3.8: Inverses na Kazi kubwa
Malengo ya kujifunza
Katika sehemu hii, utakuwa:
- Pata inverse ya kazi isiyo na nguvu ya polynomial.
- Weka kikoa ili kupata inverse ya kazi ya polynomial.
Kipande cha changarawe kina sura ya koni na urefu sawa na radius mara mbili.

Kiasi kinapatikana kwa kutumia formula kutoka jiometri ya msingi.
V=13πr2h=13πr2(2r)=23πr3
Tumeandika kiasiV katika suala la radiusr. Hata hivyo, wakati mwingine, tunaweza kuanza na kiasi na tunataka kupata radius. Kwa mfano: mteja anununua 100 miguu ya ujazo ya changarawe kujenga koni sura mlima na urefu mara mbili radius. Je, ni radius na urefu wa koni mpya? Ili kujibu swali hili, tunatumia formula
r=3√3V2π
Kazi hii ni inverse ya formulaV kwa suala lar.
Katika sehemu hii, tutazingatia inverses ya kazi nyingi na za busara na hasa kazi kubwa tunayokutana katika mchakato.
Kutafuta Inverse ya Kazi ya Polynomial
Kazi mbilif nag ni kazi inverse kama kwa kila jozi kuratibu katikaf(a,b), kuna sambamba kuratibu jozi katika kazi inverse,g,(b,a). Kwa maneno mengine, jozi za kuratibu za kazi za inverse zina pembejeo na pato zimebadilishana. Kazi moja kwa moja tu ina inverses. Kumbuka kwamba kazi moja kwa moja ina thamani ya pekee ya pato kwa kila thamani ya pembejeo na hupita mtihani wa mstari usio na usawa.
Kwa mfano, tuseme mtoza wa maji ya maji hujengwa kwa sura ya mto wa parabolic kama inavyoonekana kwenye Kielelezo3.8.2. Tunaweza kutumia habari katika takwimu ili kupata eneo la uso wa maji ndani ya mto kama kazi ya kina cha maji.

Kwa sababu itakuwa na manufaa kuwa na equation kwa sura parabolic msalaba-Sectional, sisi kulazimisha mfumo kuratibu katika sehemu ya msalaba, naxy kipimo usawa na kipimo wima, na asili katika vertex ya parabola (Kielelezo3.8.3).

