Skip to main content
Global

6.1: Grafu za Kazi za Sine na Cosine

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    181103

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Graph tofauti ya\(y=\sin( x )\) na\(y=\cos( x )\).
    • Tumia mabadiliko ya awamu ya curves ya sine na cosine.

    Nuru nyeupe, kama mwanga kutoka jua, sio nyeupe kabisa. Badala yake, ni muundo wa rangi zote za upinde wa mvua kwa namna ya mawimbi. Rangi ya mtu binafsi inaweza kuonekana tu wakati mwanga mweupe unapita kupitia prism ya macho ambayo hutenganisha mawimbi kulingana na wavelengths yao ili kuunda upinde wa mvua.

    Picha ya boriti ya rangi ya upinde wa mvua ya mwanga inayoenea kwenye sakafu.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Mwanga unaweza kutengwa katika rangi kwa sababu ya mali yake ya wimbi. (mikopo: “wonderferret”/Flickr)

    Mawimbi ya mwanga yanaweza kuwakilishwa graphically na kazi ya sine. Katika sura ya Kazi za Trigonometric, tulichunguza kazi za trigonometric kama kazi ya sine. Katika sehemu hii, tutatafsiri na kuunda grafu za kazi za sine na cosine.

    Graphing Sine na Cosine Kazi

    Kumbuka kwamba kazi za sine na cosine zinahusiana na maadili halisi ya nambari kwa\(x\) - na\(y\) -kuratibu ya uhakika kwenye mduara wa kitengo. Kwa hiyo wanaonekanaje kwenye grafu kwenye ndege ya kuratibu? Hebu tuanze na kazi ya sine. Tunaweza kuunda meza ya maadili na kuitumia kwa mchoro wa grafu. Meza\(\PageIndex{1}\) orodha baadhi ya maadili kwa ajili ya kazi sine kwenye mduara kitengo.

    Jedwali\(\PageIndex{1}\)
    \(x\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\dfrac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
    \(\sin(x)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\)

    Kupanga pointi kutoka meza na kuendelea pamoja na x -axis hutoa sura ya kazi ya sine. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

    Grafu ya dhambi (x). Mitaa upeo katika (pi/2, 1). Mitaa ya chini katika (3pi/2, -1). Kipindi cha 2pi.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kazi ya sine

    Angalia jinsi maadili ya sine ni chanya kati\(0\) na\(\pi\), ambayo yanahusiana na maadili ya kazi ya sine katika quadrants I na II kwenye mduara wa kitengo, na maadili ya sine ni hasi kati\(\pi\) na\(2\pi\), ambayo yanahusiana na maadili ya kazi ya sine katika quadrants III na IV kwenye mduara wa kitengo. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{3}\).

    Grafu ya upande kwa upande wa mduara wa kitengo na grafu ya dhambi (x). Grafu mbili zinaonyesha ulinganifu wa kuratibu.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Kupanga maadili ya kazi ya sine

    Sasa hebu tuangalie sawa kazi ya cosine. Tena, tunaweza kuunda meza ya maadili na kuitumia mchoro wa grafu. Jedwali\(\PageIndex{2}\) linaorodhesha baadhi ya maadili ya kazi ya cosine kwenye mduara wa kitengo.

    Jedwali\(\PageIndex{2}\)
    \(x\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
    \(\cos(x)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\)

    Kama ilivyo na kazi ya sine, tunaweza kuunda pointi ili kuunda grafu ya kazi ya cosine kama kwenye Mchoro\(\PageIndex{4}\).

    Grafu ya gharama (x). Maxima ya ndani katika (0,1) na (2pi, 1). Kima cha chini cha mitaa (pi, -1). Kipindi cha 2pi.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Kazi ya cosine

    Kwa sababu tunaweza kutathmini sine na cosine ya idadi yoyote halisi, kazi hizi zote zinaelezwa kwa namba zote halisi. Kwa kufikiria maadili ya sine na cosine kama kuratibu ya pointi kwenye mduara wa kitengo, inakuwa wazi kwamba aina mbalimbali za kazi zote mbili lazima iwe muda\([ −1,1 ]\).

    Katika grafu zote mbili, sura ya grafu inarudia baada\(2\pi\), ambayo inamaanisha kazi ni mara kwa mara na kipindi cha\(2\pi\). Kazi ya mara kwa mara ni kazi ambayo mabadiliko maalum ya usawa\(P\),, matokeo katika kazi sawa na kazi ya awali:\(f(x+P)=f(x)\) kwa maadili yote ya\(x\) katika uwanja wa\(f\). Wakati hii inatokea, tunaita mabadiliko madogo kama hayo\(P>0\) ya usawa na kipindi cha kazi. Kielelezo\(\PageIndex{5}\) kinaonyesha vipindi kadhaa vya kazi za sine na cosine.

    Grafu za upande kwa upande wa dhambi (x) na cos (x). Grafu zinaonyesha urefu wa kipindi kwa kazi zote mbili, ambayo ni 2pi.
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

    Kuangalia tena kwenye kazi za sine na cosine kwenye uwanja unaozingatia kwenye\(y\) -axis husaidia kufunua ulinganifu. Kama tunaweza kuona katika Kielelezo\(\PageIndex{6}\), kazi sine ni symmetric kuhusu asili. Kumbuka kutoka Kazi nyingine Trigonometric kwamba sisi kuamua kutoka mduara kitengo kwamba kazi sine ni kazi isiyo ya kawaida kwa sababu\(\sin(−x)=−\sin\space x\). Sasa tunaweza kuona wazi mali hii kutoka kwenye grafu.

