3.E: Kazi nyingi na za busara (Mazoezi)

3.1 Idadi tata

Maneno

1) Eleza jinsi ya kuongeza namba tata.

Jibu

Ongeza sehemu halisi pamoja na sehemu za kufikiri pamoja.

2) Kanuni ya msingi katika kuzidisha idadi tata ni nini?

3) Kutoa mfano wa kuonyesha bidhaa ya namba mbili za kufikiri sio daima kufikiri.

Jibu

\(i\)mara\(i\) sawa\(-1\), ambayo si imaginary (majibu kutofautiana)

4) Ni tabia gani ya njama ya idadi halisi katika ndege ngumu?

Kialjebra

Kwa mazoezi 5-10, tathmini maneno ya algebraic.

5) Kama\(f(x)=x^2+x−4\), tathmini\(f(2i)\).

Jibu

\(−8+2i\)

6) Kama\(f(x)=x^3−2\), tathmini\(f(i)\).

7) Kama\(f(x)=x^2+3x+5\), tathmini\(f(2+i)\).

Jibu

\(14+7i\)

8) Kama\(f(x)=2x^2+x−3\), tathmini\(f(2−3i)\).

9) Kama\(f(x)=\dfrac{x+1}{2−x}\), tathmini\(f(5i)\).

Jibu

\(−\dfrac{23}{29}+\dfrac{15}{29}i\)

10) Kama\(f(x)=\dfrac{1+2x}{x+3}\), tathmini\(f(4i)\).

Graphic

Kwa mazoezi 11-12, tambua idadi ya ufumbuzi halisi na usio wa kweli kwa kila kazi ya quadratic iliyoonyeshwa.

11)

Jibu

\(2\)halisi na\(0\) isiyo ya kweli

12)

Kwa mazoezi 13-16, njama namba ngumu kwenye ndege tata.

13)\(1−2i\)

Jibu

14)\(−2+3i\)

15)\(i\)

Jibu

16)\(−3−4i\)

Numeric

Kwa mazoezi 17-43, fanya operesheni iliyoonyeshwa na ueleze matokeo kama nambari iliyo rahisi.

17)\((3+2i)+(5−3i)\)

Jibu

\(8−i\)

18)\((−2−4i)+(1+6i)\)

19)\((−5+3i)−(6−i)\)

Jibu

\(−11+4i\)

20)\((2−3i)−(3+2i)\)

21)\((−4+4i)−(−6+9i)\)

Jibu

\(2−5i\)

22)\((2+3i)(4i)\)

23)\((5−2i)(3i)\)

Jibu

\(6+15i\)

24)\((6−2i)(5)\)

25)\((−2+4i)(8)\)

Jibu

\(−16+32i\)

26)\((2+3i)(4−i)\)

27)\((−1+2i)(−2+3i)\)

Jibu

\(−4−7i\)

28)\((4−2i)(4+2i)\)

29)\((3+4i)(3−4i)\)

Jibu

\(25\)

30)\(\dfrac{3+4i}{2}\)

31)\(\dfrac{6−2i}{3}\)

Jibu

\(2−\dfrac{2}{3}i\)

32)\(\dfrac{−5+3i}{2i}\)

33)\(\dfrac{6+4i}{i}\)

Jibu

\(4−6i\)

34)\(\dfrac{2−3i}{4+3i}\)

35)\(\dfrac{3+4i}{2−i}\)

Jibu

\(\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}i\)

36)\(\dfrac{2+3i}{2−3i}\)

37)\(\sqrt{−9}+3\sqrt{−16}\)

Jibu

\(15i\)

38)\(−\sqrt{−4}−4\sqrt{−25}\)

39)\(\dfrac{2+\sqrt{−12}}{2}\)

Jibu

\(1+i\sqrt{3}\)

40)\(\dfrac{4+\sqrt{−20}}{2}\)

41)\(i^8\)

Jibu

\(1\)

42)\(i^{15}\)

43)\(i^{22}\)

Jibu

\(−1\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 44-48, tumia calculator ili kusaidia kujibu maswali.

44) Kutathmini\((1+i)^k\) kwa\(k=4, 8, \) na\(12\) .Kutabiri thamani kama\(k=16\).

45) Kutathmini\((1−i)^k\) kwa\(k=2, 6,\) na\(10\) .Kutabiri thamani kama\(k=14\).

Jibu

\(128i\)

46) Tathmini\((1+i)^k-(1-i)^k\) kwa\(k=4\),\(8\), na\(12\). Kutabiri thamani ya\(k=16\).

47) Onyesha kuwa ufumbuzi wa\(x^6+1=0\) ni\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\).

Jibu

\((\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i)^6=−1\)

48) Onyesha kuwa ufumbuzi wa\(x^8−1=0\) ni\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i\).

Upanuzi

Kwa mazoezi 49-58, tathmini maneno, uandike matokeo kama nambari iliyo rahisi.

49)\(\dfrac{1}{i}+\dfrac{4}{i^3}\)

Jibu

\(3i\)

50)\(\dfrac{1}{i^{11}}−\dfrac{1}{i^{21}}\)

51)\(i^7(1+i^2)\)

Jibu

\(0\)

52)\(i^{−3}+5i^7\)

53)\(\dfrac{(2+i)(4−2i)}{(1+i)}\)

Jibu

\(5 – 5i\)

54)\(\dfrac{(1+3i)(2−4i)}{(1+2i)}\)

55)\(\dfrac{(3+i)^2}{(1+2i)^2}\)

Jibu

\(−2i\)

56)\(\dfrac{3+2i}{2+i}+(4+3i)\)

57)\(\dfrac{4+i}{i}+\dfrac{3−4i}{1−i}\)

Jibu

\(\dfrac{9}{2}−\dfrac{9}{2}i\)

58)\(\dfrac{3+2i}{1+2i}−\dfrac{2−3i}{3+i}\)

3.2 Kazi za Quadratic

Maneno

1) Eleza faida ya kuandika kazi ya quadratic katika fomu ya kawaida.

Jibu

Ikiandikwa katika fomu hiyo, kipeo kinaweza kutambuliwa kwa urahisi.

2) Je, vertex ya parabola inaweza kutumika katika kutatua matatizo ya ulimwengu halisi?

3) Eleza kwa nini hali ya\(a≠0\) imewekwa katika ufafanuzi wa kazi ya quadratic.

Jibu

Ikiwa\(a=0\) basi kazi inakuwa kazi ya mstari.

4) Jina jingine la aina ya kawaida ya kazi ya quadratic ni nini?

5) Nini mbinu mbili za algebraic zinaweza kutumika kupata intercepts usawa wa kazi quadratic?

Jibu

Ikiwezekana, tunaweza kutumia factoring. Vinginevyo, tunaweza kutumia formula ya quadratic.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-13, fungua upya kazi za quadratic katika fomu ya kawaida na kutoa vertex.

6)\(f(x)=x^2−12x+32\)

7)\(g(x)=x^2+2x−3\)

Jibu

\(g(x)=(x+1)^2−4\), Vertex\((−1,−4)\)

8)\(f(x)=x^2−x\)

9)\(f(x)=x^2+5x−2\)

Jibu

\(f(x)=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2−\dfrac{33}{4}\), Vertex\(\left(−\dfrac{5}{2},−\dfrac{33}{4}\right)\)

10)\(h(x)=2x^2+8x−10\)

11)\(k(x)=3x^2−6x−9\)

Jibu

\(k(x)=3(x−1)^2−12\), Vertex\((1,−12)\)

12)\(f(x)=2x^2−6x\)

13)\(f(x)=3x^2−5x−1\)

Jibu

\(f(x)=3\left(x−\dfrac{5}{6}\right)^2−\dfrac{37}{12}\), Vertex\(\left(\dfrac{5}{6},−\dfrac{37}{12}\right)\)

Kwa mazoezi 14-20, onyesha ikiwa kuna thamani ya chini au ya juu kwa kila kazi ya quadratic. Pata thamani na mhimili wa ulinganifu.

14)\(y(x)=2x^2+10x+12\)

15)\(f(x)=2x^2−10x+4\)

Jibu

Kiwango cha chini ni\(−\dfrac{17}{2}\) na hutokea\(\dfrac{5}{2}\). Axis ya ulinganifu ni\(x=\dfrac{5}{2}\).

16)\(f(x)=−x^2+4x+3\)

17)\(f(x)=4x^2+x−1\)

Jibu

Kiwango cha chini ni\(−\dfrac{17}{16}\) na hutokea\(−\dfrac{1}{8}\). Axis ya ulinganifu ni\(x=−\dfrac{1}{8}\).

18)\(h(t)=−4t^2+6t−1\)

19)\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+3x+1\)

Jibu

Kiwango cha chini ni\(−\dfrac{7}{2}\) na hutokea\(−3\). Axis ya ulinganifu ni\(x=−3\).

20)\(f(x)=−\dfrac{1}{3}x^2−2x+3\)

Kwa mazoezi 21-25, tambua kikoa na upeo wa kazi ya quadratic.

21)\(f(x)=(x−3)^2+2\)

Jibu

Domain ni\((−∞,∞)\). Mbalimbali ni\([2,∞)\).

22)\(f(x)=−2(x+3)^2−6\)

23)\(f(x)=x^2+6x+4\)

Jibu

Domain ni\((−∞,∞)\). Mbalimbali ni\([−5,∞)\).

24)\(f(x)=2x^2−4x+2\)

25)\(k(x)=3x^2−6x−9\)

Jibu

Domain ni\((−∞,∞)\). Mbalimbali ni\([−12,∞)\).

Kwa mazoezi 26-44, tatua equations juu ya idadi tata.

26)\(x^2=−25\)

27)\(x^2=−8\)

Jibu

\({2i \sqrt{2},−2i \sqrt{2}}\)

28)\(x^2+36=0\)

29)\(x^2+27=0\)

Jibu

\({3i \sqrt{3},−3i\sqrt{3}}\)

30)\(x^2+2x+5=0\)

31)\(x^2−4x+5=0\)

Jibu

\({2+i,2−i}\)

32)\(x^2+8x+25=0\)

33)\(x^2−4x+13=0\)

Jibu

\({2+3i,2−3i}\)

34)\(x^2+6x+25=0\)

35)\(x^2−10x+26=0\)

Jibu

\({5+i,5−i}\)

36)\(x^2−6x+10=0\)

37)\(x(x−4)=20\)

Jibu

\({2+2 \sqrt{6}, 2−2\sqrt{6}}\)

38)\(x(x−2)=10\)

39)\(2x^2+2x+5=0\)

Jibu

\(\left\{−\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i, −\dfrac{1}{2}−\dfrac{3}{2}i\right\}\)

40)\(5x^2−8x+5=0\)

41)\(5x^2+6x+2=0\)

Jibu

\(\left\{−\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}i, −\dfrac{3}{5}−\dfrac{1}{5}i\right\}\)

42)\(2x^2−6x+5=0\)

43)\(x^2+x+2=0\)

Jibu

\(\left\{−\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\sqrt{7}, −\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{2}i\sqrt{7}\right\}\)

44)\(x^2−2x+4=0\)

Kwa mazoezi 45-52, tumia vertex\((h,k)\) na uhakika kwenye grafu\((x,y)\) ili kupata fomu ya jumla ya equation ya kazi ya quadratic.

45)\((h,k)=(2,0),(x,y)=(4,4)\)

Jibu

\(f(x)=x^2−4x+4\)

46)\((h,k)=(−2,−1),(x,y)=(−4,3)\)

47)\((h,k)=(0,1),(x,y)=(2,5)\)

Jibu

\(f(x)=x^2+1\)

48)\((h,k)=(2,3),(x,y)=(5,12)\)

49)\((h,k)=(−5,3),(x,y)=(2,9)\)

Jibu

\(f(x)=\dfrac{6}{49}x^2+\dfrac{60}{49}x+\dfrac{297}{49}\)

50)\((h,k)=(3,2),(x,y)=(10,1)\)

51)\((h,k)=(0,1),(x,y)=(1,0)\)

Jibu

\(f(x)=−x^2+1\)

52)\((h,k)=(1,0),(x,y)=(0,1)\)

Graphic

Kwa mazoezi 53-58, mchoro grafu ya kazi ya quadratic na upe vertex, mhimili wa ulinganifu, na uingie.

53)\(f(x)=x^2−2x\)

Jibu

Vertex\((1, −1)\), Axis ya ulinganifu ni\(x=1\). Intercepts ni\((0,0), (2,0)\).

54)\(f(x)=x^2−6x−1\)

55)\(f(x)=x^2−5x−6\)

Jibu

Vertex\(\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{−49}{4}\right)\), Axis ya ulinganifu ni\(x=\dfrac{5}{2}\). Intercepts ni\((0,−6),(−1,0),(6,0)\).

56)\(f(x)=x^2−7x+3\)

57)\(f(x)=−2x^2+5x−8\)

Jibu

Vertex\(\left(\dfrac{5}{4}, −\dfrac{39}{8}\right)\), Axis ya ulinganifu ni\(x=\dfrac{5}{4}\). Intercepts ni\((0, −8)\).

58)\(f(x)=4x^2−12x−3\)

Jibu

Kwa mazoezi 59-64, andika equation kwa kazi iliyowekwa.

