11.R: Utaratibu, Uwezekano na Hesabu Theory (Tathmini)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 181125

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

11.1 Utaratibu na Nukuu zao

1) Andika maneno manne ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula ya kujirudia$a_1=2, a_n=a_{n-1}+n$.

Jibu: $2,4,7,11$

2) Tathmini$\dfrac{6!}{(5-3)!3!}$.

3) Andika maneno manne ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula wazi$a_n=10^n+3$.

Jibu: $13,103,1003,10003$

4) Andika maneno manne ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula wazi$a_n=\dfrac{n!}{n(n+1)!}$.

11.2 Utaratibu wa Hesabu

1) Je, mlolongo wa$\dfrac{4}{7},\dfrac{47}{21},\dfrac{82}{21},\dfrac{39}{7},\ldots$ hesabu? Ikiwa ndivyo, pata tofauti ya kawaida.

Jibu: Mlolongo ni hesabu. Tofauti ya kawaida ni$d=\dfrac{5}{3}$.

2) Je, mlolongo wa$2,4,8,16,\ldots$ hesabu? Ikiwa ndivyo, pata tofauti ya kawaida.

3) Mlolongo wa hesabu una neno la kwanza$a_1=18$ na tofauti ya kawaida$d=8$. Masharti tano ya kwanza ni nini?

Jibu: $18,10,2,-6,-14$

4) Mlolongo wa hesabu una masharti$a_3=11.7$ na$a_8=-14.6$. Muda wa kwanza ni nini?

5) Andika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa hesabu$-20,-10,0,10,\ldots$

Jibu: $a_1=-20, a_n=a_{n-1}+10$

6) Andika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa hesabu$0,-\dfrac{1}{2},-1,-\dfrac{3}{2},\ldots$, na kisha upate$31^{st}$ muda.

7) Andika formula wazi kwa mlolongo wa hesabu$\dfrac{7}{8},\dfrac{29}{24},\dfrac{37}{24},\dfrac{15}{8},\ldots$

Jibu: $a_n=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{13}{24}$

8) Ni maneno ngapi katika mlolongo wa hesabu wa mwisho$12,20,28,\ldots ,172$?

11.3 Utaratibu wa kijiometri

1) Pata uwiano wa kawaida kwa mlolongo wa kijiometri$2.5, 5, 10, 20,\ldots$

Jibu: $r=2$

2) Je, ni mlolongo wa$4, 16, 28, 40,\ldots$ kijiometri? Ikiwa ndivyo, pata uwiano wa kawaida. Kama siyo, kueleza kwa nini.

3) Mlolongo wa kijiometri una masharti$a_7=16,384$ na$a_9=262,144$. Masharti tano ya kwanza ni nini?

Jibu: $4,16,64,256,1024$

4) Mlolongo wa kijiometri una muda wa kwanza$a_1=-3$ na uwiano wa kawaida$r=12$. $8^{th}$Neno ni nini?

5) Je, ni maneno matano ya kwanza ya mlolongo wa kijiometri$a_1=3, a_n=4\cdot a_{n-1}$?

Jibu: $3, 12, 48, 192, 768$

6) Andika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa kijiometri$1,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{27},\ldots$

7) Andika formula wazi kwa mlolongo wa kijiometri$-\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{15},-\dfrac{1}{45},-\dfrac{1}{135},\ldots$

Jibu: $a_n=-\dfrac{1}{5}\cdot \left (\dfrac{1}{3} \right )^{n-1}$

8) Ni maneno ngapi katika mlolongo wa kijiometri wa mwisho$-5,-\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{9},\ldots ,-\dfrac{5}{59,049}$?

11.4 Mfululizo na Nukuu zao

1) Tumia maelezo ya muhtasari kuandika jumla ya maneno$\dfrac{1}{2}m+5$ kutoka$m=0$ kwa$m=5$.