    Grafu ya dhambi (x) inayoonyesha kwamba dhambi (x) ni kazi isiyo ya kawaida kutokana na ulinganifu usio wa kawaida wa grafu.
    Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Ulinganifu usio wa kawaida wa kazi ya sine

    Kielelezo\(\PageIndex{7}\) kinaonyesha kwamba kazi ya cosine ni sawa na\(y\) -axis. Tena, tuliamua kuwa kazi ya cosine ni kazi hata. Sasa tunaweza kuona kutoka grafu kwamba\(\cos(−x)=\cos\space x\).

    Grafu ya cos (x) inayoonyesha kwamba cos (x) ni kazi hata kutokana na ulinganifu hata wa grafu.
    Kielelezo\(\PageIndex{7}\): Hata ulinganifu wa kazi ya cosine
    TABIA YA KAZI ZA SINE NA COSINE

    Kazi za sine na cosine zina sifa kadhaa tofauti:

    • Wao ni kazi za mara kwa mara na kipindi cha\(2\pi\).
    • Kikoa cha kila kazi ni\((−\infty,\infty)\) na upeo ni\([ −1,1 ]\).
    • Grafu ya\(y=\sin\space x\) ni sawa na asili, kwa sababu ni kazi isiyo ya kawaida.
    • Grafu ya\(y=\cos\space x\) ni symmetric kuhusu wao-\(y\) -axis, kwa sababu ni hata kazi.

    Kuchunguza Kazi za Sinusoidal

    Kama tunavyoweza kuona, kazi za sine na cosine zina kipindi cha kawaida na upeo. Ikiwa tunaangalia mawimbi ya bahari au mawimbi kwenye bwawa, tutaona kwamba yanafanana na kazi za sine au cosine. Hata hivyo, si lazima kufanana. Baadhi ni warefu au mrefu kuliko wengine. Kazi ambayo ina sura sawa ya jumla kama kazi ya sine au cosine inajulikana kama kazi ya sinusoidal. Aina ya jumla ya kazi za sinusoidal ni

    \[y=A\sin(Bx−C)+D\]

    na

    \[y=A\cos(Bx−C)+D\]

    Kuamua Kipindi cha Kazi za Sinusoidal

    Kuangalia aina za kazi za sinusoidal, tunaweza kuona kwamba ni mabadiliko ya kazi za sine na cosine. Tunaweza kutumia kile tunachojua kuhusu mabadiliko ili kuamua kipindi.

    Kwa formula ya jumla,\(B\) ni kuhusiana na kipindi na\(P=\dfrac{2\pi}{|B|}\). Ikiwa\(|B|>1\), basi kipindi hicho ni cha chini\(2\pi\) na kazi inakabiliwa na ukandamizaji usio na usawa, wakati ikiwa\(| B |<1\), basi kipindi hicho ni kikubwa kuliko\(2\pi\) na kazi inakabiliwa na kunyoosha usawa. Kwa mfano,\(f(x)=\sin(x)\)\(B=1\), hivyo kipindi ni\(2\pi\), ambayo sisi alijua. Ikiwa\(f(x)=\sin(2x)\), basi\(B=2\), hivyo kipindi hicho ni\(\pi\) na grafu imesisitizwa. Ikiwa\(f(x)=\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\), basi\(B=\dfrac{1}{2}\), hivyo kipindi hicho ni\(4\pi\) na grafu imetambulishwa. Angalia katika Kielelezo\(\PageIndex{8}\) jinsi kipindi ni moja kwa moja kuhusiana na\(|B|\).

    Grafu yenye vitu vitatu. Mhimili wa x-axis huanzia 0 hadi 2pi. Y-axis ni kati ya -1 hadi 1. Kipengee cha kwanza ni grafu ya dhambi (x) kwa kipindi kimoja kamili. Ya pili ni grafu ya dhambi (2x) katika vipindi viwili. Ya tatu ni grafu ya dhambi (x/2) kwa nusu moja ya kipindi.
    Kielelezo\(\PageIndex{8}\)
    KIPINDI CHA KAZI ZA SINUSOIDAL

    Ikiwa tunaruhusu\(C=0\) na\(D=0\) kwa fomu ya jumla ya kazi za sine na cosine, tunapata fomu

    • \(y=A\sin(Bx)\)
    • \(y=A\cos(Bx)\)

    Kipindi ni\(\dfrac{2\pi}{|B|}\).

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Identifying the Period of a Sine or Cosine Function

    Tambua kipindi cha kazi\(f(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}x\right)\).

    Suluhisho

    Hebu tuanze kwa kulinganisha equation kwa fomu ya jumla\(y=A\sin(Bx)\).

    Katika equation kupewa\(B=\dfrac{\pi}{6}\), hivyo kipindi itakuwa

    \[ \begin{align*} P&=\dfrac{2\pi}{|B|} \\[4pt] &=\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}} \\ &=2\pi ⋅ \dfrac{6}{\pi} \\[4pt] &=12 \end{align*}\]

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Tambua kipindi cha kazi\(g(x)=\cos(\frac{x}{3})\).

    Jibu

    \(6\pi\)

    Kuamua Amplitude

    Kurudi kwa formula ya jumla kwa kazi ya sinusoidal, tumechambua jinsi kutofautiana\(B\) inahusiana na kipindi hicho. Sasa hebu tugeuke kwa kutofautiana\(A\) ili tuweze kuchambua jinsi inavyohusiana na amplitude, au umbali mkubwa kutoka kwa kupumzika. \(A\)inawakilisha sababu ya kunyoosha wima, na thamani yake kamili\(|A|\) ni amplitude. Maxima ya ndani itakuwa umbali\(|A|\) juu ya midline ya wima ya grafu, ambayo ni mstari\(x=D\); kwa sababu\(D=0\) katika kesi hii, midline ni x -axis. Minima ya ndani itakuwa umbali sawa chini ya midline. Ikiwa\(| A |>1\), kazi imetambulishwa. Kwa mfano, amplitude ya\(f(x)=4 sin x\) ni mara mbili amplitude ya

    \(f(x)=2\sin x\)

    Ikiwa\(| A |<1\), kazi hiyo imesisitizwa. Kielelezo\(\PageIndex{9}\) inalinganisha kazi kadhaa za sine na amplitudes tofauti.

