11.E: Utaratibu, Uwezekano na Hesabu Theory (Mazoezi)

11.1 Utaratibu na Nukuu zao

Maneno

1) Jadili maana ya mlolongo. Ikiwa mlolongo wa mwisho unafafanuliwa na formula, ni kikoa gani? Nini kuhusu mlolongo usio?

Jibu

Mlolongo ni orodha iliyoamriwa ya namba ambayo inaweza kuwa ama finite au usio na idadi. Wakati mlolongo wa mwisho unafafanuliwa na formula, uwanja wake ni subset ya integers zisizo hasi. Wakati mlolongo usio na kipimo unafafanuliwa na formula, kikoa chake ni chanya au integers zote zisizo hasi.

2) Eleza njia tatu ambazo mlolongo unaweza kuelezwa.

3) Je, seti ya awali ya idadi hata mlolongo usio? Nini kuhusu seti ya amri ya idadi isiyo ya kawaida? Eleza kwa nini au kwa nini.

Jibu

Ndiyo, seti zote mbili zinaendelea kwa muda usiojulikana, hivyo wote wawili ni utaratibu usio na kipimo.

4) Ni nini kinachotokea kwa maneno\(a_n\) ya mlolongo wakati kuna sababu mbaya katika formula inayofufuliwa kwa nguvu inayojumuisha\(n\)? Nini neno linalotumiwa kuelezea jambo hili?

5) Nini factorial, na ni jinsi gani inaashiria? Tumia mfano ili kuonyesha jinsi notation factorial inaweza kuwa na manufaa.

Jibu

A factorial ni bidhaa ya integer chanya na integers zote chanya chini yake. Hatua ya kufurahisha hutumiwa kuonyesha operesheni. Majibu yanaweza kutofautiana. Mfano wa faida ya kutumia maelezo ya factorial ni wakati wa kuonyesha bidhaa Ni rahisi sana kuandika kuliko kuandika\(13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\)

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-15, weka masharti manne ya kwanza ya mlolongo.

6)\(a_n=2^n-2\)

7)\(a_n=-\dfrac{16}{n+1}\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza:\(-8\),\(−\dfrac{16}{3}\),\(−4\),\(−\dfrac{16}{5}\)

8)\(a_n=-(-5)^{n-1}\)

9)\(a_n=\dfrac{2^n}{n^3}\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza:\(2\),\(\dfrac{1}{2}\),\(\dfrac{8}{27}\),\(\dfrac{1}{4}\)

10)\(a_n=\dfrac{2n+1}{n^3}\)

11)\(a_n=1.25\cdot (-4)^{n-1}\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza:\(1.25\),\(-5\),\(20\),\(-80\)

12)\(a_n=-4\cdot (-6)^{n-1}\)

13)\(a_n=\dfrac{n^2}{2n+1}\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza:\(\dfrac{1}{3}\),\(\dfrac{4}{5}\),\(\dfrac{9}{7}\),\(\dfrac{16}{9}\)

14)\(a_n=(-10)^n+1\)

15)\(a_n=-\left ( \dfrac{4\cdot (-5)^{n-1}}{5} \right )\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza:\(-\dfrac{4}{5}\),\(4\),\(-20\),\(100\)

Kwa mazoezi 16-20, andika maneno nane ya kwanza ya mlolongo wa kipande.

16)\(a_n=\begin{cases} (-2)^n-2 & \text{ if } n \text{ is even} \\ (3)^{n-1} & \text{ if } n \text{ is odd} \end{cases}\)

17)\(a_n=\begin{cases} \dfrac{n^2}{2n+1} & \text{ if } n\leq 5 \\ n^2-5 & \text{ if } n>5 \end{cases}\)

Jibu

\(\dfrac{1}{3}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{9}{7}, \dfrac{16}{9}, \dfrac{25}{11}, 31, 44, 59\)

18)\(a_n=\begin{cases} (2n+1)^2 & \text{ if } n \text{ is divisible by } 4 \\ \dfrac{2}{n} & \text{ if } n \text{ is not divisible by } 4 \end{cases}\)

19)\(a_n=\begin{cases} -0.6\cdot 5^{n-1} & \text{ if } n \text{ is prime or } 1 \\ 2.5\cdot (-2)^{n-1} & \text{ if } n \text{ is composite } \end{cases}\)

Jibu

\(−0.6,−3,−15,−20,−375,−80,−9375,−320\)

20)\(a_n=\begin{cases} 4(n^2-2) & \text{ if } n\leq 3 \text{ or } n>6 \\ \dfrac{n^2-2}{4} & \text{ if } 3<n\leq>

Kwa mazoezi 21-25, weka formula wazi kwa kila mlolongo.

21)\(4, 7, 12, 19, 28,\ldots\)

Jibu

\(a_n = n^2 + 3\)

22)\(-4,2,-10,14,-34,\ldots\)

23)\(1,1,\dfrac{4}{3},2,\dfrac{16}{5},\ldots\)

Jibu

\(a_n=\dfrac{2^n}{2n} \text{ or } \dfrac{2^{n-1}}{n}\)

24)\(0,\dfrac{1-e^1}{1+e^2}, \dfrac{1-e^2}{1+e^3}, \dfrac{1-e^3}{1+e^4}, \dfrac{1-e^4}{1+e^5},\ldots\)

25)\(1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16},\ldots\)

Jibu

\(a_n=\left ( -\dfrac{1}{2} \right )^{n-1}\)

Kwa mazoezi 26-30, weka masharti tano ya kwanza ya mlolongo.

26)\(a_1=9, a_n=a_{n-1}+n\)

27)\(a_1=3, a_n=(-3)a_{n-1}\)

Jibu

Masharti tano ya kwanza:\(3, -9, 27, -81, 243\)

28)\(a_1=-4, a_n=\dfrac{a_{n-1}+2n}{a_{n-1}-1}\)

29)\(a_1=-1, a_n=\dfrac{(-3)^{n-1}}{a_{n-1}-2}\)

Jibu

Masharti tano ya kwanza:\(-1, 1, -9,\dfrac{27}{11},\dfrac{891}{5}\)

30)\(a_1=-30, a_n=(2+a_{n-1})\left (\dfrac{1}{2} \right )^n\)

Kwa mazoezi 31-33, weka masharti nane ya kwanza ya mlolongo.

31)\(a_1=\dfrac{1}{24},a_2=1, a_n=(2a_{n-2})(3a_{n-1})\)

Jibu

\(\dfrac{1}{24},1,\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4},\dfrac{81}{4},\dfrac{2187}{8},\dfrac{531,441}{16}\)

32)\(a_1=-1,a_2=5, a_n=a_{n-2}(3-a_{n-1})\)

33)\(a_1=2,a_2=10, a_n=\frac{2(a_{n-1}+2)}{a_{n-2}}\)

Jibu

\(2,10,12,\dfrac{14}{5},\dfrac{4}{5},2,10,12\)

Kwa mazoezi 34-38, weka formula ya kujirudia kwa kila mlolongo.

34)\(-2.5,-5,-10,-20,-40,\ldots\)

35)\(-8,-6,-3,1,6,\ldots\)

Jibu

\(a_1=-8, a_n=a_{n-1}+n\)

36)\(2,4,12,48,240,\ldots\)

37)\(35,38,41,44,47,\ldots\)

Jibu

\(a_1=35, a_n=a_{n-1}+3\)

38)\(15,3,\dfrac{3}{5},\dfrac{3}{25},\dfrac{3}{125},\ldots\)

Kwa mazoezi 39-42, tathmini factorial.

39)\(6!\)

Jibu

\(720\)

40)\(\left ( \dfrac{12}{6} \right )!\)

41)\(\dfrac{12!}{6!}\)

Jibu

\(665,280\)

42)\(\dfrac{100!}{99!}\)

Kwa mazoezi 43-46, weka masharti manne ya kwanza ya mlolongo.

43)\(a_n=\dfrac{n!}{n^2}\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza: 1,\(\dfrac{1}{2}\),\(\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{3}{2}\)

44)\(a_n=\dfrac{3\cdot n!}{4\cdot n!}\)

45)\(a_n=\dfrac{n!}{n^2 - n - 1}\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza: -1, 2,\(\dfrac{6}{5}\),\(\dfrac{24}{11}\)

46)\(a_n=\dfrac{100\cdot n}{n(n-1)!}\)

Graphic

Kwa mazoezi 47-51, graph masharti tano ya kwanza ya mlolongo ulioonyeshwa

47)\(a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}+n\)

Jibu

48)\(a_n=\begin{cases} \dfrac{4+n}{2n} & \text{ if } n \text{ is even } \\ 3+n & \text{ if } \text{ if } n \text{ is odd } \end{cases}\)

49)\(a_1 = 2, a_n = (-a_{n-1} + 1)^2\)

Jibu

50)\(a_n = 1, a_n = a_{n-1} + 8\)

51)\(a_n=\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}\)

Jibu

Kwa mazoezi 52-54, weka formula wazi kwa mlolongo ukitumia pointi tano za kwanza zilizoonyeshwa kwenye grafu.

52)

53)

Jibu

\(a_n=2^{n-2}\)

54)

Kwa mazoezi 55-56, weka formula ya kujirudia kwa mlolongo kwa kutumia pointi tano za kwanza zilizoonyeshwa kwenye grafu.

55)

Jibu

\(a_1=6, a_n=2a_{n-1}-5\)

56)

Teknolojia

Fuata hatua hizi ili kutathmini mlolongo unaofafanuliwa mara kwa mara kwa kutumia calculator ya graphing:

• Kwenye skrini ya nyumbani, ufunguo katika thamani ya muda wa awali\(a_1\) na ubofye [INGIZA].
• Ingiza formula ya kujirudia kwa kuzingatia maadili yote ya nambari yaliyotolewa katika formula, pamoja na viboko muhimu [2ND] ANS kwa muda uliopita\(a_{n-1}\). Waandishi wa habari [INGIZA].
• Endelea kushinikiza [ENTER] ili uhesabu maadili kwa kila neno mfululizo.

Kwa mazoezi 57-61, tumia hatua zilizo juu ili kupata muda ulioonyeshwa au maneno ya mlolongo.

57) Kupata kwanza maneno tano ya mlolongo\(a_1=\dfrac{87}{111}\),\(a_n=\dfrac{4}{3}a_{n-1}+\dfrac{12}{37}\). Tumia kipengele cha > Frac kutoa matokeo ya sehemu.

