)^7}{(e^2)^7}\\ &= \dfrac{f^{2\times7}}{e^{2\times7}}\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}\]

NGUVU YA UTAWALA WA QUOTIENT WA EXPONENTS

Kwa idadi yoyote halisi a na b na n yoyote integer, nguvu ya utawala quotient ya exponents inasema kwamba

\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\]

Mfano\(\PageIndex{8}\): Using the Power of a Quotient Rule

Kurahisisha kila moja ya quotients zifuatazo iwezekanavyo kwa kutumia nguvu ya utawala wa quotient. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \(\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3\)
2. \(\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6\)
3. \(\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}\)
4. \((j^3k^{-2})^4\)
5. \((m^{-2}n^{-2})^3\)

Suluhisho

a.\(\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3=\dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=\dfrac{64}{z^{11\times3}}=\dfrac{64}{z^{33}}\)

b.\(\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6=\dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=\dfrac{p^{1\times6}}{q^{3\times6}}=\dfrac{p^6}{q^{18}}\)

c.\(\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}=\dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=\dfrac{-1}{t^{2\times27}}=\dfrac{-1}{t^{54}}=-\dfrac{1}{t^{54}}\)

d.\((j^3k^{-2})^4=\left(\dfrac{j^3}{k^2}\right)^4=\dfrac{(j^3)^4}{(k^2)^4}=\dfrac{j^{3\times4}}{k^{2\times4}}=\dfrac{j^{12}}{k^8}\)

e.\((m^{-2}n^{-2})^3=\left(\dfrac{1}{m^2n^2}\right)^3=\dfrac{(1)^3}{(m^2n^2)^3}=\dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=\dfrac{1}{m^{2\times3}n^{2\times3}}=\dfrac{1}{m^6n^6}\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Kurahisisha kila moja ya quotients zifuatazo iwezekanavyo kwa kutumia nguvu ya utawala wa quotient. Andika majibu na watazamaji chanya.

1. \(\left(\dfrac{b^5}{c}\right)^3\)
2. \(\left(\dfrac{5}{u^8}\right)^4\)
3. \(\left(\dfrac{-1}{w^3}\right)^{35}\)
4. \((p^{-4}q^3)^8\)
5. \((c^{-5}d^{-3})^4\)

Jibu

\(\dfrac{b^{15}}{c^3}\)

Jibu b

\(\dfrac{625}{u^{32}}\)

Jibu c

\(\dfrac{-1}{w^{105}}\)

Jibu d

\(\dfrac{q^{24}}{p^{32}}\)

Jibu e

\(\dfrac{1}{c^{20}d^{12}}\)

Kurahisisha Maneno Kielelezo

Kumbuka kwamba kurahisisha maneno ina maana ya kuandika upya kwa kuchanganya maneno au watazamaji; kwa maneno mengine, kuandika maneno zaidi kwa maneno machache. Sheria za watazamaji zinaweza kuunganishwa ili kurahisisha maneno.

Mfano\(\PageIndex{9}\): Simplifying Exponential Expressions

Kurahisisha kila kujieleza na kuandika jibu na exponents chanya tu.

1. \((6m^2n^{-1})^3\)
2. \(17^5\times17^{-4}\times17^{-3}\)
3. \(\left(\dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}\right)^2\)
4. \((-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2)\)
5. \((x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2})^{-4}\)
6. \(\dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}\)

Suluhisho

a.\[\begin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && \text{ The power of a product rule}\\ &= 6^3m^{2\times3}n^{-1\times3} && \text{ The power rule}\\ &= 216m^6n^{-3} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{216m^6}{n^3} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]

b.\[\begin{align*} 17^5\times17^{-4}\times17^{-3} &= 17^{5-4-3} && \text{ The product rule}\\ &= 17^{-2} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{1}{17^2} \text{ or } \dfrac{1}{289} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]

c.\[\begin{align*} \left ( \dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} \right )^2 &= \dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && \text{ The power of a quotient rule}\\ &= \dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && \text{ The power of a product rule}\\ &= u^{-2}v^{2-(-2)} && \text{ The quotient rule}\\ &= u^{-2}v^4 && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{v^4}{u^2} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]