Jibu: $\displaystyle \sum_{m=0}^{5}\left (\dfrac{1}{2}m+5 \right )$

2) Tumia maelezo ya muhtasari kuandika jumla ambayo inatokana na kuongeza namba mara$13$ ishirini.

3) Tumia formula kwa jumla ya$n$ maneno ya kwanza ya mfululizo wa hesabu ili kupata jumla ya masharti kumi na moja ya mfululizo wa hesabu$2.5, 4, 5.5,\ldots $

Jibu: $S_{11}=110$

4) Ngazi ina vidonge$15$ vya tapered, urefu ambao huongezeka kwa tofauti ya kawaida. Kipande cha kwanza ni$5$ inchi ndefu, na rung ya mwisho ni$20$ inchi ndefu. Je, ni jumla ya urefu wa rungs?

5) Tumia formula kwa jumla ya masharti ya kwanza n ya mfululizo wa kijiometri ili kupata$S_9$ mfululizo$12,6,3,\dfrac{3}{2},\ldots$

Jibu: $S_9\approx 23.95$

6) ada kwa miaka mitatu ya kwanza ya uanachama wa klabu ya uwindaji hutolewa katika Jedwali hapa chini. Ikiwa ada itaendelea kuongezeka kwa kiwango sawa, gharama ya jumla itakuwa kiasi gani kwa miaka kumi ya kwanza ya uanachama?

Mwaka	Ada za Uanachama
1	$1500
2	$1950
3	$2535

7) Pata jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri$\textstyle \sum_{k=1}^{\infty }45\cdot \left ( -\frac{1}{3} \right )^{k-1}$.

Jibu: $S=\dfrac{135}{4}$

8) Mpira una uwiano wa nyuma wa urefu$35$ wa bounce uliopita. Andika mfululizo unaowakilisha umbali wa jumla uliosafiri na mpira, ukidhani ilikuwa awali imeshuka kutoka urefu wa$5$ miguu. Umbali wa jumla ni nini? (Kidokezo: umbali wa jumla wa mpira unasafiri kwenye kila bounce ni jumla ya urefu wa kupanda na kuanguka.)

9) Alejandro amana$\$80$ ya mapato yake ya kila mwezi katika annuity ambayo hupata riba ya kila$6.25\%$ mwaka, imezungukwa kila mwezi. Je! Fedha ngapi ataokoa baada ya$5$ miaka?

Jibu: $\$5,617.61$

10) mapacha Sarah na Scott wote kufunguliwa akaunti ya kustaafu siku ya$21^{st}$ kuzaliwa yao. Sarah amana$\$4,800.00$ kila mwaka, kupata riba ya$5.5\%$ kila mwaka, imezungukwa kila mwezi. Scott amana$\$3,600.00$ kila mwaka, kupata riba ya$8.5\%$ kila mwaka, imezungukwa kila mwezi. Ambayo mapacha atapata riba zaidi kwa wakati wao ni umri wa$55$ miaka? Ni kiasi gani zaidi?

Kanuni za Kuhesabu 11.5

1) Kuna njia ngapi za kuchagua nambari kutoka kwenye seti$\left \{ -10,-6,4,10,12,18,24,32 \right \}$ ambayo inagawanyika kwa aidha$4$ au$6$?

Jibu: $6$

2) Katika kundi la$20$ wanamuziki,$12$ kucheza piano,$7$ kucheza tarumbeta, na$2$ kucheza piano na tarumbeta. Wanamuziki wangapi wanacheza piano au tarumbeta?

3) Kuna njia ngapi za kujenga msimbo wa$4$ tarakimu ikiwa namba zinaweza kurudiwa?

Jibu: $10^4=10,000$

4) Pale ya rangi ya rangi ya maji ina$3$ vivuli vya kijani,$3$ vivuli vya bluu,$2$ vivuli vya rangi nyekundu,$2$ vivuli vya njano, na$1$ kivuli cha rangi nyeusi. Kuna njia ngapi za kuchagua kivuli kimoja cha kila rangi?