Jibu

Masharti tano ya kwanza:\(\dfrac{29}{37},\dfrac{152}{111},\dfrac{716}{333},\dfrac{3188}{999},\dfrac{13724}{2997}\)

58) Pata\(15^{th}\) muda wa mlolongo\(a_1=625, a_n=0.8a_{n-1}+18\).

59) Pata masharti matano ya kwanza ya mlolongo\(a_1=2, a_n=2^{[(a_n-1)-1]}+1\).

Jibu

Masharti tano ya kwanza:\(2,3,5,17,65537\)

60) Pata masharti kumi ya kwanza ya mlolongo\(a_1=8, a_n=\frac{(a_{n-1}+1)!}{a_{n-1}!}\).

61) Pata muda wa kumi wa mlolongo\(a_1=2, a_n=na_{n-1}\).

Jibu

\(a_{10}=7,257,600\)

Fuata hatua hizi ili kutathmini mlolongo wa mwisho unaofafanuliwa na formula wazi. Kutumia TI-84, fanya zifuatazo.

• Katika skrini ya nyumbani, bonyeza [2ND] LIST.
• Tembea hadi OPS na uchague “seq (” kutoka kwenye orodha ya kushuka. Waandishi wa habari [INGIZA].
• Katika mstari unaoongozwa “Expr:” aina katika fomu iliyo wazi, ukitumia\([X,T,\theta ,n]\) kifungo\(n\)
• Katika mstari inaongozwa “Variable:” aina katika variable kutumika katika hatua ya awali.
• Katika mstari unaoongozwa “kuanza:” ufunguo kwa thamani ya n n  n kwamba huanza mlolongo.
• Katika mstari unaoongozwa “mwisho:” ufunguo kwa thamani ya n n  n kwamba mwisho mlolongo.
• Bonyeza [ENTER]\(3\) mara kurudi kwenye skrini ya nyumbani. Utaona syntax ya mlolongo kwenye skrini. Press [ENTER] kuona orodha ya maneno kwa mlolongo finite defined. Tumia ufunguo wa mshale wa kulia ili upate kupitia orodha ya maneno.

Kutumia TI-83, fanya zifuatazo.

• Katika skrini ya nyumbani, bonyeza [2ND] LIST.
• Tembea hadi OPS na uchague “seq (” kutoka kwenye orodha ya kushuka. Waandishi wa habari [INGIZA].
• Ingiza vitu ili “Expr”, “Variable”, “kuanza”, “mwisho” kutengwa na commas. Angalia maelekezo hapo juu kwa maelezo ya kila kitu.
• Press [ENTER] kuona orodha ya maneno kwa mlolongo finite defined. Tumia ufunguo wa mshale wa kulia ili upate kupitia orodha ya maneno.

Kwa mazoezi 62-66, tumia hatua zilizo juu ili kupata maneno yaliyoonyeshwa kwa mlolongo. Pande zote kwa karibu elfu wakati wa lazima.

62) Andika orodha ya kwanza ya mlolongo\(a_n=-\dfrac{28}{9}n+\dfrac{5}{3}\).

63) Andika orodha ya kwanza ya sita ya mlolongo\(a_n=\dfrac{n^3-3.5n^2+4.1n-1.5}{2.4n}\).

Jibu

Masharti sita ya kwanza:\(0.042,0.146,0.875,2.385,4.708\)

64) Andika orodha ya kwanza ya mlolongo\(a_n=\dfrac{15n\cdot (-2)^{n-1}}{47}\).

65) Orodha ya masharti manne ya kwanza ya mlolongo\(a_n=5.7^n+0.275(n-1)!\)

Jibu

Masharti manne ya kwanza:\(5.975,32.765,185.743,1057.25,6023.521\)

66) Andika orodha ya kwanza ya sita ya mlolongo\(a_n=\dfrac{n!}{n}\).

Upanuzi

67) Fikiria mlolongo inavyoelezwa na\(a_n=-6-8n\). Je\(a_n=-421\), ni neno katika mlolongo? Thibitisha matokeo.

Jibu

Ikiwa\(a_n=-421\) ni neno katika mlolongo, kisha kutatua equation\(-421=-6-8n\) kwa\(n\) itazalisha integer isiyo ya hasi. Hata hivyo, kama\(-421=-6-8n\), basi\(n=51.875\) hivyo\(a_n=-421\) si mrefu katika mlolongo.

68) Nini neno katika mlolongo\(a_n=\dfrac{n^2+4n+4}{2(n+2)}\) ina thamani\(41\)? Thibitisha matokeo.

69) Pata formula ya kujirudia kwa mlolongo\(1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1,\ldots\) (Kidokezo: tafuta mfano kwa\(a_n\) kuzingatia masharti mawili ya kwanza.)

Jibu

\(a_1=1, a_2=0, a_n=a_{n-1}-a_{n-2}\)

70) Tumia masharti nane ya kwanza ya utaratibu\(a_n=\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!}\) na\(b_n=n^3+3n^2+2n\), na kisha ufanye dhana kuhusu uhusiano kati ya utaratibu huu wawili.

71) Thibitisha dhana iliyofanywa katika zoezi la awali.

Jibu

\(\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!}=\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot (n)\cdot (n-1)\cdot \ldots 3\cdot 2\cdot 1}{(n-1)\cdot \ldots 3\cdot 2\cdot 1}=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n\)

11.2 Utaratibu wa Hesabu

Maneno

1) Mlolongo wa hesabu ni nini?

Jibu

Mlolongo ambapo kila muda mfululizo wa mlolongo huongezeka (au hupungua) kwa thamani ya mara kwa mara.

2) Je, tofauti ya kawaida ya mlolongo wa hesabu hupatikanaje?

3) Tunawezaje kuamua kama mlolongo ni hesabu?

Jibu

Tunaona kama tofauti kati ya maneno yote mfululizo ni sawa. Hii ni sawa na kusema kwamba mlolongo una tofauti ya kawaida.

4) Ni tofauti gani kuu kati ya kutumia formula ya kujirudia na kutumia formula wazi kuelezea mlolongo wa hesabu?

5) Eleza jinsi kazi za mstari na utaratibu wa hesabu zinafanana. Je, ni tofauti gani?

Jibu

Utaratibu wote wa hesabu na kazi za mstari zina kiwango cha mabadiliko ya mara kwa mara. Wao ni tofauti kwa sababu domains yao si sawa; kazi linear hufafanuliwa kwa namba zote halisi, na utaratibu wa hesabu hufafanuliwa kwa idadi ya asili au subset ya idadi ya asili.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-7, tafuta tofauti ya kawaida kwa mlolongo wa hesabu uliotolewa.

6)\(\left \{ 5,11,17,23,29,... \right \}\)

7)\(\left \{ 0,\dfrac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,... \right \}\)

Jibu

Tofauti ya kawaida ni\(\dfrac{1}{2}\)

Kwa mazoezi 8-9, onyesha kama mlolongo ni hesabu. Ikiwa ndivyo, tafuta tofauti ya kawaida.

8)\(\left \{ 11.4,9.3,7.2,5.1,3,... \right \}\)

9)\(\left \{ 4,16,64,256,1024,... \right \}\)

Jibu

Mlolongo sio hesabu kwa sababu\(16-4\neq 64-16\)

Kwa mazoezi 10-11, andika maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa hesabu kutokana na neno la kwanza na tofauti ya kawaida.

10)\(a_1=-25,d=-9\)

11)\(a_1=0,d=\dfrac{2}{3}\)

Jibu

\(0, \dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}, 2, \dfrac{8}{3}\)

Kwa mazoezi 12-13, andika maneno matano ya kwanza ya mfululizo wa hesabu iliyotolewa maneno mawili.

12)\(a_1=17, a_7=-31\)

13)\(a_{13}=-60, a_{33}=-160\)

Jibu

\(0,-5,-10,-15,-20\)

Kwa mazoezi 14-18, tafuta muda maalum kwa mlolongo wa hesabu kutokana na neno la kwanza na tofauti ya kawaida.

14) Neno la kwanza ni\(3\), tofauti ya kawaida ni\(4\), kupata\(5^{th}\) muda.

15) Neno la kwanza ni\(4\), tofauti ya kawaida ni\(5\), kupata\(4^{th}\) muda.

Jibu

\(a_4=19\)

16) Neno la kwanza ni\(5\), tofauti ya kawaida ni\(6\), kupata\(8^{th}\) muda.

17) Neno la kwanza ni\(6\), tofauti ya kawaida ni\(7\), kupata\(6^{th}\) muda.

Jibu

\(a_6=41\)

18) Neno la kwanza ni\(7\), tofauti ya kawaida ni\(8\), kupata\(7^{th}\) muda.

Kwa mazoezi 19-23, tafuta neno la kwanza lililopewa maneno mawili kutoka kwa mlolongo wa hesabu.

19) Kupata muda wa kwanza au\(a_1\) wa mlolongo hesabu kama\(a_6=12\) na\(a_{14}=28\).

Jibu

\(a_1=2\)

20) Kupata muda wa kwanza au\(a_1\) wa mlolongo hesabu kama\(a_7=21\) na\(a_{15}=42\).

21) Kupata muda wa kwanza au\(a_1\) wa mlolongo hesabu kama\(a_8=40\) na\(a_{123}=115\).

Jibu

\(a_1=5\)

22) Kupata muda wa kwanza au\(a_1\) wa mlolongo hesabu kama\(a_9=54\) na\(a_{17}=102\).

23) Kupata muda wa kwanza au\(a_1\) wa mlolongo hesabu kama\(a_{11}=11\) na\(a_{21}=16\).

Jibu

\(a_1=6\)

Kwa mazoezi 24-25, tafuta neno maalum lililopewa maneno mawili kutoka kwa mlolongo wa hesabu.

24)\(a_1=33\) na\(a_7=-15\). Kupata\(a_4\).

25)\(a_3=-17.1\) na\(a_{10}=-15.7\). Kupata\(a_{21}\).

Jibu

\(a_{21}=-13.5\)

Kwa mazoezi 26-27, tumia formula ya kujirudia kuandika maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa hesabu.

26)\(a_1=39; a_n=a_{n-1}-3\)

27)\(a_1=-19; a_n=a_{n-1}-1.4\)

Jibu

\(-19,-20.4,-21.8,-23.2,-24.6\)

Kwa mazoezi 28-37, weka formula ya kujirudia kwa kila mlolongo wa hesabu.

