4.2: Grafu ya Kazi za Kielelezo

Malengo ya kujifunza

• Grafu kazi kielelezo.
• Graph exponential kazi kwa kutumia mabadiliko.

Kama tulivyojadiliwa katika sehemu iliyotangulia, kazi za kielelezo zinatumika kwa maombi mengi ya ulimwengu halisi kama vile fedha, uchambuzi, sayansi ya kompyuta, na sayansi nyingi za maisha. Kufanya kazi na equation inayoelezea hali halisi ya ulimwengu inatupa njia ya kufanya utabiri. Wakati mwingi, hata hivyo, equation yenyewe haitoshi. Tunajifunza mengi kuhusu mambo kwa kuona uwakilishi wao wa picha, na kwamba ni kwa nini hasa graphing equations exponential ni chombo chenye nguvu. Inatupa safu nyingine ya ufahamu kwa ajili ya kutabiri matukio ya baadaye.

Graphing Kazi Kielelezo

Kabla ya kuanza graphing, ni muhimu kupitia upya tabia ya ukuaji wa kielelezo. Kumbuka meza ya maadili kwa kazi ya fomu\(f(x)=b^x\) ambayo msingi wake ni mkubwa kuliko moja. Tutaweza kutumia kazi\(f(x)=2^x\). Angalia jinsi maadili ya pato katika\(\PageIndex{1}\) mabadiliko ya Jedwali kama pembejeo inavyoongezeka kwa\(1\).

Jedwali\(\PageIndex{1}\)

\(x\)	\(−3\)	\(−2\)	\(−1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)=2^x\)	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)

Kila thamani ya pato ni bidhaa ya pato la awali na msingi,\(2\). Tunaita msingi uwiano\(2\) wa mara kwa mara. Kwa kweli, kwa kazi yoyote ya kielelezo na fomu\(f(x)=ab^x\),\(b\) ni uwiano wa mara kwa mara wa kazi. Hii ina maana kwamba kama pembejeo inavyoongezeka kwa\(1\), thamani ya pato itakuwa bidhaa ya msingi na pato la awali, bila kujali thamani ya\(a\).

Taarifa kutoka meza kwamba

• maadili ya pato ni chanya kwa maadili yote ya\(x\);
• kama\(x\) ongezeko, maadili ya pato huongezeka bila kufungwa; na
• kama\(x\) inapungua, maadili ya pato yanakua ndogo, inakaribia sifuri.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha kazi ya ukuaji wa kielelezo\(f(x)=2^x\).

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Angalia kwamba grafu inapata karibu na x-axis, lakini kamwe hugusa.

Uwanja wa\(f(x)=2^x\) namba zote halisi, upeo ni\((0,\infty)\), na asymptote ya usawa ni\(y=0\).

Ili kupata hisia ya tabia ya kuoza kielelezo, tunaweza kuunda meza ya maadili kwa kazi ya fomu\(f(x)=b^x\) ambayo msingi wake ni kati ya sifuri na moja. Tutaweza kutumia kazi\(g(x)={\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x\). Angalia jinsi maadili ya pato katika\(\PageIndex{2}\) mabadiliko ya Jedwali kama pembejeo inavyoongezeka kwa\(1\).

Jedwali\(\PageIndex{2}\)

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(g(x)={\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x\)	\(8\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{8}\)

Tena, kwa sababu pembejeo inaongezeka kwa\(1\), kila thamani ya pato ni bidhaa ya pato uliopita na msingi, au uwiano wa mara kwa mara\(\dfrac{1}{2}\).

Taarifa kutoka meza kwamba

• maadili ya pato ni chanya kwa maadili yote ya\(x\);
• kama\(x\) ongezeko, maadili ya pato yanakua ndogo, inakaribia sifuri; na
• kama\(x\) itapungua, maadili ya pato kukua bila kufungwa.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) inaonyesha kielelezo kuoza kazi,\(g(x)={\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x\).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

Uwanja wa\(g(x)={(\dfrac{1}{2})}^x\) namba zote halisi, upeo ni\((0,\infty)\), na asymptote ya usawa ni\(y=0\).