5) Tumia hesabu$P(18,4)$.

Jibu: $P(18,4)=73,440$

6) Katika kundi la$5$ Freshman,$10$ sophomores,$3$ juniors, na$2$ wazee, ni njia ngapi ambazo rais, makamu wa rais, na mweka hazina wanaweza kuchaguliwa?

7) Tumia hesabu$C(15,6)$.

Jibu: $C(15,6)=5005$

8) duka la kahawa lina roasts ya$7$ Guatemala, roasts ya$4$ Cuba, na$10$ Costa Rican roasts. Ni njia ngapi ambazo duka linaweza kuchagua$2$ Guatemala,$2$ Cuba, na$3$ Costa Rican kuchoma kwa tukio la kuonja kahawa?

9) Ni subsets ngapi ambazo seti$\left \{ 1, 3, 5, \ldots , 99 \right \}$ ina?

Jibu: $2^{50}=1.13\times 10^{15}$

10) siku spa mashtaka ya kiwango cha msingi siku kuwa ni pamoja na matumizi ya Sauna, bwawa, na kuoga. Kwa malipo ya ziada, wageni wanaweza kuchagua kutoka kwa huduma zifuatazo za ziada: massage, scrub mwili, manicure, pedicure, usoni, na kunyoa moja kwa moja. Kuna njia ngapi za kuagiza huduma za ziada kwenye spa ya siku?

11) Ni njia ngapi tofauti ambazo neno la DEADWOOD linaweza kupangwa?

Jibu: $\dfrac{8!}{3!2!}=3360$

12) Ni vipi vingi vya upyaji tofauti wa barua za neno DEADWOOD zipo ikiwa mpangilio lazima uanze na kuishia na barua$D$?

11.6 Theorem ya Binomial

1) Tathmini mgawo wa binomial$\dbinom{23}{8}$.

Jibu: $490,314$

2) Tumia Theorem ya Binomial kupanua$\left ( 3x+\dfrac{1}{2}y \right )^6$.

3) Tumia Theorem ya Binomial kuandika maneno matatu ya kwanza ya$(2a+b)^{17}$.

Jibu: $131,072a^{17}+1,114,112a^{16}b+4,456,448a^{15}b^2$

4) Pata muda wa nne$\left ( 3a^2-2b \right )^{11}$ bila kupanua kikamilifu binomial.

11.7 Uwezekano

Kwa mazoezi ya 1-7, kudhani kufa mbili zimevingirwa.

1) Jenga meza inayoonyesha nafasi ya sampuli.

Jibu

	1	2	3	4	5	6
1	1, 1	1, 2	1, 3	1, 4	1, 5	1, 6
2	2, 1	2, 2	2, 3	2, 4	2, 5	2, 6
3	3, 1	3, 2	3, 3	3, 4	3, 5	3, 6
4	4, 1	4, 2	4, 3	4, 4	4, 5	4, 6
5	5, 1	5, 2	5, 3	5, 4	5, 5	5, 6
6	6, 1	6, 2	6, 3	6, 4	6, 5	6, 6

2) ni uwezekano kwamba roll ni pamoja na$2$ nini?

3) Je! Ni uwezekano gani wa kuunganisha jozi?

Jibu: $\dfrac{1}{6}$

4) Ni uwezekano kwamba roll ni pamoja na$2$ au matokeo katika jozi?

5) Je, ni uwezekano kwamba roll haina ni pamoja na$2$ au matokeo katika jozi?

Jibu: $\dfrac{5}{9}$

6) Je, ni uwezekano wa rolling a$5$ au$6$?

7) Ni uwezekano kwamba roll ni pamoja na$5$ wala wala a$6$?

Jibu: $\dfrac{4}{9}$

Kwa mazoezi 8-11, tumia data zifuatazo: Utafiti wa shule ya msingi uligundua kuwa$350$ wa$500$ wanafunzi walipendelea soda kwa maziwa. Tuseme$8$ watoto kutoka shule wanahudhuria chama cha kuzaliwa. (Onyesha mahesabu na pande zote kwa karibu kumi ya asilimia.)

