Home
Kiswahili
Precalculus (OpenStax)
6: Kazi za Mara kwa mara
6.2: Grafu za Kazi Zingine za Trigonometric

6.2: Grafu za Kazi Zingine za Trigonometric

Last updated
Save as PDF

Page ID: 181094

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Kuchambua grafu ya$y=\tan x$.
Graph tofauti ya$y=\tan x$.
Kuchambua grafu ya$y=\sec x$ na$y=\csc x$.
Grafu tofauti ya$y=\sec x$ na$y=\csc x$.
Kuchambua grafu ya$y=\cot x$.
Graph tofauti ya$y=\cot x$.

Tunajua kazi ya tangent inaweza kutumika kupata umbali, kama vile urefu wa jengo, mlima, au flagpole. Lakini vipi ikiwa tunataka kupima matukio ya mara kwa mara ya umbali? Fikiria, kwa mfano, gari la polisi lililokuwa limeegeshwa karibu na ghala. Mwanga unaozunguka kutoka gari la polisi ungesafiri kwenye ukuta wa ghala kwa vipindi vya kawaida. Ikiwa pembejeo ni wakati, pato itakuwa umbali boriti ya safari za mwanga. Boriti ya mwanga ingeweza kurudia umbali kwa vipindi vya kawaida. Kazi ya tangent inaweza kutumika kwa takriban umbali huu. Asymptotes itahitajika kuonyesha mzunguko wa mara kwa mara wakati boriti inaendesha sambamba na ukuta kwa sababu, inaonekana, boriti ya mwanga inaweza kuonekana kupanua milele. Grafu ya kazi ya tangent ingeonyesha wazi vipindi vya mara kwa mara. Katika sehemu hii, tutazingatia grafu za kazi za tangent na nyingine za trigonometric.

Kuchambua Grafu ya$y =\tan x$

Tutaanza na grafu ya kazi ya tangent, pointi za kupanga njama kama tulivyofanya kwa kazi za sine na cosine. Kukumbuka kwamba

\[\tan \, x=\dfrac{\sin \, x}{\cos \, x}\]

Kipindi cha kazi ya tangent ni$\pi$ kwa sababu grafu inarudia yenyewe kwa vipindi vya$k\pi$ wapi$k$ mara kwa mara. Kama sisi graph kazi tangent juu$−\frac{\pi}{2}$ ya$\frac{\pi}{2}$, tunaweza kuona tabia ya grafu kwenye mzunguko mmoja kamili. Ikiwa tunaangalia muda wowote mkubwa, tutaona kwamba sifa za grafu hurudia.

Tunaweza kuamua kama tangent ni isiyo ya kawaida au hata kazi kwa kutumia ufafanuzi wa tangent.

\[\begin{align*} \tan(-x)&= \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} \qquad \text{Definition of tangent}\\ &= \dfrac{-\sin \, x}{\cos \, x} \qquad \text{Sine is an odd function, cosine is even}\\ &= -\dfrac{\sin \, x}{\cos \, x} \qquad \text{The quotient of an odd and an even function is odd}\\ &= -\tan \, x \qquad \text{Definition of tangent} \end{align*}\]

Kwa hiyo, tangent ni kazi isiyo ya kawaida. Tunaweza kuchambua zaidi tabia ya graphical ya kazi ya tangent kwa kuangalia maadili kwa baadhi ya pembe maalum, kama ilivyoorodheshwa katika Jedwali$\PageIndex{1}$.

Jedwali$\PageIndex{1}$
$x$	$−\dfrac{\pi}{2}$	$−\dfrac{\pi}{3}$	$−\dfrac{\pi}{4}$	$−\dfrac{\pi}{6}$	0	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\tan x$	haijafafanuliwa	$-\sqrt{3}$	$–1$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	0	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	haijafafanuliwa

Vipengele hivi vitatusaidia kuteka grafu yetu, lakini tunahitaji kuamua jinsi grafu inavyofanya ambapo haijulikani. Kama sisi kuangalia kwa karibu zaidi katika maadili wakati$\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{2}$, tunaweza kutumia meza kuangalia kwa mwenendo. Kwa sababu$\frac{\pi}{3}≈1.05$ na$\frac{\pi}{2}≈1.57$, sisi kutathmini$x$ katika hatua radian$1.05<x<1.57$ kama inavyoonekana katika Jedwali$\PageIndex{2}$.

**Jedwali$\PageIndex{2}$**
$x$	1.3	1.5	1.55	1.56
$\tan x$	3.6	14.1	48.1	92.6

Kama$x$ mbinu$\dfrac{\pi}{2}$, matokeo ya kazi hupata kubwa na kubwa. Kwa sababu$y=\tan \, x$ ni kazi isiyo ya kawaida, tunaona meza sambamba ya maadili hasi katika Jedwali$\PageIndex{3}$.

**Jedwali$\PageIndex{3}$**
$x$	-1.3	-1.5	-1.55	-1.56
$\tan x$	-3.6	-14.1	-48.1	-92.6

Tunaweza kuona kwamba, kama$x$ mbinu$−\frac{\pi}{2}$, matokeo hupata ndogo na ndogo. Kumbuka kwamba kuna baadhi ya maadili$x$ ya ambayo$\cos \, x=0$. Kwa mfano,$\cos \left (\frac{\pi}{2} \right)=0$ na$\cos \left (\frac{3\pi}{2} \right )=0$. Kwa maadili haya, kazi ya tangent haijulikani, hivyo grafu ya$y=\tan \, x$ ina discontinuities saa$x=\frac{\pi}{2}$ na$\frac{3\pi}{2}$. Kwa maadili haya, grafu ya tangent ina asymptotes wima. Kielelezo$\PageIndex{1}$ inawakilisha grafu ya$y=\tan \, x$. Tangent ni chanya kutoka$0$ kwenda$\frac{\pi}{2}$ na kutoka$\pi$$\frac{3\pi}{2}$, sambamba na quadrants I na III ya mduara wa kitengo.

$Grafu ya y = tangent ya x. asymptotes katika -pi juu ya 2 na pi juu ya 2.$

Kielelezo$\PageIndex{1}$: Grafu ya kazi ya tangent

Graphing Tofauti ya$y = \tan \, x$

Kama ilivyo na kazi za sine na cosine, kazi ya tangent inaweza kuelezewa na equation ya jumla.

\[y=A\tan(Bx) \nonumber\]

Tunaweza kutambua stretches usawa na wima na compressions kutumia maadili ya$A$ na$B$. Kunyoosha usawa kunaweza kuamua kutoka kipindi cha grafu. Kwa grafu za tangent, mara nyingi ni muhimu kuamua kunyoosha wima kwa kutumia hatua kwenye grafu.