TABIA YA GRAFU YA KAZI YA MZAZI\(F(X) = b^x\)

Kazi ya kielelezo na fomu\(f(x)=b^x\),\(b>0\),\(b≠1\), ina sifa hizi:

• kazi moja kwa moja
• asymptote ya usawa:\(y=0\)
• kikoa:\((–\infty, \infty)\)
• mbalimbali:\((0,\infty)\)
• x- kukatiza: hakuna
• y- kukatiza:\((0,1)\)
• kuongezeka kama\(b>1\)
• kupungua kama\(b<1\)

Kielelezo\(\PageIndex{3}\) inalinganisha grafu ya ukuaji wa kielelezo na kazi za kuoza.

1 na grafu ya pili ni ya kazi sawa wakati b ni 0

Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya kielelezo ya fomu\(f(x)=b^x\),graph the function

1. Unda meza ya pointi.
2. Panda angalau\(3\) hatua kutoka meza, ikiwa ni pamoja na y -intercept\((0,1)\).
3. Chora curve laini kupitia pointi.
4. Weka kikoa\((−\infty,\infty)\), upeo\((0,\infty)\), na asymptote ya usawa,\(y=0\).

Mfano\(\PageIndex{1}\): Sketching the Graph of an Exponential Function of the Form \(f(x) = b^x\)

Mchoro grafu ya\(f(x)=0.25^x\). Weka kikoa, upeo, na asymptote.

Suluhisho

Kabla ya kuchora, tambua tabia na uunda meza ya pointi kwa grafu.

Jedwali\(\PageIndex{3}\)

\(x\)	\(−3\)	\(−2\)	\(−1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)={0.25}^x\)	\(64\)	\(16\)	\(4\)	\(1\)	\(0.25\)	\ (0.0625\ 0	\(0.015625\)

• Kwa kuwa\(b=0.25\) ni kati ya sifuri na moja, tunajua kazi inapungua. Mkia wa kushoto wa grafu utaongezeka bila kufungwa, na mkia wa kulia utafikia asymptote\(y=0\).
• Unda meza ya pointi kama katika Jedwali\(\PageIndex{3}\).
• Panda y -intercept\((0,1)\),, pamoja na pointi nyingine mbili. Tunaweza kutumia\((−1,4)\) na\((1,0.25)\).

Chora curve laini kuunganisha pointi kama katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((0,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=0\).

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Mchoro grafu ya\(f(x)=4^x\). Weka kikoa, upeo, na asymptote.

Jibu

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((0,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=0\).

Graphing Mabadiliko ya Kazi za Kielelezo

Mabadiliko ya grafu za kielelezo hufanya sawa na yale ya kazi nyingine. Kama vile kazi nyingine mzazi, tunaweza kutumia aina nne za mabadiliko - mabadiliko, tafakari, stretches, na compressions-kwa kazi mzazi\(f(x)=b^x\) bila kupoteza sura. Kwa mfano, kama kazi ya quadratic inao sura yake ya parabolic wakati kubadilishwa, yalijitokeza, kunyoosha, au kusisitizwa, kazi ya kielelezo pia inao sura yake ya jumla bila kujali mabadiliko yanayotumika.

Graphing Shift Wima

mabadiliko ya kwanza hutokea wakati sisi kuongeza mara kwa mara\(d\) kwa kazi mzazi\(f(x)=b^x\), kutupa wima shiftd d vitengo katika mwelekeo huo kama ishara. Kwa mfano, kama sisi kuanza kwa graphing kazi mzazi,\(f(x)=2^x\), tunaweza kisha graph mbili mabadiliko wima pamoja na hayo, kwa kutumia\(d=3\): kuhama zaidi,\(g(x)=2^x+3\) na mabadiliko ya kushuka,\(h(x)=2^x−3\). Mabadiliko yote ya wima yanaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{5}\).

Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

Angalia matokeo ya kuhama\(f(x)=2^x\) kwa wima:

• Domain,\((−\infty,\infty)\) bado haibadilika.
• Wakati kazi ni kubadilishwa hadi\(3\) vitengo kwa\(g(x)=2^x+3\):
  • Y- intercept mabadiliko hadi\(3\) vitengo\((0,4)\).
  • Asymptote hubadilisha\(3\) vitengo hadi\(y=3\).
  • Mbalimbali inakuwa\((3,\infty)\).
• Wakati kazi ni kubadilishwa chini\(3\) vitengo kwa\(h(x)=2^x−3\):
  • Y- intercept mabadiliko chini\(3\) vitengo kwa\((0,−2)\).
  • asymptote pia mabadiliko chini\(3\) vitengo kwa\(y=−3\).
  • Mbalimbali inakuwa\((−3,\infty)\).