59)

Jibu

\(f(x)=x^2−4x+1\)

60)

61)

Jibu

\(f(x)=−2x^2+8x−1\)

62)

63)

Jibu

\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2−3x+\dfrac{7}{2}\)

64)

Numeric

Kwa mazoezi 65-69, tumia meza ya maadili ambayo inawakilisha pointi kwenye grafu ya kazi ya quadratic. Kwa kuamua vertex na mhimili wa ulinganifu, pata fomu ya jumla ya equation ya kazi ya quadratic.

65)

\(x\)	—2	—1	0	1	2
\(y\)	5	2	1	2	5

Jibu

\(f(x)=x^2+1\)

66)

\(x\)	—2	—1	0	1	2
\(y\)	1	0	1	4	9

67)

\(x\)	—2	—1	0	1	2
\(y\)	—2	1	2	1	—2

Jibu

\(f(x)=2−x^2\)

68)

\(x\)	—2	—1	0	1	2
\(y\)	—8	—3	0	1	0

69)

\(x\)	—2	—1	0	1	2
\(y\)	8	2	0	2	8

Jibu

\(f(x)=2x^2\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 70-74, tumia calculator kupata jibu.

70) Grafu kwenye seti sawa ya axes kazi\(f(x)=x^2,f(x)=2x^2,\) na\(f(x)=\dfrac{1}{3}x^2\). Ni nini kinachoonekana kuwa athari ya kubadilisha mgawo?

71) Grafu kwenye seti sawa ya axes\(f(x)=x^2,f(x)=x^2+2\)\(f(x)=x^2,f(x)=x^2+5\) na\(f(x)=x^2−3\). Nini inaonekana kuwa athari ya kuongeza mara kwa mara?

Jibu

Grafu inabadilishwa juu au chini (mabadiliko ya wima).

72) Grafu kwenye seti sawa ya axes\(f(x)=x^2,f(x)=(x−2)^2,f(x−3)2,\) na\(f(x)=(x+4)^2\). Ni nini kinachoonekana kuwa athari za kuongeza au kuondoa namba hizo?

73) Njia ya kitu kilichopangwa kwa pembe ya\(45\) shahada na kasi ya awali ya\(80\) miguu kwa pili hutolewa na kazi\(h(x)=−\dfrac{32}{(80)^2}x^2+x\) ambapo\(x\) umbali wa usawa unasafiri na\(h(x)\) ni urefu wa miguu. Matumizi TRACE kipengele cha calculator yako kuamua urefu wa kitu wakati ina alisafiri\(100\) miguu mbali sambamba.

Jibu

\(50\)miguu

74) Daraja la kusimamishwa linaweza kuonyeshwa\(h(x)=.0001x^2\) na kazi ya quadratic na\(−2000≤x≤2000\) wapi\(|x|\) idadi ya miguu kutoka katikati na\(h(x)\) ni urefu kwa miguu. Tumia kipengele cha TRACE cha calculator yako ili kukadiria jinsi mbali na kituo cha daraja lina urefu wa\(100\) miguu.

Upanuzi

Kwa mazoezi 75-78, tumia vertex ya grafu ya kazi ya quadratic na mwelekeo grafu inafungua ili kupata uwanja na kazi mbalimbali.

75) Vertex\((1,−2)\), inafungua.

Jibu

Domain ni\((−∞,∞)\). Mbalimbali ni\([−2,∞)\).

76) Vertex\((−1,2)\) inafungua.

77) Vertex\((−5,11)\), inafungua.

Jibu

Domain ni\((−∞,∞)\) Range ni\((−∞,11]\).

78) Vertex\((−100,100)\), inafungua.

Kwa mazoezi 79-84, andika equation ya kazi ya quadratic ambayo ina hatua iliyotolewa na ina sura sawa na kazi iliyotolewa.

79) Ina\((1,1)\) na ina sura ya\(f(x)=2x^2\). Vertex iko kwenye\(y\) -axis.

Jibu

\(f(x)=2x^2−1\)

80) Ina\((−1,4)\) na ina sura ya\(f(x)=2x^2\). Vertex iko kwenye\(y\) -axis.

81) Ina\((2,3)\) na ina sura ya\(f(x)=3x^2\). Vertex iko kwenye\(y\) -axis.

Jibu

\(f(x)=3x^2−9\)

82) Ina\((1,−3)\) na ina sura ya\(f(x)=−x^2\). Vertex iko kwenye\(y\) -axis.

83) Ina\((4,3)\) na ina sura ya\(f(x)=5x^2\). Vertex iko kwenye\(y\) -axis.

Jibu

\(f(x)=5x^2−77\)

84) Ina\((1,−6)\) ina sura ya\(f(x)=3x^2\). Vertex ina\(x\) -kuratibu ya\(-1\).

Real-World Matumizi

85) Pata vipimo vya corral ya mstatili inayozalisha eneo kubwa lililofungwa lililopewa\(200\) miguu ya uzio.

Jibu

\(50\)miguu kwa\(50\) miguu. Kuongeza\(f(x)=−x^2+100x\).

86) Pata vipimo vya mgawanyiko wa mviringo wa mstatili katika\(2\) kalamu za ukubwa sawa na kuzalisha eneo kubwa zaidi lililofungwa lililopewa\(300\) miguu ya uzio.

87) Pata vipimo vya corral ya mstatili inayozalisha eneo kubwa lililofungwa limegawanywa katika\(3\) kalamu za ukubwa sawa na\(500\) miguu ya uzio.

Jibu

\(125\)miguu kwa\(62.5\) miguu. Kuongeza\(f(x)=−2x^2+250x\).

88) Miongoni mwa jozi zote za namba ambazo jumla yake ni\(6\), pata jozi na bidhaa kubwa zaidi. Bidhaa ni nini?

89) Miongoni mwa jozi zote za namba ambazo tofauti ni\(12\), pata jozi na bidhaa ndogo zaidi. Bidhaa ni nini?

Jibu

\(6\)na\(-\) 6; bidhaa ni\(-36\); kuongeza\(f(x)=x^2+12x\).

90) Tuseme kwamba bei kwa kila kitengo katika dola ya uzalishaji simu ya mkononi ni inatokana na\(p=$45−0.0125x\), ambapo\(x\) ni katika maelfu ya simu zinazozalishwa, na mapato kuwakilishwa na maelfu ya dola ni\(R=x⋅p\). Pata kiwango cha uzalishaji ambacho kitaongeza mapato.

91) roketi imezinduliwa hewani. Urefu wake, katika mita juu ya usawa wa bahari, kama kazi ya muda, kwa sekunde, hutolewa na\(h(t)=−4.9t^2+229t+234\). Kupata urefu upeo roketi atapata.

Jibu

\(2909.56\)mita

92) Mpira unatupwa hewa kutoka juu ya jengo. Urefu wake, katika mita juu ya ardhi, kama kazi ya muda, kwa sekunde, hutolewa na\(h(t)=−4.9t^2+24t+8\). Inachukua muda gani kufikia urefu wa juu?

93) Uwanja wa soka unashikilia\(62,000\) watazamaji. Kwa bei ya tiketi ya\(\$11\), mahudhurio ya wastani imekuwa\(26,000\). Wakati bei imeshuka kwa\(\$9\), mahudhurio ya wastani yamepanda\(31,000\). Kutokana kwamba mahudhurio yanahusiana na bei ya tiketi, ni bei gani ya tiketi ingeweza kuongeza mapato?

Jibu

\(\$10.70\)

94) Mkulima anaona kwamba kama anapanda\(75\) miti kwa ekari, kila mti utazaa\(20\) misitu ya matunda. Anakadiria kuwa kwa kila mti wa ziada uliopandwa kwa ekari, mavuno ya kila mti yatapungua kwa\(3\) misitu. Ni miti ngapi anapaswa kupanda kwa ekari ili kuongeza mavuno yake?

3.3 Kazi za Nguvu na Kazi za Polynomial

Maneno

1) Eleza tofauti kati ya mgawo wa kazi ya nguvu na shahada yake.

Jibu

Mgawo wa kazi ya nguvu ni namba halisi ambayo huongezeka na kutofautiana kukulia kwa nguvu. Kiwango ni nguvu ya juu inayoonekana katika kazi.

2) Ikiwa kazi ya polynomial iko katika fomu iliyopangwa, ni nini hatua nzuri ya kwanza ili kuamua kiwango cha kazi?

3) Kwa ujumla, kuelezea tabia ya mwisho ya kazi ya nguvu na shahada isiyo ya kawaida ikiwa mgawo wa kuongoza ni chanya.

Jibu

Kama\(x\) inapungua bila kufungwa, ndivyo ilivyo\(f(x)\). Kama\(x\) ongezeko bila amefungwa, ndivyo ilivyo\(f(x)\).

4) Ni uhusiano gani kati ya kiwango cha kazi ya polynomial na idadi kubwa ya pointi za kugeuka kwenye grafu yake?

5) Tunaweza kuhitimisha nini ikiwa, kwa ujumla, grafu ya kazi ya polynomial inaonyesha tabia ya mwisho ifuatayo? Kama\(x \rightarrow-\infty, f(x) \rightarrow-\infty\) na kama\(x \rightarrow \infty, f(x) \rightarrow-\infty\).

Jibu

Kazi ya polynomial ni ya kiwango hata na mgawo wa kuongoza ni hasi.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-11, kutambua kazi kama kazi ya nguvu, kazi ya polynomial, au wala.

6)\(f(x)=x^5\)

7)\(f(x)=(x^2)^3\)

Jibu

Kazi ya nguvu

8)\(f(x)=x−x^4\)

9)\(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2−1}\)

Jibu

Wala

10)\(f(x)=2x(x+2)(x−1)^2\)

11)\(f(x)=3^{x+1}\)

Jibu

Wala

Kwa mazoezi 12-16, pata kiwango na mgawo wa kuongoza kwa polynomial iliyotolewa.

12)\(−3x^4\)

13)\(7−2x^2\)

Jibu

Shahada =\(2\), Mgawo =\(-2\)

14)\(−2x^2− 3x^5+ x−6\)

15)\(x(4−x^2)(2x+1)\)

Jibu

Shahada =\(4\), Mgawo =\(-2\)

16)\(x^2(2x−3)^2\)

Kwa mazoezi 17-24, tambua tabia ya mwisho ya kazi.

17)\(f(x)=x^4\)

Jibu

Kama\(x→∞\),\(f(x)→∞\), kama\(x→−∞\),\(f(x)→∞\)

18)\(f(x)=x^3\)

19)\(f(x)=−x^4\)

Jibu

Kama\(x→−∞\),\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞\),\(f(x)→−∞\)

20)\(f(x)=−x^9\)

21)\(f(x)=−2x^4− 3x^2+ x−1\)

Jibu

Kama\(x→−∞\),\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞\),\(f(x)→−∞\)

22)\(f(x)=3x^2+ x−2\)

23)\(f(x)=x^2(2x^3−x+1)\)

Jibu

Kama\(x→∞\),\(f(x)→∞\), kama\(x→−∞\),\(f(x)→−∞\)

24)\(f(x)=(2−x)^7\)

Kwa mazoezi 25-30, pata vipindi vya kazi.

25)\(f(t)=2(t−1)(t+2)(t−3)\)

Jibu

\(y\)-intercept ni\((0,12)\),\(t\) -intercepts ni\((1,0);(–2,0); \) na\((3,0)\).

26)\(g(n)=−2(3n−1)(2n+1)\)

27)\(f(x)=x^4−16\)

Jibu

\(y\)-intercept ni\((0,−16)\),\(x\) -intercepts ni\((2,0)\) na\((−2,0)\).

28)\(f(x)=x^3+27\)

29)\(f(x)=x(x^2−2x−8)\)

Jibu

\(y\)-intercept ni\((0,0)\),\(x\) -intercepts ni\((0,0),(4,0),\) na\((−2, 0)\).

30)\(f(x)=(x+3)(4x^2−1)\)

Graphic

Kwa mazoezi 31-38, onyesha kiwango cha chini cha iwezekanavyo cha kazi ya polynomial iliyoonyeshwa.

31)

Jibu

\(3\)

32)

33)

Jibu

\(5\)

34)

35)

Jibu

\(3\)

36)

37)

Jibu

\(5\)

38)

Kwa mazoezi 39-45, onyesha kama grafu ya kazi iliyotolewa ni grafu ya kazi ya polynomial. Ikiwa ndivyo, tambua idadi ya pointi za kugeuka na kiwango cha chini cha kazi.

39)

Jibu

Ndiyo. Idadi ya pointi za kugeuka ni\(2\). Angalau shahada inawezekana ni\(3\).

40)

41)

Jibu

Ndiyo. Idadi ya pointi za kugeuka ni\(1\). Angalau shahada inawezekana ni\(2\).

42)

43)

Jibu

Ndiyo. Idadi ya pointi za kugeuka ni\(0\). Angalau shahada inawezekana ni\(1\).

44)

Jibu

Hapana.

45)

Jibu

Ndiyo. Idadi ya pointi za kugeuka ni\(0\). Angalau shahada inawezekana ni\(1\).

Numeric

Kwa mazoezi 46-50, fanya meza ili kuthibitisha tabia ya mwisho ya kazi.