    Grafu yenye vitu vinne. Mhimili wa x-axis huanzia -6pi hadi 6pi. Y-axis ni kati ya -4 hadi 4. Kipengee cha kwanza ni grafu ya dhambi (x), ambayo ina amplitude ya 1. Ya pili ni grafu ya 2sin (x), ambayo ina amplitude ya 2. Ya tatu ni grafu ya 3sin (x), ambayo ina amplitude ya 3. Ya nne ni grafu ya dhambi 4 (x) yenye amplitude ya 4.
    Kielelezo\(\PageIndex{9}\)
    AMPLITUDE YA KAZI ZA SINUSOIDAL

    Ikiwa tunaruhusu\(C=0\) na\(D=0\) kwa fomu ya jumla ya kazi za sine na cosine, tunapata fomu

    \[\begin{align} y=A\sin(Bx)\text { and } y=A\cos(Bx) \end{align}\]

    Amplitude ni\(A\), na urefu wima kutoka midline ni\(|A|\). Kwa kuongeza, angalia katika mfano kwamba

    \[|A| = amplitude = \dfrac{1}{2}∣maximum − minimum|\]

    Mfano\(\PageIndex{2}\): Identifying the Amplitude of a Sine or Cosine Function

    Je! Ni amplitude gani ya kazi ya sinusoidal\(f(x)=−4\sin(x)\)? Je, kazi imetambulishwa au imesisitizwa kwa wima?

    Suluhisho

    Hebu tuanze kwa kulinganisha kazi kwa fomu rahisi\(y=A\sin(Bx)\).

    Katika kazi iliyotolewa\(A=−4\), hivyo amplitude ni\(| A |=| −4 |=4\). Kazi imetambulishwa.

    Uchambuzi

    Thamani hasi ya\(A\) matokeo katika kutafakari katika\(x\) -axis ya kazi sine, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{10}\).

    Grafu ya -4sin (x). Kazi ina amplitude ya 4. Mitaa minima katika (-3pi/2, -4) na (pi/2, -4). Maxima ya ndani katika (-pi/2, 4) na (3pi/2, 4). Kipindi cha 2pi.
    Kielelezo\(\PageIndex{10}\)
    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Je! Ni amplitude gani ya kazi ya sinusoidal\(f(x)=\frac{1}{2}\sin(x)\)? Je, kazi imetambulishwa au imesisitizwa kwa wima?

    Jibu

    \(\frac{1}{2}\)USITUMIE

    Kuchambua Grafu ya Tofauti ya\(y = \sin\space x\) na\(y = \cos\space x\)

    Sasa kwa kuwa tunaelewa jinsi gani\(A\) na\(B\) kuhusiana na equation ya jumla ya fomu kwa kazi za sine na cosine, tutazingatia vigezo\(C\) na\(D\). Kumbuka fomu ya jumla:

    \[y=A\sin(Bx-C)+D\qquad \text{ and } \qquad y=A\cos(Bx-C)+D\]

    au

    \[y=A\sin\left (B\left (x-\dfrac{C}{B} \right ) \right )+D \qquad \text{ and } \qquad y=A\cos\left (B\left (x-\dfrac{C}{B} \right ) \right )+D\]

    Thamani\(\frac{C}{B}\) ya kazi ya sinusoidal inaitwa mabadiliko ya awamu, au uhamisho wa usawa wa kazi ya msingi ya sine au cosine. Ikiwa\(C>0\), grafu inabadilika kwa haki. Ikiwa\(C<0\), grafu inabadilika upande wa kushoto. Thamani kubwa ya\(| C |\), zaidi ya grafu inabadilishwa. Kielelezo\(\PageIndex{11}\) kinaonyesha kwamba grafu ya\(f(x)=\sin(x−\pi)\) mabadiliko ya haki na\(\pi\) vitengo, ambayo ni zaidi ya tunaona katika grafu ya\(f(x)=\sin\left(x−\frac{\pi}{4}\right)\), ambayo mabadiliko ya haki kwa\(\frac{\pi}{4}\) vitengo.

    Grafu yenye vitu vitatu. Kipengee cha kwanza ni grafu ya dhambi (x). Kipengee cha pili ni grafu ya dhambi (x-pi/4), ambayo ni sawa na dhambi (x) isipokuwa kubadilishwa kwa haki na pi/4. Kipengee cha tatu ni grafu ya dhambi (x-pi), ambayo ni sawa na dhambi (x) isipokuwa kubadilishwa kwa haki kwa pi.
    Kielelezo\(\PageIndex{11}\)

    Wakati\(C\) inahusiana na mabadiliko ya usawa,\(D\) inaonyesha mabadiliko ya wima kutoka katikati katika fomu ya jumla ya kazi ya sinusoidal. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{12}\). Kazi\(y=\cos(x)+D\) ina midline yake saa\(y=D\).

    Grafu ya y=Asin (x) +D. grafu inaonyesha midline ya kazi katika y=D.
    Kielelezo\(\PageIndex{12}\)

    Thamani\(D\) yoyote ya zaidi ya sifuri hubadilisha grafu juu au chini. Kielelezo\(\PageIndex{13}\) inalinganishwa\(f(x)=\sin x\) na\(f(x)=\sin x+2\), ambayo ni kubadilishwa\(2\) vitengo juu ya grafu.

    Grafu yenye vitu viwili. Kipengee cha kwanza ni grafu ya dhambi (x). Kipengee cha pili ni grafu ya dhambi (x) +2, ambayo ni sawa na dhambi (x) isipokuwa kubadilishwa na 2.
    Kielelezo\(\PageIndex{13}\)
    TOFAUTI YA KAZI ZA SINE NA COSINE

    Kutokana equation katika fomu\(f(x)=A \sin (Bx−C)+D\) au\(f(x)=A \cos (Bx−C)+D\),\(\frac{C}{D}\) ni awamu ya kuhama na\(D\) ni kuhama wima.