28)\(a=\left \{ 40,60,80,... \right \}\)

29)\(a=\left \{ 17,26,35,... \right \}\)

Jibu

\(a_1=17; a_n=a_{n-1}+9, n\geq 2\)

30)\(a=\left \{ -1,2,5,... \right \}\)

31)\(a=\left \{ 12,17,22,... \right \}\)

Jibu

\(a_1=12; a_n=a_{n-1}+5, n\geq 2\)

32)\(a=\left \{ -15,-7,1,... \right \}\)

33)\(a=\left \{ 8.9,10.3,11.7,... \right \}\)

Jibu

\(a_1=8.9; a_n=a_{n-1}+1.4, n\geq 2\)

34)\(a=\left \{ -0.52,-1.02,-1.52,... \right \}\)

35)\(a=\left \{ \dfrac{1}{5},\dfrac{9}{20},\dfrac{7}{10},... \right \}\)

Jibu

\(a_1=\dfrac{1}{5}; a_n=a_{n-1}+\dfrac{1}{4}, n\geq 2\)

36)\(a=\left \{ -\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{4},-2,... \right \}\)

37)\(a=\left \{ \dfrac{1}{6},-\dfrac{11}{12},-2,... \right \}\)

Jibu

\(a_1=\dfrac{1}{6}; a_n=a_{n-1}-\dfrac{13}{12}, n\geq 2\)

Kwa mazoezi 38-40, weka formula ya kujirudia kwa mlolongo uliopewa wa hesabu, na kisha upate muda maalum.

38)\(a=\left \{ 7, 4, 1, ... \right \}\); Pata\(17^{th}\) neno.

39)\(a=\left \{ 4, 11, 18, ... \right \}\); Pata\(14^{th}\) neno.

Jibu

\(a_1=4; a_n=a_{n-1}+7, a_{14}=95\)

40)\(a=\left \{ 2, 6, 10, ... \right \}\); Pata\(12^{th}\) neno.

Kwa mazoezi 41-42, tumia formula wazi kuandika maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa hesabu.

41)\(a_n=24-4n\)

Jibu

Masharti tano ya kwanza:\(20,16,12,8,4\).

42)\(a_n=\dfrac{1}{2}n-\dfrac{1}{2}\)

Kwa mazoezi 43-52, weka formula wazi kwa kila mlolongo wa hesabu.

43)\(a=\left \{ 3,5,7, ... \right \}\)

Jibu

\(a_n=1+2n\)

44)\(a=\left \{ 32,24,16,... \right \}\)

45)\(a=\left \{ -5, 95, 195, ... \right \}\)

Jibu

\(a_n=-105+100n\)

46)\(a=\left \{ -17, -217, -417,... \right \}\)

47)\(a=\left \{ 1.8, 3.6, 5.4, ... \right \}\)

Jibu

\(a_n=1.8n\)

48)\(a=\left \{ -18.1,-16.2,-14.3,... \right \}\)

49)\(a=\left \{ 15.8,18.5,21.2,... \right \}\)

Jibu

\(a_n=13.1+2.7n\)

50)\(a=\left \{ \dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3},-3,... \right \}\)

51)\(a=\left \{ 0,\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},... \right \}\)

Jibu

\(a_n=\dfrac{1}{3}n-\dfrac{1}{3}\)

52)\(a=\left \{ -5,-\dfrac{10}{3},-\dfrac{5}{3},... \right \}\)

Kwa mazoezi 53-55, pata idadi ya maneno katika mlolongo wa mwisho wa hesabu.

53)\(a=\left \{ 3,-4,-11, ...,-60 \right \}\)

Jibu

Kuna\(10\) maneno katika mlolongo.

54)\(a=\left \{ 1.2,1.4,1.6,...,3.8 \right \}\)

55)\(a=\left \{ \dfrac{1}{2},2,\dfrac{7}{2},...,8 \right \}\)

Jibu

Kuna\(6\) maneno katika mlolongo.

Graphic

Kwa mazoezi 56-57, onyesha kama grafu iliyoonyeshwa inawakilisha mlolongo wa hesabu.

56)

57)

Jibu

Grafu haiwakilishi mlolongo wa hesabu.

Kwa mazoezi 58-60, tumia taarifa iliyotolewa kwa grafu masharti 5 ya kwanza ya mlolongo wa hesabu.

58)\(a_1=0,d=4\)

59)\(a_1=9,a_n=a_{n-1}-10\)

Jibu

60)\(a_n=-12+5n\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 61-63, fuata hatua za kufanya kazi na mlolongo wa hesabu kwa\(a_n=3n-2\) kutumia calculator ya graphing:

• Bonyeza [MODE]
  • Chagua SEQ katika mstari wa nne
  • Chagua DOT katika mstari wa tano
  • Waandishi wa habari [INGIZA]
• Waandishi wa habari [Y=]
  • \(n\text{Min}\)ni namba ya kwanza ya kuhesabu kwa mlolongo. Kuweka\(n\text{Min}=1\)
  • \(u(n\)ni mfano wa mlolongo. Kuweka\(u(n)=3n-2\)
  • \(u(n\text{Min})\)ni namba ya kwanza katika mlolongo. Kuweka\(u(n\text{Min})=1\)
• Bonyeza [2ND] kisha [WINDOW] kwenda TBLSET
  • Kuweka\(\text{TblStart}=1\)
  • Kuweka\(\Delta \text{Tbl}=1\)
  • Weka Indpnt: Auto na Kutegemea: Auto
• Bonyeza [2ND] kisha [GRAPH] kwenda TABLE

61) Masharti saba ya kwanza yameonyeshwa kwenye safu na kichwa\(u(n)\)?

Jibu

\(1,4,7,10,13,16,19\)

62) Tumia mshale wa chini wa kitabu ili uende\(n=50\).Ni thamani gani inayotolewa\(u(n)\)?

63) Vyombo vya habari [WINDOW]. Weka\(n\text{Min}=1, n\text{Max}=5, x\text{Min}=0, x\text{Max}=6, y\text{Min}=-1, y\text{Max}=14\). Kisha waandishi wa habari [GRAPH]. Grafu mlolongo kama inaonekana kwenye calculator graphing.

Jibu

Kwa mazoezi 64-65, fuata hatua zilizotolewa hapo juu ili kufanya kazi na mlolongo wa hesabu\(a_n=\dfrac{1}{2}n+5\) kwa kutumia calculator ya graphing.

64) Masharti saba ya kwanza yameonyeshwa kwenye safu na kichwa\(u(n)\) katika kipengele cha TABLE?

65) Graph mlolongo kama inaonekana kwenye calculator graphing. Hakikisha kurekebisha mipangilio ya WINDOW kama inahitajika.

Jibu

Upanuzi

66) Kutoa mifano miwili ya utaratibu wa hesabu ambao\(4^{th}\) maneno yake ni\(9\).

67) Kutoa mifano miwili ya utaratibu wa hesabu ambao\(10^{th}\) maneno yake ni\(206\).

Jibu

Majibu yatatofautiana. mifano:\(a_n=20.6n\) na\(a_n=2+20.4n\).

68) Pata\(5^{th}\) muda wa mlolongo wa hesabu\(\left \{ 9b,5b,b, ... \right \}\).

69) Kupata\(11^{th}\) term of the arithmetic sequence \(\left \{ 3a-2b,a+2b,-a+6b ... \right \}\)

Jibu

\(a_{11}=-17a+38b\)

70) Je, mlolongo\(\left \{ 5.4,14.5,23.6,... \right \}\) unazidi muda gani\(151\)?

71) Kwa muda gani mlolongo\(\left \{ \dfrac{17}{3},\dfrac{31}{6},\dfrac{14}{3},... \right \}\) huanza kuwa na maadili hasi?

Jibu

Mlolongo huanza kuwa na maadili hasi kwa\(13^{th}\) muda,\(a_{13}=-\dfrac{1}{3}\)

72) Kwa maneno gani mlolongo wa hesabu wa mwisho\(\left \{ \dfrac{5}{2},\dfrac{19}{8},\dfrac{9}{4},...,\dfrac{1}{8} \right \}\) una maadili ya integer?

73) Andika mlolongo wa hesabu kwa kutumia formula ya kujirudia. Onyesha\(4\) maneno ya kwanza, na kisha upate\(31^{st}\) muda.

Jibu

Majibu yatatofautiana. Angalia ili uone kwamba mlolongo ni hesabu. Mfano: formula ya kujirudia:\(a_1=3,a_n=a_{n-1}-3\). \(4\)Masharti ya kwanza:\(3,0,-3,-6, a_{31}=-87\)

74) Andika mlolongo wa hesabu kwa kutumia formula wazi. Onyesha\(4\) maneno ya kwanza, na kisha upate\(28^{th}\) muda.

11.3 Utaratibu wa kijiometri

Maneno

1) Mlolongo wa kijiometri ni nini?

Jibu

Mlolongo ambao uwiano kati ya maneno yoyote mawili mfululizo ni mara kwa mara.

2) Uwiano wa kawaida wa mlolongo wa kijiometri hupatikanaje?

3) Nini utaratibu wa kuamua kama mlolongo ni kijiometri?

Jibu

Gawanya kila neno katika mlolongo kwa muda uliopita. Ikiwa quotients zinazosababisha ni sawa, basi mlolongo ni kijiometri.

4) Ni tofauti gani kati ya mlolongo wa hesabu na mlolongo wa kijiometri?

5) Eleza jinsi kazi za kielelezo na utaratibu wa kijiometri zinafanana. Je, ni tofauti gani?

Jibu

Utaratibu wote wa kijiometri na kazi za kielelezo zina uwiano wa mara kwa mara. Hata hivyo, nyanja zao si sawa. Kazi za kielelezo zinafafanuliwa kwa namba zote halisi, na utaratibu wa kijiometri hufafanuliwa tu kwa integers nzuri. Tofauti nyingine ni kwamba msingi wa mlolongo wa kijiometri (uwiano wa kawaida) unaweza kuwa hasi, lakini msingi wa kazi ya kielelezo lazima iwe chanya.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-8, pata uwiano wa kawaida kwa mlolongo wa kijiometri.