Kuchora Shift Horizontal

Mabadiliko ya pili hutokea wakati tunaongeza mara kwa mara\(c\) kwa pembejeo ya kazi ya mzazi\(f(x)=b^x\), kutupa\(c\) vitengo vya kuhama usawa katika mwelekeo tofauti wa ishara. Kwa mfano, kama sisi kuanza kwa graphing kazi mzazi\(f(x)=2^x\), tunaweza kisha grafu mbili mabadiliko usawa pamoja na hayo, kwa kutumia\(c=3\): kuhama kushoto,\(g(x)=2^{x+3}\), na kuhama haki,\(h(x)=2^{x−3}\). \(h(x)=2^{x−3}\). Mabadiliko yote ya usawa yanaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{6}\).

Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

Angalia matokeo ya kuhama\(f(x)=2^x\) kwa usawa:

• Domain\((−\infty,\infty)\), bado haibadilika.
• Asymptote\(y=0\), bado haibadilika.
• Y-intercept mabadiliko kama vile:
  • Wakati kazi ni kubadilishwa\(3\) vitengo kushoto kwa\(g(x)=2^{x+3}\), y -intercept inakuwa\((0,8)\). Hii ni kwa sababu\(2^{x+3}=(8)2^x\), hivyo thamani ya awali ya kazi ni\(8\).
  • Wakati kazi ni kubadilishwa\(3\) vitengo haki kwa\(h(x)=2^{x−3}\), y -intercept inakuwa\((0,\dfrac{1}{8})\). Tena, kuona kwamba\(2^{x−3}=(\dfrac{1}{8})2^x\), hivyo thamani ya awali ya kazi ni\(\dfrac{1}{8}\).

MABADILIKO YA KAZI YA MZAZI\(F(X) = b^x\)

Kwa mara kwa mara yoyote\(c\) na\(d\), kazi\(f(x)=b^{x+c}+d\) hubadilisha kazi ya mzazi\(f(x)=b^x\)

• wima\(d\) vitengo, katika mwelekeo huo wa ishara ya\(d\).
• usawa\(c\) vitengo, katika mwelekeo kinyume cha ishara ya\(c\).
• Y-intercept inakuwa\((0,b^c+d)\).
• Asymptote ya usawa inakuwa\(y=d\).
• Mbalimbali inakuwa\((d,\infty)\).
• Domain\((−\infty,\infty)\), bado haibadilika.

Jinsi ya: Kutokana na kazi ya kielelezo na fomu\(f(x)=b^{x+c}+d\), graph the translation

1. Chora asymptote ya usawa\(y=d\).
2. Kutambua mabadiliko kama\((−c,d)\). Shift grafu ya\(c\) vitengo vya\(f(x)=b^x\) kushoto ikiwa\(c\) ni chanya, na\(c\) vitengo vya haki ikiwa\(c\) ni hasi.
3. Shift grafu ya\(d\) vitengo\(f(x)=b^x\) up kama\(d\) ni chanya, na chini\(d\) vitengo kama\(d\) ni hasi.
4. Weka kikoa\((−\infty,\infty)\), upeo\((d,\infty)\), na asymptote ya usawa\(y=d\).

Mfano\(\PageIndex{2}\): Graphing a Shift of an Exponential Function

Grafu\(f(x)=2^{x+1}−3\). Weka kikoa, upeo, na asymptote.

Suluhisho

Tuna equation kielelezo ya fomu\(f(x)=b^{x+c}+d\), na\(b=2\),\(c=1\), na\(d=−3\).

Chora asymptote ya usawa\(y=d\), hivyo futa\(y=−3\).

Kutambua mabadiliko kama\((−c,d)\), hivyo mabadiliko ni\((−1,−3)\).

Shift grafu ya\(1\) vitengo vya\(f(x)=b^x\) kushoto na\(3\) vitengo vya chini.

Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((−3,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=−3\).

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Grafu\(f(x)=2^{x−1}+3\). Hali ya kikoa, upeo, na asymptote.

Jibu

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((3,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=3\).

Jinsi ya: Kutokana na equation ya fomu\(f(x)=b^{x+c}+d\) for \(x\), use a graphing calculator to approximate the solution

• Waandishi wa habari [Y=]. Ingiza equation ya kielelezo iliyotolewa katika mstari unaoongozwa “Y ₁ =”.
• Ingiza thamani iliyotolewa Forf (x) f (x) katika mstari unaoongozwa “Y ₂ =”.
• Waandishi wa habari [WINDOW]. Kurekebisha y -axis ili iwe pamoja na thamani iliyoingia kwa “Y ₂ =”.
• Waandishi wa habari [GRAPH] kuchunguza grafu ya kazi ya kielelezo pamoja na mstari wa thamani maalum (x). f (x).
• Ili kupata thamani ya fox, x, tunahesabu hatua ya makutano. Waandishi wa habari [2ND] kisha [CALC]. Chagua “intersect” na ubofye [ENTER] mara tatu. Hatua ya makutano inatoa thamani ya x kwa thamani iliyoonyeshwa ya kazi.

Mfano\(\PageIndex{3}\): Approximating the Solution of an Exponential Equation

Tatua\(42=1.2{(5)}^x+2.8\) graphically. Pande zote kwa elfu ya karibu.

Suluhisho

Bonyeza [Y=] na uingie\(1.2{(5)}^x+2.8\) karibu na Y ₁ =. Kisha ingiza\(42\) karibu na Y2=. Kwa dirisha, tumia maadili\(–3\)\(3\) kwa\(x\) na\(–5\)\(55\) kwa\(y\). Bonyeza [GRAPH]. Grafu zinapaswa kuingiliana mahali fulani karibu\(x=2\).

Kwa makadirio bora, vyombo vya habari [2ND] kisha [CALC]. Chagua [5: intersect] na waandishi wa habari [ENTER] mara tatu. Kuratibu x ya hatua ya makutano huonyeshwa kama\(2.1661943\). (Jibu lako inaweza kuwa tofauti kama unatumia dirisha tofauti au kutumia thamani tofauti kwa ajili ya Nadhani? ) Kwa karibu elfu,\(x≈2.166\).

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Tatua\(4=7.85{(1.15)}^x−2.27\) graphically. Pande zote kwa elfu ya karibu.

Jibu

\(x≈−1.608\)

Kuchora kunyoosha au Ukandamizaji

Wakati mabadiliko ya usawa na wima yanahusisha kuongeza vipindi kwa pembejeo au kwa kazi yenyewe, kunyoosha au compression hutokea wakati sisi kuzidisha kazi\(f(x)=b^x\) mzazi kwa mara kwa mara\(|a|>0\). Kwa mfano, kama sisi kuanza kwa graphing kazi mzazi\(f(x)=2^x\), tunaweza kisha grafu kunyoosha, kutumia\(a=3\), kupata\(g(x)=3{(2)}^x\) kama inavyoonekana upande wa kushoto katika Kielelezo\(\PageIndex{8}\), na compression, kutumia\(a=\dfrac{1}{3}\), kupata\(h(x)=\dfrac{1}{3}{(2)}^x\) kama inavyoonekana kwenye haki katika Kielelezo\(\PageIndex{8}\).

Kielelezo\(\PageIndex{8}\): (a)\(g(x)=3{(2)}^x\) stretches grafu ya\(f(x)=2^x\) wima kwa sababu ya\(3\). (b)\(h(x)=\dfrac{1}{3}{(2)}^x\) compresses grafu ya\(f(x)=2^x\) wima kwa sababu ya\(\dfrac{1}{3}\).

INAWEKA NA COMPRESSIONS YA KAZI YA MZAZI\(F(X) = B^X\)

Kwa sababu yoyote\(a>0\), kazi\(f(x)=a{(b)}^x\)

• imetambulishwa kwa wima kwa sababu ya\(a\) ikiwa\(|a|>1\).
• imesisitizwa kwa wima kwa sababu ya\(a\) ikiwa\(|a|<1\).
• ina y -intercept ya\((0,a)\).
• ina asymptote usawa katika\(y=0\), mbalimbali ya\((0,\infty)\), na uwanja wa\((−\infty,\infty)\), ambayo ni unchanged kutoka kazi mzazi.