Kwa sababu hakuna maadili ya kiwango cha juu au cha chini cha kazi ya tangent, amplitude ya neno haiwezi kutafsiriwa kama ilivyo kwa kazi za sine na cosine. Badala yake, tutatumia maneno ya kunyoosha/compressing sababu wakati akimaanisha mara kwa mara$A$.

MAKALA YA GRAFU YA$Y = A \tan(Bx)$

Sababu ya kunyoosha ni$|A|$.
Kipindi ni$P=\dfrac{\pi}{|B|}$.
Kikoa ni namba zote halisi$x$, ambapo$x≠\dfrac{\pi}{2| B |}+\dfrac{π}{| B |}k$ vile$k$ ni integer.
Mipangilio ni$(−\infty,\infty)$.
Asymptotes hutokea$x=\dfrac{\pi}{2| B |}+\dfrac{π}{| B |}k$$k$ wapi integer.
$y=A\tan(Bx)$ni kazi isiyo ya kawaida.

Graphing Kipindi kimoja cha Kazi ya Tangent iliyopigwa au iliyosimamishwa

Tunaweza kutumia kile tunachojua kuhusu mali ya kazi ya tangent kwa haraka mchoro wa grafu ya kazi yoyote iliyotambulishwa na/au iliyosimamiwa ya tangent ya fomu$f(x)=A\tan(Bx)$. Tunazingatia kipindi kimoja cha kazi ikiwa ni pamoja na asili, kwa sababu mali ya mara kwa mara inatuwezesha kupanua grafu kwenye uwanja wote wa kazi ikiwa tunataka. Kikoa chetu kidogo ni kisha muda$\left (−\dfrac{P}{2},\dfrac{P}{2} \right )$ na grafu ina asymptotes wima$\pm \dfrac{P}{2}$ wapi$P=\dfrac{\pi}{B}$. Juu$\left (−\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right )$, grafu itakuja kutoka kwa asymptote ya kushoto$x=−\dfrac{\pi}{2}$, kuvuka kupitia asili, na kuendelea kuongezeka kama inakaribia asymptote sahihi$x=\dfrac{\pi}{2}$. Ili kufanya mbinu ya kazi asymptotes kwa kiwango sahihi, tunahitaji pia kuweka kiwango cha wima kwa kweli kutathmini kazi kwa angalau hatua moja ambayo grafu itapita. Kwa mfano, tunaweza kutumia

\[f \left (\dfrac{P}{4} \right )=A\tan \left (B\dfrac{P}{4} \right )=A\tan \left (B\dfrac{\pi}{4B} \right )=A \nonumber\]

kwa sababu$\tan \left (\dfrac{\pi}{4} \right )=1$.

Jinsi ya: Kutokana na kazi$f(x)=A \tan(Bx)$, graph one period.

Tambua sababu ya kuenea,$| A |$.
Tambua B na ueleze kipindi,$P=\dfrac{\pi}{| B |}$.
Chora asymptotes wima saa$x=−\dfrac{P}{2}$ na$x=\dfrac{P}{2}$.
Kwa$A>0$, grafu inakaribia asymptote ya kushoto kwa maadili mabaya ya pato na asymptote sahihi katika maadili mazuri ya pato (reverse kwa$A<0$).
Plot pointi kumbukumbu katika$\left (\dfrac{P}{4},A \right )$$(0,0)$,, na$\left (−\dfrac{P}{4},−A \right )$, na kuteka grafu kupitia pointi hizi.

Mfano$\PageIndex{1}$: Sketching a Compressed Tangent

Mchoro grafu ya kipindi kimoja cha kazi$y=0.5\tan \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )$.

Suluhisho

Kwanza, tunatambua$A$ na$B$.

$Mfano wa milinganyo inayoonyesha kuwa A ni mgawo wa tangent na B ni mgawo wa x, ambayo iko ndani ya kazi ya tangent.$

Kielelezo$\PageIndex{2}$

Kwa sababu$A=0.5$ na$B=\dfrac{\pi}{2}$, tunaweza kupata kunyoosha/compressing sababu na kipindi. Kipindi ni$\dfrac{\pi}{\dfrac{\pi}{2}}=2$, hivyo asymptotes ni saa$x=±1$. Katika kipindi cha robo kutoka asili, tuna

\[\begin{align*} f(0.5)&= 0.5\tan \left (\dfrac{0.5\pi}{2} \right )\\ &= 0.5\tan \left (\dfrac{\pi}{4} \right )\\ &= 0.5 \end{align*}\]

Hii ina maana Curve lazima kupita katika pointi$(0.5,0.5)$,$(0,0)$, na$(−0.5,−0.5)$. Njia pekee ya kupigia ni asili. Kielelezo$\PageIndex{3}$ kinaonyesha grafu ya kipindi kimoja cha kazi.

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi iliyobadilishwa ya tangent, na asymptotes saa x=-1 na x=1.$

Kielelezo$\PageIndex{3}$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Mchoro grafu ya$f(x)=3\tan \left (\dfrac{\pi}{6}x \right )$.

Jibu

$Grafu ya vipindi viwili vya kazi iliyobadilishwa ya tangent, na asymptotes saa x=-3 na x=3.$

Kielelezo$\PageIndex{4}$

Graphing Kipindi kimoja cha Kazi ya Tangent iliyobadilishwa

Sasa kwa kuwa tunaweza graph kazi tangent kwamba ni aliweka au USITUMIE, sisi kuongeza wima na/au usawa (au awamu) kuhama. Katika kesi hii, tunaongeza$C$ na$D$ fomu ya jumla ya kazi ya tangent.

\[f(x)=A\tan(Bx−C)+D \nonumber\]

Grafu ya kazi ya tangent iliyobadilishwa ni tofauti na kazi ya msingi ya tangent$\tan x$ kwa njia kadhaa:

MAKALA YA GRAFU YA$Y = A\tan(Bx−C)+D$

Sababu ya kunyoosha ni$| A |$.
Kipindi ni$\dfrac{\pi}{| B |}$.
Kikoa ni$x≠\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{| B |}k$, wapi$k$ integer.
Mipangilio ni$(−∞,−| A |]∪[| A |,∞)$.
Asymptotes wima hutokea saa$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{| B |}k$,$k$ wapi integer isiyo ya kawaida.
Hakuna amplitude.
$y=A \tan(Bx)$ni kazi isiyo ya kawaida kwa sababu ni quotient ya kazi isiyo ya kawaida na hata (dhambi na cosine perspectively).

Jinsi ya: Kutokana na kazi$y=A\tan(Bx−C)+D$, sketch the graph of one period.