46)\(f(x)=−x^3\)

47)\(f(x)=x^4−5x^2\)

Jibu

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">10	\ (f (x)\) "> 9,500
\ (x\) ">100	\ (f (x)\) "> 99,950,000
\ (x\) ">—10	\ (f (x)\) "> 9,500
\ (x\) ">—100	\ (f (x)\) "> 99,950,000

kama\(x→−∞,\)\(f(x)→∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\)

48)\(f(x)=x^2(1−x)^2\)

49)\(f(x)=(x−1)(x−2)(3−x)\)

Jibu

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">10	\ (f (x)\) ">—504
\ (x\) ">100	\ (f (x)\) "> - 941,094
\ (x\) ">—10	\ (f (x)\) "> 1,716
\ (x\) ">—100	\ (f (x)\) "> 1,061,106

kama\(x→−∞,\)\(f(x)→∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→−∞\)

50)\(f(x)=\dfrac{x^5}{10}−x^4\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 51-60, grafu kazi za polynomial kwa kutumia calculator. Kulingana na grafu, tambua intercepts na tabia ya mwisho.

51)\(f(x)=x^3(x−2)\)

Jibu

\(y\)Kizuizi ni\((0, 0)\). x-intercepts ni\((0, 0), (2, 0).\) Kama\(x→−∞,\)\(f(x)→∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\)

52)\(f(x)=x(x−3)(x+3)\)

53)\(f(x)=x(14−2x)(10−2x)\)

Jibu

\(y\)Kizuizi ni\((0,0)\). Ya x-intercepts ni\((0, 0), (5, 0), (7, 0)\). Kama\(x→−∞\),\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\)

54)\(f(x)=x(14−2x)(10−2x)^2\)

55)\(f(x)=x^3−16x\)

Jibu

\(y\)Kizuizi ni\((0, 0)\). X-intercept ni\((−4, 0), (0, 0), (4, 0)\). Kama\(x→−∞\),\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\)

56)\(f(x)=x^3−27\)

57)\(f(x)=x^4−81\)

Jibu

\(y\)Kizuizi ni\((0, -81)\). \(x\)-Intercept ni\((3, 0), (−3, 0)\). Kama\(x→−∞,\)\(f(x)→∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\)

58)\(f(x)=−x^3+x^2+2x\)

59)\(f(x)=x^3−2x^2−15x\)

Jibu

\(y\)Kizuizi ni\((0, 0)\). Ya x-intercepts ni\((−3, 0), (0, 0), (5, 0).\) Kama\(x→−∞\),\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\)

60)\(f(x)=x^3−0.01x\)

Upanuzi

Kwa mazoezi 61-65, tumia habari kuhusu grafu ya kazi ya polynomial ili kuamua kazi. Fikiria mgawo wa kuongoza ni\(1\) au\(-1\). Kunaweza kuwa na jibu zaidi ya moja sahihi.

61)\(y\) -intercept ni\((0,−4)\). \(x\)-intercepts ni\((−2,0), (2,0)\). Shahada ni\(2\).

Mwisho tabia: kama\(x→−∞,\)\(f(x)→∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\).

Jibu

\(f(x)=x^2−4\)

62)\(y\) -intercept ni\((0,9)\). \(x\)-intercepts ni\((−3,0), (3,0)\). Shahada ni\(2\).

Mwisho tabia: kama\(x→−∞,\)\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→−∞\).

63)\(y\) -intercept ni\((0,0)\). \(x\)-intercepts ni\((0,0), (2,0)\). Shahada ni\(3\).

Mwisho tabia: kama\(x→−∞,\)\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\).

Jibu

\(f(x)=x^3−4x^2+4x\)

64)\(y\) -intercept ni\((0,1)\). X-intercept ni\((1,0)\). Shahada ni\(3\).

Mwisho tabia: kama\(x→−∞\),\(f(x)→∞\), kama\(x→∞\),\(f(x)→−∞\).

65)\(y\) -intercept ni\((0,1)\). Hakuna\(x\) -intercept. Shahada ni\(4\).

Mwisho tabia: kama\(x→−∞,\)\(f(x)→∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\).

Jibu

\(f(x)=x^4+1\)

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi 66-70, tumia taarifa zilizoandikwa ili kujenga kazi ya polynomial ambayo inawakilisha habari zinazohitajika.

66) Slick mafuta ni kupanua kama mduara. Radi ya mduara inaongezeka kwa kiwango cha\(20\) mita kwa siku. Eleza eneo la mduara kama kazi ya\(d\), idadi ya siku ilipita.

67) Mchemraba una makali ya\(3\) miguu. Makali yanaongezeka kwa kiwango cha\(2\) miguu kwa dakika. Express kiasi cha mchemraba kama kazi ya\(m\), idadi ya dakika ilipita.

Jibu

\(V(m)=8m^3+36m^2+54m+27\)

68) Mstatili una urefu wa\(10\) inchi na upana wa\(6\) inchi. Kama urefu ni kuongezeka kwa\(x\) inchi na upana iliongezeka kwa mara mbili kiasi kwamba, kueleza eneo la mstatili kama kazi ya\(x\).

69) Sanduku la wazi linapaswa kujengwa kwa kukata pembe za mraba za pande\(x\) -inch kutoka kipande cha\(8\) inchi za kadibodi kwa\(8\) inchi na kisha kukunja pande. Express kiasi cha sanduku kama kazi ya\(x\).

Jibu

\(V(x)=4x^3−32x^2+64x\)

70) Mstatili ni mara mbili kwa muda mrefu kama ni pana. Mraba ya\(2\) miguu ya upande hukatwa kutoka kila kona. Kisha pande zimefungwa ili kufanya sanduku la wazi. Eleza kiasi cha sanduku kama kazi ya upana (\(x\)).

3.4 Grafu ya Kazi za Polynomial

Maneno

1) Ni tofauti gani kati ya\(x\) -intercept na sifuri ya kazi ya polynomial\(f\)?

Jibu

The\(x\) -intercept ni ambapo grafu ya kazi inavuka\(x\) -axis, na sifuri ya kazi ni thamani ya pembejeo ambayo\(f(x)=0\).

2) Ikiwa kazi ya polynomial ya shahada\(n\) ina zero\(n\) tofauti, unajua nini kuhusu grafu ya kazi?

3) Eleza jinsi Theorem ya Thamani ya Kati inaweza kutusaidia katika kutafuta sifuri ya kazi.

Jibu

Ikiwa tunatathmini kazi\(a\) na saa\(b\) na ishara ya mabadiliko ya thamani ya kazi, basi tunajua sifuri ipo kati\(a\) na\(b\).

4) Eleza jinsi fomu iliyopangwa ya polynomial inatusaidia kuifanya.

5) Ikiwa grafu ya polynomial inagusa tu\(x\) -axis na kisha inabadilisha mwelekeo, tunaweza kuhitimisha nini kuhusu fomu iliyosababishwa ya polynomial?

Jibu

Kutakuwa na sababu iliyofufuliwa kwa nguvu hata.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-23, pata\(x\) -au\(t\) -intercepts ya kazi za polynomial.

6)\(C(t)=2(t−4)(t+1)(t−6)\)

7)\(C(t)=3(t+2)(t−3)(t+5)\)

Jibu

\((−2,0),(3,0),(−5,0)\)

8)\(C(t)=4t(t−2)^2(t+1)\)

9)\(C(t)=2t(t−3)(t+1)^2\)

Jibu

\((3,0),(−1,0),(0,0)\)

10)\(C(t)=2t^4−8t^3+6t^2\)

11)\(C(t)=4t^4+12t^3−40t^2\)

Jibu

\((0,0), (−5,0), (2,0)\)

12)\(f(x)=x^4−x^2\)

13)\(f(x)=x^3+x^2−20x\)

Jibu

\((0,0), (−5,0), (4,0)\)

14)\(f(x)=x^3+6x^2−7x\)

15)\(f(x)=x^3+x^2−4x−4\)

Jibu

\((2,0), (−2,0), (−1,0)\)

16)\(f(x)=x^3+2x^2−9x−18\)

17)\(f(x)=2x^3−x^2−8x+4\)

Jibu

\((−2,0),(2,0),\left(\dfrac{1}{2},0\right)\)

18)\(f(x)=x^6−7x^3−8\)

19)\(f(x)=2x^4+6x^2−8\)

Jibu

\((1,0), (−1,0)\)

20)\(f(x)=x^3−3x^2−x+3\)

21)\(f(x)=x^6−2x^4−3x^2\)

Jibu

\((0,0),(\sqrt{3},0),(−\sqrt{3},0)\)

22)\(f(x)=x^6−3x^4−4x^2\)

23)\(f(x)=x^5−5x^3+4x\)

Jibu

\((0,0), (1,0), (−1,0), (2,0), (−2,0)\)

Kwa mazoezi 24-29, tumia Theorem ya Thamani ya Kati ili kuthibitisha kwamba polynomial iliyotolewa ina angalau sifuri moja ndani ya muda uliopewa.

24)\(f(x)=x^3−9x\), kati\(x=−4\) na\(x=−2\).

25)\(f(x)=x^3−9x\), kati\(x=2\) na\(x=4\).

Jibu

\(f(2)=–10\)na\(f(4)=28\). Ishara mabadiliko unathibitisha.

26)\(f(x)=x^5−2x\), kati\(x=1\) na\(x=2\).

27)\(f(x)=−x^4+4\), kati\(x=1\) na\(x=3\).

Jibu

\(f(1)=3\)na\(f(3)=–77.\) Sign mabadiliko unathibitisha.

28)\(f(x)=−2x^3−x\), kati\(x=–1\) na\(x=1\).

29)\(f(x)=x^3−100x+2\), kati\(x=0.01\) na\(x=0.1\)

Jibu

\(f(0.01)=1.000001 \)na\(f(0.1)=–7.999\). Ishara mabadiliko unathibitisha.

Kwa mazoezi 30-41, pata zero na upe wingi wa kila mmoja.

30)\(f(x)=(x+2)^3(x−3)^2\)

31)\(f(x)=x^2(2x+3)^5(x−4)^2\)

Jibu

\(0\)na wingi\(2\),\(−\dfrac{3}{2}\) na msururu\(5\),\(4\) na wingi\(2\)

32)\(f(x)=x^3(x−1)^3(x+2)\)

33)\(f(x)=x^2(x^2+4x+4)\)

Jibu

\(0\)na wingi\(2\),\(-2\) na wingi\(2\)

34)\(f(x)=(2x+1)^3(9x^2−6x+1)\)

35)\(f(x)=(3x+2)^5(x^2−10x+25)\)

Jibu

\(−\dfrac{2}{3}\)na wingi\(5\),\(5\) na wingi\(2\)

36)\(f(x)=x(4x^2−12x+9)(x^2+8x+16)\)

37)\(f(x)=x^6−x^5−2x^4\)

Jibu

\(0\)na wingi\(4\),\(2\) na msururu\(1\),\(-1\) na wingi\(1\)

38)\(f(x)=3x^4+6x^3+3x^2\)

39)\(f(x)=4x^5−12x^4+9x^3\)

Jibu

\(\dfrac{3}{2}\)na wingi\(2\),\(0\) na wingi\(3\)

40)\(f(x)=2x^4(x^3−4x^2+4x)\)

41)\(f(x)=4x^4(9x^4−12x^3+4x^2)\)

Jibu

\(0\)na wingi\(6\),\(\dfrac{2}{3}\) na wingi\(2\)

Graphic

Kwa mazoezi 42-47, grafu kazi za polynomial. Kumbuka\(x\) - na\(y\) - huchukua, wingi, na tabia ya mwisho.

42)\(f(x)=(x+3)^2(x−2)\)

43)\(g(x)=(x+4)(x−1)^2\)

Jibu

\(x\)-huchukua,\((1, 0)\) kwa wingi\(2\),\((–4, 0)\) na msururu\(1\),\(y\) - kukatiza\((0, 4)\). Kama\(x→−∞\),\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\).

44)\(h(x)=(x−1)^3(x+3)^2\)

45)\(k(x)=(x−3)^3(x−2)^2\)

Jibu

\(x\)-huchukua\((3,0)\) kwa wingi\(3\),\((2,0)\) kwa wingi\(2\),\(y\) - kukatiza\((0,–108).\) Kama\(x→−∞,\)\(f(x)→−∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→∞\).

46)\(m(x)=−2x(x−1)(x+3)\)

47)\(n(x)=−3x(x+2)(x−4)\)

Jibu

\(x\)-huchukua\((0, 0),(–2, 0),(4, 0)\) kwa wingi\(1\),\(y\) -intercept (0, 0). Kama\(x→−∞,\)\(f(x)→∞\), kama\(x→∞,\)\(f(x)→−∞\).

Kwa mazoezi 48-52, tumia grafu kuandika formula kwa kazi ya polynomial ya shahada ndogo.

48)

49)

Jibu

\(f(x)=−\dfrac{2}{9}(x−3)(x+1)(x+3)\)

50)

51)

Jibu

\(f(x)=\dfrac{1}{4}(x+2)^2(x−3)\)

52)

Kwa mazoezi 53-56, tumia grafu ili kutambua zero na wingi.