d.\[\begin{align*} \left (-2a^3b^{-1} \right ) \left(5a^{-2}b^2 \right ) &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ Commutative and associative laws of multiplication}\\ &= -10\times a^{3-2}\times b^{-1+2} && \text{ The product rule}\\ &= -10ab && \text{ Simplify} \end{align*}\]

e.\[\begin{align*} \left (x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2} \right )^{-4} &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ The product rule}\\ &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 && \text{ The zero exponent rule} \end{align*}\]

f.\[\begin{align*} \dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2} &= \dfrac{(3)^5\times(w^2)^5}{(6)^2\times(w^{-2})^2} && \text{ The power of a product rule}\\ &= \dfrac{3^5w^{2\times5}}{6^2w^{-2\times2}} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{27w^{10-(-4)}}{4} && \text{ The quotient rule and reduce fraction}\\ &= \dfrac{27w^{14}}{4} && \text{ Simplify} \end{align*}\]

Kutumia Nukuu ya kisayansi

Kumbuka mwanzoni mwa sehemu ambayo tumepata nambari\(1.3\times10^{13}\) wakati wa kuelezea bits ya habari katika picha za digital. Nambari nyingine kali ni pamoja na upana wa nywele za kibinadamu, ambazo ni karibu\(0.00005\; m\), na radius ya elektroni, ambayo ni karibu\(0.00000000000047\; m\). Tunawezaje kufanya kazi kwa ufanisi kusoma, kulinganisha, na kuhesabu na namba kama hizi?

Njia ya shorthand ya kuandika idadi ndogo sana na kubwa sana inaitwa notation ya kisayansi, ambayo sisi kueleza idadi katika suala la exponents ya\(10\). Kuandika nambari katika nukuu ya kisayansi, fanya hatua ya decimal kwa haki ya tarakimu ya kwanza katika nambari. Andika tarakimu kama nambari ya decimal kati\(1\) na\(10\). Hesabu idadi ya maeneo\(n\) uliyohamisha hatua ya decimal. Kuzidisha idadi decimal na\(10\) kukulia kwa nguvu ya\(n\). Kama wakiongozwa decimal kushoto kama katika idadi kubwa sana,\(n\) ni chanya. Kama wakiongozwa haki decimal kama katika idadi ndogo kubwa,\(n\) ni hasi.

Kwa mfano, fikiria idadi\(2,780,418\). Hoja kushoto decimal mpaka ni haki ya kwanza nonzero tarakimu, ambayo ni\(2\).

Tunapata\(2.780418\) kwa kusonga\(6\) maeneo ya decimal upande wa kushoto. Kwa hiyo, exponent ya\(10\) ni\(6\), na ni chanya kwa sababu sisi wakiongozwa uhakika decimal kwa upande wa kushoto. Hii ni nini tunapaswa kutarajia kwa idadi kubwa.

\(2.780418\times{10}^6\)

Kufanya kazi na idadi ndogo ni sawa. Chukua, kwa mfano, radius ya elektroni,\(0.00000000000047\; m\). Fanya mfululizo huo wa hatua kama hapo juu, isipokuwa uhamishe hatua ya decimal kwa haki.

Kuwa mwangalifu usijumuishe uongozi\(0\) katika hesabu yako. Sisi hoja decimal uhakika\(13\) maeneo na haki, hivyo exponent ya\(10\) ni\(13\). exponent ni hasi kwa sababu sisi wakiongozwa uhakika decimal na haki. Hii ni nini tunapaswa kutarajia kwa idadi ndogo.

\(4.7\times{10}^{−13}\)

NUKUU YA KISAYANSI

Nambari imeandikwa katika nukuu ya kisayansi ikiwa imeandikwa kwa fomu\(a\times{10}^n\), wapi\(1≤|a|<10\) na\(n\) ni integer.

Mfano\(\PageIndex{10}\): Converting Standard Notation to Scientific Notation

Andika kila nambari katika nukuu ya kisayansi.