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Identifying the Phase Shift of a Function

    Kuamua mwelekeo na ukubwa wa mabadiliko ya awamu kwa\(f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)−2\).

    Suluhisho

    Hebu tuanze kwa kulinganisha equation kwa fomu ya jumla\(y=A\sin(Bx−C)+D\).

    Katika equation iliyotolewa, taarifa kwamba\(B=1\) na\(C=−\frac{\pi}{6}\). Hivyo mabadiliko ya awamu ni

    \[\begin{align*} \dfrac{C}{B}&= -\frac{\frac{\pi}{6}}{1}\\ &= -\frac{\pi}{6} \end{align*}\]

    au\(\frac{\pi}{6}\) vitengo kwa upande wa kushoto.

    Uchambuzi

    Lazima tuangalie ishara katika equation kwa fomu ya jumla ya kazi ya sinusoidal. Equation inaonyesha ishara minus kabla\(C\). Kwa hiyo\(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})−2\) inaweza kuandikwa upya kama\(f(x)=\sin\left(x−\left(−\frac{\pi}{6}\right)\right)−2\). Ikiwa thamani ya\(C\) ni hasi, mabadiliko ni upande wa kushoto.

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Kuamua mwelekeo na ukubwa wa mabadiliko ya awamu kwa\(f(x)=3\cos\left(x−\frac{\pi}{2}\right)\).

    Jibu

    \(\frac{\pi}{2}\); haki

    Mfano\(\PageIndex{4}\): Identifying the Vertical Shift of a Function

    Kuamua mwelekeo na ukubwa wa mabadiliko ya wima kwa\(f(x)=\cos(x)−3\).

    Suluhisho

    Hebu tuanze kwa kulinganisha equation kwa fomu ya jumla\(y=A\cos(Bx−C)+D\).

    Katika equation iliyotolewa,\(D=−3\) hivyo mabadiliko ni\(3\) vitengo chini.

    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Kuamua mwelekeo na ukubwa wa mabadiliko ya wima kwa\(f(x)=3\sin(x)+2\).

    Jibu

    \(2\)vitengo vya juu

    Jinsi ya: Kutokana na kazi ya sinusoidal katika fomu\(f(x)=A\sin(Bx−C)+D\),identify the midline, amplitude, period, and phase shift
    1. Kuamua amplitude kama\(| A |\).
    2. Kuamua kipindi kama\(P=\frac{2\pi}{| B |}\).
    3. Kuamua mabadiliko ya awamu kama\(\frac{C}{B}\).
    4. Kuamua midline kama\(y=D\).
    Mfano\(\PageIndex{5}\): Identifying the Variations of a Sinusoidal Function from an Equation

    Kuamua midline, amplitude, kipindi, na mabadiliko ya awamu ya kazi\(y=3\sin (2x)+1\).

    Suluhisho

    Hebu tuanze kwa kulinganisha equation kwa fomu ya jumla\(y=A\sin (Bx−C)+D\).

    \(A=3\), hivyo amplitude ni\(| A |=3\).

    Kisha\(B=2\), hivyo kipindi hicho ni\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\).

    Hakuna mara kwa mara iliyoongezwa ndani ya mabano, hivyo\(C=0\) na mabadiliko ya awamu ni\(\dfrac{C}{B}=\dfrac{0}{2}=0\).

    Hatimaye\(D=1\), hivyo midline ni\(y=1\).

    Uchambuzi

    Kuchunguza grafu, tunaweza kuamua kwamba kipindi ni\(\pi\), midline ni\(y=1\), na amplitude ni\(3\). Angalia Kielelezo\(\PageIndex{14}\).

    Grafu ya y=3sin (2x) +1. Grafu ina amplitude ya 3. Kuna midline katika y=1. Kuna kipindi cha pi. Mitaa upeo katika (pi/4, 4) na chini ya ndani katika (3pi/4, -2).
    Kielelezo\(\PageIndex{14}\)
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Kuamua midline, amplitude, kipindi, na mabadiliko ya awamu ya kazi\(y=\frac{1}{2}\cos \left(\frac{x}{3}−\frac{\pi}{3}\right)\).

    Jibu

    midline:\(y=0\); amplitude:\(| A |=\frac{1}{2}\); kipindi:\(P=\frac{2\pi}{| B |}=6π\); mabadiliko ya awamu:\(\frac{C}{B}=\pi\)

    Mfano\(\PageIndex{6}\): Identifying the Equation for a Sinusoidal Function from a Graph

    Tambua formula ya kazi ya cosine katika Kielelezo\(\PageIndex{15}\).

    Grafu ya -0.5 cos (x) +0.5. Grafu ina amplitude ya 0.5. Grafu ina kipindi cha 2pi. Grafu ina aina mbalimbali za [0, 1]. Grafu pia inaonekana kuhusu x-axis kutoka kwa kazi ya mzazi cos (x).
    Kielelezo\(\PageIndex{15}\)

    Suluhisho

    Kuamua equation, tunahitaji kutambua kila thamani kwa fomu ya jumla ya kazi ya sinusoidal.

    \(y=A\sin (Bx−C)+D\)

    \(y=A\cos (Bx−C)+D\)

    Grafu inaweza kuwakilisha ama sine au kazi ya cosine ambayo imebadilishwa na/au inaonekana. Wakati\(x=0\), grafu ina hatua kali,\((0,0)\). Kwa kuwa kazi ya cosine ina hatua kali kwa\(x=0\), hebu tuandike equation yetu kwa suala la kazi ya cosine.

    Hebu tuanze na midline. Tunaweza kuona kwamba grafu inaongezeka na iko umbali sawa juu na chini\(y=0.5\). Thamani hii, ambayo ni midline, ni\(D\) katika equation, hivyo\(D=0.5\).