53)

Jibu

\(–4, –2, 1, 3\)na msururu\(1\)

54)

55)

Jibu

\(–2, 3\)kila mmoja na msururu\(2\)

56)

Kwa mazoezi 57-66, tumia taarifa iliyotolewa kuhusu grafu ya polynomial kuandika equation.

57) Shahada\(3\). Zeros katika\(x=–2\),\(x=1\), na\(x=3\). \(y\)-kukatiza\((0,–4)\)

Jibu

\(f(x)=−\dfrac{2}{3}(x+2)(x−1)(x−3)\)

58) Shahada\(3\). Zeros katika\(x=–5\),\(x=–2\), na\(x=1\). \(y\)-kukatiza\((0,6)\)

59) Shahada\(5\). Mizizi ya wingi\(2\) katika\(x=3\) na\(x=1\), na mizizi ya wingi\(1\) katika\(x=–3\). \(y\)-kukatiza\((0,9)\)

Jibu

\(f(x)=\dfrac{1}{3}(x−3)^2(x−1)^2(x+3)\)

60) Shahada\(4\). Mizizi ya wingi\(2\) katika\(x=4\), na mizizi ya wingi\(1\) katika\(x=1\) na\(x=–2\). \(y\)-kukatiza\((0,–3)\)

61) Shahada\(5\). Double sifuri katika\(x=1\), na mara tatu sifuri katika\(x=3\). Inapita kupitia hatua\((2,15)\)

Jibu

\(f(x)=−15(x−1)^2(x−3)^3\)

62) Shahada\(3\). Zeros katika\(x=4\),\(x=3\), na\(x=2\). \(y\)-kukatiza\((0,−24)\)

63) Shahada\(3\). Zeros katika\(x=−3\),\(x=−2\) na\(x=1\). \(y\)-kukatiza\((0,12)\)

Jibu

\(f(x)=−2(x+3)(x+2)(x−1)\)

64) Shahada\(5\). Mizizi ya wingi\(2\) katika\(x=−3\)\(x=2\) na na mizizi ya msururu\(1\) katika\(x=−2\). \(y\)-kukatiza katika\((0, 4)\).

65) Shahada\(4\). Mizizi\(2\) ya wingi\(x=\dfrac{1}{2}\) na mizizi ya wingi\(1\)\(x=6 \) na\(x=−2\). \(y\)-kukatiza\((0,18)\)

Jibu

\(f(x)=−\dfrac{3}{2}(2x−1)^2(x−6)(x+2)\)

66) Double sifuri saa\(x=−3\) na mara tatu sifuri katika\(x=0\). Inapita kupitia hatua\((1,32)\).

Teknolojia

Kwa mazoezi 67-71, tumia calculator kwa takriban minima ya ndani na maxima au kiwango cha chini cha kimataifa na kiwango cha juu.

67)\(f(x)=x^3−x−1\)

Jibu

max ya ndani\((–.58, –.62)\), min ya ndani\((.58, –1.38)\)

68)\(f(x)=2x^3−3x−1\)

69)\(f(x)=x^4+x\)

Jibu

dakika ya kimataifa\((–.63, –.47)\)

70)\(f(x)=−x^4+3x−2\)

71)\(f(x)=x^4−x^3+1\)

Jibu

dakika ya kimataifa\((.75, .89)\)

Upanuzi

Kwa mazoezi 72-74, tumia grafu kuandika kazi ya polynomial ya shahada ndogo.

72)

73)

Jibu

\(f(x)=(x−500)^2(x+200)\)

74)

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi 75-, andika kazi ya polynomial ambayo inafanana na hali iliyotolewa.

75) Mstatili una urefu wa\(10\) vitengo na upana wa vitengo 8. Mraba ya\(x\)\(x\) vitengo hukatwa kila kona, na kisha pande zimefungwa ili kuunda sanduku la wazi. Eleza kiasi cha sanduku kama kazi ya polynomial kwa suala la\(x\).

Jibu

\(f(x)=4x^3−36x^2+80x\)

76) Fikiria mstatili huo wa tatizo lililotangulia. Mraba\(2x\) ya\(2x\) vitengo hukatwa kila kona. Eleza kiasi cha sanduku kama polynomial kwa suala la\(x\).

77) Mraba ina pande za\(12\) vitengo. Mraba\(x +1\) na\(x +1\) vitengo hukatwa kila kona, na kisha pande zimefungwa ili kuunda sanduku la wazi. Eleza kiasi cha sanduku kama kazi katika suala la\(x\).

Jibu

\(f(x)=4x^3−36x^2+60x+100\)

78) Silinda ina radius ya\(x+2\) vitengo na urefu wa\(3\) vitengo zaidi. Eleza kiasi cha silinda kama kazi ya polynomial.

79) haki mviringo koni ina Radius ya\(3x+6\) na\(3\) vitengo urefu chini. Eleza kiasi cha koni kama kazi ya polynomial. Kiasi cha koni ni\(V=\dfrac{1}{3}πr^2h\) kwa radius\(r\) na urefu\(h\).

Jibu

\(f(x)=π(9x^3+45x^2+72x+36)\)

3.5 Kugawanya Polynomials

Maneno

1) Ikiwa mgawanyiko wa polynomial na matokeo ya binomial katika salio la sifuri, ni nini kinachoweza kuhitimisha?

Jibu

Binomial ni sababu ya polynomial.

2) Ikiwa shahada ya shahada\(n\) imegawanywa na kiwango cha binomial\(1\), ni kiwango gani cha quotient?

Kialjebra

Kwa mazoezi 3-13, tumia mgawanyiko mrefu kugawanya. Taja quotient na salio.

3)\((x^2+5x−1)÷(x−1)\)

Jibu

\(\mathrm{x+6+\dfrac{5}{x−1}, quotient: x+6, remainder: 5}\)

4)\((2x^2−9x−5)÷(x−5)\)

5)\((3x^2+23x+14)÷(x+7)\)

Jibu

\(\mathrm{3x+2, quotient: 3x+2, remainder: 0}\)

6)\((4x^2−10x+6)÷(4x+2)\)

7)\((6x^2−25x−25)÷(6x+5)\)

Jibu

\(\mathrm{x−5, quotient: x−5, remainder: 0}\)

8)\((−x^2−1)÷(x+1)\)

9)\((2x^2−3x+2)÷(x+2)\)

Jibu

\(\mathrm{2x−7+\dfrac{16}{x+2}, quotient: 2x−7, remainder: 16}\)

10)\((x^3−126)÷(x−5)\)

11)\((3x^2−5x+4)÷(3x+1)\)

Jibu

\(\mathrm{x−2+\dfrac{6}{3x+1}, quotient: x−2, remainder: 6}\)

12)\((x^3−3x^2+5x−6)÷(x−2)\)

13)\((2x^3+3x^2−4x+15)÷(x+3)\)

Jibu

\(\mathrm{2x^2−3x+5, quotient: 2x^2−3x+5, remainder: 0}\)

Kwa mazoezi 14-37, tumia mgawanyiko wa synthetic ili kupata quotient.

14)\((3x^3−2x^2+x−4)÷(x+3)\)

15)\((2x^3−6x^2−7x+6)÷(x−4)\)

Jibu

\(2x^2+2x+1+\dfrac{10}{x−4}\)

16)\((6x^3−10x^2−7x−15)÷(x+1)\)

17)\((4x^3−12x^2−5x−1)÷(2x+1)\)

Jibu

\(2x^2−7x+1−\dfrac{2}{2x+1}\)

18)\((9x^3−9x^2+18x+5)÷(3x−1)\)

19)\((3x^3−2x^2+x−4)÷(x+3)\)

Jibu

\(3x^2−11x+34−\dfrac{106}{x+3}\)

20)\((−6x^3+x^2−4)÷(2x−3)\)

21)\((2x^3+7x^2−13x−3)÷(2x−3)\)

Jibu

\(x^2+5x+1\)

22)\((3x^3−5x^2+2x+3)÷(x+2)\)

23)\((4x^3−5x^2+13)÷(x+4)\)

Jibu

\(4x^2−21x+84−\dfrac{323}{x+4}\)

24)\((x^3−3x+2)÷(x+2)\)

25)\((x^3−21x^2+147x−343)÷(x−7)\)

Jibu

\(x^2−14x+49\)

26)\((x^3−15x^2+75x−125)÷(x−5)\)

27)\((9x^3−x+2)÷(3x−1)\)

Jibu

\(3x^2+x+\dfrac{2}{3x−1}\)

28)\((6x^3−x^2+5x+2)÷(3x+1)\)

29)\((x^4+x^3−3x^2−2x+1)÷(x+1)\)

Jibu

\(x^3−3x+1\)

30)\((x^4−3x^2+1)÷(x−1)\)

31)\((x^4+2x^3−3x^2+2x+6)÷(x+3)\)

Jibu

\(x^3−x^2+2\)

32)\((x^4−10x^3+37x^2−60x+36)÷(x−2)\)

33)\((x^4−8x^3+24x^2−32x+16)÷(x−2)\)

Jibu

\(x^3−6x^2+12x−8\)

34)\((x^4+5x^3−3x^2−13x+10)÷(x+5)\)

35)\((x^4−12x^3+54x^2−108x+81)÷(x−3)\)

Jibu

\(x^3−9x^2+27x−27\)

36)\((4x^4−2x^3−4x+2)÷(2x−1)\)

37)\((4x^4+2x^3−4x^2+2x+2)÷(2x+1)\)

Jibu

\(2x^3−2x+2\)

Kwa mazoezi 38-43, tumia mgawanyiko wa synthetic kuamua kama kujieleza kwanza ni sababu ya pili. Ikiwa ni, onyesha factorization.

38)\(x−2, 4x^3−3x^2−8x+4\)

39)\(x−2, 3x^4−6x^3−5x+10\)

Jibu

Ndiyo\((x−2)(3x^3−5)\)

40)\(x+3, −4x^3+5x^2+8\)

41)\(x−2, 4x^4−15x^2−4\)

Jibu

Ndiyo\((x−2)(4x^3+8x^2+x+2)\)

42)\(x−\dfrac{1}{2}, 2x^4−x^3+2x−1\)

43)\(x+\dfrac{1}{3}, 3x^4+x^3−3x+1\)

Jibu

Hapana

Graphic

Kwa ajili ya mazoezi 44-48, tumia grafu ya polynomial ya shahada ya tatu na sababu moja kuandika fomu iliyopendekezwa ya polynomial iliyopendekezwa na grafu. Mgawo wa kuongoza ni moja.

44) Sababu ni\(x^2−x+3\)

45) Sababu ni\((x^2+2x+4)\)

Jibu

\((x−1)(x^2+2x+4)\)

46) Sababu ni\(x^2+2x+5\)

47) Sababu ni\(x^2+x+1\)

Jibu

\((x−5)(x^2+x+1)\)

48) Sababu ni\(x^2+2x+2\)

Kwa mazoezi 49-53, tumia mgawanyiko wa synthetic ili kupata quotient na salio.

49)\(\dfrac{4x^3−33}{x−2}\)

Jibu

\(\mathrm{Quotient: 4x^2+8x+16, remainder: −1}\)

50)\(\dfrac{2x^3+25}{x+3}\)

51)\(\dfrac{3x^3+2x−5}{x−1}\)

Jibu

\(\mathrm{Quotient: 3x^2+3x+5, remainder: 0}\)

52)\(\dfrac{−4x^3−x^2−12}{x+4}\)

53)\(\dfrac{x^4−22}{x+2}\)

Jibu

\(\mathrm{Quotient: x^3−2x^2+4x−8, remainder: −6}\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 54-58, tumia calculator na CAS ili kujibu maswali.

54) Fikiria\(\dfrac{x^k−1}{x−1}\) na\(k=1, 2, 3\). Unatarajia matokeo kuwa nini\(k=4\)?

55) Fikiria\(\dfrac{x^k+1}{x+1}\) kwa\(k=1, 3, 5\). Unatarajia matokeo kuwa nini\(k=7\)?

Jibu

\(x^6−x^5+x^4−x^3+x^2−x+1\)

56) Fikiria\(\dfrac{x^4−k^4}{x−k}\) kwa\(k=1, 2, 3\). Unatarajia matokeo kuwa nini\(k=4\)?

57) Fikiria\(\dfrac{x^k}{x+1}\) na\(k=1, 2, 3\). Unatarajia matokeo kuwa nini\(k=4\)?

Jibu

\(x^3−x^2+x−1+\dfrac{1}{x+1}\)

58) Fikiria\(\dfrac{x^k}{x−1}\) na\(k=1, 2, 3\). Unatarajia matokeo kuwa nini\(k=4\)?

Upanuzi

Kwa mazoezi 59-63, tumia mgawanyiko wa synthetic kuamua quotient inayohusisha idadi tata.

59)\(\dfrac{x+1}{x−i}\)

Jibu

\(1+\dfrac{1+i}{x−i}\)

60)\(\dfrac{x^2+1}{x−i}\)

61)\(\dfrac{x+1}{x+i}\)

Jibu

\(1+\dfrac{1−i}{x+i}\)

62)\(\dfrac{x^2+1}{x+i}\)

63)\(\dfrac{x^3+1}{x−i}\)

Jibu

\(x^2−ix−1+\dfrac{1−i}{x−i}\)

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi 64-66, tumia urefu uliopewa na eneo la mstatili ili kuelezea upana wa algebraically.