Eleza kazi iliyotolewa katika fomu$y=A\tan(Bx−C)+D$.
Tambua sababu ya kunyoosha/compressing,$| A |$.
Tambua$B$ na kuamua kipindi,$P=\dfrac{\pi}{|B|}$.
Tambua$C$ na kuamua mabadiliko ya awamu,$\dfrac{C}{B}$.
Chora grafu ya$y=A\tan(Bx)$ kubadilishwa kwa haki$\dfrac{C}{B}$ na juu$D$.
Mchoro asymptotes wima, ambayo hutokea katika$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{2| B |}k$, ambapo$k$ ni integer isiyo ya kawaida.
Panda pointi yoyote ya kumbukumbu tatu na kuteka grafu kupitia pointi hizi.

Mfano$\PageIndex{2}$: Graphing One Period of a Shifted Tangent Function

Grafu kipindi kimoja cha kazi$y=−2\tan(\pi x+\pi)−1$.

Suluhisho

Hatua ya 1. Kazi tayari imeandikwa kwa fomu$y=A\tan(Bx−C)+D$.
Hatua ya 2. $A=—2$, hivyo sababu ya kunyoosha ni$|A|=2$.
Hatua ya 3. $B=\ pi$, hivyo kipindi ni$P=\dfrac{\pi}{| B |}=\dfrac{\pi}{pi}=1$.
Hatua ya 4. $C=\ pi$, hivyo mabadiliko ya awamu ni$CB=\dfrac{−\pi}{\pi}=−1$.
Hatua ya 5-7. Asymptotes ni saa$x=−\dfrac{3}{2}$$x=−\dfrac{1}{2}$ na na pointi tatu ilipendekeza kumbukumbu ni$(−1.25,1)$,$(−1,−1)$, na$(−0.75,−3)$. Grafu inavyoonyeshwa kwenye Kielelezo$\PageIndex{5}$.

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi ya tangent iliyobadilishwa, na asymptotes wima saa x=-1.5 na x=-0.5.$

Kielelezo$\PageIndex{5}$

Uchambuzi

Kumbuka kuwa hii ni kazi kupungua kwa sababu$A<0$.

Zoezi$\PageIndex{2}$

Je, grafu katika Mfano$\PageIndex{2}$ itaonekanaje tofauti ikiwa tumefanya$A=2$ badala ya$−2$?

Jibu: Itakuwa yalijitokeza katika mstari$y=−1$, kuwa kazi ya kuongezeka.

Jinsi ya: Kutokana na grafu ya kazi ya tangent, kutambua kunyoosha usawa na wima.

Pata kipindi$P$ kutoka kwa nafasi kati ya asymptotes ya wima mfululizo au x -intercepts.
Andika$f(x)=A\tan \left (\dfrac{\pi}{P}x \right )$.
Tambua hatua rahisi$(x,f(x))$ kwenye grafu iliyotolewa na uitumie kuamua$A$.

Mfano$\PageIndex{3}$: Identifying the Graph of a Stretched Tangent

Kupata formula kwa ajili ya kazi graphed katika Kielelezo$\PageIndex{6}$.

$Grafu ya vipindi viwili vya kazi iliyobadilishwa ya tangent, na asymptotes saa x=-4 na x=4.$

Kielelezo$\PageIndex{6}$: Kazi ya tangent iliyotiwa

Suluhisho

Grafu ina sura ya kazi ya tangent.

Hatua ya 1. Mzunguko mmoja unatoka$–4$ hadi$4$, hivyo kipindi hicho ni$P=8$. tangu$P=\dfrac{\pi}{| B |}$, tuna$B=\dfrac{π}{P}=\dfrac{\pi}{8}$.
Hatua ya 2. Equation lazima iwe na fomu$f(x)=A\tan \left (\dfrac{\pi}{8}x \right )$.
Hatua ya 3. Ili kupata kunyoosha wima$A$, tunaweza kutumia uhakika$(2,2)$. \[\begin{align*} 2&=A\tan \left (\dfrac{\pi}{8}\cdot 2 \right )\\ &=A\tan \left (\dfrac{\pi}{4} \right ) \end{align*}\]

Kwa sababu$\tan \left (\dfrac{\pi}{4} \right )=1$,$A=2$.

Kazi hii ingekuwa na formula$f(x)=2\tan \left (\dfrac{\pi}{8}x \right )$.

Zoezi$\PageIndex{3}$

Pata fomu ya kazi katika Kielelezo$\PageIndex{7}$.

$Grafu ya vipindi vinne vya kazi iliyobadilishwa tangent, asymptots ya wima saa -3pi/4, -pi/4, pi/4, na 3pi/4.$

Kielelezo$\PageIndex{7}$

Jibu: $g(x)=4\tan(2x)$

Kuchambua Grafu ya$y = \sec x$ na$y = \csc x$

Secant ilifafanuliwa na utambulisho wa usawa$sec \, x=\dfrac{1}{\cos x}$. Kumbuka kwamba kazi haijulikani wakati cosine ni$0$, na kusababisha asymptotes wima$1$ katika$\dfrac{\pi}{2}$,$\dfrac{3\pi}{2}$ nk Kwa sababu cosine kamwe zaidi ya thamani kamili, secant, kuwa ya usawa, kamwe kuwa chini ya$1$ thamani kamili.

Tunaweza grafu$y=\sec x$ kwa kuchunguza grafu ya kazi ya cosine kwa sababu kazi hizi mbili ni za usawa wa kila mmoja. Angalia Kielelezo$\PageIndex{8}$. Grafu ya cosine inavyoonyeshwa kama wimbi la machungwa lililopigwa ili tuweze kuona uhusiano. Ambapo grafu ya kazi ya cosine inapungua, grafu ya kazi ya secant huongezeka. Ambapo grafu ya kazi ya cosine huongezeka, grafu ya kazi ya secant inapungua. Wakati kazi ya cosine ni sifuri, secant haijulikani.

Grafu ya secant ina asymptotes wima kwa kila thamani ya$x$ ambapo grafu ya cosine inavuka$x$ -axis; tunaonyesha haya katika grafu hapa chini na mistari ya wima iliyopigwa, lakini haitaonyesha asymptotes zote wazi kwenye grafu zote za baadaye zinazohusisha secant na cosecant.

Kumbuka kwamba, kwa sababu cosine ni kazi hata, secant pia ni kazi hata. Hiyo ni,$\sec(−x)=\sec x$.

$Grafu ya cosine ya x na secant ya x. asymptotes kwa secant ya x inavyoonekana katika -3pi/2, -pi/2, pi/2, na 3pi/2.$

Kielelezo$\PageIndex{8}$: Grafu ya kazi ya secant,$f(x)=\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$

Kama tulivyofanya kwa kazi ya tangent, tutataja tena mara kwa mara$| A |$ kama sababu ya kuenea, sio amplitude.