1. Umbali wa Andromeda Galaxy kutoka Dunia:\(24,000,000,000,000,000,000,000\; m\)
2. Kipenyo cha Andromeda Galaxy:\(1,300,000,000,000,000,000,000\; m\)
3. Idadi ya nyota katika Andromeda Galaxy:\(1,000,000,000,000\)
4. Kipenyo cha elektroni:\(0.00000000000094\; m\)
5. Uwezekano wa kupigwa na umeme katika mwaka wowote:\(0.00000143\)

Suluhisho

a.\(24,000,000,000,000,000,000,000\; m\)\(22\) maeneo

\(2.4\times{10}^{22}\; m\)

b.\(1,300,000,000,000,000,000,000\; m\)\(21\) maeneo

\(1.3\times{10}^{21}\; m\)

c.\(1,000,000,000,000\)\(12\) maeneo

\(1\times{10}^{12}\)

d.\(0.00000000000094\; m\)\(13\) maeneo

\(9.4\times{10}^{-13}\; m\)

e.\(0.00000143\)\(6\) maeneo

\(1.43\times{10}^6\)

Uchambuzi

Kuzingatia kwamba, kama idadi fulani ni kubwa kuliko\(1\), kama katika mifano -c, exponent ya\(10\) ni chanya; na kama idadi ni chini ya\(1\), kama katika mifano d-e, exponent ni hasi.

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Andika kila nambari katika nukuu ya kisayansi.

1. Deni la taifa la Marekani kwa walipa kodi (Aprili 2014):\(\$152,000\)
2. Idadi ya watu duniani (Aprili 2014):\(7,158,000,000\)
3. Pato la Taifa la Dunia (Aprili 2014):\(\$85,500,000,000,000\)
4. Muda wa mwanga kusafiri\(1\; m: 0.00000000334\; s\)
5. Uwezekano wa kushinda bahati nasibu (mechi\(6\) ya idadi\(49\) iwezekanavyo):\(0.0000000715\)

Jibu

\(\$1.52\times{10}^5\)

Jibu b

\(7.158\times{10}^9\)

Jibu c

\(\$8.55\times{10}^{13}\)

Jibu d

\(3.34\times{10}^{-9}\)

Jibu e

\(7.15\times{10}^{-8}\)

Kubadilisha kutoka Kisayansi hadi Notation Standard

Ili kubadilisha nambari katika notation ya kisayansi kwa notation ya kawaida, tu reverse mchakato. Hoja decimal n maeneo na haki kama\(n\) ni chanya au\(n\) maeneo ya kushoto kama\(n\) ni hasi na kuongeza zeros kama inahitajika. Kumbuka, ikiwa\(n\) ni chanya, thamani ya namba ni kubwa kuliko\(1\), na ikiwa\(n\) ni hasi, thamani ya namba ni chini ya moja.

Mfano\(\PageIndex{11}\): Converting Scientific Notation to Standard Notation

Badilisha kila nambari katika nukuu ya kisayansi kwa nukuu ya kawaida.

1. \(3.547\times{10}^{14}\)
2. \(−2\times{10}^6\)
3. \(7.91\times{10}^{−7}\)
4. \(−8.05\times{10}^{−12}\)

Suluhisho

a.\(3.547\times{10}^{14}\)

\(3.54700000000000\)

\(\rightarrow14\)maeneo

\(354,700,000,000,000\)

b.\(−2\times{10}^6\)

\(−2.000000\)

\(\rightarrow6\)maeneo

\(−2,000,000\)

c.\(7.91\times{10}^{−7}\)

\(0000007.91\)

\(\rightarrow7\)maeneo

\(0.000000791\)

d.\(−8.05\times{10}^{−12}\)

\(−000000000008.05\)

\(\rightarrow12\)maeneo

\(−0.00000000000805\)

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Badilisha kila nambari katika nukuu ya kisayansi kwa nukuu ya kawaida.