6)\(1,3,9,27,81,...\)

7)\(-0.125,0.25,-0.5,1,-2,...\)

Jibu

Uwiano wa kawaida ni\(-2\)

8)\(-2,-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{8},-\dfrac{1}{32},-\dfrac{1}{128},...\)

Kwa mazoezi 9-13, onyesha kama mlolongo ni kijiometri. Ikiwa ndivyo, pata uwiano wa kawaida.

9)\(-6,-12,-24,-48,-96,...\)

Jibu

Mlolongo ni kijiometri. Uwiano wa kawaida ni\(2\).

10)\(5,5.2,5.4,5.6,5.8,...\)

11)\(-1,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},-\dfrac{1}{16},...\)

Jibu

Mlolongo ni kijiometri. Uwiano wa kawaida ni\(-\dfrac{1}{2}\).

12)\(6,8,11,15,20,...\)

13)\(0.8,4,20,100,500,...\)

Jibu

Mlolongo ni kijiometri. Uwiano wa kawaida ni\(5\).

Kwa mazoezi 14-15, andika maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa kijiometri, kutokana na muda wa kwanza na uwiano wa kawaida.

14)\(a_1=8,r=0.3\)

15)\(a_1=5,r=\dfrac{1}{5}\)

Jibu

\(5,1,\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{25},\dfrac{1}{125}\)

Kwa mazoezi 16-17, weka maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa kijiometri, kutokana na maneno mawili.

16)\(a_7=64, a_{10}=512\)

17)\(a_6=25, a_8=6.25\)

Jibu

\(800,400,200,100,50\)

Kwa mazoezi 18-19, tafuta muda maalum kwa mlolongo wa kijiometri, kutokana na muda wa kwanza na uwiano wa kawaida.

18) Muda wa kwanza ni\(2\), na uwiano wa kawaida ni\(3\). Pata\(5^{th}\) neno.

19) Muda wa kwanza ni\(16\) na uwiano wa kawaida ni\(-\dfrac{1}{3}\). Pata\(4^{th}\) neno.

Jibu

\(a_4=-\dfrac{16}{27}\)

Kwa mazoezi 20-21, tafuta muda maalum kwa mlolongo wa kijiometri, kutokana na masharti manne ya kwanza.

20)\(a_n=\left \{ -1,2,-4,8,... \right \}\). Kupata\(a_{12}\).

21)\(a_n=\left \{ -2,\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{9},\dfrac{2}{27},... \right \}\). Kupata\(a_7\).

Jibu

\(a_7=-\dfrac{2}{729}\)

Kwa mazoezi 22-23, andika maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa kijiometri.

22)\(a_1=-486, a_n=-\dfrac{1}{3}a_{n-1}\)

23)\(a_1=7, a_n=0.2a_{n-1}\)

Jibu

\(7,1.4,0.28,0.056,0.0112\)

Kwa mazoezi 24-31, weka formula ya kujirudia kwa kila mlolongo wa kijiometri.

24)\(a_n=\left \{ -1,5,-25,125,... \right \}\)

25)\(a_n=\left \{ -32,-16,-8,-4,... \right \}\)

Jibu

\(a_1=-32, a_n=\dfrac{1}{2}a_{n-1}\)

26)\(a_n=\left \{ 14,56,224,896,... \right \}\)

27)\(a_n=\left \{ 10,-3,0.9,-0.27,... \right \}\)

Jibu

\(a_1=10, a_n=-0.3a_{n-1}\)

28)\(a_n=\left \{ 0.61,1.83,5.49,16.47,... \right \}\)

29)\(a_n=\left \{ \dfrac{3}{5},\dfrac{1}{10},\dfrac{1}{60},\dfrac{1}{360},... \right \}\)

Jibu

\(a_1=\dfrac{3}{5}, a_n=\dfrac{1}{26}a_{n-1}\)

30)\(a_n=\left \{ -2,\dfrac{4}{3},-\dfrac{8}{9},\dfrac{16}{27},... \right \}\)

31)\(a_n=\left \{ \dfrac{1}{512},-\dfrac{1}{128},\dfrac{1}{32},-\dfrac{1}{8},... \right \}\)

Jibu

\(a_1=\dfrac{1}{512}, a_n=-4a_{n-1}\)

Kwa mazoezi 32-33, andika maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa kijiometri.

32)\(a_n=-4\cdot 5^{n-1}\)

33)\(a_n=12\cdot \left ( -\dfrac{1}{2} \right )^{n-1}\)

Jibu

\(12,-2,3,-\dfrac{3}{2} ,\dfrac{3}{4}\)

Kwa mazoezi 34-41, weka formula wazi kwa kila mlolongo wa kijiometri.

34)\(a_n=\left \{ -2,-4,-8,-16,... \right \}\)

35)\(a_n=\left \{ 1,3,9,27,... \right \}\)

Jibu

\(a_n=3^{n-1}\)

36)\(a_n=\left \{ -4,-12,-36,-108,... \right \}\)

37)\(a_n=\left \{ 0.8,-4,20,-100,... \right \}\)

Jibu

\(a_n=0.8\cdot (-5)^{n-1}\)

38)\(a_n=\left \{ -1.25,-5,-20,-80,... \right \}\)

39)\(a_n=\left \{ -1,-\dfrac{4}{5},-\dfrac{16}{25},-\dfrac{64}{125},... \right \}\)

Jibu

\(a_n=-\left ( \dfrac{4}{5} \right )^{n-1}\)

40)\(a_n=\left \{ 2,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{18},\dfrac{1}{108},... \right \}\)

41)\(a_n=\left \{ 3,-1,\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{9},... \right \}\)

Jibu

\(a_n=3\cdot \left ( -\dfrac{1}{3} \right )^{n-1}\)

Kwa mazoezi 42-43, tafuta muda maalum kwa mlolongo wa kijiometri uliotolewa.

42) Hebu\(a_1=4\),\(a_n=-3a_{n-1}\). Kupata\(a_8\).

43) Hebu\(a_n=-\left ( -\dfrac{1}{3} \right )^{n-1}\). Kupata\(a_{12}\).

Jibu

\(a_{12}=\dfrac{1}{177,147}\)

Kwa mazoezi 44-45, pata idadi ya maneno katika mlolongo wa kijiometri uliotolewa.

44)\(a_n=\left \{ -1,3,-9,...,2187 \right \}\)

45)\(a_n=\left \{ 2,1,\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{1024} \right \}\)

Jibu

Kuna\(12\) maneno katika mlolongo.

Graphic

Kwa mazoezi 46-47, onyesha kama grafu iliyoonyeshwa inawakilisha mlolongo wa kijiometri.

46)

47)

Jibu

Grafu haiwakilishi mlolongo wa kijiometri.

Kwa mazoezi 48-50, tumia taarifa iliyotolewa kwa grafu maneno tano ya kwanza ya mlolongo wa kijiometri.

48)\(a_1=1, r=\dfrac{1}{2}\)

49)\(a_1=3, a_n=2a_{n-1}\)

Jibu

50)\(a_n=27\cdot 0.3^{n-1}\)

Upanuzi

51) Tumia fomu za kujirudia kutoa mifano miwili ya utaratibu wa kijiometri ambao\(3^{rd}\) maneno yake ni\(200\).

Jibu

Majibu yatatofautiana. Mifano:\(a_1=800, a_n=0.5a_{n-1}\) na\(a_1=12.5, a_n=4a_{n-1}\)

52) Tumia formula wazi kutoa mifano miwili ya utaratibu wa kijiometri ambao\(7^{th}\) maneno yake ni\(1024\).

53) Pata\(5^{th}\) muda wa mlolongo wa kijiometri\(\left \{ b,4b,16b,... \right \}\).

Jibu

\(a_5=256b\)

54) Pata\(7^{th}\) muda wa mlolongo wa kijiometri\(\left \{ 64a(-b),32a(-3b),16a(-9b),... \right \}\).

55) Je, mlolongo\(\left \{ 10,12,14.4,17.28, ... \right \}\) unazidi muda gani\(100\)?

Jibu

Mlolongo\(100\) unazidi kwa\(14^{th}\) muda,\(a_{14} \approx 107\).

56) Kwa muda gani mlolongo\(\left \{ \dfrac{1}{2187},\dfrac{1}{729},\dfrac{1}{243},\dfrac{1}{81}, ... \right \}\) huanza kuwa na maadili ya integer?

57) Kwa muda gani mlolongo wa kijiometri\(a_n=-36\left (\dfrac{2}{3} \right )^{n-1}\) kwanza una thamani isiyo ya integer?

Jibu

\(a_4=-\dfrac{32}{3}\)

58) Tumia formula ya kurudia kuandika mlolongo wa kijiometri ambao uwiano wa kawaida ni integer. Onyesha masharti manne ya kwanza, na kisha upate\(10^{th}\) muda.

59) Tumia formula wazi kuandika mlolongo wa kijiometri ambao uwiano wa kawaida ni nambari ya decimal kati\(0\) na\(1\). Onyesha\(4\) maneno ya kwanza, na kisha upate\(8^{th}\) muda.

Jibu

Majibu yatatofautiana. Mfano: Fomu wazi na uwiano wa kawaida wa decimal:\(a_n=400\cdot 0.5^{n-1}\);\(4\) Masharti ya kwanza:\(400,200,100,50; a_8=3.125\)

60) Je, inawezekana kwa mlolongo kuwa hesabu na kijiometri? Ikiwa ndivyo, fanya mfano.

11.4 Mfululizo na Nukuu zao

Maneno

1) Jumla ya\(n\text{th} \) sehemu ni nini?

Jibu

Jumla ya\(n\text{th} \) sehemu ni jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mlolongo.

2) Ni tofauti gani kati ya mlolongo wa hesabu na mfululizo wa hesabu?

3) Mfululizo wa kijiometri ni nini?

Jibu

Mfululizo wa kijiometri ni jumla ya maneno katika mlolongo wa kijiometri.

4) Je, ni kutafuta jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri tofauti na kutafuta jumla ya\(n\text{th} \) sehemu?

5) annuity ni nini?

Jibu

Annuity ni mfululizo wa malipo ya kawaida sawa ambayo hupata maslahi ya mara kwa mara.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-9, onyesha kila maelezo ya jumla kwa kutumia maelezo ya muhtasari.

6) Jumla ya maneno\(m^2+3m\) kutoka\(m=1\) kwa\(m=5\).