MAKALA YA GRAFU YA$Y = A \sec(Bx)$

Sababu ya kunyoosha ni$| A |$.
Kipindi ni$\dfrac{2\pi}{| B |}$.
Kikoa ni$x≠\dfrac{\pi}{2| B |}k$, wapi$k$ integer isiyo ya kawaida.
Mipangilio ni$(−∞,−|A|]∪[|A|,∞)$.
Asymptotes wima hutokea saa$x=\dfrac{\pi}{2| B |}k$,$k$ wapi integer isiyo ya kawaida.
Hakuna amplitude.
$y=A\sec(Bx)$ni kazi hata kwa sababu cosine ni kazi hata.

Sawa na secant, cosecant inaelezwa na utambulisho wa usawa$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$. Kumbuka kwamba kazi haijulikani wakati sine ni$0$, na kusababisha asymptote wima katika grafu$1$ katika$0$$\pi$, nk Kwa kuwa sine kamwe zaidi ya thamani kamili, cosecant, kuwa kubadilishana, kamwe kuwa chini ya$1$ thamani kamili.

Tunaweza grafu$y=\csc x$ kwa kuchunguza grafu ya kazi ya sine kwa sababu kazi hizi mbili ni za usawa wa kila mmoja. Angalia Kielelezo$\PageIndex{7}$. Grafu ya sine inavyoonyeshwa kama wimbi la machungwa lililopigwa ili tuweze kuona uhusiano. Ambapo grafu ya kazi ya sine inapungua, grafu ya kazi ya cosecant huongezeka. Ambapo grafu ya kazi ya sine huongezeka, grafu ya kazi ya cosecant inapungua.

Grafu ya cosecant ina asymptotes wima kwa kila thamani ya$x$ ambapo grafu ya sine inavuka$x$ -axis; tunaonyesha haya katika grafu hapa chini na mistari ya wima iliyopigwa.

Kumbuka kuwa, tangu sine ni kazi isiyo ya kawaida, kazi ya cosecant pia ni kazi isiyo ya kawaida. Hiyo ni,$\csc(−x)=−\csc x$.

Grafu ya cosecant, ambayo inavyoonyeshwa kwenye Kielelezo$\PageIndex{9}$, ni sawa na grafu ya secant.

$Grafu ya cosecant ya x na dhambi ya x. asymptotes tano wima inavyoonekana katika wingi wa pi.$

Kielelezo$\PageIndex{9}$: Grafu ya kazi ya cosecant,$f(x)=\csc x=\frac{1}{\sin x}$

MAKALA YA GRAFU YA$Y = A \csc(Bx)$

Sababu ya kunyoosha ni$| A |$.
Kipindi ni$\dfrac{2\pi}{|B|}$.
Kikoa ni$x≠\dfrac{\pi}{|B|}k$, wapi$k$ integer.
Mipangilio ni$(−∞,−|A|]∪[|A|,∞)$.
Asymptotes hutokea saa$x=\dfrac{\pi}{| B |}k$,$k$ wapi integer.
$y=A\csc(Bx)$ni kazi isiyo ya kawaida kwa sababu sine ni kazi isiyo ya kawaida.

Graphing Tofauti ya$y = \sec x$ na$y= \csc x$

Kwa kubadilishwa, USITUMIE, na/au matoleo aliweka ya kazi secant na cosecant, tunaweza kufuata mbinu sawa na wale tulitumia kwa tangent na cotangent. Hiyo ni, tunapata asymptotes wima na pia tathmini kazi kwa pointi chache (hasa extrema ya ndani). Ikiwa tunataka kupiga graph kipindi kimoja tu, tunaweza kuchagua muda kwa kipindi kwa njia zaidi ya moja. Utaratibu wa secant ni sawa sana, kwa sababu utambulisho wa cofunction ina maana kwamba grafu ya secant ni sawa na grafu ya cosecant iliyobadilishwa nusu kipindi upande wa kushoto. Mabadiliko ya wima na awamu yanaweza kutumika kwa kazi ya cosecant kwa njia sawa na kwa kazi za secant na nyingine.Equations kuwa yafuatayo.

\[y=A\sec(Bx−C)+D\]

\[y=A\csc(Bx−C)+D\]

MAKALA YA GRAFU YA$Y = A\sec(Bx−C)+D$

Sababu ya kunyoosha ni$|A|$.
Kipindi ni$\dfrac{2\pi}{|B|}$.
Kikoa ni$x≠\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{2| B |}k$, wapi$k$ integer isiyo ya kawaida.
Mipangilio ni$(−∞,−|A|]∪[|A|,∞)$.
Asymptotes wima hutokea saa$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{π}{2| B |}k$,$k$ wapi integer isiyo ya kawaida.
Hakuna amplitude.
$y=A\sec(Bx)$ni kazi hata kwa sababu cosine ni kazi hata.

MAKALA YA GRAFU YA$Y = A\csc(Bx−C)+D$

Sababu ya kunyoosha ni$|A|$.
Kipindi ni$\dfrac{2\pi}{|B|}$.
Kikoa ni$x≠\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{2| B |}k$, wapi$k$ integer.
Mipangilio ni$(−∞,−|A|]∪[|A|,∞)$.
Asymptotes wima hutokea saa$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{|B|}k$,$k$ wapi integer.
Hakuna amplitude.
$y=A\csc(Bx)$ni kazi isiyo ya kawaida kwa sababu sine ni kazi isiyo ya kawaida.

HOWTO: Kutokana na kazi ya fomu$y=A\sec(Bx)$, graph one period

Eleza kazi iliyotolewa katika fomu$y=A\sec(Bx)$.
Tambua sababu ya kunyoosha/compressing,$|A|$.
Tambua$B$ na kuamua kipindi,$P=\dfrac{2\pi}{| B |}$.
Mchoro grafu ya$y=A\cos(Bx)$.
Tumia uhusiano wa usawa kati$y=\cos \, x$ na$y=\sec \, x$ kuteka grafu ya$y=A\sec(Bx)$.
Mchoro asymptotes.
Panda pointi mbili za kumbukumbu na kuteka grafu kupitia pointi hizi.

Mfano$\PageIndex{4}$: Graphing a Variation of the Secant Function

Grafu kipindi kimoja cha$f(x)=2.5\sec(0.4x)$.

Suluhisho

Hatua ya 1. Kazi iliyotolewa tayari imeandikwa kwa fomu ya jumla,$y=A\sec(Bx)$.
Hatua ya 2. $A=2.5$hivyo sababu ya kunyoosha ni$2.5$.
Hatua ya 3. $B=0.4$hivyo$P=\dfrac{2\pi}{0.4}=5\pi$. Kipindi ni$5\pi$ vitengo.
Hatua ya 4. Mchoro grafu ya kazi$g(x)=2.5\cos(0.4x)$.
Hatua ya 5. Tumia uhusiano wa usawa wa kazi za cosine na salama ili kuteka kazi ya cosecant.
Hatua 6-7. Mchoro asymptotes mbili katika$x=1.25\pi$ na$x=3.75\pi$. Tunaweza kutumia pointi mbili za kumbukumbu, kiwango cha chini cha ndani$(0,2.5)$ na upeo wa ndani katika$(2.5\pi,−2.5)$. Kielelezo$\PageIndex{10}$ kinaonyesha grafu.