8) Ni nafasi gani ya asilimia kwamba watoto wote wanaohudhuria chama wanapendelea soda?

9) Ni nafasi gani ya asilimia kwamba angalau mmoja wa watoto wanaohudhuria chama anapendelea maziwa?

Jibu: $1-\dfrac{C(350,8)}{C(500,8)}\approx 94.4\%$

10) Ni nafasi gani ya asilimia ambayo hasa watoto$3$ wanaohudhuria chama wanapendelea soda?

11) Ni nafasi gani ya asilimia kwamba hasa watoto$3$ wanaohudhuria chama wanapendelea maziwa?

Jibu: $\dfrac{C(150,3)C(350,5)}{C(500,8)}\approx 25.6\%$

Mazoezi mtihani

1) Andika maneno manne ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula ya kujirudia$a=-14, a_n=\dfrac{2+a_{n-1}}{2}$

Jibu: $-14,-6,-2,0$

2) Andika maneno manne ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula wazi$a_n=\dfrac{n^2-n-1}{n!}$.

3) Je, mlolongo wa$0.3, 1.2, 2.1, 3,\ldots$ hesabu? Ikiwa ndivyo, tafuta tofauti ya kawaida.

Jibu: Mlolongo ni hesabu. Tofauti ya kawaida ni$d=0.9$.

4) Mlolongo wa hesabu una neno la kwanza$a_1=-4$ na tofauti ya kawaida$d=-\dfrac{4}{3}$. $6^{th}$Neno ni nini?

5) Andika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa hesabu$-2,-\dfrac{7}{2},-5,-\dfrac{13}{2},\ldots$ na kisha upate$22^{nd}$ muda.

Jibu: $a_1=-2,a_n=a_{n-1}-\dfrac{3}{2};a_{22}=-\dfrac{67}{2}$

6) Andika formula wazi kwa mlolongo wa hesabu$15.6, 15, 14.4, 13.8,\ldots$ na kisha upate$32^{nd}$ neno.

7) Je, ni mlolongo wa$-2,-1,-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4},\ldots$ kijiometri? Ikiwa ndivyo, pata uwiano wa kawaida. Kama siyo, kueleza kwa nini.

Jibu: Mlolongo ni kijiometri. Uwiano wa kawaida ni$r=\dfrac{1}{2}$.

8) Nini$11^{th}$ neno la mlolongo wa kijiometri$-1.5,-3,-6,-12,\ldots$?

9) Andika formula ya kujirudia kwa mlolongo wa kijiometri$1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},\ldots$

Jibu: $a_1=1,a_n=-\dfrac{1}{2}\cdot a_{n-1}$

10) Andika formula wazi kwa mlolongo wa kijiometri$4,-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{9},-\dfrac{4}{27},\ldots$

11) Tumia maelezo ya muhtasari kuandika jumla ya maneno$3k^2-\dfrac{5}{6}k$ kutoka$k=-3$ kwa$k=15$.

Jibu: $\displaystyle \sum_{k=-3}^{15}\left (3k^2-\dfrac{5}{6}k \right )$

12) Uwanja wa baseball wa jamii una$10$ viti katika mstari wa kwanza,$13$ viti katika mstari wa pili,$16$ viti katika mstari wa tatu, na kadhalika. Kuna$56$ safu katika yote. Uwezo wa kukaa wa uwanja ni nini?

13) Tumia formula kwa jumla ya$n$ maneno ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri ili kupata$\displaystyle \sum_{k=1}^{7}-0.2\cdot (-5)^{k-1}$

Jibu: $S_7=-2604.2$

14) Pata jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{3}\cdot \left ( -\dfrac{1}{5} \right )^{k-1}$

15) Rachael amana$\$3,600$ katika mfuko wa kustaafu kila mwaka. Mfuko hupata riba ya$7.5\%$ kila mwaka, imezungukwa kila mwezi. Ikiwa alifungua akaunti yake wakati alipokuwa na umri wa$20$ miaka, atakuwa na kiasi gani wakati atakapokuwa$55$? Kiasi gani cha kiasi hicho alikuwa riba chuma?