7) Jumla kutoka\(n=0\) kwa\(n=4\) ya\(5n\)

Jibu

\(\displaystyle \sum_{n=0}^{4}5n\)

8) Jumla ya\(6k-5\) kutoka\(k=-2\) kwa\(k-1\)

9) Jumla ambayo inatokana na kuongeza namba mara\(4\) tano

Jibu

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}4\)

Kwa mazoezi 10-12, onyesha kila jumla ya hesabu kwa kutumia notation summation.

10)\(5+10+15+20+25+30+35+40+45+50\)

11)\(10+18+26+\ldots +162\)

Jibu

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{20} 8k+2\)

12)\(\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{3}{2}+2+\ldots +4\)

Kwa mazoezi 13-15, tumia formula kwa jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya kila mlolongo wa hesabu.

13)\(\dfrac{3}{2}+2+\dfrac{5}{2}+3+\dfrac{7}{2}\)

Jibu

\(S_5=\dfrac{5\left ( \tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2} \right )}{2}\)

14)\(19+25+31+\ldots +73\)

15)\(3.2+3.4+3.6+\ldots +5.6\)

Jibu

\(S_{13}=\dfrac{13\left ( 3.2+5.6 \right )}{2}\)

Kwa mazoezi 16-18, onyesha kila jumla ya kijiometri kwa kutumia notation summation.

16)\(1+3+9+27+81+243+729+2187\)

17)\(8+4+2+\ldots +0.125\)

Jibu

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{7}8\cdot 0.5^{k-1}\)

18)\(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{24}+\ldots +\dfrac{1}{768}\)

Kwa mazoezi 19-21, tumia formula kwa jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya kila mlolongo wa kijiometri, na kisha ueleze jumla iliyoonyeshwa.

19)\(9+3+1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\)

Jibu

\(S_5=\dfrac{9\left ( 1-\left (\tfrac{1}{3} \right )^5 \right )}{1-\tfrac{1}{3}}=\dfrac{121}{9}\approx 13.44\)

20)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{9}5\cdot 2^{n-1}\)

21)\(\displaystyle \sum_{a=1}^{11}64\cdot 0.2^{a-1}\)

Jibu

\(S_{11}=\dfrac{64(1-0.2^{11})}{1-0.2}=\dfrac{781,249,984}{9,765,625}\approx 80\)

Kwa mazoezi 22-25, onyesha kama mfululizo usio na kipimo una jumla. Ikiwa ndivyo, weka fomu kwa jumla. Ikiwa sio, sema sababu.

22)\(12+18+24+30+\ldots\)

23)\(2+1.6+1.28+1.024+\ldots\)

Jibu

Mfululizo hufafanuliwa. \(S=\dfrac{2}{1-0.8}\)

24)\(\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty }4^{m-1}\)

25)\(\sum_{\infty }^{k=1} -\left ( -\frac{1}{2} \right )^{k-1}\)

Jibu

Mfululizo hufafanuliwa. \(S=\dfrac{-1}{1-\left ( -\tfrac{1}{2} \right )}\)

Graphic

Kwa mazoezi 26-27, tumia hali ifuatayo. Javier hufanya amana za kila mwezi katika akaunti ya akiba. Alifungua akaunti na amana ya awali ya\(\$50\). Kila mwezi baada ya hapo yeye kuongezeka awali amana kiasi na\(\$20\).

26) Grafu mlolongo wa hesabu kuonyesha mwaka mmoja wa amana za Javier.

27) Grafu mfululizo wa hesabu unaonyesha kiasi cha kila mwezi cha mwaka mmoja wa amana za Javier.

Jibu

Kwa mazoezi 28-29, tumia mfululizo wa kijiometri \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\left ( \dfrac{1}{2} \right )^k\)

28) Graph jumla ya\(7\) sehemu ya kwanza ya mfululizo.

29) Ni nambari gani\(S_n\) inayoonekana inakaribia kwenye grafu? Kupata jumla ya kueleza kwa nini hii mantiki.

Jibu

Jibu la sampuli: Grafu ya\(S_n\) inaonekana inakaribia\(1\). Hii mantiki kwa sababu\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\left ( \dfrac{1}{2} \right )^k\) ni defined usio kijiometri mfululizo na\(S=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\left ( \tfrac{1}{2} \right )}=1\).

Numeric

Kwa mazoezi 30-33, pata jumla iliyoonyeshwa.

30)\(\displaystyle \sum_{a=1}^{14}a\)

31)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{6}n(n-2)\)

Jibu

\(49\)

32)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{17}k^2\)

33)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{7}2^k\)

Jibu

\(254\)

Kwa mazoezi 34-37, tumia formula kwa jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya mfululizo wa hesabu ili kupata jumla.

34)\(-1.7+-0.4+0.9+2.2+3.5+4.8\)

35)\(6+\dfrac{15}{2}+9+\dfrac{21}{2}+12+\dfrac{27}{2}+15\)

Jibu

\(S_7=\dfrac{147}{2}\)

36)\(-1+3+7+\ldots +31\)

37)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{11}\left ( \dfrac{k}{2}-\dfrac{1}{2} \right )\)

Jibu

\(S_{11}=\dfrac{55}{2}\)

Kwa mazoezi 38-41, tumia formula kwa jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri ili kupata jumla ya sehemu.

38)\(S_6\) kwa mfululizo\(-2-10-50-250\ldots\)

39)\(S_7\) kwa mfululizo\(0.4-2+10-50\ldots\)

Jibu

\(S_7=5208.4\)

40)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{9}2^{k-1}\)

41)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{10}-2\cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{n-1}\)

Jibu

\(S_{10}=-\dfrac{1023}{256}\)

Kwa mazoezi 42-45, pata jumla ya mfululizo wa kijiometri usio na kipimo.

42)\(4+2+1+\dfrac{1}{2}+\ldots\)

43)\(-1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{64}\ldots\)

Jibu

\(S=-\dfrac{4}{3}\)

44)\(\sum_{\infty }^{k=1}3\cdot \left ( \dfrac{1}{4} \right )^{k-1}\)

45)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }4.6\cdot 0.5^{n-1}\)

Jibu

\(S=9.2\)

Kwa mazoezi 46-49, tambua thamani ya annuity kwa kiasi cha amana ya kila mwezi kilichoonyeshwa, idadi ya amana, na kiwango cha riba.

46) Amana kiasi:\(\$50\); jumla ya amana:\(60\); riba:\(5\%\), imezungukwa kila mwezi

47) Amana kiasi:\(\$150\); jumla ya amana:\(24\); riba:\(3\%\), imezungukwa kila mwezi

Jibu

\(\$3705.42\)

48) Amana kiasi:\(\$450\); jumla ya amana:\(60\); riba:\(4.5\%\), imezungukwa robo mwaka

49) Amana kiasi:\(\$100\); jumla ya amana:\(120\); riba:\(10\%\), imezungukwa nusu kila mwaka

Jibu

\(\$695,823.97\)

Upanuzi

50) Jumla ya maneno\(50-k^2\) kutoka kwa\(k=x\) njia\(7\) ya ni\(115\). Ni nini\(x\)?

51) Andika formula wazi kwa\(a_k\) vile vile\(\displaystyle \sum_{k=0}^{6}a_k=189\). Fikiria hii ni mfululizo wa hesabu.

Jibu

\(a_k=30-k\)

52) Kupata thamani ndogo ya\(n\) vile kwamba\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k-5)>100\).

53) Ni maneno ngapi yanapaswa kuongezwa kabla ya mfululizo\(-1-3-5-7\ldots\) una jumla chini ya\(-75\)?

Jibu

\(9\)masharti

54) Andika\(0.\overline{65}\) kama mfululizo usio na kipimo wa kijiometri kwa kutumia maelezo ya muhtasari. Kisha utumie fomu ya kutafuta jumla ya mfululizo usio na kijiometri\(0.\overline{65}\) ili kubadilisha kwa sehemu.

55) Jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri ni mara tano thamani ya muda wa kwanza. Uwiano wa kawaida wa mfululizo ni nini?

Jibu

\(r=\dfrac{4}{5}\)

56) Ili kupata viwango bora vya mkopo inapatikana, Riches wanataka kuokoa fedha za kutosha kuweka\(20\%\) chini ya\(\$160,000\) nyumba. Wao mpango wa kufanya amana ya kila mwezi ya\(\$125\) katika akaunti ya uwekezaji ambayo inatoa maslahi ya\(8.5\%\) kila mwaka imezungukwa nusu kila mwaka. Je, utajiri na kutosha kwa ajili ya malipo ya\(20\%\) chini baada ya miaka mitano ya kuokoa? Wataokoa kiasi gani cha fedha?

57) Karl ana miaka miwili ya kuokoa\(\$10,000\) kununua gari iliyotumiwa wakati anahitimu. Kwa dola ya karibu, amana zake za kila mwezi zinahitajika kuwa nini ikiwa anawekeza katika akaunti kutoa kiwango cha riba ya\(4.2\%\) kila mwaka ambayo huchanganya kila mwezi?

Jibu

\(\$400\)kwa mwezi

Real-World Matumizi

58) Keisha alitengeneza mpango wa utafiti wa wiki nzima kujiandaa kwa ajili ya fainali. Siku ya kwanza, ana mpango wa kujifunza kwa\(1\) saa, na kila siku mfululizo ataongeza muda wake wa kujifunza kwa\(30\) dakika. Keisha amejifunza masaa ngapi baada ya wiki moja?

59) Boulder akavingirisha chini ya mlima, kusafiri miguu 6 katika pili ya pili. Kila pili ya pili, umbali wake uliongezeka kwa\(8\) miguu. Je! Boulder ilisafiri mbali gani baada ya\(10\) sekunde?

Jibu

\(420\)miguu

60) Mwanasayansi huweka\(50\) seli katika sahani ya petri. Kila saa, idadi ya watu huongezeka kwa\(1.5\%\). Je, hesabu ya seli itakuwa nini baada ya\(1\) siku?

61) Pendulum husafiri umbali wa\(3\) miguu juu ya swing yake ya kwanza. Katika kila swing mfululizo, husafiri umbali\(\dfrac{3}{4}\) wa swing uliopita. Je! Umbali wa jumla uliosafiri na pendulum unapoacha kugeuza?