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi ya secant iliyobadilishwa, ambayo inaonekana kama prarbola inayoelekea juu na chini inakabiliwa na parabola.$

Kielelezo$\PageIndex{10}$

Zoezi$\PageIndex{4}$

Grafu kipindi kimoja cha$f(x)=−2.5\sec(0.4x)$.

Jibu

Hii ni tafakari ya wima ya grafu iliyotangulia kwa sababu$A$ ni hasi.

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi ya secant iliyobadilishwa, ambayo inaonekana kama parabola inayoelekea chini na parabola inayoelekea zaidi.$

Kielelezo$\PageIndex{11}$

Q & A: Je, mabadiliko ya wima na kunyoosha/compression huathiri aina ya secant?

Ndiyo. mbalimbali ya$f(x)=A\sec(Bx−C)+D$ ni$(−∞,−|A|+D]∪[|A|+D,∞)$.

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya fomu$f(x)=A\sec(Bx−C)+D$, graph one period.

Eleza kazi iliyotolewa katika fomu$y=A \sec(Bx−C)+D$.
Tambua sababu ya kunyoosha/compressing,$| A |$.
Tambua$B$ na kuamua kipindi,$\dfrac{2\pi}{|B|}$.
Tambua$C$ na kuamua mabadiliko ya awamu,$\dfrac{C}{B}$.
Chora grafu$y=A \sec(Bx)$ ya. lakini kuhama kwa haki$\dfrac{C}{B}$ na kuendelea na$D$.
Mchoro asymptotes wima, ambayo hutokea katika$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{2| B |}k$, ambapo$k$ ni integer isiyo ya kawaida.

Mfano$\PageIndex{5}$: Graphing a Variation of the Secant Function

Grafu kipindi kimoja cha$y=4\sec \left (\dfrac{\pi}{3x}−\dfrac{\pi}{2} \right )+1$.

Suluhisho

Hatua ya 1. Eleza kazi iliyotolewa katika fomu$y=4\sec \left (\dfrac{\pi}{3x}−\dfrac{\pi}{2} \right )+1$.
Hatua ya 2. Sababu ya kunyoosha/compressing ni$| A |=4$.
Hatua ya 3. Kipindi ni

\[\begin{align*} \dfrac{2\pi}{|B|}&= \dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{3}}\\ &= 2\pi \cdot \dfrac{3}{\pi}\\ &= 6 \end{align*}\]

Hatua ya 4. Mabadiliko ya awamu ni

\[\begin{align*} \dfrac{C}{B}&= \dfrac{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{3}}\\ &= \dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{3}{\pi}\\ &= 1.5 \end{align*}\]

Hatua ya 5. Chora grafu ya$y=A\sec(Bx)$, lakini kuhama kwa haki$\dfrac{C}{B}=1.5$ na kuendelea na$D=6$.
Hatua ya 6. Mchoro asymptotes wima, ambayo hutokea saa$x=0$,$x=3$, na$x=6$. Kuna kiwango cha chini ndani katika$(1.5,5)$ na upeo wa ndani katika$(4.5,−3)$. Kielelezo$\PageIndex{12}$ kinaonyesha grafu.

$imageedit_80_2956545252.png$

Kielelezo$\PageIndex{12}$

Zoezi$\PageIndex{5}$

Grafu kipindi kimoja cha$f(x)=−6\sec(4x+2)−8$.

Jibu

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi ya secant iliyobadilishwa. Kuna asymptotes mbili za wima, moja takriban x=-pi/20 na moja takriban saa 3pi/16.$

Kielelezo$\PageIndex{13}$

Q & A: Uwanja wa$\csc \, x$ was given to be all $x$ such that $x≠k\pi$ for any integer $k$. Would the domain of $y=A\csc(Bx−C)+D$ be $x≠\dfrac{C+k\pi}{B}$?

Ndiyo. Vipengele vilivyotengwa vya uwanja hufuata asymptotes ya wima. Maeneo yao yanaonyesha mabadiliko ya usawa na ukandamizaji au upanuzi unaotajwa na mabadiliko kwa pembejeo ya kazi ya awali.

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya fomu$y=A\csc(Bx)$, graph one period.

Eleza kazi iliyotolewa katika fomu$y=A\csc(Bx)$.
$|A|$.
Tambua$B$ na kuamua kipindi,$P=\dfrac{2\pi}{| B |}$.
Chora grafu ya$y=A\sin(Bx)$.
Tumia uhusiano wa usawa kati$y=sin \, x$ na$y=\csc \, x$ kuteka grafu ya$y=A\csc(Bx)$.
Mchoro asymptotes.
Panda pointi mbili za kumbukumbu na kuteka grafu kupitia pointi hizi.

Mfano$\PageIndex{6}$: Graphing a Variation of the Cosecant Function

Grafu kipindi kimoja cha$f(x)=−3\csc(4x)$.

Suluhisho

Hatua ya 1. Kazi iliyotolewa tayari imeandikwa kwa fomu ya jumla,$y=A\csc(Bx)$.
Hatua ya 2. $| A |=| −3 |=3$, hivyo sababu ya kunyoosha ni$3$.
Hatua ya 3. $B=4$, hivyo$P=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$. Kipindi ni$\dfrac{\pi}{2}$ vitengo.
Hatua ya 4. Mchoro grafu ya kazi$g(x)=−3\sin(4x)$.
Hatua ya 5. Tumia uhusiano wa usawa wa kazi za sine na cosecant ili kuteka kazi ya cosecant.
Hatua 6-7. Mchoro asymptotes tatu katika$x=0$$x=\dfrac{\pi}{4}$,, na$x=\dfrac{\pi}{2}$. Tunaweza kutumia pointi mbili kumbukumbu, ndani ya kiwango cha juu katika$\left (\dfrac{\pi}{8},−3 \right )$ na kiwango cha chini ndani katika$\left (\dfrac{3\pi}{8},3 \right )$. Kielelezo$\PageIndex{14}$ kinaonyesha grafu.

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi ya cosecant. Kuna asymptotes wima katika x=0, x=pi/4, na x=pi/2.$

Kielelezo$\PageIndex{14}$

Zoezi$\PageIndex{6}$

Grafu kipindi kimoja cha$f(x)=0.5\csc(2x)$.