Mfano\(\PageIndex{4}\): Graphing the Stretch of an Exponential Function

Mchoro grafu ya\(f(x)=4{(\dfrac{1}{2})}^x\). Weka kikoa, upeo, na asymptote.

Suluhisho

Kabla ya kuchora, tambua tabia na pointi muhimu kwenye grafu.

• Kwa kuwa\(b=\dfrac{1}{2}\) ni kati ya sifuri na moja, mkia wa kushoto wa grafu utaongezeka bila kufungwa kama\(x\) itapungua, na mkia wa kulia utafikia x -axis kama\(x\) ongezeko.
• Tangu\(a=4\), grafu ya\(f(x)={(\dfrac{1}{2})}^x\) itakuwa aliweka kwa sababu ya\(4\).
• Unda meza ya pointi kama inavyoonekana katika Jedwali\(\PageIndex{4}\).

  Jedwali\(\PageIndex{4}\)

  \(x\)	\(−3\)	\(−2\)	\(−1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
  \(f(x)=4{(\dfrac{1}{2})}^x\)	\(32\)	\(16\)	\(8\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)	\(0.5\)

• Panda y- intercept\((0,4)\), pamoja na pointi nyingine mbili. Tunaweza kutumia\((−1,8)\) na\((1,2)\).

Chora curve laini kuunganisha pointi, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{9}\).

Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((0,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=0\).

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Mchoro grafu ya\(f(x)=\dfrac{1}{2}{(4)}^x\). Weka kikoa, upeo, na asymptote.

Jibu

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((0,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=0\).

Graphing tafakari

Mbali na kuhama, compressing, na kunyoosha grafu, tunaweza pia kutafakari kuhusu x -axis au y -axis. Wakati sisi kuzidisha kazi mzazi\(f(x)=b^x\) na\(−1\), sisi kupata reflection kuhusu x -axis. Wakati sisi kuzidisha pembejeo na\(−1\), sisi kupata reflection kuhusu y -axis. Kwa mfano, kama sisi kuanza kwa graphing kazi mzazi\(f(x)=2^x\), tunaweza kisha graph tafakari mbili pamoja na hayo. Kutafakari juu ya x -axis\(g(x)=−2^x\),, inavyoonekana upande wa kushoto wa Kielelezo\(\PageIndex{10}\), na kutafakari kuhusu y-axis\(h(x)=2^{−x}\), inavyoonekana upande wa kulia wa Kielelezo\(\PageIndex{10}\).

Kielelezo\(\PageIndex{10}\): (a)\(g(x)=−2^x\) inaonyesha grafu ya\(f(x)=2^x\) kuhusu x-axis. (b)\(g(x)=2^{−x}\) huonyesha grafu ya\(f(x)=2^x\) kuhusu y-axis.

TAFAKARI YA KAZI YA MZAZI\(F(X) = B^x\)

Kazi\(f(x)=−b^x\)

• huonyesha kazi ya mzazi\(f(x)=b^x\) kuhusu x -axis.
• ina y -intercept ya\((0,−1)\).
• ina mbalimbali ya\((−\infty,0)\)
• ina asymptote usawa katika\(y=0\) na uwanja wa\((−\infty,\infty)\), ambayo ni unchanged kutoka kazi mzazi.

Kazi\(f(x)=b^{−x}\)

• huonyesha kazi ya mzazi\(f(x)=b^x\) kuhusu y -axis.
• ina y -intercept ya\((0,1)\), asymptote usawa katika\(y=0\), mbalimbali ya\((0,\infty)\), na uwanja wa\((−\infty,\infty)\), ambayo ni unchanged kutoka kazi mzazi.

Mfano\(\PageIndex{5}\): Writing and Graphing the Reflection of an Exponential Function

Kupata na graph equation kwa ajili ya kazi\(g(x)\),, kwamba huonyesha\(f(x)={(\dfrac{1}{4})}^x\) kuhusu x -axis. Weka kikoa chake, upeo, na asymptote.