64) Urefu ni\(x+5\), eneo ni\(2x^2+9x−5\).

65) Urefu ni\(2x + 5\), eneo ni\(4x^3+10x^2+6x+15\).

Jibu

\(2x^2+3\)

66) Urefu ni\(3x–4\), eneo ni\(6x^4−8x^3+9x^2−9x−4\).

Kwa mazoezi 67-70, tumia kiasi kilichopewa cha sanduku na urefu na upana wake ili kuelezea urefu wa sanduku algebraically.

67) Volume ni\(12x^3+20x^2−21x−36\), urefu ni\(2x+3\), upana ni\(3x−4\).

Jibu

\(2x+3\)

68) Volume ni\(18x^3−21x^2−40x+48\), urefu ni\(3x–4\), upana ni\(3x–4\).

69) Volume ni\(10x^3+27x^2+2x−24\), urefu ni\(5x–4\), upana ni\(2x+3\).

Jibu

\(x+2\)

70) Volume ni\(10x^3+30x^2−8x−24\), urefu ni\(2\), upana ni\(x+3\).

Kwa mazoezi 71-73, tumia kiasi kilichopewa na radius ya silinda ili kuelezea urefu wa silinda algebraically.

71) Volume ni\(π(25x^3−65x^2−29x−3)\), radius ni\(5x+1\).

Jibu

\(x−3\)

72) Volume ni\(π(4x^3+12x^2−15x−50)\), Radius ni\(2x+5\).

73) Volume ni\(π(3x^4+24x^3+46x^2−16x−32)\), Radius ni\(x+4\).

Jibu

\(3x^2−2\)

3.6 Zero za Kazi za Polynomial

Maneno

1) Eleza matumizi ya Theorem Salio.

Jibu

Theorem inaweza kutumika kutathmini polynomial.

2) Eleza kwa nini Theorem ya Zero ya Mantiki haina uhakika wa kutafuta zero za kazi ya polynomial.

3) Ni tofauti gani kati ya zero za busara na halisi?

Jibu

Zero za busara zinaweza kuelezwa kama sehemu ndogo wakati zero halisi zinajumuisha namba zisizo na maana.

4) Ikiwa Utawala wa Descartes wa Ishara unaonyesha hakuna mabadiliko ya ishara au ishara moja ya mabadiliko, ni hitimisho gani maalum linaweza kupatikana?

5) Ikiwa mgawanyiko wa synthetic unaonyesha sifuri, kwa nini tunapaswa kujaribu thamani hiyo tena kama suluhisho linalowezekana?

Jibu

Kazi Polynomial unaweza kuwa na zeros mara kwa mara, hivyo ukweli kwamba idadi ni sifuri haina kuzuia kuwa sifuri tena.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-13, tumia Theorem ya Salio ili kupata salio.

6)\((x^4−9x^2+14)÷(x−2)\)

7)\((3x^3−2x^2+x−4)÷(x+3)\)

Jibu

\(−106\)

8)\((x^4+5x^3−4x−17)÷(x+1)\)

9)\((−3x^2+6x+24)÷(x−4)\)

Jibu

\(0\)

10)\((5x^5−4x^4+3x^3−2x^2+x−1)÷(x+6)\)

11)\((x^4−1)÷(x−4)\)

Jibu

\(255\)

12)\((3x^3+4x^2−8x+2)÷(x−3)\)

13)\((4x^3+5x^2−2x+7)÷(x+2)\)

Jibu

\(−1\)

Kwa mazoezi 14-21, tumia Theorem ya Factor ili kupata zero zote halisi kwa kazi ya polynomial iliyotolewa na sababu moja.

14)\(f(x)=2x^3−9x^2+13x−6; x−1\)

15)\(f(x)=2x^3+x^2−5x+2; x+2 \)

Jibu

\(−2, 1, \dfrac{1}{2}\)

16)\(f(x)=3x^3+x^2−20x+12; x+3\)

17)\(f(x)=2x^3+3x^2+x+6;x+2\)

Jibu

\(−2\)

18)\(f(x)=−5x^3+16x^2−9;x−3\)

19)\(x^3+3x^2+4x+12;x+3\)

Jibu

\(−3\)

20)\(4x^3−7x+3;x−1\)

21)\(2x^3+5x^2−12x−30,2x+5\)

Jibu

\(−\dfrac{5}{2}, \sqrt{6}, −\sqrt{6}\)

Kwa mazoezi 22-39, tumia Theorem ya Zero ya Mantiki ili kupata zero zote halisi.

22)\(x^3−3x^2−10x+24=0\)

23)\(2x^3+7x^2−10x−24=0\)

Jibu

\(2, −4, −\dfrac{3}{2}\)

24)\(x^3+2x^2−9x−18=0\)

25)\(x^3+5x^2−16x−80=0\)

Jibu

\(4, −4, −5\)

26)\(x^3−3x^2−25x+75=0\)

27)\(2x^3−3x^2−32x−15=0\)

Jibu

\(5, −3, −\dfrac{1}{2} \)

28)\(2x^3+x^2−7x−6=0\)

29)\(2x^3−3x^2−x+1=0\)

Jibu

\(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \dfrac{1−\sqrt{5}}{2}\)

30)\(3x^3−x^2−11x−6=0\)

31)\(2x^3−5x^2+9x−9=0\)

Jibu

\(\dfrac{3}{2}\)

32)\(2x^3−3x^2+4x+3=0\)

33)\(x^4−2x^3−7x^2+8x+12=0\)

Jibu

\(2, 3, −1, −2\)

34)\(x^4+2x^3−9x^2−2x+8=0\)

35)\(4x^4+4x^3−25x^2−x+6=0\)

Jibu

\(\dfrac{1}{2}, −\dfrac{1}{2}, 2, −3\)

36)\(2x^4−3x^3−15x^2+32x−12=0\)

37)\(x^4+2x^3−4x^2−10x−5=0\)

Jibu

\(−1, −1, \sqrt{5}, −\sqrt{5}\)

38)\(4x^3−3x+1=0\)

39)\(8x^4+26x^3+39x^2+26x+6\)

Jibu

\(−\dfrac{3}{4}, −\dfrac{1}{2}\)

Kwa mazoezi 40-45, pata ufumbuzi wote tata (halisi na yasiyo ya kweli).

40)\(x^3+x^2+x+1=0\)

41)\(x^3−8x^2+25x−26=0\)

Jibu

\(2, 3+2i, 3−2i\)

42)\(x^3+13x^2+57x+85=0\)

43)\(3x^3−4x^2+11x+10=0\)

Jibu

\(−\dfrac{2}{3}, 1+2i, 1−2i\)

44)\(x^4+2x^3+22x^2+50x−75=0\)

45)\(2x^3−3x^2+32x+17=0\)

Jibu

\(−\dfrac{1}{2}, 1+4i, 1−4i\)

Graphic

Kwa mazoezi 46-55, tumia Utawala wa Descartes ili kuamua idadi inayowezekana ya ufumbuzi mzuri na hasi. Thibitisha kwa grafu iliyotolewa.

46)\(f(x)=x^3−1\)

47)\(f(x)=x^4−x^2−1\)

Jibu

\(1\)chanya,\(1\) hasi

48)\(f(x)=x^3−2x^2−5x+6\)

49)\(f(x)=x^3−2x^2+x−1\)

Jibu

\(3\)au\(1\) chanya,\(0\) hasi

50)\(f(x)=x^4+2x^3−12x^2+14x−5\)

51)\(f(x)=2x^3+37x^2+200x+300\)

Jibu

\(0\)chanya,\(3\) au\(1\) hasi

52)\(f(x)=x^3−2x^2−16x+32\)

53)\(f(x)=2x^4−5x^3−5x^2+5x+3\)

Jibu

\(2\)au\(0\) chanya,\(2\) au\(0\) hasi

54)\(f(x)=2x^4−5x^3−14x^2+20x+8\)

55)\(f(x)=10x^4−21x^2+11\)

Jibu

\(2\)au\(0\) chanya,\(2\) au\(0\) hasi

Numeric

Kwa mazoezi 56-60, weka orodha zote zinazowezekana za busara kwa kazi.

56)\(f(x)=x^4+3x^3−4x+4\)

57)\(f(x)=2x^3+3x^2−8x+5\)

Jibu

\(±5, ±1, ± \dfrac{5}{2}\)

58)\(f(x)=3x^3+5x^2−5x+4\)

59)\(f(x)=6x^4−10x^2+13x+1\)

Jibu

\(±1, ±\dfrac{1}{2}, ±\dfrac{1}{3}, ±\dfrac{1}{6}\)

60)\(f(x)=4x^5−10x^4+8x^3+x^2−8\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 61-65, tumia calculator yako ili graph kazi ya polynomial. Kulingana na grafu, pata zero za busara. Ufumbuzi wote halisi ni wa busara.

61)\(f(x)=6x^3−7x^2+1\)

Jibu

\(1, \dfrac{1}{2}, −\dfrac{1}{3}\)

62)\(f(x)=4x^3−4x^2−13x−5\)

63)\(f(x)=8x^3−6x^2−23x+6\)

Jibu

\(2, \dfrac{1}{4}, −\dfrac{3}{2}\)

64)\(f(x)=12x^4+55x^3+12x^2−117x+54\)

65)\(f(x)=16x^4−24x^3+x^2−15x+25\)

Jibu

\(\dfrac{5}{4}\)

Upanuzi

Kwa mazoezi 66-70, jenga kazi ya polynomial ya shahada ndogo iwezekanavyo kwa kutumia taarifa iliyotolewa.

66) Mizizi halisi:\(–1, 1, 3\) na\((2,f(2))=(2,4)\)

67) Mizizi halisi:\(–1\) (kwa wingi\(2\) na\(1\)) na\((2,f(2))=(2,4)\)

Jibu

\(f(x)=\dfrac{4}{9}(x^3+x^2−x−1)\)

68) Mizizi halisi:\(–2, \dfrac{1}{2}\) (kwa wingi\(2\)) na\((−3,f(−3))=(−3,5)\)

69) Mizizi halisi:\(−\dfrac{1}{2}, 0,\dfrac{1}{2}\) na\((−2,f(−2))=(−2,6)\)

Jibu

\(f(x)=−\dfrac{1}{5}(4x^3−x)\)

70) Mizizi halisi:\(–4, –1, 1, 4\) na\((−2,f(−2))=(−2,10)\)

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi 71-75, pata vipimo vya sanduku lililoelezwa.

71) Urefu ni mara mbili kwa muda mrefu kama upana. Urefu ni\(2\) inchi kubwa kuliko upana. Kiasi ni inchi\(192\) za ujazo.

Jibu

\(8\)na\(4\) kwa\(6\) inchi

72) Urefu, upana, na urefu ni namba nzima mfululizo. Kiasi ni inchi\(120 \) za ujazo.

73) Urefu ni inchi moja zaidi ya upana, ambayo ni inchi moja zaidi ya urefu. Kiasi ni inchi\(86.625\) za ujazo.

Jibu

\(5.5\)na\(4.5\) kwa\(3.5\) inchi

74) Urefu ni mara tatu urefu na urefu ni inchi moja chini ya upana. Kiasi ni inchi\(108\) za ujazo.

75) Urefu ni\(3\) inchi zaidi ya upana. Upana ni\(2\) inchi zaidi ya urefu. Kiasi ni inchi\(120\) za ujazo.

Jibu

\(8\)na\(5\) kwa\(3\) inchi

Kwa mazoezi 76-80, pata vipimo vya silinda ya mviringo sahihi iliyoelezwa.

76) Radius ni\(3\) inchi zaidi ya urefu. Kiasi ni mita\(16π\) za ujazo.

77) Urefu ni chini ya nusu moja ya radius. Kiasi ni mita\(72π\) za ujazo.

Jibu

Radius =\(6\) mita, Urefu =\(2\) mita

78) Radi na urefu hutofautiana na mita moja. Radi ni kubwa na kiasi ni mita\(48π\) za ujazo.

79) Radi na urefu hutofautiana na mita mbili. Urefu ni mkubwa na kiasi ni mita\(28.125π\) za ujazo.

Jibu

Radius =\(2.5\) mita, Urefu =\(4.5\) mita

80) Radius ni\(\dfrac{1}{3}\) mita kubwa kuliko urefu. Kiasi ni mita\(\dfrac{98}{9}π\) za ujazo.

3.7 Kazi za busara

Maneno

1) Ni tofauti gani ya msingi katika uwakilishi wa algebraic wa kazi ya polynomial na kazi ya busara?

Jibu

Kazi ya busara itawakilishwa na quotient ya kazi nyingi.

2) Ni tofauti gani ya msingi katika grafu za kazi za polynomial na kazi za busara?

3) Ikiwa grafu ya kazi ya busara ina discontinuity inayoondolewa, ni nini lazima iwe kweli kwa utawala wa kazi?

Jibu

Nambari na denominator lazima iwe na sababu ya kawaida.

4) Je, grafu ya kazi ya busara haina asymptote ya wima? Kama ni hivyo, jinsi gani?