Jibu: Jumla katika akaunti:$\$140,355.75$ Maslahi chuma:$\$14,355.75$

16) Katika ushindani wa wachezaji wa$50$ kitaalamu wa mpira,$22$ kushindana katika ushindani wa mbweha,$18$ kushindana katika ushindani wa tango, na$6$ kushindana katika mashindano ya mbweha na tango. Ni wachezaji wangapi wanashindana katika mashindano ya mbweha au tango?

17) Mnunuzi wa sedan mpya anaweza kuagiza gari kwa kuchagua kutoka rangi$5$ tofauti za nje, rangi$3$ tofauti za mambo ya ndani, mifumo ya$2$ sauti, miundo ya$3$ magari, na maambukizi ya mwongozo au moja kwa moja. Je, mnunuzi ana uchaguzi wangapi?

Jibu: $5\times 3\times 2\times 3\times 2=180$

18) Ili kutenga bonuses ya kila mwaka, meneja lazima ague wafanyakazi wake wanne wa juu na kuwaweka kwanza hadi nne. Kwa njia ngapi anaweza kuunda orodha ya “Juu ya Nne” nje ya$32$ wafanyakazi?

19) Kundi la mwamba linahitaji kuchagua$3$ nyimbo za kucheza katika vita vya kila mwaka vya Bendi. Ni njia ngapi wanaweza kuchagua seti yao ikiwa wana$15$ nyimbo za kuchukua?

Jibu: $C(15,3)=455$

20) Kujitumikia duka la mtindi waliohifadhiwa$8$ lina toppings ya pipi na toppings ya$4$ matunda ya kuchagua. Kuna njia ngapi za juu ya mtindi waliohifadhiwa?

21) Ni njia ngapi tofauti ambazo neno la EVANESCENCE linaweza kupangwa ikiwa anagram inapaswa kuishia na barua$E$?

Jibu: $\dfrac{10!}{2!3!2!}=151,200$

22) Tumia Theorem ya Binomial kupanua$\left (\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}y \right )^5$.

23) Kupata muda wa saba$\left (x^2-\dfrac{1}{2} \right )^{13}$ bila kikamilifu kupanua binomial.

Jibu: $\dfrac{429x^{14}}{16}$

Kwa mazoezi 24-28, tumia spinner katika Kielelezo hapa chini.

$CNX_Precalc_Figure_11_07_202.jpg$

24) Kujenga uwezekano mfano kuonyesha kila matokeo iwezekanavyo na uwezekano wake kuhusishwa. (Tumia barua ya kwanza kwa rangi.)

25) Je! Ni uwezekano gani wa kutua kwa idadi isiyo ya kawaida?

Jibu: $\dfrac{4}{7}$

26) Je! Ni uwezekano gani wa kutua kwenye bluu?

27) Je! Ni uwezekano gani wa kutua kwenye bluu au namba isiyo ya kawaida?

Jibu: $\dfrac{5}{7}$

28) Je! Ni uwezekano gani wa kutua kwenye kitu chochote isipokuwa bluu au namba isiyo ya kawaida?

29) bakuli la pipi ana$16$ peppermint,$14$ butterscotch, na$10$ strawberry ladha pipi. Tuseme mtu huchukua$7$ pipi ndogo. ni asilimia nafasi kwamba hasa$3$ ni butterscotch? (Onyesha mahesabu na pande zote kwa karibu kumi ya asilimia.)

Jibu: $\dfrac{C(14,3)C(26,4)}{C(40,7)}\approx 29.2\%$

Wachangiaji na Majina

Template:OpenStaxPreCalc