Jibu

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi iliyobadilishwa ya secant, ambayo inaonekana kama prarbola inayoelekea kushuka na juu inakabiliwa na parabola.$

Kielelezo$\PageIndex{15}$

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya fomu$f(x)=A \csc(Bx−C)+D$, graph one period

Eleza kazi iliyotolewa katika fomu$y=A\csc(Bx−C)+D$.
Tambua sababu ya kunyoosha/compressing,$|A|$.
Tambua$B$ na kuamua kipindi,$\dfrac{2\pi}{| B |}$.
Tambua$C$ na kuamua mabadiliko ya awamu,$\dfrac{C}{B}$.
Chora grafu ya$y=A\csc(Bx)$ lakini kuhama kwa haki na kuendelea na$D$.
Mchoro asymptotes wima, ambayo hutokea$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{| B |}k$,$k$ wapi integer.

Mfano$\PageIndex{7}$: Graphing a Vertically Stretched, Horizontally Compressed, and Vertically Shifted Cosecant

Mchoro grafu ya$y=2\csc \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )+1$. Je, ni uwanja na aina gani ya kazi hii?

Suluhisho

Hatua ya 1. Eleza kazi iliyotolewa katika fomu$y=2\csc \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )+1$.
Hatua ya 2. Tambua sababu ya kunyoosha/compressing,$| A |=2$.
Hatua ya 3. Kipindi ni$\dfrac{2\pi}{| B |}=\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}=2\pi⋅\dfrac{2}{\pi}=4$.
Hatua ya 4. Mabadiliko ya awamu ni$\dfrac{0}{\dfrac{\pi}{2}}=0$.
Hatua ya 5. Chora grafu ya$y=A\csc(Bx)$ lakini ugeuke$D=1$.
Hatua ya 6. Mchoro asymptotes wima, ambayo hutokea saa$x=0$,$x=2$,$x=4$.

Grafu ya kazi hii inavyoonekana kwenye Kielelezo$\PageIndex{16}$.

$Grafu ya vipindi 3 vya kazi iliyobadilishwa ya cosecant, na asymptotes 3 wima, na kazi ya sinusoidal yenye dotted ambayo ina maximums ya ndani ambapo kazi ya cosecant ina minimums ya ndani na minimums ya ndani ambapo kazi ya cosecant ina maximums ya ndani.$

Kielelezo$\PageIndex{16}$: Kazi iliyobadilishwa ya cosecant

Uchambuzi

Asymptotes wima inavyoonekana kwenye alama ya grafu mbali kipindi kimoja cha kazi, na extrema ya ndani katika kipindi hiki inavyoonyeshwa na dots. Angalia jinsi graph ya cosecant kubadilishwa inahusiana na grafu ya$f(x)=2\sin \left (\frac{\pi}{2}x \right )+1$, umeonyesha kama machungwa dashed wimbi.

Zoezi$\PageIndex{7}$

Kutokana na grafu ya$f(x)=2\cos \left (\frac{\pi}{2}x \right )+1$ inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{17}$, mchoro grafu ya$g(x)=2\sec \left (\dfrac{\pi}{2}x \right )+1$ juu ya axes sawa.

$Grafu ya vipindi viwili vya kazi ya cosine iliyobadilishwa. Upeo ni [-1,3], umewekwa kutoka x=-4 hadi x=4.$

Kielelezo$\PageIndex{17}$

Jibu

$Grafu ya vipindi viwili vya kazi ya secant na consine. Graph inaonyesha kwamba cosine kazi ina maximums ndani ambapo secant kazi ina minimums ndani na kinyume chake.$

Kielelezo$\PageIndex{18}$

Kuchambua Grafu ya$y = \cot x$

Kazi ya mwisho ya trigonometric tunayohitaji kuchunguza ni cotangent. Cotangent inaelezwa na utambulisho wa usawa$cot \, x=\dfrac{1}{\tan x}$. Kumbuka kwamba kazi haijulikani wakati kazi ya tangent ni$0$, na kusababisha asymptote wima katika grafu saa$0$$\pi$, nk Kwa kuwa pato la kazi ya tangent ni namba zote halisi, pato la kazi ya cotangent pia ni namba zote halisi.

Tunaweza grafu$y=\cot x$ kwa kuchunguza grafu ya kazi ya tangent kwa sababu kazi hizi mbili ni za usawa wa kila mmoja. Angalia Kielelezo$\PageIndex{19}$. Ambapo grafu ya kazi ya tangent inapungua, grafu ya kazi ya cotangent huongezeka. Ambapo grafu ya kazi ya tangent huongezeka, grafu ya kazi ya cotangent inapungua.

Grafu ya cotangent ina asymptotes wima kwa kila thamani ya$x$ wapi$\tan x=0$; tunaonyesha haya katika grafu hapa chini na mistari iliyopigwa. Kwa kuwa cotangent ni usawa wa tangent,$\cot x$ ina asymptotes wima katika maadili yote ya$x$ wapi$\tan x=0$, na$\cot x=0$ kwa maadili yote ya$x$ wapi$\tan x$ ina asymptotes yake ya wima.

$Grafu ya cotangent ya x, na asymptotes wima katika wingi wa pi.$

Kielelezo$\PageIndex{19}$: Kazi ya cotangent

MAKALA YA GRAFU YA$Y = A \cot(BX)$

Sababu ya kunyoosha ni$|A|$.
Kipindi ni$P=\dfrac{\pi}{|B|}$.
Kikoa ni$x≠\dfrac{\pi}{|B|}k$, wapi$k$ integer.
Mipangilio ni$(−∞,∞)$.
Asymptotes hutokea saa$x=\dfrac{\pi}{| B |}k$,$k$ wapi integer.
$y=A\cot(Bx)$ni kazi isiyo ya kawaida.

Graphing Tofauti ya$y =\cot x$

Tunaweza kubadilisha grafu ya cotangent kwa njia sawa na tulivyofanya kwa tangent. Equation inakuwa yafuatayo.

\[y=A\cot(Bx−C)+D\]

MALI YA GRAFU YA$Y = A \cot(Bx-c)+D$

Sababu ya kunyoosha ni$| A |$.
Kipindi ni$\dfrac{\pi}{|B|}$
Kikoa ni$x≠\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{| B |}k$, wapi$k$ integer.
Mipangilio ni$(−∞,−|A|]∪[|A|,∞)$.
Asymptotes wima hutokea saa$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{| B |}k$,$k$ wapi integer.
Hakuna amplitude.
$y=A\cot(Bx)$ni kazi isiyo ya kawaida kwa sababu ni quotient ya kazi hata na isiyo ya kawaida (cosine na sine, kwa mtiririko huo)

Jinsi ya: Kutokana na kazi iliyobadilishwa ya cotangent ya fomu$f(x)=A\cot(Bx)$,graph one period.