    Umbali mkubwa juu na chini ya midline ni amplitude. Maxima ni\(0.5\) vitengo juu ya midline na minima ni\(0.5\) vitengo chini ya midline. Hivyo\(| A |=0.5\). Njia nyingine tunaweza kuamua amplitude ni kwa kutambua kwamba tofauti kati ya urefu wa maxima ya ndani na minima ni\(1\), hivyo\(| A |=\frac{1}{2}=0.5\). Pia, grafu inaonekana kuhusu\(x\) -axis ili\(A=−0.5\).

    Grafu haijatambulishwa kwa usawa au imesisitizwa, hivyo\(B=1\); na grafu haibadilishwa kwa usawa, hivyo\(C=0\).

    Kuweka hii yote pamoja,

    \(g(x)=−0.5\cos (x)+0.5\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Tambua formula ya kazi ya sine katika Kielelezo\(\PageIndex{16}\).

    Grafu ya dhambi (x) +2. Kipindi cha 2pi, amplitude ya 1, na aina ya [1, 3].
    Kielelezo\(\PageIndex{16}\)
    Jibu

    \(f(x)=\sin(x)+2\)

    Mfano\(\PageIndex{7}\): Identifying the Equation for a Sinusoidal Function from a Graph

    Kuamua equation kwa kazi sinusoidal katika Kielelezo\(\PageIndex{17}\).

    Grafu ya 3cos (pi/3x-pi/3) -2. Grafu ina amplitude ya 3, kipindi cha 6, mbalimbali ya [-5,1].
    Kielelezo\(\PageIndex{17}\)

    Suluhisho

    Kwa thamani ya juu\(1\) na thamani ya chini kabisa\(−5\), midline itakuwa nusu kati ya saa\(−2\). Hivyo\(D=−2\).

    Umbali kutoka midline kwa thamani ya juu au ya chini kabisa inatoa amplitude ya\(| A |=3\).

    Kipindi cha grafu ni\(6\), ambacho kinaweza kupimwa kutoka kilele\(x=1\) hadi kilele cha pili\(x=7\), au kutoka umbali kati ya pointi za chini kabisa. Kwa hiyo,\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}=6\). Kutumia thamani chanya kwa\(B\), tunaona kwamba

    \[\begin{align*} B&=\dfrac{2\pi}{P}\\ &=\dfrac{2\pi}{6}\\ &=\dfrac{\pi}{3} \end{align*}\]

    Hadi sasa, equation yetu ni\(y=3\sin\left(\dfrac{\pi}{3}x−C\right)−2\) aidha\(y=3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x−C\right)−2\) au.Kwa sura na kuhama, tuna chaguo zaidi ya moja. Tunaweza kuandika hii kama moja ya yafuatayo:

    • cosine imebadilishwa kwa haki
    • cosine hasi imebadilishwa upande wa kushoto
    • sine imebadilishwa upande wa kushoto
    • sine hasi kubadilishwa kwa haki

    Wakati yoyote ya haya itakuwa sahihi, mabadiliko cosine ni rahisi kufanya kazi na kuliko mabadiliko sine katika kesi hii kwa sababu wao kuhusisha maadili integer. Hivyo kazi yetu inakuwa

    \[\begin{align*} y&=3\cos \left (\frac{\pi}{3}x-\dfrac{\pi}{3} \right )-2 \qquad \text{or} \\ y&=-3\cos \left (\dfrac{\pi}{3}x+\dfrac{2\pi}{3} \right )-2 \end{align*}\]

    Tena, kazi hizi ni sawa, hivyo wote hutoa grafu sawa.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Andika formula ya kazi iliyowekwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{18}\).

    Grafu ya 4sin ((pi/5) x-pi/5) +4. Grafu ina kipindi cha 10, amplitude ya 4, mbalimbali ya [0,8].
    Kielelezo\(\PageIndex{18}\)
    Jibu

    uwezekano mbili:\(y=4\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x−\dfrac{\pi}{5}\right)+4\) au\(y=−4\sin\left(\dfrac{\pi}{5}x+\dfrac{4\pi}{5}\right)+4\)

    Graphing Tofauti ya\(y = \sin\space x\) na\(y = \cos\space x\)

    Katika sehemu hii, tumejifunza kuhusu aina ya tofauti za kazi za sine na cosine na kutumia habari hiyo kuandika equations kutoka grafu. Sasa tunaweza kutumia habari sawa ili kuunda grafu kutoka kwa equations.

    Badala ya kulenga equations fomu ya jumla

    \(y=A\sin(Bx-C)+D \text{ and } y=A\cos(Bx-C)+D\)

    tutaacha\(C=0\)\(D=0\) na kufanya kazi na fomu rahisi ya equations katika mifano ifuatayo.

    Kutokana na kazi\(y=A\sin(Bx)\), sketch its graph.
    1. Tambua amplitude,\(| A |\).
    2. Tambua kipindi,\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}\).
    3. Anza kwa asili, na kazi inaongezeka kwa haki ikiwa\(A\) ni chanya au kupungua ikiwa\(A\) ni hasi.
    4. Wakati\(x=\dfrac{\pi}{2| B |}\) kuna upeo wa ndani kwa\(A>0\) au kiwango cha chini kwa\(A<0\), kwa\(y=A\).
    5. Curve anarudi x -axis katika\(x=\dfrac{\pi}{| B |}\).
    6. Kuna kiwango cha chini ndani kwa\(A>0\) (kiwango cha juu kwa\(A<0\)) katika\(x=\dfrac{3\pi}{2| B |}\) na\(y=–A\).
    7. Curve anarudi tena x -axis katika\(x=\dfrac{\pi}{2| B |}\).
    Mfano\(\PageIndex{8}\): Graphing a Function and Identifying the Amplitude and Period

    Mchoro grafu ya\(f(x)=−2\sin\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)\).