Suluhisho

Tangu tunataka kutafakari kazi mzazi\(f(x)={(\dfrac{1}{4})}^x\) kuhusu mhimili x-, sisi\(−1\) kuzidisha\(f(x)\) kwa kupata,\(g(x)=−{(\dfrac{1}{4})}^x\). Kisha tunaunda meza ya pointi kama katika Jedwali\(\PageIndex{5}\).

Jedwali\(\PageIndex{5}\)

\(x\)	\(−3\)	\(−2\)	\(−1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(g(x)=−{(\dfrac{1}{4})}^x\)	\(−64\)	\(−16\)	\(−4\)	\(−1\)	\(−0.25\)	\(−0.0625\)	\(−0.0156\)

Panda y- intercept\((0,−1)\), pamoja na pointi nyingine mbili. Tunaweza kutumia\((−1,−4)\) na\((1,−0.25)\).

Chora curve laini kuunganisha pointi:

Kielelezo\(\PageIndex{11}\)

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((−\infty,0)\); asymptote usawa ni\(y=0\).

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Kupata na graph equation kwa ajili ya kazi\(g(x)\),, kwamba huonyesha\(f(x)={1.25}^x\) kuhusu y -axis. Weka kikoa chake, upeo, na asymptote.

Jibu

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((0,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=0\).

Kuhitimisha tafsiri za Kazi ya Kielelezo

Sasa kwa kuwa tumefanya kazi na kila aina ya tafsiri kwa ajili ya kazi kielelezo, tunaweza muhtasari yao katika Jedwali\(\PageIndex{6}\) kufika equation jumla kwa ajili ya kutafsiri kazi kielelezo.

1, na inabainisha mabadiliko yafuatayo: kazi iliyojitokeza inapungua kama x inakwenda kutoka 0 hadi infinity, asymptote inabakia x=0, x-intercept inabakia (1, 0), hatua muhimu inabadilika (b^ (-1), 1), uwanja unabaki (0, infinity), na mabaki ya aina mbalimbali (-infinity, infinity). Safu ya pili inaonyesha mabadiliko ya kushoto ya equation g (x) =log_b (x) wakati b> 1, na inabainisha mabadiliko yafuatayo: kazi iliyojitokeza inapungua kama x inakwenda kutoka 0 hadi infinity, asymptote inabakia x=0, mabadiliko ya x-intercept hadi (-1, 0), hatua muhimu inabadilika (-b, 1), kikoa kinabadilika (-infinity, 0), na mabaki mbalimbali (-infinity, infinity).">

T uwezo\(\PageIndex{6}\): Tafsiri ya Kazi ya Mzazi\(f(x)=b^x\)

Tafsiri	Fomu
Shift \(c\)Vitengo vya usawa upande wa kushoto Vertikalt\(d\) vitengo up	\(f(x)=b^{x+c}+d\)
Kunyoosha na Compress Kunyoosha kama\(|a|>1\) Ukandamizaji kama\(0<|a|<1\)	\(f(x)=ab^x\)
Fikiria kuhusu x-axis	\(f(x)=−b^x\)
Fikiria kuhusu mhimili wa y	\(f(x)=b^{−x}={(\dfrac{1}{b})}^x\)
General equation kwa tafsiri zote	\(f(x)=ab^{x+c}+d\)

TAFSIRI YA KAZI ZA KIELELEZO

Tafsiri ya kazi ya kielelezo ina fomu

\(f(x)=ab^{x+c}+d\)

Ambapo mzazi kazi\(y=b^x\),\(b>1\), ni

• kubadilishwa\(c\) vitengo usawa upande wa kushoto.
• aliweka wima kwa sababu ya\(|a|\) kama\(|a|>0\).
• USITUMIE vertically kwa sababu ya\(|a|\) kama\(0<|a|<1\).
• kubadilishwa\(d\) vitengo wima.
• yalijitokeza kuhusu x- mhimili wakati\(a<0\).

Kumbuka utaratibu wa mabadiliko, mabadiliko, na tafakari kufuata utaratibu wa shughuli.

Mfano\(\PageIndex{6}\): Writing a Function from a Description

Andika equation kwa kazi iliyoelezwa hapo chini. Kutoa asymptote ya usawa, kikoa, na upeo.