1. \(7.03\times{10}^5\)
2. \(−8.16\times{10}^{11}\)
3. \(−3.9\times{10}^{−13}\)
4. \(8\times{10}^{−6}\)

Jibu

\(703,000\)

Jibu b

\(−816,000,000,000\)

Jibu c

\(−0.00000000000039\)

Jibu d

\(0.000008\)

Kutumia Notation ya kisayansi katika Maombi

Uthibitisho wa kisayansi, unaotumiwa na sheria za watazamaji, hufanya kuhesabu kwa idadi kubwa au ndogo iwe rahisi zaidi kuliko kufanya hivyo kwa kutumia nukuu ya kawaida. Kwa mfano, tuseme tunaulizwa kuhesabu idadi ya atomi ndani\(1\; L\) ya maji. Kila molekuli ya maji ina\(3\) atomi (\(2\)hidrojeni na\(1\) oksijeni). Tone la wastani la maji lina karibu\(1.32\times{10}{21}\) molekuli ya maji na\(1\; L\) ya maji hushikilia matone\(1.22\times{10}^{4}\) wastani. Kwa hiyo, kuna takriban\(3⋅(1.32\times{10}^{21})⋅(1.22\times{10}^4)≈4.83\times{10}^{25}\) atomi ndani\(1\; L\) ya maji. Sisi tu kuzidisha maneno decimal na kuongeza exponents. Fikiria kufanya hesabu bila kutumia notation ya kisayansi!

Wakati wa kufanya mahesabu na notation ya kisayansi, hakikisha kuandika jibu kwa usahihi wa kisayansi. Kwa mfano, fikiria bidhaa\((7\times{10}^4)⋅(5\times{10}^6)=35\times{10}^{10}\). Jibu haliko katika nukuu sahihi ya kisayansi kwa sababu\(35\) ni kubwa kuliko\(10\). Fikiria\(35\) kama\(3.5\times10\). Hiyo inaongeza kumi kwa exponent ya jibu.

\((35)\times{10}^{10}=(3.5\times10)\times{10}^{10}=3.5\times(10\times{10}^{10})=3.5\times{10}^{11}\)

Mfano\(\PageIndex{12}\): Using Scientific Notation

Fanya shughuli na uandike jibu katika maelezo ya kisayansi.

1. \((8.14\times{10}^{−7})(6.5\times{10}^{10})\)
2. \((4\times{10}^5)÷(−1.52\times{10}^{9})\)
3. \((2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13})\)
4. \((1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5)\)
5. \((3.33\times{10}^4)(−1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5)\)

Solutions

a.\[\begin{align*} (8.14\times{10}^{-7})(6.5\times{10}^{10}) &= (8.14\times6.5)({10}^{-7}\times{10}^{10}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (52.91)({10}^3) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 5.291\times{10}^4 \text{ Scientific notation} \end{align*}\]

b.\[\begin{align*} (4\times{10}^5)\div (-1.52\times{10}^{9}) &= \left(\dfrac{4}{-1.52}\right)\left(\dfrac{{10}^5}{{10}^9}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &\approx (-2.63)({10}^{-4}) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= -2.63\times{10}^{-4} \text{ Scientific notation} \end{align*}\]

c.\[\begin{align*} (2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13}) &= (2.7\times6.04)({10}^5\times{10}^{13}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (16.308)({10}^{18}) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 1.6308\times{10}^{19} \text{ Scientific notation} \end{align*}\]

d.\[\begin{align*} (1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5) &= \left(\dfrac{1.2}{9.6}\right)\left(\dfrac{{10}^8}{{10}^5}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (0.125)({10}^3) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= 1.25\times{10}^2 \text{ Scientific notation} \end{align*}\]

e.\[\begin{align*} (3.33\times{10}^4)(-1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5) &= [3.33\times(-1.05)\times5.62]({10}^4\times{10}^7\times{10}^5)\\ &\approx (-19.65)({10}^{16})\\ &= -1.965\times{10}^{17} \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Fanya shughuli na uandike jibu katika maelezo ya kisayansi.

1. \((−7.5\times{10}^8)(1.13\times{10}^{−2})\)
2. \((1.24\times{10}^{11})÷(1.55\times{10}^{18})\)
3. \((3.72\times{10}^9)(8\times{10}^3)\)
4. \((9.933\times{10}^{23})÷(−2.31\times{10}^{17})\)
5. \((−6.04\times{10}^9)(7.3\times{10}^2)(−2.81\times{10}^2)\)

Jibu

\(−8.475\times{10}^6\)

Jibu b

\(8\times{10}^{−8}\)

Jibu c

\(2.976\times{10}^{13}\)

Jibu d

\(−4.3\times{10}^6\)

Jibu e

\(≈1.24\times{10}^{15}\)

Mfano\(\PageIndex{13}\): Applying Scientific Notation to Solve Problems

Mnamo Aprili 2014, idadi ya wakazi wa Marekani ilikuwa kuhusu\(308,000,000\) watu. Deni la taifa lilikuwa karibu\(\$17,547,000,000,000\). Andika kila nambari katika nukuu ya kisayansi, takwimu za mzunguko kwa sehemu mbili za decimal, na kupata kiasi cha madeni kwa raia wa Marekani. Andika jibu katika maelezo yote ya kisayansi na ya kawaida.