Jibu

\(12\)miguu

62) Rachael amana\(\$1,500\) katika mfuko wa kustaafu kila mwaka. Mfuko hupata riba ya\(8.2\%\) kila mwaka, imezungukwa kila mwezi. Ikiwa alifungua akaunti yake alipokuwa na umri wa\(19\) miaka, atakuwa na kiasi gani wakati atakapokuwa\(55\)? Kiasi gani cha kiasi kwamba itakuwa riba chuma?

Kanuni za Kuhesabu 11.5

Maneno

Kwa mazoezi 1-2, kudhani kuwa kuna\(n\) njia tukio\(A\) linaweza kutokea,\(m\) njia tukio\(B\) linaweza kutokea, na kwamba\(A\) na\(B\) sio kuingiliana.

1) Tumia Kanuni ya Kuongeza ya kuhesabu ili kuelezea jinsi njia nyingi tukio\(A\) au\(B\) linaweza kutokea.

Jibu

Kuna\(m+n\) njia za tukio\(A\) au tukio\(B\) kutokea.

2) Tumia Kanuni ya Kuzidisha ya kuhesabu ili kuelezea jinsi njia nyingi tukio\(A\) na\(B\) linaweza kutokea.

Jibu maswali 3-5.

3) Tunapopewa matukio mawili tofauti, tunajuaje kama tutatumia Kanuni ya Kuongeza au Kanuni ya Kuzidisha wakati wa kuhesabu matokeo iwezekanavyo? Je, ni ushirikiano gani unaweza kusaidia kuamua ni shughuli gani za kutumia?

Jibu

Kanuni ya kuongeza inatumika wakati wa kuamua jumla ya uwezekano wa matokeo ya tukio lolote linalotokea. Kanuni ya kuzidisha hutumiwa wakati wa kuamua matokeo ya jumla ya matukio yote yanayotokea. Neno “au” kwa kawaida linamaanisha tatizo la kuongeza. Neno “na” kwa kawaida linamaanisha tatizo la kuzidisha.

4) Eleza jinsi vibali vya\(n\) vitu vinatofautiana na vibali vya kuchagua\(r\) vitu kutoka kwa seti ya\(n\) vitu. Jumuisha jinsi kila mmoja anavyohesabiwa.

5) Je! Ni neno gani la utaratibu\(r\) unaochagua vitu kutoka kwa seti ya\(n\) vitu wakati utaratibu wa\(r\) vitu sio muhimu? Nini formula ya kuhesabu idadi ya matokeo iwezekanavyo kwa aina hii ya utaratibu?

Jibu

Mchanganyiko;\(C(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}\)

Numeric

Kwa mazoezi 6-14, onyesha kama utatumia Kanuni ya Kuongeza au Kanuni ya Kuzidisha. Kisha fanya mahesabu.

6) Hebu kuweka\(A=\left \{ -5,-3,-1,2,3,4,5,6 \right \}\). Kuna njia ngapi za kuchagua hasi au hata nambari kutoka\(A\)?

7) Hebu kuweka\(B=\left \{ -23,-16,-7,-2,20,36,48,72 \right \}\). Kuna njia ngapi za kuchagua chanya au nambari isiyo ya kawaida kutoka\(A\)?

Jibu

\(4+2=6\)

8) Kuna njia ngapi za kuchukua ace nyekundu au klabu kutoka kwenye staha ya kawaida ya kucheza kadi?

9) Kuna njia ngapi za kuchukua rangi ya rangi kutoka kwenye\(5\) vivuli vya kijani,\(4\) vivuli vya bluu, au\(7\) vivuli vya njano?

Jibu

\(5+4+7=16\)

10) Jinsi matokeo mengi yanawezekana kutoka tossing jozi ya sarafu?

11) Jinsi matokeo mengi yanawezekana kutoka tossing sarafu na rolling\(6\) -upande mmoja kufa?

Jibu

\(2\times 6=12\)

12) Ni ngapi kamba mbili za barua - barua ya kwanza kutoka\(A\) na barua ya pili kutoka\(B\) - inaweza kuundwa kutoka kwa seti\(A=\left \{ b,c,d \right \}\) na\(B=\left \{ a,e,i,o,u \right \}\)?

13) Kuna njia ngapi za kujenga kamba ya\(3\) tarakimu ikiwa namba zinaweza kurudiwa?

Jibu

\(10^3=1000\)

14) Kuna njia ngapi za kujenga kamba ya\(3\) tarakimu ikiwa namba haziwezi kurudiwa?

Kwa mazoezi 15-24, compute thamani ya kujieleza.

15)\(P(5,2)\)

Jibu

\(P(5,2)=20\)

16)\(P(8,4)\)

17)\(P(3,3)\)

Jibu

\(P(3,3)=6\)

18)\(P(9,6)\)

19)\(P(11,5)\)

Jibu

\(P(11,5)=55,440\)

20)\(C(8,5)\)

21)\(C(12,4)\)

Jibu

\(C(12,4)=495\)

22)\(C(26,3)\)

23)\(C(7,6)\)

Jibu

\(C(7,6)=7\)

24)\(C(10,3)\)

Kwa mazoezi 25-29, pata idadi ya subsets katika kila seti iliyotolewa.

25)\(\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right \}\)

Jibu

\(2^{10}=1024\)

26)\(\left \{ a,b,c,\ldots ,z \right \}\)

27) Seti iliyo na namba\(5\)\(4\) tofauti, barua tofauti, na alama\(3\) tofauti

Jibu

\(2^{12}=4096\)

28) Seti ya idadi hata kutoka\(2\)\(28\)

29) Seti ya namba mbili za tarakimu kati\(1\) na\(100\) zenye tarakimu\(0\)

Jibu

\(2^{9}=512\)

Kwa mazoezi 30-34, pata idadi tofauti ya mipango.

30) Barua katika neno “juggernaut”

31) Barua katika neno “wasomi”

Jibu

\(\dfrac{8!}{3!}=6720\)

32) barua katika neno “academia” kwamba kuanza na mwisho katika “”

33) alama katika kamba\(\#,\#,\#,@,@,\$,\$,\$,\%,\%,\%,\%\)

Jibu

\(\dfrac{12!}{3!2!3!4!}\)

34) alama katika kamba\(\#,\#,\#,@,@,\$,\$,\$,\%,\%,\%,\%\) inayoanza na kuishia na “\(\%\)”

Upanuzi

35) Seti,\(S\) ina idadi\(900,000,000\) nzima, kila mmoja kuwa idadi sawa ya tarakimu kwa muda mrefu. Ni tarakimu ngapi kwa muda mrefu ni nambari kutoka\(S\)? (Kidokezo: tumia ukweli kwamba namba nzima haiwezi kuanza na tarakimu\(0\).)

Jibu

\(9\)

36) Idadi ya\(5\) vipengele vya kipengele kutoka kwenye seti iliyo na n n  n vipengele ni sawa na idadi ya subsets 6-kipengele kutoka seti moja. Thamani ya\(n\) nini? (Kidokezo: utaratibu ambao vipengele vya subsets huchaguliwa sio muhimu.)

37) Je\(C(n,r)\) milele sawa\(P(n,r)\)? Eleza.

Jibu

Ndiyo, kwa kesi ndogo\(r=0\) na\(r=1\). Ikiwa\(r=0\), basi\(C(n,r)=P(n,r)=1\). Ikiwa\(r=1\), basi\(r=1\),\(C(n,r)=P(n,r)=n\).

38) Tuseme seti\(A\) ina\(2,048\) subsets. Jinsi wengi vitu tofauti ni zilizomo katika\(A\)?

39) Ni mipango ngapi inayoweza kufanywa kutoka kwa barua za neno “milima” ikiwa irabu zote zinapaswa kuunda kamba?

Jibu

\(\dfrac{6!}{2!}\times 4!=8640\)

Real-World Matumizi

40) Familia yenye\(2\) wazazi na\(3\) watoto ni kupiga picha na wanachama wa\(2\) familia\(3\) mbele na nyuma.

1. Jinsi mipango mingi inawezekana na hakuna vikwazo?
2. Ni mipango ngapi iwezekanavyo ikiwa wazazi wanapaswa kukaa mbele?
3. Ni mipango ngapi iwezekanavyo ikiwa wazazi wanapaswa kuwa karibu na kila mmoja?

41) Kampuni ya simu ya mkononi inatoa vifurushi\(6\) tofauti vya sauti na vifurushi\(8\) tofauti vya data. Kati ya hizo,\(3\) vifurushi vinajumuisha sauti na data. Kuna njia ngapi za kuchagua sauti au data, lakini sio wote wawili?

Jibu

\(6-3+8-3=8\)

42) Katika racing farasi, “trifecta” hutokea wakati bettor atashinda kwa kuchagua finishers tatu za kwanza kwa utaratibu halisi (\(1^{st}\)mahali,\(2^{nd}\) mahali, na\(3^{rd}\) mahali). Ni trifectas ngapi tofauti zinawezekana ikiwa kuna\(14\) farasi katika mbio?

43) Kampuni ya jumla ya T-shirt inatoa ukubwa ndogo, kati, kubwa, na za ziada katika pamba ya kikaboni au isiyo ya kikaboni na rangi nyeupe, nyeusi, kijivu, bluu, na nyekundu. Je, kuna T-shirt ngapi tofauti?

Jibu

\(4\times 2\times 5=40\)

44) Hector anataka kuweka matangazo ya billboard kote kata kwa ajili ya biashara yake mpya. Ni njia ngapi ambazo Hector anaweza kuchagua\(15\) vitongoji kutangaza katika kama kuna\(30\) vitongoji katika kata?

45) Duka la sanaa lina\(4\) bidhaa za kalamu za rangi katika rangi\(12\) tofauti na\(3\) aina za wino. Je! Kuna kalamu ngapi za rangi?

Jibu

\(4\times 12\times 3=144\)

46) Ni njia ngapi ambazo kamati ya\(3\) freshmen na\(4\) juniors inaweza kuundwa kutoka kwa kundi la\(8\) freshmen na\(11\) juniors?

47) Ni njia ngapi ambazo kocha wa baseball anaweza kupanga utaratibu wa\(9\) batters ikiwa kuna\(15\) wachezaji kwenye timu?

Jibu

\(P(15,9)=1,816,214,400\)

48) Kondakta anahitaji\(5\) cellists na\(5\) violinists kucheza katika tukio la kidiplomasia. Kwa kufanya hivyo, yeye huweka wafuasi wa orchestra na\(16\) violinists kwa utaratibu wa ustadi wa muziki.\(10\) ni uwiano wa nafasi jumla cellist inawezekana jumla nafasi violinist iwezekanavyo?