Eleza kazi katika fomu$f(x)=A\cot(Bx)$.
Tambua sababu ya kuenea,$|A|$.
Tambua kipindi,$P=\dfrac{\pi}{|B|}$.
Chora grafu ya$y=A\tan(Bx)$.
Panda pointi zozote mbili za kumbukumbu.
Tumia uhusiano wa usawa kati ya tangent na cotangent kuteka grafu ya$y=Acot(Bx)$.
Mchoro asymptotes.

Mfano$\PageIndex{8}$: Graphing Variations of the Cotangent Function

Kuamua sababu ya kunyoosha, kipindi, na mabadiliko ya awamu ya$y=3\cot(4x)$, na kisha mchoro grafu.

Suluhisho

Hatua ya 1. Kuonyesha kazi katika fomu$f(x)=A\cot(Bx)$ inatoa$f(x)=3\cot(4x)$.
Hatua ya 2. Sababu ya kunyoosha ni$|A|=3$.
Hatua ya 3. Kipindi ni$P=\dfrac{\pi}{4}$.
Hatua ya 4. Mchoro grafu ya$y=3\tan(4x)$.
Hatua ya 5. Panda pointi mbili za kumbukumbu. Vipengele viwili vile ni$\left (\dfrac{\pi}{16},3 \right )$ na$\left (\dfrac{3\pi}{16},−3 \right )$.
Hatua ya 6. Tumia uhusiano wa usawa kuteka$y=3\cot(4x)$.
Hatua ya 7. Mchoro asymptotes,$x=0$,$x=\dfrac{\pi}{4}$.

Grafu ya machungwa katika Kielelezo$\PageIndex{20}$ inaonyesha$y=3\tan(4x)$ na grafu ya bluu inaonyesha$y=3\cot(4x)$.

$Grafu ya vipindi viwili vya kazi iliyobadilishwa ya tangent na kazi iliyobadilishwa ya cotangent. Asymptotes ya wima katika x=-pi/4 na pi/4.$

Kielelezo$\PageIndex{20}$

Jinsi ya: Kutokana na kazi iliyobadilishwa ya cotangent ya fomu$f(x)=A\cot(Bx−C)+D$, graph one period.

Eleza kazi katika fomu$f(x)=A\cot(Bx−C)+D$.
Tambua sababu ya kuenea,$| A |$.
Tambua kipindi,$P=\dfrac{\pi}{|B|}$.
Tambua mabadiliko ya awamu,$\dfrac{C}{B}$.
Chora grafu ya$y=A\tan(Bx)$ kubadilishwa kwa haki$\dfrac{C}{B}$ na juu$D$.
Mchoro asymptotes$x=\dfrac{C}{B}+\dfrac{\pi}{| B |}k$,$k$ wapi integer.
Panda pointi yoyote ya kumbukumbu tatu na kuteka grafu kupitia pointi hizi.

Mfano$\PageIndex{9}$: Graphing a Modified Cotangent

Mchoro grafu ya kipindi kimoja cha kazi$f(x)=4\cot \left (\dfrac{\pi}{8}x−\dfrac{\pi}{2} \right )−2$.

Suluhisho

Hatua ya 1. Kazi tayari imeandikwa kwa fomu ya jumla$f(x)=A\cot(Bx−C)+D$.
Hatua ya 2. $A=4$, hivyo sababu ya kunyoosha ni$4$.
Hatua ya 3. $B=\dfrac{\pi}{8}$, hivyo kipindi ni$P=\dfrac{\pi}{| B |}=\dfrac{\pi}{\dfrac{\pi}{8}}=8$.
Hatua ya 4. $C=\dfrac{\pi}{2}$, hivyo mabadiliko ya awamu ni$CB=\dfrac{\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{8}}=4$.
Hatua ya 5. Sisi kuteka$f(x)=4\tan \left (\dfrac{\pi}{8}x−\dfrac{\pi}{2} \right )−2$.
Hatua ya 6-7. Vipengele vitatu tunaweza kutumia kuongoza grafu ni$(6,2)$,$(8,−2)$, na$(10,−6)$. Tunatumia uhusiano wa usawa wa tangent na cotangent kuteka$f(x)=4\cot \left (\dfrac{\pi}{8}x−\dfrac{\pi}{2} \right )−2$.
Hatua ya 8. Asymptotes wima ni$x=4$ na$x=12$.

Grafu inavyoonyeshwa kwenye Kielelezo$\PageIndex{21}$.

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi iliyobadilishwa ya cotangent. Asymptotes wima katika x=4 na x=12.$

Kielelezo$\PageIndex{21}$: Kipindi kimoja cha kazi iliyobadilishwa ya cotangent

Kutumia Grafu za Kazi za Trigonometric kutatua Matatizo halisi ya Dunia

Matukio mengi ya ulimwengu halisi yanawakilisha kazi za mara kwa mara na inaweza kuwa inatokana na kazi za trigonometric. Kwa mfano, hebu kurudi kwenye hali kutoka kwa kopo ya sehemu. Je! Umewahi kuona boriti iliyotengenezwa na mwanga unaozunguka kwenye gari la polisi na kujiuliza juu ya harakati ya boriti ya mwanga yenyewe kwenye ukuta? Tabia ya mara kwa mara ya umbali mwanga huangaza kama kazi ya wakati ni dhahiri, lakini tunawezaje kuamua umbali? Tunaweza kutumia kazi tangent.

Mfano$\PageIndex{10}$: Using Trigonometric Functions to Solve Real-World Scenarios

Tuseme kazi$y=5\tan(\dfrac{\pi}{4}t)$ alama umbali katika harakati ya boriti mwanga kutoka juu ya gari polisi katika ukuta ambapo$t$ ni wakati katika sekunde na$y$ ni umbali katika miguu kutoka hatua juu ya ukuta moja kwa moja hela kutoka gari polisi.

Pata na kutafsiri sababu ya kuenea na kipindi.
Grafu juu ya muda$[0,5]$.
Kutathmini$f(1)$ na kujadili thamani ya kazi katika pembejeo kwamba.

Suluhisho

Tunajua kutoka kwa fomu ya jumla ya$y=A\tan(Bt)$ hiyo$| A |$ ni sababu ya kuenea na$\dfrac{\pi}{B}$ ni kipindi.

$Grafu inayoonyesha kuwa kutofautiana A ni mgawo wa kazi ya tangent na kutofautiana B ni mgawo wa x, ambayo iko ndani ya kazi hiyo ya tangent.$

Kielelezo$\PageIndex{22}$

Tunaona kwamba sababu ya kunyoosha ni$5$. Hii ina maana kwamba boriti ya mwanga itahamia$5$ ft baada ya nusu kipindi.