5) Je, grafu ya kazi ya busara haina x-intercepts? Kama ni hivyo, jinsi gani?

Jibu

Ndiyo. Nambari ya fomu ya kazi ingekuwa na mizizi ngumu tu na/au mambo ya kawaida kwa nambari na denominator.

Kialjebra

Kwa mazoezi 6-9, tafuta uwanja wa kazi za busara.

6)\(f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\)

7)\(f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-1}\)

Jibu

Mali yote\(x \neq -1,1\)

8)\(f(x)=\dfrac{x^{2}+4}{x^{2}-2 x-8}\)

9)\(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x-3}{x^{4}-5 x^{2}+4}\)

Jibu

Mali yote\(x \neq-1,-2,1,2\)

Kwa mazoezi 10-19, tafuta uwanja, asymptotes wima, na asymptotes ya usawa ya kazi.

10)\(f(x)=\dfrac{4}{x-1}\)

11)\(f(x)=\dfrac{2}{5 x+2}\)

Jibu

V.A. katika\(x=-\dfrac{2}{5}\); H.A. katika\(y=0\); Domain ni kweli\(x \neq-\dfrac{2}{5}\)

12)\(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-9}\)

13)\(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+5 x-36}\)

Jibu

V.A. katika\(x=4,-9\); H.A. katika\(y=0\); Domain ni kweli\(x \neq 4,-9\)

14)\(f(x)=\dfrac{3+x}{x^{3}-27}\)

15)\(f(x)=\dfrac{3x-4}{x^{3}-16x}\)

Jibu

V.A. katika\(x=0,4,-4\); H.A. katika\(y=0\); Domain ni kweli\(x \neq 0,4,-4\)

16)\(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{3}+9 x^{2}+14 x}\)

17)\(f(x)=\dfrac{x+5}{x^{2}-25}\)

Jibu

V.A. katika\(x=-5\); H.A. katika\(y=0\); Domain ni kweli\(x \neq 5,-5\)

18)\(f(x)=\dfrac{x-4}{x-6}\)

19)\(f(x)=\dfrac{4-2x}{3 x-1}\)

Jibu

V.A. katika\(x=\dfrac{1}{3}\); H.A. katika\(y=-\dfrac{2}{3}\); Domain ni kweli\(x \neq \dfrac{1}{3}\)

Kwa ajili ya mazoezi 20-24, kupata\(x\) - na\(y\) -intercepts kwa ajili ya kazi.

20)\(f(x)=\dfrac{x+5}{x^{2}+4}\)

21)\(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-x}\)

Jibu

hakuna

22)\(f(x)=\dfrac{x^{2}+8 x+7}{x^{2}+11 x+30}\)

23)\(f(x)=\dfrac{x^{2}+x+6}{x^{2}-10 x+24}\)

Jibu

\(x\)-hukataa hakuna,\(y\) -kukatiza\(\left(0, \dfrac{1}{4}\right)\)

24)\(f(x)=\dfrac{94-2 x^{2}}{3 x^{2}-12}\)

Kwa mazoezi 25-29, kuelezea tabia ya ndani na ya mwisho ya kazi.

25)\(f(x)=\dfrac{x}{2 x+1}\)

Jibu

Tabia za mitaa:\(x \rightarrow-\dfrac{1}{2}^{+}, f(x) \rightarrow-\infty, x \rightarrow-\dfrac{1}{2}^{-}, f(x) \rightarrow \infty\)

Mwisho tabia:\(x \rightarrow \pm \infty, f(x) \rightarrow \dfrac{1}{2}\)

26)\(f(x)=\dfrac{2x}{x-6}\)

27)\(f(x)=\dfrac{-2x}{x-6}\)

Jibu

Tabia za mitaa:\(x \rightarrow 6^{+}, f(x) \rightarrow-\infty, x \rightarrow 6^{-}, f(x) \rightarrow \infty \)

Mwisho tabia:\(x \rightarrow \pm \infty, f(x) \rightarrow-2\)

28)\(f(x)=\dfrac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-4x-5}\)

29)\(f(x)=\dfrac{2 x^{2}-32}{6 x^{2}+13x-5}\)

Jibu

Tabia za mitaa:\(x \rightarrow-\dfrac{1}{3}, f(x) \rightarrow \infty, x \rightarrow-\dfrac{1}{3}, f(x) \rightarrow-\infty, x \rightarrow \dfrac{5}{2}, f(x) \rightarrow \infty, x \rightarrow \dfrac{5}{2}+f(x) \rightarrow-\infty\)

Mwisho tabia:\(x \rightarrow \pm \infty, f(x) \rightarrow \dfrac{1}{3}\)

Kwa mazoezi 30-34, tafuta dalili ya slant ya kazi.

30)\(f(x)=\dfrac{24 x^{2}+6 x}{2 x+1}\)

31)\(f(x)=\dfrac{4 x^{2}-10}{2 x-4}\)

Jibu

\(y=2 x+4\)

32)\(f(x)=\dfrac{81 x^{2}-18}{3 x-2}\)

33)\(f(x)=\dfrac{6 x^{3}-5 x}{3 x^{2}+4}\)

Jibu

\(y=2 x\)

34)\(f(x)=\dfrac{x^{2}+5x+4}{x-1}\)

Graphic

Kwa mazoezi 35-38, tumia mabadiliko yaliyotolewa ili kuunda kazi. Angalia asymptotes ya wima na ya usawa.

35) Kazi ya kurudi ilibadilisha vitengo viwili.

Jibu

V.A.\(x=0\), H.A.\(y=2\)

36) Kazi ya kurudi imebadilishwa kitengo kimoja na kushoto vitengo vitatu.

37) Kazi ya mraba ya usawa imebadilishwa kwenye\(2\) vitengo sahihi.

Jibu

V.A.\(x=2\), H.A.\(y=0\)

38) Kazi ya mraba ya usawa imebadilishwa\(2\) vitengo na\(1\) kitengo cha kulia.

Kwa ajili ya mazoezi 39-50 kupata intercepts usawa, intercept wima, asymptotes wima, na usawa au slant asymptote ya kazi. Tumia habari hiyo ili mchoro wa grafu.

39)\(p(x)=\dfrac{2x-3}{x+4}\)

Jibu

V.A.\(x=-4\), H.A\(y=2\);\(\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\);\(\left(0,-\dfrac{3}{4}\right)\)

40)\(q(x)=\dfrac{x-5}{3 x-1}\)

41)\(s(x)=\dfrac{4}{(x-2)^{2}}\)

Jibu

V.A.\(x=2\), H.A.\(y=0\),\((0,1)\)

42)\(r(x)=\dfrac{5}{(x+1)^{2}}\)

43)\(f(x)=\dfrac{3 x^{2}-14 x-5}{3 x^{2}+8 x-16}\)

Jibu

V.A.\(x=-4\)\(x=\dfrac{4}{3}\),, H.A\(y=1\);\((5,0)\);\(\left(-\dfrac{1}{3}, 0\right)\);\(\left(0, \dfrac{5}{16}\right)\)

44)\(g(x)=\dfrac{2 x^{2}+7 x-15}{3 x^{2}-14+15}\)

45)\(a(x)=\dfrac{x^{2}+2 x-3}{x^{2}-1}\)

Jibu

V.A.\(x=−1\), H.A\(y=1\);\((−3,0)\);\((0,3)\)

46)\(b(x)=\dfrac{x^{2}-x-6}{x^{2}-4}\)

47)\(h(x)=\dfrac{2 x^{2}+x-1}{x-4}\)

Jibu

V.A.\(x=4\), S.A.\(y=2x+9\)\((-1,0)\);\(\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)\);\(\left(0, \dfrac{1}{4}\right)\)

48)\(k(x)=\dfrac{2 x^{2}-3 x-20}{x-5}\)

49)\(w(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)(x-5)}{(x+2)^{2}(x-4)}\)

Jibu

V.A.\(x=-2\)\(x=4\),, H.A.\(y=1\),\((1,0)\)\((5,0)\);\((-3,0)\);\(\left(0,-\dfrac{15}{16}\right)\)

50)\(z(x)=\dfrac{(x+2)^{2}(x-5)}{(x-3)(x+1)(x+4)}\)

Kwa mazoezi 51-56, andika equation kwa kazi ya busara na sifa zilizopewa.

51) Asymptotes wima katika\(x=5\),\(x\) -intercepts katika\((2,0)\) na\((-1,0), y\) -intercept katika\((0,4)\)

Jibu

\(y=50 \dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}-25}\)

52) Asymptotes wima katika\(x=-4\) na\(x=-1, x\) -intercepts katika\((1,0)\) na\((5,0), y\) -intercept katika\((0,7)\)

53) Asymptotes wima katika\(x=-4\) na\(x=-5, x\) -intercepts katika\((4,0)\) na\((-6,0),\) Horizontal asymptote katika\(y=7\)

Jibu

\(y=7 \dfrac{x^{2}+2 x-24}{x^{2}+9 x+20}\)

54) Asymptotes wima katika\(x=-3\) na\(x=6, x\) -intercepts katika\((-2,0)\) na\((1,0),\) Horizontal asymptote saa\(y=-2\)

55) Asymptote wima katika\(x=-1,\) Double sifuri katika\(x=2, y\) -intercept saa\((0,2)\)

Jibu

\(y=\dfrac{1}{2} \dfrac{x^{2}-4 x+4}{x+1}\)

56) Asymptote wima katika\(x=3,\) Double sifuri katika\(x=1, y\) -intercept saa\((0,4)\)

Kwa mazoezi 57-,64 tumia grafu kuandika equation kwa kazi.

57)

Jibu

\(y=4 \dfrac{x-3}{x^{2}-x-12}\)

58)

59)

Jibu

\(y=-9 \dfrac{x-2}{x^{2}-9}\)

60)

61)

Jibu

\(y=\dfrac{1}{3} \dfrac{x^{2}+x-6}{x-1}\)

62)

63)

Jibu

\(y=-6 \dfrac{(x-1)^{2}}{(x+3)(x-2)^{2}}\)

64)

Numeric

Kwa mazoezi 65-69, fanya meza ili kuonyesha tabia ya kazi karibu na asymptote ya wima na kuonyesha asymptote ya usawa

65)\(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\)

Jibu

\(x\)	2.01	2.001	2.0001	1.99	1.999
\ (x\) ">\(y\)	100	1,000	10,000	—100	—1,000

\(x\)	10	100	1,000	10,000	100,000
\ (x\) ">\(y\)	.125	.0102	.001	.0001	.00001

Asymptote ya wima\(x=2\), Asymptote ya usawa\(y=0\)

66)\(f(x)=\dfrac{x}{x-3}\)

67)\(f(x)=\dfrac{2x}{x+4}\)

Jibu

\(x\)	—4.1	—4.01	—4.001	—3.99	—3.999
\ (x\) ">\(y\)	82	802	8,002	—798	—7998

\(x\)	10	100	1,000	10,000	100,000
\ (x\) ">\(y\)	1.4286	1.9331	1.992	1.9992	1.999992

Asymptote ya wima\(x=-4\), Asymptote ya usawa\(y=2\)

68)\(f(x)=\dfrac{2 x}{(x-3)^{2}}\)

69)\(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+2 x+1}\)

Jibu

\(x\)	—9	—.99	—.999	—1.1	—1.01
\ (x\) ">\(y\)	81	9,801	998,001	121	10,201

\(x\)	10	100	1,000	10,000	100,000
\ (x\) ">\(y\)	82645	.9803	.998	.9998

Asymptote ya wima\(x=-1\), Asymptote ya usawa\(y=1\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 70-74, tumia calculator kwa grafu\(f(x)\). Tumia grafu ili kutatua \(f(x)>0\).

70)\(f(x)=\dfrac{2}{x+1}\)

71)\(f(x)=\dfrac{4}{2x-3}\)

Jibu

\(\left(\dfrac{3}{2}, \infty\right)\)

72)\(f(x)=\dfrac{2}{(x-1)(x+2)}\)

73)\(f(x)=\dfrac{x+2}{(x-1)(x-4)}\)

Jibu

\((-2,1) \cup(4, \infty)\)

74)\(f(x)=\dfrac{(x+3)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}\)

Upanuzi

Kwa mazoezi 75-79, tambua kuacha kutolewa.

75)\(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\)

Jibu

\((2,4)\)

76)\(f(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x+1}\)

77)\(f(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x-2}\)

Jibu

\((2,5)\)

78)\(f(x)=\dfrac{2 x^{2}+5 x-3}{x+3}\)

79)\(f(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}}{x+1}\)

Jibu

\((-1,1)\)

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi 80-81, onyesha kazi ya busara inayoelezea hali hiyo.

80) Tangi kubwa ya kuchanganya sasa ina\(200\) galoni za maji, ambayo\(10\) paundi za sukari zimechanganywa. Bomba litafungua, na kumwagilia\(10\) galoni za maji kwa dakika ndani ya tangi wakati huo huo sukari hutiwa ndani ya tangi kwa kiwango cha\(3\) paundi kwa dakika. Find mkusanyiko (paundi kwa kila lita) ya sukari katika tank baada ya\(t\) dakika.