49) Duka la pikipiki lina\(10\) choppers,\(6\) bobbers, na\(5\) racers cafe—aina tofauti za pikipiki za mavuno. Ni njia ngapi ambazo duka huchagua\(3\) choppers,\(5\) bobbers, na racers\(2\) café kwa kuonyesha mwishoni mwa wiki?

Jibu

\(C(10,3)\times C(6,5)\times C(5,2)=7,200\)

50) Skateboard duka hifadhi\(10\) aina ya Decks bodi,\(3\) aina ya malori, na\(4\) aina ya magurudumu. Ni skateboards ngapi tofauti zinaweza kujengwa?

51) Kampuni ya Tu-kwa-Kicks Sneaker inatoa huduma ya customizing mtandaoni. Kuna njia ngapi za kutengeneza jozi ya desturi ya sneakers za Just-For-Kicks ikiwa mteja anaweza kuchagua kutoka kiatu cha msingi hadi chaguo\(11\) customizable?

Jibu

\(2^{11}=2048\)

52) safisha ya gari inatoa huduma zifuatazo hiari kwa safisha ya msingi: wazi kanzu wax, mara tatu povu Kipolishi, undercarriage safisha, kutu kiviza, gurudumu brightener, hewa freshener, na shampoo ya mambo ya ndani. Je, ni washes ngapi iwezekanavyo ikiwa idadi yoyote ya chaguzi inaweza kuongezwa kwenye safisha ya msingi?

53) Susan alinunua\(20\) mimea ya kupanga kando ya mpaka wa bustani yake. Wangapi mipango tofauti anaweza kufanya kama mimea ni zikiwemo ya\(6\) tulips,\(6\) roses, na\(8\) daisies?

Jibu

\(\dfrac{20!}{6!6!8!}=116,396,280\)

54) Ni njia ngapi za kipekee ambazo kamba za taa za Krismasi zinaweza kupangwa kutoka kwa balbu\(9\) nyekundu,\(10\) kijani,\(6\) nyeupe, na\(12\) dhahabu?

11.6 Theorem ya Binomial

Maneno

1) Mgawo wa binomial ni nini, na jinsi inavyohesabiwa?

Jibu

Mgawo wa binomial ni njia mbadala ya kutaja mchanganyiko\(C(n,r)\). Ni hufafanuliwa kama\(\dbinom{n}{r}=C(n,r)=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\).

2) Ni jukumu gani ambazo coefficients za binomial zinacheza katika upanuzi wa binomial? Je, wao ni vikwazo kwa aina yoyote ya idadi?

3) Theorem ya Binomial ni nini na matumizi yake ni nini?

Jibu

Theorem ya Binomial inaelezwa kama\((x+y)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{r}x^{n-k}y^k\) na inaweza kutumika kupanua binomial yoyote.

4) Ni wakati gani faida ya kutumia Theorem ya Binomial? Eleza.

Kialjebra

Kwa mazoezi 5-12, tathmini mgawo wa binomial.

5)\(\dbinom{6}{2}\)

Jibu

\(15\)

6)\(\dbinom{5}{3}\)

7)\(\dbinom{7}{4}\)

Jibu

\(35\)

8)\(\dbinom{9}{7}\)

9)\(\dbinom{10}{9}\)

Jibu

\(10\)

10)\(\dbinom{25}{11}\)

11)\(\dbinom{17}{6}\)

Jibu

\(12,376\)

12)\(\dbinom{200}{199}\)

Kwa mazoezi 13-22, tumia Theorem ya Binomial kupanua kila binomial.

13)\((4a-b)^3\)

Jibu

\(64a^3-48a^2b+12ab^2-b^3\)

14)\((5a+2)^3\)

15)\((3a+2b)^3\)

Jibu

\(27a^3+54a^2b+36ab^2+8b^3\)

16)\((2x+3y)^4\)

17)\((4x+2y)^5\)

Jibu

\(1024x^5+2560x^4y+2560x^3y^2+1280x^2y^3+320xy^4+32y^5\)

18)\((3x-2y)^4\)

19)\((4x-3y)^5\)

Jibu

\(1024x^5-3840x^4y+5760x^3y^2-4320x^2y^3+1620xy^4-243y^5\)

20)\(\left ( \dfrac{1}{x}+3y \right )^5\)

21)\(\left ( x^{-1}+2y^{-1} \right )^4\)

Jibu

\(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{8}{x^3y}+\dfrac{24}{x^2y^2}+\dfrac{32}{xy^3}+\dfrac{16}{y^4}\)

22)\(\left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^5\)

Kwa mazoezi 23-29, tumia Theorem ya Binomial kuandika maneno matatu ya kwanza ya kila binomial.

23)\((a+b)^{17}\)

Jibu

\(a^{17}+17a^{16}b+136a^{15}b^2\)

24)\((x-1)^{18}\)

25)\((a-2b)^{15}\)

Jibu

\(a^{15}-30a^{14}b+420a^{13}b^2\)

26)\((x-2y)^8\)

27)\((3a+b)^{20}\)

Jibu

\(3,486,784,401a^{20}+23,245,229,340a^{19}b+73,609,892,910a^{18}b^2\)

28)\((2a+4b)^7\)

29)\(\left ( x^3-\sqrt{y} \right )^8\)

Jibu

\(x^{24}-8x^{21}\sqrt{y}+28x^{18}y\)

Kwa mazoezi 30-39, tafuta muda ulioonyeshwa wa kila binomial bila kupanua kikamilifu binomial.

30) Muda wa nne wa\((2x-3y)^4\)

31) Muda wa nne wa\((3x-2y)^5\)

Jibu

\(-720x^2y^3\)

32) Muda wa tatu wa\((6x-3y)^7\)

33) Muda wa nane wa\((7+5y)^{14}\)

Jibu

\(220,812,466,875,000y^7\)

34) Muda wa saba wa\((a+b)^{11}\)

35) Muda wa tano wa\((x-y)^{7}\)

Jibu

\(35x^3y^4\)

36) Muda wa kumi wa\((x-1)^{12}\)

37) Muda wa tisa wa\((a-3b^2)^{11}\)

Jibu

\(1,082,565a^3b^{16}\)

38) Muda wa nne wa\(\left ( x^3-\dfrac{1}{2} \right )^{10}\)

39) Muda wa nane wa\(\left ( \dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{x} \right )^{9}\)

Jibu

\(\dfrac{1152y^2}{x^7}\)

Graphic

Kwa mazoezi 40-44, tumia Theorem ya Binomial kupanua binomial\(f(x)=(x+3)^4\). Kisha tafuta na grafu kila jumla iliyoonyeshwa kwenye seti moja ya axes.

40) Kupata na grafu\(f_1(x)\), kama hiyo\(f_1(x)\) ni muda wa kwanza wa upanuzi.

41) Pata na grafu\(f_2(x)\), kama hiyo\(f_2(x)\) ni jumla ya masharti mawili ya kwanza ya upanuzi.

Jibu

\(f_2(x)=x^4+12x^3\)

42) Pata na grafu\(f_3(x)\), kama hiyo\(f_3(x)\) ni jumla ya masharti matatu ya kwanza ya upanuzi.

43) Pata na grafu\(f_4(x)\), kama hiyo\(f_4(x)\) ni jumla ya masharti manne ya kwanza ya upanuzi.

Jibu

\(f_4(x)=x^4+12x^3+54x^2+108x\)

44) Pata na grafu\(f_5(x)\), kama hiyo\(f_5(x)\) ni jumla ya masharti matano ya kwanza ya upanuzi.

Upanuzi

45) Katika upanuzi wa\((5x+3y)^n\), kila mrefu ina fomu\(\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^k\) ambapo\(k\) mfululizo inachukua thamani\(0,1,2,\ldots ,n\). Ikiwa\(\dbinom{n}{k}=\dbinom{7}{2}\), ni neno gani linalofanana?

Jibu

\(590,625x^5y^2\)

46) Katika upanuzi wa\((a+b)^n\), mgawo wa\(a^{n-k}b^k\) ni sawa na mgawo wa muda gani mwingine?

47) Fikiria upanuzi wa\((x+b)^{40}\). Ni nini exponent ya\(b\) katika\(k\text {th}\) muda?

Jibu

\(k-1\)

48) Pata\(\dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k}\) na uandike jibu kama mgawo wa binomial katika fomu\(\dbinom{n}{k}\). Thibitisha hilo. Kidokezo: Tumia ukweli kwamba, kwa integer yoyote\(p\), kama hiyo\(p\geq 1, p!=p(p-1)!\).

Jibu

\ (\ kuanza {align*}
\ dbinom {n} {k-1} +\ dbinom {n} {k} &=\ dfrac {n!} {k! (n-k)!} +\ frac {n!} {(k-1)! (n- (k-1))!} \\
&=\ dfrac {n!} {k! (n-k)!} +\ frac {n!} {(k-1)! (n-k+1)!} \\
&=\ dfrac {(n-k+1) n!} {(n-k+1) k! (n-k)!} +\ frac {katika!} {k (k-1)! (n-k+1)!} \\
&=\ dfrac {(n-k+1) n! +kn!} {k! (n-k+1)!} \\
&=\ dfrac {(n+1) n!} {k! (n+1) -k)!} \\
&=\ dfrac {(n+1)!} {k! (n+1) -k)!} \\
&=\ dbinom {n+1} {k}
\ mwisho {align*}\)

49) Ni maneno gani ambayo hayawezi kupanuliwa kwa kutumia Theorem ya Binomial? Eleza.

• \((x^2-2x+1)\)
• \(\left ( \sqrt{a}+4\sqrt{a}-5 \right )^8\)
• \((x^3+2y^2-z)^5\)
• \(\left ( 3x^2-\sqrt{2y^3} \right )^{12}\)

Jibu

Maneno\((x^3+2y^2-z)^5\) hayawezi kupanuliwa kwa kutumia Theorem ya Binomial kwa sababu haiwezi kuandikwa upya kama binomial.

11.7 Uwezekano

Maneno

1) Ni neno gani linalotumiwa kueleza uwezekano wa tukio linalotokea? Je, kuna vikwazo juu ya maadili yake? Ikiwa ndivyo, ni nini? Kama siyo, kueleza.