Suluhisho

Idadi ya watu ilikuwa\(308,000,000=3.08\times{10}^8\).

Deni la taifa lilikuwa\($17,547,000,000,000≈$1.75\times{10}^{13}\).

Ili kupata kiasi cha deni kwa kila raia, ugawanye deni la kitaifa kwa idadi ya wananchi.

\[\begin{align*} (1.75\times{10}^{13})\div (3.08\times{10}^8)&=\left(\dfrac{1.75}{3.08}\right)({10}^5)\\ &\approx 0.57\times{10}^5\\ &=5.7\times{10}^4 \end{align*}\]

Madeni kwa kila raia wakati huo ilikuwa karibu\($5.7\times{10}^4\), au\($57,000\).

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Mwili wa binadamu wa wastani una karibu na seli\(30,000,000,000,000\) nyekundu za damu. Kila kiini hupima takriban\(0.000008\; m\) muda mrefu. Andika kila nambari katika nukuu ya kisayansi na upate urefu wa jumla ikiwa seli ziliwekwa mwisho hadi mwisho. Andika jibu katika maelezo yote ya kisayansi na ya kawaida.

Jibu

Idadi ya seli:\(3\times{10}^{13}\); urefu wa kiini:\(8\times{10}^{−6}\; m\); urefu wa jumla:\(2.4\times{10}^8\; m\) au\(240,000,000\; m\).

Kupata rasilimali hizi online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na exponents na nukuu kisayansi.

Nukuu ya kielelezo

Mali ya Watazamaji

sifuri exponent

Kurahisisha maneno Exponent

Utawala wa Quotient kwa Watazamaji

Nukuu ya kisayansi

Inabadilisha kwenye Nukuu ya Decimal

Mlinganyo muhimu

Kanuni za Watazamaji Kwa nambari zisizo za sifuri halisi a na b na integers m na n
Utawala wa bidhaa	\(a^m⋅a^n=a^{m+n}\)
Utawala wa quotient	\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\)
Utawala wa nguvu	\((a^m)^n=a^{m⋅n}\)
Zero exponent utawala	\(a^0=1\)
Utawala mbaya	\(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\)
Nguvu ya utawala wa bidhaa	\((a⋅b)^n=a^n⋅b^n\)
Nguvu ya utawala wa quotient	\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

Dhana muhimu

• Bidhaa za maneno ya kielelezo na msingi sawa zinaweza kuwa rahisi kwa kuongeza vielelezo. Angalia Mfano.
• Quotients ya maneno ya kielelezo na msingi sawa inaweza kuwa rahisi kwa kutoa exponents. Angalia Mfano.
• Nguvu za maneno ya kielelezo na msingi sawa yanaweza kuwa rahisi kwa kuzidisha vielelezo. Angalia Mfano.
• Maneno na sifuri exponent hufafanuliwa kama 1. Angalia Mfano.
• Maneno yenye ufafanuzi hasi hufafanuliwa kama usawa. Angalia Mfano na Mfano.
• Nguvu ya bidhaa ya mambo ni sawa na bidhaa za nguvu za mambo sawa. Angalia Mfano.
• Nguvu ya quotient ya mambo ni sawa na quotient ya nguvu za mambo sawa. Angalia Mfano.
• Sheria za maneno ya kielelezo zinaweza kuunganishwa ili kurahisisha maneno ngumu zaidi. Angalia Mfano.
• Nukuu ya kisayansi inatumia nguvu za 10 ili kurahisisha idadi kubwa sana au ndogo sana. Angalia Mfano na Mfano.
• Nukuu ya kisayansi inaweza kutumika kurahisisha mahesabu kwa idadi kubwa sana au ndogo sana. Angalia Mfano na Mfano.