    Suluhisho

    Hebu tuanze kwa kulinganisha equation kwa fomu\(y=A\sin(Bx)\).

    • Hatua ya 1. Tunaweza kuona kutoka equation kwamba\(A=−2\), hivyo amplitude ni 2.

      \(|A|=2 \)

    • Hatua ya 2. equation inaonyesha kwamba\(B=\dfrac{\pi}{2}\), hivyo kipindi ni

      \[\begin{align*} P&=\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\\ &=2\pi \cdot \dfrac{2}{\pi}\\ &=4 \end{align*}\]

    • Hatua ya 3. Kwa sababu\(A\) ni hasi, grafu inatoka tunapohamia haki ya asili.
    • Hatua ya 4. \(x\)-Intercepts ni mwanzoni mwa kipindi kimoja\(x=0\), midpoints ya usawa\(x=2\) iko na mwishoni mwa kipindi kimoja\(x=4\).

    pointi robo ni pamoja na kiwango cha chini katika\(x=1\) na kiwango cha juu katika\(x=3\). Kiwango cha chini cha mitaa kitatokea\(2\) vitengo chini ya midline\(x=1\), katika, na upeo wa ndani utatokea kwenye\(2\) vitengo juu ya midline, katika\(x=3\). Kielelezo\(\PageIndex{19}\) kinaonyesha grafu ya kazi.

    Grafu ya -2sin ((pi/2) x). Grafu ina mbalimbali ya [-2,2], kipindi cha 4, na amplitude ya 2.
    Kielelezo\(\PageIndex{19}\)
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Mchoro grafu ya\( g(x)=−0.8\cos(2x)\). Kuamua midline, amplitude, kipindi, na mabadiliko ya awamu.

    Jibu
    Grafu ya -0.8cos (2x). Grafu ina mbalimbali ya [-0.8, 0.8], kipindi cha pi, amplitude ya 0.8, na inaonekana kuhusu x-axis ikilinganishwa na kazi yake mzazi cos (x).
    Kielelezo\(\PageIndex{20}\)

    midline:\(y=0\); amplitude:\(| A |=0.8\); kipindi:\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}=\pi\); mabadiliko ya awamu:\(\dfrac{C}{B}=0\) au hakuna

    Jinsi ya: Kutokana na kazi ya sinusoidal na mabadiliko ya awamu na mabadiliko ya wima, mchoro grafu yake
    1. Eleza kazi kwa fomu ya jumla\(y=A\sin(Bx−C)+D\) au\(y=A\cos(Bx−C)+D\).
    2. Tambua amplitude,\(| A |\).
    3. Tambua kipindi,\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}\).
    4. Tambua mabadiliko ya awamu,\(\dfrac{C}{B}\).
    5. Chora grafu ya\(f(x)=A\sin(Bx)\) kubadilishwa kwenda kulia au kushoto\(\dfrac{C}{B}\) na juu au chini na\(D\).
    Mfano\(\PageIndex{9}\): Graphing a Transformed Sinusoid

    Mchoro grafu ya\(f(x)=3\sin\left(\dfrac{\pi}{4x}−\dfrac{\pi}{4}\right)\).

    Suluhisho

    Grafu ya 3sin (* (pi/4) x-pi/4). Grafu ina amplitude ya 3, kipindi cha 8, na mabadiliko ya awamu ya 1 kwa haki.
    Kielelezo\(\PageIndex{21}\): usawa USITUMIE, wima aliweka, na usawa kubadilishwa sinusoid
    • Hatua ya 1. Kazi tayari imeandikwa kwa fomu ya jumla\(f(x)=3\sin\left(\dfrac{\pi}{4x}−\dfrac{\pi}{4}\right)\): Grafu hii itakuwa na sura ya kazi ya sine, kuanzia katikati na kuongezeka kwa haki.
    • Hatua ya 2. \(| A |=| 3 |=3\). Amplitude ni\(3\).
    • Hatua ya 3. Tangu\(| B |=| \dfrac{\pi}{4} |=\dfrac{\pi}{4}\), tunaamua kipindi kama ifuatavyo.

      \[\begin{align*} P&=\dfrac{2\pi}{|B|}\\ &=\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{4}}\\ &=2\pi \cdot \dfrac{4}{\pi}\\ &=8 \end{align*}\]

      Kipindi ni\(8\).

    • Hatua ya 4. Tangu\(C=\dfrac{\pi}{4}\), mabadiliko ya awamu ni

      \[\dfrac{C}{B}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}}=1\].

      Mabadiliko ya awamu ni\(1\) kitengo.

    • Hatua ya 5. Kielelezo\(\PageIndex{21}\) kinaonyesha grafu ya kazi.
    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Chora grafu ya\(g(x)=−2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}x+\dfrac{\pi}{6}\right)\). Kuamua midline, amplitude, kipindi, na mabadiliko ya awamu.

    Jibu
    Grafu ya -2cos ((pi/3) x+ (pi/6)). Grafu ina amplitude ya 2, kipindi cha 6, na ina mabadiliko ya awamu ya 0.5 hadi kushoto.
    Kielelezo\(\PageIndex{22}\)

    midline:\(y=0\); amplitude:\(| A |=2\); kipindi:\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}=6\); mabadiliko ya awamu:\(\dfrac{C}{B}=−\dfrac{1}{2}\)

    Mfano\(\PageIndex{10}\): Identifying the Properties of a Sinusoidal Function

    Kutokana\(y=−2cos\left(\dfrac{\pi}{2}x+\pi\right)+3\), tambua amplitude, kipindi, mabadiliko ya awamu, na mabadiliko ya usawa. Kisha grafu kazi.

    Suluhisho

    Anza kwa kulinganisha equation kwa fomu ya jumla.