81) Tangi kubwa ya kuchanganya sasa ina\(300\) galoni za maji, ambayo\(8\) paundi za sukari zimechanganywa. Bomba litafungua, na kumwagilia\(20\) galoni za maji kwa dakika ndani ya tangi wakati huo huo sukari hutiwa ndani ya tangi kwa kiwango cha\(2\) paundi kwa dakika. Kupata mkusanyiko (paundi kwa kila lita) ya sukari katika tank baada ya\(t\) dakika.

Jibu

\(C(t)=\dfrac{8+2t}{300+20t}\)

Kwa mazoezi 82-83, tumia kazi ya busara iliyotolewa ili kujibu swali.

82) Mkusanyiko\(C\) wa madawa ya kulevya katika\(t\) masaa ya damu ya mgonjwa baada ya sindano iliyotolewa na\(C(t)=\dfrac{2t}{3+t^{2}}\). Ni nini kinachotokea kwa mkusanyiko wa madawa ya kulevya kama\(t\) ongezeko?

83) Mkusanyiko\(C\) wa madawa ya kulevya katika damu ya wagonjwa, masaa baada ya sindano hutolewa na\(C(t)=\dfrac{100t}{2 t^{2}+75}\). Tumia calculator ili takriban wakati ambapo mkusanyiko ni wa juu.

Jibu

Baada ya\(6.12\) saa.

Kwa mazoezi 84-88, jenga kazi ya busara ambayo itasaidia kutatua tatizo. Kisha, tumia calculator kujibu swali.

84) Sanduku la wazi na msingi wa mraba ni kuwa na kiasi cha inchi za\(108\) ujazo. Pata vipimo vya sanduku ambalo litakuwa na eneo la chini la uso. Hebu\(x\) = urefu wa upande wa msingi.

85) Sanduku la mstatili na msingi wa mraba ni kuwa na kiasi cha miguu ya\(20\) ujazo. Vifaa kwa ajili ya gharama ya msingi\(30\) senti/mraba mguu. Vifaa kwa pande hupunguza\(10\) senti/mguu wa mraba. Vifaa kwa ajili ya gharama ya juu\(20\) senti/mraba mguu. Kuamua vipimo ambavyo vitazalisha gharama ndogo. Hebu\(x\) = urefu wa upande wa msingi.

Jibu

\(A(x)=50 x^{2}+\dfrac{800}{x} \cdot 2\)\(2\)kwa\(5\) miguu.

86) Silinda ya mviringo ya kulia ina kiasi cha inchi za\(100\) ujazo. Pata radius na urefu ambao utazalisha eneo la chini la uso. Hebu\(x\) = radius.

87) Silinda ya mviringo ya haki isiyo na juu ina kiasi cha mita za\(50\) ujazo. Pata radius ambayo itazaa eneo la chini la uso. Hebu\(x\) = radius.

Jibu

\(A(x)=\pi x^{2}+\dfrac{100}{x}\). Radius =\(2.52\) mita.

88) Silinda ya mviringo ya kulia ni kuwa na kiasi cha inchi za\(40\) ujazo. Ni gharama\(4\) senti/inchi mraba kujenga juu na chini na\(1\) cent/inchi mraba kujenga mapumziko ya silinda. Pata radius ili kutoa gharama ndogo. Hebu\(x\) = radius.

3.8 Inverses na Kazi kubwa

Maneno

1) Eleza kwa nini hatuwezi kupata kazi za kinyume kwa kazi zote za polynomial.

Jibu

Inaweza kuwa vigumu sana au haiwezekani kutatua katika suala la\(y\).

2) Kwa nini tunapaswa kuzuia uwanja wa kazi ya quadratic wakati wa kutafuta inverse yake?

3) Wakati wa kutafuta inverse ya kazi kubwa, ni kizuizi gani tunahitaji kufanya?

Jibu

Tutahitaji kizuizi kwenye uwanja wa jibu.

4) Inverse ya kazi ya quadratic daima itachukua fomu gani?

Kialjebra

Kwa mazoezi 5-12, tafuta inverse ya kazi kwenye uwanja uliopewa.

5)\(f(x)=(x-4)^{2},[4, \infty)\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}+4\)

6)\(f(x)=(x+2)^{2},[-2, \infty)\)

7)\(f(x)=(x+1)^{2}-3,[-1, \infty)\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{x+3}-1\)

8)\(f(x)=2-\sqrt{3+x}\)

9)\(f(x)=3 x^{2}+5,(-\infty, 0]\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=-\sqrt{\dfrac{x-5}{3}}\)

10)\(f(x)=12-x^{2},[0, \infty)\)

11)\(f(x)=9-x^{2},[0, \infty)\)

Jibu

\(f(x)=\sqrt{9-x}\)

12)\(f(x)=2 x^{2}+4,[0, \infty)\)

Kwa mazoezi 13-16, tafuta inverse ya kazi.

13)\(f(x)=x^{3}+5\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-5}\)

14)\(f(x)=3 x^{3}+1\)

15)\(f(x)=4-x^{3}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{4-x}\)

16)\(f(x)=4-2 x^{3}\)

Kwa mazoezi 17-31, tafuta inverse ya kazi.

17)\(f(x)=\sqrt{2x+1}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2},[0, \infty)\)

18)\(f(x)=\sqrt{3-4x}\)

19)\(f(x)=9+\sqrt{4x-4}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\dfrac{(x-9)^{2}+4}{4},[9, \infty)\)

20)\(f(x)=\sqrt{6x-8}+5\)

21)\(f(x)=9+2 \sqrt[3]{x}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\left(\dfrac{x-9}{2}\right)^{3}\)

22)\(f(x)=3-\sqrt[3]{x}\)

23)\(f(x)=\dfrac{2}{x+8}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\dfrac{2-8x}{x}\)

24)\(f(x)=\dfrac{3}{x-4}\)

25)\(f(x)=\dfrac{x+3}{x+7}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\dfrac{7x-3}{1-x}\)

26)\(f(x)=\dfrac{x-2}{x+7}\)

27)\(f(x)=\dfrac{3x+4}{5}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\dfrac{5x-4}{4x+3}\)

28)\(f(x)=\dfrac{5x+1}{2-5x}\)

29)\(f(x)=x^{2}+2 x,[-1, \infty)\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}-1\)

30)\(f(x)=x^{2}+4 x+1,[-2, \infty)\)

31)\(f(x)=x^{2}-6 x+3,[3, \infty)\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{x+6}+3\)

Graphic

Kwa mazoezi 32-41, tafuta inverse ya kazi na grafu kazi zote na inverse yake.

32)\(f(x)=x^{2}+2, x \geq 0\)

33)\(f(x)=4-x^{2}, x \geq 0\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{4-x}\)

34)\(f(x)=(x+3)^{2}, x \geq-3\)

35)\(f(x)=(x-4)^{2}, x \geq 4\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{x}+4\)

36)\(f(x)=x^{3}+3\)

37)\(f(x)=1-x^{3}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{1-x}\)

38)\(f(x)=x^{2}+4 x, x \geq-2\)

39)\(f(x)=x^{2}-6 x+1, x \geq 3\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{x+8}+3\)

40)\(f(x)=\dfrac{2}{x}\)

41)\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}, x \geq 0\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x}}\)

Kwa mazoezi 42-46, tumia grafu ili kusaidia kuamua uwanja wa kazi.

42)\(f(x)=\sqrt{\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}}\)

43)\(f(x)=\sqrt{\dfrac{(x+2)(x-3)}{x-1}}\)

Jibu

\([-2,1) \cup[3, \infty)\)

44)\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x(x+3)}{x-4}}\)

45)\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x^{2}-x-20}{x-2}}\)

Jibu

\([-4,2) \cup[5, \infty)\)

46)\(f(x)=\sqrt{\dfrac{9 x^{2}}{x+4}}\)

Teknolojia

Kwa mazoezi 47-51, tumia calculator kwa graph kazi. Kisha, kwa kutumia grafu, fanya pointi tatu kwenye grafu ya inverse na\(y\) -kuratibu zilizotolewa.

47)\(f(x)=x^{3}-x-2, y=1,2,3\)

Jibu

\((-2,0) ;(4,2) ;(22,3)\)

48)\(f(x)=x^{3}+x-2, y=0,1,2\)

49)\(f(x)=x^{3}+3 x-4, y=0,1,2\)

Jibu

\((-4,0) ;(0,1) ;(10,2)\)

50)\(f(x)=x^{3}+8 x-4, y=-1,0,1\)

51)\(f(x)=x^{4}+5 x+1, y=-1,0,1\)

Jibu

\((-3,-1) ;(1,0) ;(7,1)\)

Upanuzi

Kwa mazoezi 52-56, tafuta inverse ya kazi na\(a, b, c\) namba halisi halisi.

52)\(f(x)=ax^{3}+b\)

53)\(f(x)=x^{2}+bx\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\sqrt{x+\dfrac{b^{2}}{4}}-\dfrac{b}{2}\)

54)\(f(x)=\sqrt{a x^{2}+b}\)

55)\(f(x)=\sqrt[3]{a x+b}\)

Jibu

\(f^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}-b}{a}\)

56)\(f(x)=\dfrac{ax+b}{x+c}\)

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi 57-66, tambua kazi iliyoelezwa na kisha uitumie kujibu swali.

57) Kitu kilichoshuka kutoka urefu wa\(200\) mita kina urefu,\(h(t)\), katika mita baada ya\(t\) sekunde zimeanguka, kama vile\(h(t)=200-4.9 t^{2}\). Express\(t\) kama kazi ya urefu\(h\),, na kupata muda wa kufikia urefu wa\(50\) mita.

Jibu

\(t(h)=\sqrt{\dfrac{200-h}{4.9}}\),\(5.53\) sekunde

58) Kitu kilichopungua kutoka urefu wa\(600\) miguu kina urefu,\(h(t),\) kwa miguu baada ya\(t\) sekunde zimepita, kama vile\(h(t)=600-16 t^{2}\). Express\(t\) kama kazi ya urefu\(h\), na kupata muda wa kufikia urefu wa\(400\) miguu.

59) Kiasi,\(V\), ya nyanja katika suala la radius yake\(r\),, hutolewa na\(V(r)=\frac{4}{3} \pi r^{3}\). Express\(r\) kama kazi ya\(V\), na kupata Radius ya nyanja na kiasi cha miguu ya\(200\) ujazo.

Jibu

\(r(V)=\sqrt[3]{\dfrac{3 V}{4 \pi}}\),\(3.63\) miguu

60) Eneo la uso,\(A\), la nyanja kulingana na radius yake\(r\),, hutolewa na\(A(r)=4 \pi r^{2}\). Express\(r\) kama kazi ya\(V\), na kupata Radius ya nyanja na eneo la uso wa inchi\(1000\) za mraba.

61) Chombo kina\(100\) ml ya suluhisho ambayo ni asidi\(25\) ml. Ikiwa\(n\) ml ya suluhisho ambayo ni\(60\%\) asidi imeongezwa, kazi\(C(n)=\dfrac{25+.6 n}{100+n}\) inatoa mkusanyiko\(C\), kama kazi ya idadi ya ml aliongeza,\(n\). Express\(n\) kama kazi ya\(C\) na kuamua idadi ya mL kwamba haja ya kuongezwa kuwa na ufumbuzi yaani\(50\%\) asidi.

Jibu

\(n(C)=\dfrac{100 C-25}{6-C}, 250 \mathrm{mL}\)

62) Kipindi\(T\), kwa sekunde, ya pendulum rahisi kama kazi ya urefu wake\(l\), kwa miguu, hutolewa na\(T(l)=2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{322}}\). Express\(l\) kama kazi ya\(T\) na kuamua urefu wa pendulum na kipindi cha\(2\) sekunde.

63) Kiasi cha silinda,\(V\), kwa upande wa radius\(r\),, na urefu\(h\), hutolewa na\(V=\pi r^{2} h\). Ikiwa silinda ina urefu wa\(6\) mita, onyesha radius kama kazi ya\(V\) na kupata radius ya silinda na kiasi cha mita za\(300\) ujazo.

Jibu

\(r(V)=\sqrt{\dfrac{V}{6 \pi}}, 3.99\)mita

64) Eneo la uso,\(A\), la silinda kwa upande wa radius yake\(r\),, na urefu\(h\), hutolewa na\(A=2 \pi r^{2}+2 \pi r h\). Kama urefu wa silinda ni\(4\) miguu, kueleza Radius kama kazi ya\(V\) na kupata Radius kama eneo la uso ni miguu\(200\) mraba.

65) Kiasi cha koni ya mviringo sahihi\(V\),, kwa mujibu wa radius yake\(r\),, na urefu wake\(h\), hutolewa na\(V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\). \(r\)Eleza kwa suala la\(V\) kama urefu wa koni ni\(12\) miguu na kupata radius ya koni na kiasi cha inchi za\(50\) ujazo.

Jibu

\(r(V)=\sqrt{\dfrac{V}{4 \pi}}, 1.99\)inchi

66) Fikiria koni na urefu wa\(30\) miguu. Eleza radius\(r\), kwa suala la kiasi,\(V\), na kupata radius ya koni na kiasi cha miguu ya\(1000\) ujazo.