\(f(x)=e^x\)ni wima aliweka kwa sababu ya\(2\), yalijitokeza katika y -axis, na kisha kubadilishwa up\(4\) vitengo.

Suluhisho

Tunataka kupata equation ya fomu ya jumla f (x) =abx+c+d. f (x) =abx+c+d Tunatumia maelezo yaliyotolewa ili kupata, a, b, b, c, c, na d.

• Tunapewa kazi ya mzazi\(f(x)=e^x\), hivyo\(b=e\).
• kazi ni aliweka kwa sababu ya\(2\), hivyo\(a=2\).
• Kazi inaonekana kuhusu y -axis. Sisi kuchukua nafasi\(x\) na\(−x\) kupata:\(e^{−x}\).
• Grafu inabadilishwa kwa wima vitengo 4, hivyo\(d=4\).

Kubadilisha kwa fomu ya jumla tunayopata,

\(f(x)=ab^{x+c}+d\)

\(=2e^{−x+0}+4\)

\(=2e^{−x}+4\)

Domain ni\((−\infty,\infty)\); mbalimbali ni\((4,\infty)\); asymptote usawa ni\(y=4\).

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Andika equation kwa kazi ilivyoelezwa hapo chini. Kutoa asymptote ya usawa, kikoa, na upeo.

\(f(x)=e^x\)ni USITUMIE wima kwa sababu ya\(\dfrac{1}{3}\), yalijitokeza katika x -mhimili na kisha kubadilishwa chini\(2\) vitengo.

Jibu

\(f(x)=−\dfrac{1}{3}e^{x}−2\); uwanja ni\((−\infty,\infty)\); upeo ni\((−\infty,2)\); asymptote ya usawa ni\(y=2\).

Media

Kupata rasilimali hii online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na graphing kazi kielelezo.

• Graph Kielelezo Kazi

Mlinganyo muhimu

Fomu ya jumla ya Tafsiri ya Kazi ya Wazazi\(f(x)=b^x\)

\(f(x)=ab^{x+c}+d\)

Dhana muhimu

• Grafu ya kazi\(f(x)=b^x\) ina y- intercept at\((0, 1)\), domain, mbalimbali\((−\infty, \infty)\)\((0, \infty)\), na asymptote ya usawa\(y=0\). Angalia Mfano.
• Ikiwa\(b>1\), kazi inaongezeka. Mkia wa kushoto wa grafu utafikia asymptote\(y=0\), na mkia wa kulia utaongezeka bila kufungwa.
• Ikiwa\(0<b<1\), kazi inapungua. Mkia wa kushoto wa grafu utaongezeka bila kufungwa, na mkia wa kulia utafikia asymptote\(y=0\).
• Equation\(f(x)=b^x+d\) inawakilisha mabadiliko ya wima ya kazi ya mzazi\(f(x)=b^x\).
• Equation\(f(x)=b^{x+c}\) inawakilisha mabadiliko ya usawa ya kazi ya mzazi\(f(x)=b^x\). Angalia Mfano.
• Ufumbuzi wa karibu wa equation\(f(x)=b^{x+c}+d\) unaweza kupatikana kwa kutumia calculator ya graphing. Angalia Mfano.
• equation\(f(x)=ab^x\), ambapo\(a>0\), inawakilisha kunyoosha wima kama\(|a|>1\) au compression kama\(0<|a|<1\) ya kazi mzazi\(f(x)=b^x\). Angalia Mfano.
• Wakati kazi ya mzazi\(f(x)=b^x\) imeongezeka kwa\(−1\), matokeo yake\(f(x)=−b^x\), ni tafakari kuhusu x -axis. Wakati pembejeo imeongezeka kwa\(−1\), matokeo,\(f(x)=b^{−x}\), ni tafakari kuhusu y -axis. Angalia Mfano.
• Tafsiri zote za kazi ya kielelezo zinaweza kufupishwa kwa usawa wa jumla\(f(x)=ab^{x+c}+d\). Angalia Jedwali.
• Kutumia equation ya jumla\(f(x)=ab^{x+c}+d\), tunaweza kuandika equation ya kazi kutokana na maelezo yake. Angalia Mfano.