    \(y=A\cos(Bx−C)+D\)

    • Hatua ya 1. Kazi tayari imeandikwa kwa fomu ya jumla.
    • Hatua ya 2. Tangu\(A=−2\), amplitude ni\(| A |=2\).
    • Hatua ya 3. \(| B |=\dfrac{\pi}{2}\), hivyo kipindi ni\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}=\dfrac{2\pi}{\dfrac{pi}{2}}=2\pi⋅\dfrac{2}{\pi}=4\). Kipindi ni 4.
    • Hatua ya 4. \(C=−\pi\), hivyo tunahesabu mabadiliko ya awamu kama\(\dfrac{C}{B}=−\dfrac{\pi}{\dfrac{\pi}{2}}=−\pi⋅\dfrac{2}{\pi}=−2\). Mabadiliko ya awamu ni\(−2\).
    • Hatua ya 5. \(D=3\), hivyo midline ni\(y=3\), na mabadiliko ya wima ni juu\(3\).

    Kwa kuwa\(A\) ni hasi, grafu ya kazi ya cosine imeonekana kuhusu\(x\) -axis.

    Kielelezo\(\PageIndex{23}\) kinaonyesha mzunguko mmoja wa grafu ya kazi.

    Grafu ya -2cos ((pi/2) x+pi) +3. Grafu inaonyesha amplitude ya 2, midline katika y = 3, na kipindi cha 4.
    Kielelezo\(\PageIndex{23}\)

    Kutumia Mabadiliko ya Kazi za Sine na Cosine

    Tunaweza kutumia mabadiliko ya kazi za sine na cosine katika programu nyingi. Kama ilivyoelezwa mwanzoni mwa sura, mwendo wa mviringo unaweza kuonyeshwa kwa kutumia kazi ya sine au cosine.

    Mfano\(\PageIndex{11}\): Finding the Vertical Component of Circular Motion

    Hatua inazunguka karibu na mduara wa radius\(3\) unaozingatia asili. Mchoro grafu ya\(y\) -kuratibu ya uhakika kama kazi ya angle ya mzunguko.

    Suluhisho

    Kumbuka kwamba, kwa uhakika juu ya mduara wa radius\(r\),\(y\) -kuratibu ya uhakika ni\(y=r \sin(x)\), hivyo katika kesi hii, sisi kupata equation\(y(x)=3 \sin(x)\). mara kwa mara\(3\) husababisha kunyoosha wima ya\(y\) -maadili ya kazi kwa sababu ya\(3\), ambayo tunaweza kuona katika grafu katika Kielelezo\(\PageIndex{24}\).

    Grafu ya 3sin (x). Grafu ina kipindi cha 2pi, amplitude ya 3, na mbalimbali ya [-3,3].
    Kielelezo\(\PageIndex{24}\)

    Uchambuzi

    Kumbuka kwamba kipindi cha kazi bado\(2\pi\); kama sisi kusafiri kuzunguka mduara, sisi kurudi\((3,0)\) kwa uhakika kwa\(x=2\pi,4\pi,6\pi,\)... Kwa sababu matokeo ya grafu sasa oscillate kati\(–3\) na\(3\), amplitude ya wimbi sine ni\(3\).

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Je! Ni amplitude ya kazi gani\(f(x)=7\cos(x)\)? Mchoro grafu ya kazi hii.

    Jibu
    Grafu ya 7cos (x). Grafu ina amplitude ya 7, kipindi cha 2pi, na mbalimbali ya [-7,7].
    Kielelezo\(\PageIndex{25}\)
    Mfano\(\PageIndex{12}\): Finding the Vertical Component of Circular Motion

    Mduara na radius\(3\) ft ni vyema na kituo chake\(4\) ft mbali ya ardhi. Hatua iliyo karibu na ardhi imeandikwa\(P\), kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{26}\). Mchoro grafu ya urefu juu ya ardhi ya uhakika\(P\) kama mduara unavyozungushwa; kisha pata kazi ambayo inatoa urefu kulingana na angle ya mzunguko.

    Mfano wa mduara uliinua miguu 4 chini. Mzunguko una radius ya futi 3. Kuna hatua P iliyoandikwa kwenye mduara wa mduara.
    Kielelezo\(\PageIndex{26}\)

    Suluhisho

    Sketching urefu, tunaona kwamba itaanza\(1\) ft juu ya ardhi, kisha kuongeza hadi\(7\) ft juu ya ardhi, na kuendelea oscillate\(3\) ft juu na chini ya thamani ya kituo cha\(4\) ft, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{27}\).

    Grafu ya -3cox (x) +4. Grafu ina midline saa y = 4, amplitude ya 3, na kipindi cha 2pi.
    Kielelezo\(\PageIndex{27}\)

    Ingawa tunaweza kutumia mabadiliko ya kazi ya sine au cosine, tunaanza kwa kutafuta sifa ambazo zingeweza kufanya kazi moja iwe rahisi kutumia kuliko nyingine. Hebu tumia kazi ya cosine kwa sababu inaanza kwa thamani ya juu au ya chini kabisa, wakati kazi ya sine huanza saa thamani ya kati. Cosine ya kawaida huanza kwa thamani ya juu, na grafu hii huanza kwa thamani ya chini kabisa, kwa hiyo tunahitaji kuingiza kutafakari wima.

    Pili, tunaona kwamba grafu oscillates\(3\) juu na chini ya kituo, wakati cosine ya msingi ina amplitude ya\(1\), hivyo grafu hii imekuwa wima aliweka na\(3\), kama katika mfano wa mwisho.