3.9 Mfano Kutumia Tofauti

Maneno

1) Ni nini cha kuonekana kwa grafu zinazoonyesha tofauti ya moja kwa moja kati ya vigezo viwili?

Jibu

Grafu itakuwa na kuonekana kwa kazi ya nguvu.

2) Kama vigezo mbili kutofautiana inversely, nini equation anayewakilisha uhusiano wao kuangalia kama?

3) Je, kuna kikomo kwa idadi ya vigezo ambayo inaweza kwa pamoja kutofautiana? Eleza.

Jibu

Hapana. Vigezo vingi vinaweza kutofautiana kwa pamoja.

Kialjebra

Kwa mazoezi 4-23, andika equation kuelezea uhusiano wa vigezo fulani.

4)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama\(x\) na wakati\(x=6, y=12\)

5)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mraba wa\(x\) na wakati\(x=4, y=80\)

Jibu

\(y=5 x^{2}\)

6)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mizizi ya mraba ya\(x\) na wakati\(x=36, y=24\)

7)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mchemraba wa\(x\) na wakati\(x=36, y=24\)

Jibu

\(y=10 x^{3}\)

8)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mzizi mchemraba wa\(x\) na wakati\(x=27, y=15\)

9)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama nguvu ya nne ya\(x\) na wakati\(x=1, y=6\)

Jibu

\(y=6 x^{4}\)

10)\(y\) inatofautiana inversely kama\(x\) na wakati\(x=4, y=2\)

11)\(y\) inatofautiana inversely kama mraba wa\(x\) na wakati\(x=3, y=2\)

Jibu

\(y=\dfrac{18}{x^{2}}\)

12)\(y\) inatofautiana inversely kama mchemraba wa\(x\) na wakati\(x=2, y=5\)

13)\(y\) inatofautiana inversely kama nguvu ya nne ya\(x\) na wakati\(x=3, y=1\)

Jibu

\(y=\dfrac{81}{x^{4}}\)

14)\(y\) inatofautiana inversely kama mizizi ya mraba ya\(x\) na wakati\(x=25, y=3\)

15)\(y\) inatofautiana inversely kama mzizi mchemraba wa\(x\) na wakati\(x=64, y=5\)

Jibu

\(y=\dfrac{20}{\sqrt[3]{x}}\)

16)\(y\) inatofautiana kwa pamoja\(x\) na\(z\) na wakati\(x=2\) na\(z=3, y=36\)

17)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x, z,\)\(w\) na wakati\(x=1, z=2, w=5\), basi\(y=100\)

Jibu

\(y=10 x z w\)

18)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama mraba wa\(x\) na mraba wa\(z\) na wakati\(x=3\) na\(z=4\), basi\(y=72\)

19)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x\) na mizizi ya mraba ya\(z\) na wakati\(x=2\) na\(z=25\), basi\(y=100\)

Jibu

\(y=10 x \sqrt{z}\)

20)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama mraba\(x\) wa mchemraba wa\(z\) na mizizi ya mraba ya\(w .\) Wakati\(x=1, z=2,\) na\(w=36,\) kisha\(y=48\)

21)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x\)\(z\) na inversely kama\(w\). Wakati\(x=3, z=5,\) na\(w=6,\) kisha\(y=10\)

Jibu

\(y=4 \dfrac{x z}{w}\)

22)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama mraba wa\(x\) na mizizi mraba ya\(z\) na inversely kama mchemraba wa\(w\). Wakati\(x=3, z=4\), na\(w=3\), basi\(y=6\)

23)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x\)\(z\) na inversely kama mizizi mraba wa wand mraba wa\(t\). Wakati\(x=3, z=1, w=25\), na\(t=2\), basi\(y=6\)

Jibu

\(y=40 \dfrac{x z}{\sqrt{w} t^{2}}\)

Numeric

Kwa mazoezi 24-40, tumia taarifa iliyotolewa ili kupata thamani isiyojulikana.

24)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama\(x\). Wakati\(x=3,\) huo\(y=12\). Pata\(y\) lini\(x=20\).

25)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mraba wa\(x\). Wakati\(x=2\), basi\(y=16\). Pata\(y\) lini\(x=8\).

Jibu

\(y=256\)

26)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mchemraba wa\(x\). Wakati\(x=3\), basi\(y=5\). Pata\(y\) lini\(x=4\).

27)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mizizi ya mraba ya\(x\). Wakati\(x=16\), basi\(y=4\). Pata\(y\) lini\(x=36\).

Jibu

\(y=6\)

28)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mchemraba mzizi wa\(x\). Wakati\(x=125\), basi\(y=15\). Pata\(y\) lini\(x=1,000\).

29)\(y\) inatofautiana inversely na\(x\). Wakati\(x=3\), basi\(y=2\). Pata\(y\) lini\(x=1\).

Jibu

\(y=6\)

30)\(y\) inatofautiana inversely na mraba wa\(x\). Wakati\(x=4\), basi\(y=3\). Pata\(y\) lini\(x=2\).

31)\(y\) inatofautiana inversely na mchemraba wa\(x\). Wakati\(x=3\), basi\(y=1\). Pata\(y\) lini\(x=1\).

Jibu

\(y=27\)

32)\(y\) inatofautiana inversely na mizizi mraba ya\(x\). Wakati\(x=64\), basi\(y=12\). Pata\(y\) lini\(x=36\).

33)\(y\) inatofautiana inversely na mizizi mchemraba wa\(x\). Wakati\(x=27\), basi\(y=5\). Pata\(y\) lini\(x=125\).

Jibu

\(y=3\)

34)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x\) na\(z\). Wakati\(x=4\) na\(z=2\), basi\(y=16\). Pata\(y\)\(x=3\) lini na\(z=3\).

35)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x, z\), na\(w\). Wakati\(x=2, z=1\), na\(w=12\), basi\(y=72\). Kupata\(y\) wakati\(x=1, z=2\), na\(w=3\).

Jibu

\(y=18\)

36)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x\) na mraba wa\(z\). Wakati\(x=2\) na\(z=4\), basi\(y=144\). Pata\(y\)\(x=4\) lini na\(z=5\).

37)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama mraba wa\(x\) na mizizi mraba ya\(z\). Wakati\(x=9\), basi\(y=24\). Pata\(y\)\(x=3\) lini na\(z=25\).

Jibu

\(y=90\)

38)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama\(x\) na inversely kama\(w\). Wakati\(x=5, z=2\), na\(w=20\), basi\(y=4\). Pata\(y\)\(x=3\) lini\(z=8\) na\(w=48\).

39)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama mraba wa\(x\) na mchemraba wa\(z\) na inversely kama mizizi mraba ya\(w\). Wakati\(x=2, z=2\), na\(w=64\) kisha\(y=12\). Kupata\(y\) wakati\(x=1, z=3\), na\(w=4\).

Jibu

\(y=\dfrac{81}{2}\)

40)\(y\) inatofautiana kwa pamoja kama mraba wa\(x\) na ya\(z\) na inversely kama mizizi mraba ya wand ya\(t\). Wakati\(x=2, z=3, w=16\), na\(t=3\), basi\(y=1\). Kupata\(y\) wakati\(x=3, z=2, w=36\), na\(t=5\).

Teknolojia

Kwa mazoezi 41-45, tumia calculator kwa grafu equation iliyoelezwa na tofauti iliyotolewa.

41)\(y\) inatofautiana moja kwa moja na mraba wa\(x\) na wakati\(x=2, y=3\)

Jibu

\(y=\dfrac{3}{4} x^{2}\)

42)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mchemraba wa\(x\) na wakati\(x=2, y=4\).

43)\(y\) inatofautiana moja kwa moja kama mizizi ya mraba ya\(x\) na wakati\(x=36, y=2\).

Jibu

\(y=\dfrac{1}{3} \sqrt{x}\)

44)\(y\) inatofautiana inversely\(x\) na na wakati\(x=6, y=2\).

45)\(y\) inatofautiana inversely kama mraba wa\(x\) na wakati\(x=1, y=4\).

Jibu

\(y=\dfrac{4}{x^{2}}\)

Upanuzi

Kwa ajili ya mazoezi 46-50, kutumia Sheria ya Kepler, ambayo inasema kwamba mraba wa wakati\(T\), inahitajika kwa ajili ya sayari obiti Sun inatofautiana moja kwa moja na mchemraba wa umbali wastani\(a\),, kwamba sayari ni kutoka jua.

46) Kutumia muda wa dunia wa\(1\) mwaka na maana umbali wa maili milioni 93, kupata equation zinazohusiana\(T\) na\(a\).

47) Tumia matokeo kutoka kwa zoezi la awali ili kuamua muda unaohitajika kwa Mars kuizunguka Jua ikiwa umbali wake wa maana ni maili\(142\) milioni.

Jibu

\(1.89\)miaka

48) Kutumia umbali wa dunia wa kilomita\(150\) milioni, kupata equation zinazohusiana\(T\) na\(a\).

49) Tumia matokeo kutoka kwa zoezi la awali ili kuamua muda unaohitajika kwa Venus kuizunguka Jua ikiwa umbali wake wa maana ni kilomita\(108\) milioni.

Jibu

\(0.61\)miaka

50) Kutumia umbali wa Dunia wa\(1\) kitengo cha astronomia (A.U.), tambua muda wa Saturn kuizunguka Jua ikiwa umbali wake wa maana ni\(9.54\) A.U.

Real-World Matumizi

Kwa mazoezi 51-60, tumia taarifa iliyotolewa ili kujibu maswali.

51) umbali\(s\) kwamba kitu iko inatofautiana moja kwa moja na mraba wa wakati\(t\),, ya kuanguka. Ikiwa kitu kinaanguka\(16\) miguu kwa sekunde moja, ni muda gani kuanguka\(144\) miguu?

Jibu

\(3\)sekunde

52) kasi\(v\) ya kitu kuanguka inatofautiana moja kwa moja na wakati\(t\),, ya kuanguka. Ikiwa baada ya\(2\) sekunde, kasi ya kitu ni\(64\) miguu kwa pili, ni kasi gani baada ya\(5\) sekunde?

53) Kiwango cha vibration ya kamba chini ya mvutano wa mara kwa mara hutofautiana kinyume na urefu wa kamba. Kama kamba ni\(24\) inchi kwa muda mrefu na vibrates\(128\) mara kwa sekunde, ni nini urefu wa kamba kwamba vibrates\(64\) mara kwa sekunde?

Jibu

\(48\)inchi

54) Kiasi cha gesi kilichofanyika kwa joto la kawaida kinatofautiana moja kwa moja kama shinikizo la gesi. Ikiwa kiasi cha gesi ni sentimita\(1200\) za ujazo wakati shinikizo ni\(200\) milimita ya zebaki, ni kiasi gani wakati shinikizo ni\(300\) milimita ya zebaki?

55) Uzito wa kitu juu ya uso wa Dunia hutofautiana kinyume na mraba wa umbali kutoka katikati ya Dunia. Kama mwili uzito\(50\) paundi wakati ni\(3960\) maili kutoka katikati ya dunia, ingekuwa uzito ni\(3970\) maili kutoka katikati ya dunia?

Jibu

\(49.75\)paundi

56) Upeo wa mwanga uliopimwa katika mishumaa ya mguu hutofautiana kinyume na mraba wa umbali kutoka chanzo cha mwanga. Tuseme ukubwa wa wigo wa taa ni\(0.08\) mishumaa ya mguu umbali wa\(3\) mita. Pata kiwango cha kiwango cha\(8\) mita.

57) Ya sasa katika mzunguko inatofautiana inversely na upinzani wake kipimo katika ohms. Wakati sasa katika mzunguko ni\(40\) amperes, upinzani ni\(10\) ohms. Pata sasa ikiwa upinzani ni\(12\) ohms.

Jibu

\(33.33\)amperes

58) Nguvu inayotumiwa na upepo juu ya uso wa ndege inatofautiana kwa pamoja na mraba wa kasi ya upepo na eneo la uso wa ndege. Ikiwa eneo la uso ni uso wa miguu ya\(40\) mraba na kasi ya upepo ni\(20\) maili kwa saa, nguvu inayosababisha ni\(15\) paundi. Kupata nguvu juu ya uso wa miguu\(65\) mraba na kasi ya\(30\) maili kwa saa.

59) Farasi (hp) ambayo shimoni inaweza kusambaza kwa usalama inatofautiana kwa pamoja na kasi yake (katika mapinduzi kwa dakika (rpm)) na mchemraba wa kipenyo. Ikiwa shimoni la\(3\) inchi fulani ya kipenyo inaweza kusambaza\(45\) hp kwenye\(100\) rpm, ni lazima kipenyo kiwe ili kupitisha\(60\) hp saa\(150\) rpm?

Jibu

\(2.88\)inchi

60) Nishati\(K\) ya kinetic ya kitu cha kusonga inatofautiana kwa pamoja\(m\) na wingi wake na mraba wa kasi yake\(v\). Ikiwa kitu kinachozidi\(40\) kilo na kasi ya\(15\) mita kwa pili kina nishati ya kinetic ya\(1000\) joules, pata nishati ya kinetic ikiwa kasi imeongezeka hadi\(20\) mita kwa pili.