Jibu

uwezekano; uwezekano wa tukio ni vikwazo kwa maadili kati\(0\) na\(1\), umoja wa\(0\) na\(1\).

2) Nafasi ya sampuli ni nini?

3) Jaribio ni nini?

Jibu

Jaribio ni shughuli yenye matokeo yanayoonekana.

4) Ni tofauti gani kati ya matukio na matokeo? Kutoa mfano wa wote kwa kutumia sampuli nafasi ya tossing\(50\) mara sarafu.

5) Muungano wa seti mbili hufafanuliwa kama seti ya vipengele vilivyopo katika angalau moja ya seti. Je, hii inafanana na ufafanuzi uliotumiwa kwa muungano wa matukio mawili kutoka kwa mfano wa uwezekano? Je, ni tofauti gani?

Jibu

Uwezekano wa muungano wa matukio mawili yanayotokea ni namba inayoelezea uwezekano kwamba angalau moja ya matukio kutoka mfano wa uwezekano hutokea. Katika umoja wa seti\(A\) na\(B\) muungano wa matukio\(A\) na\(B\), muungano unajumuisha aidha\(A\)\(B\) au zote mbili. Tofauti ni kwamba muungano wa seti husababisha seti nyingine, wakati muungano wa matukio ni uwezekano, hivyo daima ni thamani ya namba kati\(0\) na\(1\).

Numeric

Kwa mazoezi 6-13, tumia spinner iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo hapa chini ili kupata uwezekano ulioonyeshwa.

6) Kutembea kwenye nyekundu

7) Kutembea kwenye irabu

Jibu

\(\dfrac{1}{2}\)

8) Si kutua kwenye bluu

9) Kutembea kwenye rangi ya zambarau au vowel

Jibu

\(\dfrac{5}{8}\)

10) Kutembea kwenye bluu au vowel

11) Kutembea kwenye kijani au bluu

Jibu

\(\dfrac{1}{2}\)

12) Kutembea juu ya njano au konsonant

13) Si kutua juu ya njano au konsonant

Jibu

\(\dfrac{3}{8}\)

Kwa mazoezi 14-17, sarafu mbili zinatupwa.

14) Nafasi ya sampuli ni nini?

15) Kupata uwezekano wa tossing vichwa viwili.

Jibu

\(\dfrac{1}{4}\)

16) Pata uwezekano wa kutupa mkia mmoja.

17) Pata uwezekano wa kupiga angalau mkia mmoja.

Jibu

\(\dfrac{3}{4}\)

Kwa mazoezi 18-25, sarafu nne zinatupwa.

18) Nafasi ya sampuli ni nini?

19) Kupata uwezekano wa tossing vichwa viwili hasa.

Jibu

\(\dfrac{3}{8}\)

20) Kupata uwezekano wa tossing hasa vichwa tatu.

21) Pata uwezekano wa kupiga vichwa vinne au mikia minne.

Jibu

\(\dfrac{1}{8}\)

22) Pata uwezekano wa kupiga mikia yote.

23) Pata uwezekano wa kutupa sio mikia yote.

Jibu

\(\dfrac{15}{16}\)

24) Pata uwezekano wa kupiga vichwa viwili au angalau mikia miwili.

25) Kupata uwezekano wa tossing ama vichwa viwili au vichwa vitatu.

Jibu

\(\dfrac{5}{8}\)

Kwa mazoezi 26-32, kadi moja hutolewa kutoka kwenye staha ya kawaida ya\(52\) kadi. Pata uwezekano wa kuchora zifuatazo:

26) klabu

27) Mbili

Jibu

\(\dfrac{1}{13}\)

28) Sita au saba

29) Nyekundu-sita

Jibu

\(\dfrac{1}{26}\)

30) Ace au almasi

31) yasiyo ya ace

Jibu

\(\dfrac{12}{13}\)

32) Moyo au yasiyo ya jack

Kwa mazoezi 33-42, kete mbili zimevingirwa, na matokeo yanafupishwa.

33) Jenga meza inayoonyesha nafasi ya sampuli ya matokeo na jumla.

Jibu

	1	2	3	4	5	6
1	(1, 1) 2	(1, 2) 3	(1, 3) 4	(1, 4) 5	(1, 5) 6	(1, 6) 7
2	(2, 1) 3	(2, 2) 4	(2, 3) 5	(2, 4) 6	(2, 5) 7	(2, 6) 8
3	(3, 1) 4	(3, 2) 5	(3, 3) 6	(3, 4) 7	(3, 5) 8	(3, 6) 9
4	(4, 1) 5	(4, 2) 6	(4, 3) 7	(4, 4) 8	(4, 5) 9	(4, 6) 10
5	(5, 1) 6	(5, 2) 7	(5, 3) 8	(5, 4) 9	(5, 5) 10	(5, 6) 11
6	(6, 1) 7	(6, 2) 8	(6, 3) 9	(6, 4) 10	(6, 5) 11	(6, 6) 12

34) Kupata uwezekano wa rolling jumla ya\(3\).

35) Kupata uwezekano wa rolling angalau moja nne au jumla ya\(8\).

Jibu

\(\dfrac{5}{12}\)

36) Kupata uwezekano wa rolling jumla isiyo ya kawaida chini ya\(9\).

37) Kupata uwezekano wa rolling jumla kubwa kuliko au sawa na\(15\).

Jibu

\(0\)

38) Kupata uwezekano wa rolling kiasi chini ya\(15\).

39) Kupata uwezekano wa rolling kiasi chini ya\(6\) au zaidi kuliko\(9\).

Jibu

\(\dfrac{4}{9}\)

40) Kupata uwezekano wa rolling jumla kati\(6\) na\(9\), umoja.

41) Kupata uwezekano wa rolling jumla ya\(5\) au\(6\).

Jibu

\(\dfrac{1}{4}\)

42) Kupata uwezekano wa rolling kiasi chochote isipokuwa\(5\) au\(6\).

Kwa mazoezi 43-46, sarafu hupigwa, na kadi hutolewa kutoka kwenye staha ya kawaida. Pata uwezekano wa yafuatayo:

43) Kichwa juu ya sarafu au klabu

Jibu

\(\dfrac{5}{8}\)

44) Mkia juu ya sarafu au ace nyekundu

45) Kichwa juu ya sarafu au kadi ya uso

Jibu

\(\dfrac{8}{13}\)

46) Hakuna Aces

Kwa mazoezi 47-50, tumia hali hii: mfuko wa M&Ms una rangi ya\(12\) bluu,\(6\) kahawia,\(10\) machungwa,\(8\) njano,\(8\) nyekundu, na\(4\) kijani\(5\) M & Ms.

47) Je! Ni uwezekano gani wa kupata M&Ms wote wa bluu?

Jibu

\(\dfrac{C(12,5)}{C(48,5)}=\dfrac{1}{2162}\)

48) Je! Ni uwezekano gani wa kupata M&Ms\(4\) bluu?

49) Je! Ni uwezekano gani wa kupata M&Ms\(3\) bluu?

Jibu

\(\dfrac{C(12,3)C(36,2)}{C(48,5)}=\dfrac{175}{2162}\)

50) Je! Ni uwezekano gani wa kupata M&Ms kahawia?

Upanuzi

Tumia mazingira yafuatayo kwa mazoezi yanayofuata: Katika mchezo wa Keno, mchezaji anaanza kwa kuchagua\(20\) namba kutoka namba\(1\) hadi\(80\). Baada ya mchezaji hufanya uchaguzi wake, idadi ya\(20\) kushinda ni nasibu kuchaguliwa kutoka namba\(1\) kwa\(80\). Ushindi hutokea kama mchezaji amechagua kwa usahihi\(3,4\) au\(5\) wa idadi ya\(20\) kushinda. (Pande zote majibu kwa karibu mia moja ya asilimia.)

51) ni asilimia nafasi ya kuwa mchezaji huchagua namba hasa\(3\) kushinda nini?

Jibu

\(\dfrac{C(20,3)C(60,17)}{C(80,20)}\approx 12.49\%\)

52) ni asilimia nafasi ya kuwa mchezaji huchagua namba hasa\(4\) kushinda nini?

53) ni asilimia nafasi ya kuwa mchezaji huchagua namba zote\(5\) kushinda nini?

Jibu

\(\dfrac{C(20,5)C(60,15)}{C(80,20)}\approx 23.33\%\)

54) Ni asilimia nafasi ya kushinda nini?

55) Ni kiasi gani cha mchezaji nafasi ya kuchagua namba za\(3\) kushinda kuliko nafasi ya kuchagua ama\(4\) au\(5\) kushinda namba?

Jibu

\(20.50+23.33-12.49=31.34\%\)

Real-World Matumizi

Tumia data hii kwa mazoezi 56-60: Mwaka 2013, kulikuwa na wananchi\(317\) milioni takribani nchini Marekani, na karibu\(40\) milioni walikuwa wazee (wenye umri\(65\) na zaidi)

56) Ikiwa unakutana na raia wa Marekani, ni asilimia gani ya nafasi ya kuwa mtu huyo ni mzee? (Pande zote kwa sehemu ya kumi ya karibu ya asilimia.)

57) Ikiwa unakutana na wananchi watano wa Marekani, ni asilimia gani ya nafasi ya kuwa mmoja ni mzee? (Pande zote kwa sehemu ya kumi ya karibu ya asilimia.)

Jibu

\(\dfrac{C(40000000,1)C(277000000,4)}{C(317000000,5)}\approx 36.78\%\)

58) Ikiwa unakutana na wananchi watano wa Marekani, ni asilimia gani ya nafasi ya kuwa watatu ni wazee? (Pande zote kwa sehemu ya kumi ya karibu ya asilimia.)

59) Ikiwa unakutana na raia watano wa Marekani, ni asilimia gani ya nafasi ya kuwa wanne ni wazee? (Round kwa karibu elfu ya asilimia.)

Jibu

\(\dfrac{C(40000000,4)C(277000000,1)}{C(317000000,5)}\approx 0.11\%\)

60) Ni alitabiri kuwa ifikapo mwaka 2030, mmoja kati ya wananchi watano wa Marekani watakuwa wazee. Je, nafasi kubwa zaidi ya kukutana na mtu mzee itakuwa wakati huo? Ni mabadiliko gani ya sera unayoona ikiwa takwimu hizi zinashikilia kweli?

Wachangiaji na Majina

• Template:OpenStaxPreCalc