    Hatimaye, kuhamisha katikati ya mduara hadi urefu wa\(4\), grafu imekuwa wima kubadilishwa juu na\(4\). Kuweka mabadiliko haya pamoja, tunaona kwamba

    \(y=−3\cos(x)+4\)

    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Uzito ni masharti ya spring ambayo ni kisha hung kutoka bodi, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{28}\). Kama spring inakabiliwa na chini, nafasi\(y\) ya uzito jamaa na bodi ni kati ya\(–1\) ndani. (kwa wakati\(x=0\))\(–7\) kuingia. (kwa wakati\(x=π\)) chini ya bodi. Kudhani nafasi ya\(y\) ni kutolewa kama kazi sinusoidal ya\(x\). Mchoro grafu ya kazi, na kisha upate kazi ya cosine ambayo inatoa nafasi\(y\) katika suala la\(x\).

    Mfano wa spring na urefu y.
    Kielelezo\(\PageIndex{28}\)
    Jibu

    \(y=3\cos(x)−4\)

    Grafu ya cosine yenye aina mbalimbali [-1, -7]. Kipindi ni 2 pi. Maximums mitaa katika (0, -1), (2pi, -1), na (4pi, -1). Kima cha chini cha mitaa (pi, -7) na (3pi, -7).
    Kielelezo\(\PageIndex{29}\)
    Mfano\(\PageIndex{13}\): Determining a Rider’s Height on a Ferris Wheel

    Jicho la London ni gurudumu kubwa la Ferris lenye kipenyo cha\(135\) mita (\(443\)miguu). Inakamilisha mzunguko mmoja kila\(30\) dakika. Riders bodi kutoka\(2\) mita jukwaa juu ya ardhi. Eleza urefu wa mpanda farasi juu ya ardhi kama kazi ya muda katika dakika.

    Suluhisho

    Kwa kipenyo cha\(135\) m, gurudumu ina radius ya\(67.5\) m. urefu utapungua kwa amplitude\(67.5\) m juu na chini ya katikati.

    Abiria bodi\(2\) m juu ya usawa wa ardhi, hivyo katikati ya gurudumu lazima iko\(67.5+2=69.5\) m juu ya usawa wa ardhi. Midline ya oscillation itakuwa saa\(69.5\) m.

    Gurudumu inachukua\(30\) dakika kukamilisha\(1\) mapinduzi, hivyo urefu utaondoka kwa kipindi cha\(30\) dakika.

    Hatimaye, kwa sababu bodi za wapanda farasi kwenye hatua ya chini kabisa, urefu utaanza kwa thamani ndogo na kuongezeka, kufuatia sura ya curve ya cosine iliyojitokeza kwa wima.

    • Amplitude:\(67.5\), hivyo\(A=67.5\)
    • Midline:\(69.5\), hivyo\(D=69.5\)
    • Kipindi:\(30\), hivyo\(B=\dfrac{2\pi}{30}=\dfrac{\pi}{15}\)
    • Shape:\(−\cos(t)\)

    Equation kwa urefu wa mpanda farasi itakuwa

    \(y=−67.5\cos\left(\dfrac{\pi}{15}t\right)+69.5\)

    ambapo\(t\) ni katika dakika na\(y\) ni kipimo katika mita.

    vyombo vya habari

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na grafu za kazi za sine na cosine.

    • Amplitude na Kipindi cha Sine na Cosine
    • Tafsiri za Sine na Cosine
    • Graphing Sine na Cosine Mabadiliko
    • Kuchora Kazi ya Sine

    Mlinganyo muhimu

    Kazi za sinusoidal

    \(f(x)=A\sin(Bx−C)+D\)

    \(f(x)=A\cos(Bx−C)+D\)

    Dhana muhimu

    • Kazi za mara kwa mara hurudia baada ya thamani iliyotolewa. Thamani ndogo zaidi ni kipindi. Kazi za msingi za sine na cosine zina kipindi cha\(2\pi\).
    • Kazi\(\sin x\) ni isiyo ya kawaida, hivyo grafu yake ni sawa na asili. Kazi\(\cos x\) ni hata, hivyo grafu yake ni sawa na y -axis.
    • Grafu ya kazi ya sinusoidal ina sura sawa ya jumla kama kazi ya sine au cosine.
    • Kwa formula ya jumla ya kazi ya sinusoidal, kipindi hicho ni\(P=\dfrac{2\pi}{| B |}\). Angalia Mfano\(\PageIndex{1}\).
    • Kwa formula ya jumla ya kazi ya sinusoidal,\( | A |\) inawakilisha amplitude. Ikiwa\(| A |>1\), kazi imetambulishwa, wakati ikiwa\(| A |<1\), kazi imesisitizwa. Angalia Mfano\(\PageIndex{2}\).
    • Thamani\(\dfrac{C}{B}\) katika fomu ya jumla ya kazi ya sinusoidal inaonyesha mabadiliko ya awamu. Angalia Mfano\(\PageIndex{3}\).
    • Thamani\(D\) katika fomu ya jumla ya kazi ya sinusoidal inaonyesha mabadiliko ya wima kutoka katikati. Angalia Mfano\(\PageIndex{4}\).
    • Mchanganyiko wa tofauti za kazi za sinusoidal zinaweza kuonekana kutoka kwa usawa. Angalia Mfano\(\PageIndex{5}\).
    • Equation kwa kazi ya sinusoidal inaweza kuamua kutoka grafu. Angalia Mfano\(\PageIndex{6}\) na Mfano\(\PageIndex{7}\).
    • Kazi inaweza kuonyeshwa kwa kutambua amplitude na kipindi chake. Angalia Mfano\(\PageIndex{8}\) na Mfano\(\PageIndex{9}\).
    • Kazi pia inaweza kuonyeshwa kwa kutambua amplitude yake, kipindi, mabadiliko ya awamu, na mabadiliko ya usawa. Angalia Mfano\(\PageIndex{10}\).
    • Kazi za sinusoidal zinaweza kutumika kutatua matatizo halisi ya ulimwengu. Angalia Mfano\(\PageIndex{11}\), Mfano\(\PageIndex{12}\), na Mfano\(\PageIndex{13}\).