Kipindi ni$\dfrac{\pi}{\tfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\pi}{1}⋅\dfrac{4}{\pi}=4$. Hii ina maana kwamba kila$4$ sekunde, boriti ya mwanga inafuta ukuta. Umbali kutoka doa hela kutoka gari la polisi unakua kubwa huku gari la polisi linakaribia.

Ili kuchora kazi, tunapata asymptote$t=2$ na kutumia sababu ya kuenea na kipindi. Angalia Kielelezo$\PageIndex{23}$

$Grafu ya kipindi kimoja cha kazi ya tangent iliyobadilishwa, na asymptote ya wima saa x=4.$

Kielelezo$\PageIndex{23}$

kipindi:$f(1)=5\tan(\frac{\pi}{4}(1))=5(1)=5$; baada ya$1$ pili, boriti ya ina wakiongozwa$5$ ft kutoka doa hela kutoka gari polisi.

vyombo vya habari

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na grafu za kazi nyingine za trigonometric.

Mlinganyo muhimu

Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi tangent	$y=A \tan(Bx−C)+D$
Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi ya secant	$y=A \sec(Bx−C)+D$
Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi ya cosecant	$y=A \csc(Bx−C)+D$
Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi ya cotangent	$y=A \cot(Bx−C)+D$

Dhana muhimu

Kazi ya tangent ina kipindi$π$.
$f( x )=A\tan( Bx−C )+D$ni tangent na wima na/au usawa kunyoosha/compression na kuhama. Angalia Mfano$\PageIndex{1}$, Mfano$\PageIndex{2}$, na Mfano$\PageIndex{3}$.
Secant na cosecant ni kazi zote mbili mara kwa mara na kipindi cha$2\pi$. $f( x )=A\sec( Bx−C )+D$anatoa kubadilishwa, USITUMIE, na/au aliweka secant kazi grafu. Angalia Mfano$\PageIndex{4}$ na Mfano$\PageIndex{5}$.
$f( x )=A\csc( Bx−C )+D$anatoa kubadilishwa, USITUMIE, na/au aliweka cosecant kazi grafu. Angalia Mfano$\PageIndex{6}$ na Mfano$\PageIndex{7}$.
Kazi ya cotangent ina muda$\pi$ na asymptotes wima katika$0,±\pi,±2\pi$,...
Aina ya cotangent ni$( −∞,∞ )$, na kazi inapungua kwa kila hatua katika upeo wake.
Cotangent ni sifuri saa$±\dfrac{\pi}{2},±\dfrac{3\pi}{2}$,...
$f(x)=A\cot(Bx−C)+D$ni cotangent na wima na/au usawa kunyoosha/compression na kuhama. Angalia Mfano$\PageIndex{8}$ na Mfano$\PageIndex{9}$.
Matukio halisi ya ulimwengu yanaweza kutatuliwa kwa kutumia grafu za kazi za trigonometric. Angalia Mfano$\PageIndex{10}$.

\(x\)	\(−\dfrac{\pi}{2}\)	\(−\dfrac{\pi}{3}\)	\(−\dfrac{\pi}{4}\)	\(−\dfrac{\pi}{6}\)	0	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\tan x\)	haijafafanuliwa	\(-\sqrt{3}\)	\(–1\)	\(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	0	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	1	\(\sqrt{3}\)	haijafafanuliwa

\(x\)	-1.3	-1.5	-1.55	-1.56
\(\tan x\)	-3.6	-14.1	-48.1	-92.6

Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi tangent	\(y=A \tan(Bx−C)+D\)
Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi ya secant	\(y=A \sec(Bx−C)+D\)
Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi ya cosecant	\(y=A \csc(Bx−C)+D\)
Kubadilishwa, kusisitizwa, na/au aliweka kazi ya cotangent	\(y=A \cot(Bx−C)+D\)

Malengo ya kujifunza

Kuchambua Grafu ya\(y =\tan x\)

Graphing Tofauti ya\(y = \tan \, x\)

MAKALA YA GRAFU YA\(Y = A \tan(Bx)\)

Graphing Kipindi kimoja cha Kazi ya Tangent iliyopigwa au iliyosimamishwa

Jinsi ya: Kutokana na kazi\(f(x)=A \tan(Bx)\), graph one period.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Sketching a Compressed Tangent

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Graphing Kipindi kimoja cha Kazi ya Tangent iliyobadilishwa

Jinsi ya: Kutokana na kazi\(y=A\tan(Bx−C)+D\), sketch the graph of one period.

Mfano\(\PageIndex{2}\): Graphing One Period of a Shifted Tangent Function

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Jinsi ya: Kutokana na grafu ya kazi ya tangent, kutambua kunyoosha usawa na wima.

Mfano\(\PageIndex{3}\): Identifying the Graph of a Stretched Tangent

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Kuchambua Grafu ya\(y = \sec x\) na\(y = \csc x\)

MAKALA YA GRAFU YA\(Y = A \sec(Bx)\)

Graphing Tofauti ya\(y = \sec x\) na\(y= \csc x\)

MAKALA YA GRAFU YA\(Y = A\sec(Bx−C)+D\)

HOWTO: Kutokana na kazi ya fomu\(y=A\sec(Bx)\), graph one period

Q & A: Je, mabadiliko ya wima na kunyoosha/compression huathiri aina ya secant?

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya fomu\(f(x)=A\sec(Bx−C)+D\), graph one period.

Mfano\(\PageIndex{5}\): Graphing a Variation of the Secant Function

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Q & A: Uwanja wa\(\csc \, x\) was given to be all \(x\) such that \(x≠k\pi\) for any integer \(k\). Would the domain of \(y=A\csc(Bx−C)+D\) be \(x≠\dfrac{C+k\pi}{B}\)?

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya fomu\(y=A\csc(Bx)\), graph one period.

Mfano\(\PageIndex{6}\): Graphing a Variation of the Cosecant Function

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya fomu\(f(x)=A \csc(Bx−C)+D\), graph one period

Mfano\(\PageIndex{7}\): Graphing a Vertically Stretched, Horizontally Compressed, and Vertically Shifted Cosecant

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Kuchambua Grafu ya\(y = \cot x\)

Graphing Tofauti ya\(y =\cot x\)

MALI YA GRAFU YA\(Y = A \cot(Bx-c)+D\)

Mfano\(\PageIndex{8}\): Graphing Variations of the Cotangent Function

Jinsi ya: Kutokana na kazi iliyobadilishwa ya cotangent ya fomu\(f(x)=A\cot(Bx−C)+D\), graph one period.

Mfano\(\PageIndex{9}\): Graphing a Modified Cotangent

Kutumia Grafu za Kazi za Trigonometric kutatua Matatizo halisi ya Dunia

Mfano\(\PageIndex{10}\): Using Trigonometric Functions to Solve Real-World Scenarios

vyombo vya habari

Mlinganyo muhimu

Dhana muhimu