Kutoka hili tunapata equation kwa sura ya parabolic. Sisi kuwekwa asili katika vertex ya parabola, hivyo tunajua equation itakuwa na fomuy(x)=ax2. Equation yetu itahitaji kupitisha hatua(6,18), ambayo tunaweza kutatua kwa sababu ya kunyooshaa.
18=a62a=1836=12
Sehemu yetu ya msalaba wa parabolic ina equation
y(x)=12x2
Tunavutiwa na eneo la uso wa maji, kwa hiyo tunapaswa kuamua upana juu ya maji kama kazi ya kina cha maji. Kwa kina chochotey, upana utapewa na2x, kwa hiyo tunahitaji kutatua equation hapo juux na kupata kazi inverse. Hata hivyo, angalia kwamba kazi ya awali sio moja kwa moja, na kwa kweli, kutokana na pato lolote kuna pembejeo mbili zinazozalisha pato sawa, moja chanya na moja hasi.
Ili kupata inverse, tunaweza kuzuia kazi yetu ya awali kwenye uwanja mdogo ambao ni moja kwa moja. Katika kesi hiyo, ni busara kujizuiax maadili mazuri. Kwenye uwanja huu, tunaweza kupata inverse kwa kutatua kwa kutofautiana kwa pembejeo:
y=12x22y=x2x=±√2y
Hii si kazi kama ilivyoandikwa. Sisi ni kikwazo wenyewe kwax maadili chanya, hivyo sisi kuondoa ufumbuzi hasi, kutupa kazi inverse sisi ni kuangalia kwa.
y=x22,x>0
Kwa sababux ni umbali kutoka katikati ya parabola kwa upande wowote, upana mzima wa maji hapo juu utakuwa2x. Mto huo ni miguu 3 (inchi 36) kwa muda mrefu, hivyo eneo la uso litakuwa:
Area=l⋅w=36⋅2x=72x=72√2y
Mfano huu unaeleza pointi mbili muhimu:
- Tunapopata inverse ya quadratic, tunapaswa kujizuia kwenye uwanja ambao kazi hiyo ni moja kwa moja.
- Inverse ya kazi ya quadratic ni kazi ya mizizi ya mraba. Wote ni kazi za toolkit na aina tofauti za kazi za nguvu.
Kazi zinazohusisha mizizi mara nyingi huitwa kazi kubwa. Ingawa haiwezekani kupata inverse ya kazi nyingi za polynomial, baadhi ya polynomials ya msingi yana inverses. Kazi hizo huitwa kazi zisizoweza kuingizwa, na tunatumia notationf−1(x).
f−1(x)Onyo: si sawa na usawa wa kazif(x). Matumizi haya ya “—1" yamehifadhiwa ili kuashiria kazi za inverse. Ili kutaja usawa wa kazif(x), tunahitaji kuandika:
(f(x))−1=1f(x).
Uhusiano muhimu kati ya kazi za kinyume ni kwamba “hutenganisha” kila mmoja. Ikiwaf−1 ni inverse ya kazif, basif ni inverse ya kazif−1. Kwa maneno mengine, chochote kazif gani kwax,f−1 undoes ni - na kinyume chake.
f−1(f(x))=x, kwa wotex katika uwanja waf
na
f(f−1(x))=x, kwa wotex katika uwanja waf−1
Kumbuka kuwa inverse inachukua kikoa na aina mbalimbali ya kazi ya awali.
KUTHIBITISHA KAZI MBILI NI INVERSES YA MTU MWINGINE
Kazi mbili,f nag, ni inverses ya mtu mwingine kama kwa wotex katika uwanja waf nag,
g(f(x))=f(g(x))=x
Howto: Kutokana na kazi ya polynomial, tafuta inverse ya kazi kwa kuzuia kikoa kwa namna ambayo kazi mpya ni moja kwa moja
- Badilisha nafasif(x) nay.
- xKubadilishana nay.
- Kutatua kway, na rename kazif−1(x).
Mfano3.8.1: Verifying Inverse Functions
Onyesha kwambaf(x)=1x+1 naf−1(x)=1x−1 ni inverses, kwax≠0,−1.
Suluhisho
Lazima tuonyeshe kwambaf−1(f(x))=x naf(f−1(x))=x.
f−1(f(x))=f−1(1x+1)=11x+1−1=(x+1)−1=x
na
f(f−1(x))=f(1x−1)=1(1x−1)+1=11x=x
Kwa hiyo,f(x)=1x+1 naf−1(x)=1x−1 ni inverses.
Zoezi3.8.1
Onyesha kwambaf(x)=x+53 naf−1(x)=3x−5 ni inverses.
- Jibu
-
f−1(f(x))=f−1(x+53)=3(x+53)−5=(x−5)+5=x
- Jibu b
-
f(f−1(x))=f(3x−5)=(3x−5)+53=3x3=x
Mfano3.8.2: Finding the Inverse of a Cubic Function
Pata inverse ya kazif(x)=5x3+1.
Suluhisho
Hii ni mabadiliko ya kazi ya msingi ya vifaa vya ujazo, na kulingana na ujuzi wetu wa kazi hiyo, tunajua ni moja kwa moja. Kutatua kwa inverse kwa kutatuax.
y=5x3+1
x=5y3+1
x−1=5y3
x−15=y3
f−1(x)=3√x−15
Uchambuzi
Angalia grafu yaf naf–1. Angalia kwamba grafu moja ni mfano wa mwingine kuhusu mstariy=x. Hii daima ni kesi wakati wa kuchora kazi na kazi yake inverse.
Pia, tangu njia hiyo ilihusisha kubadilishanax nay, angalia pointi zinazofanana. Kama(a,b) ni juu ya grafu yaf, basi(b,a) ni juu ya grafu yaf–1. Kwa kuwa(0,1) ni juu ya grafu yaf, basi(1,0) ni juu ya grafu yaf–1. Vile vile, tangu(1,6) ni kwenye grafu yaf, basi(6,1) ni kwenye grafu yaf–1 (Kielelezo3.8.9).

Zoezi3.8.2
Kupata kazi inverse yaf(x)=3√x+4.
- Jibu
-
f−1(x)=x3−4
Kuzuia Domain Kupata Inverse ya Kazi Polynomial
Hadi sasa, tumeweza kupata kazi za inverse za kazi za ujazo bila ya kuzuia vikoa vyao. Hata hivyo, kama tunavyojua, sio polynomials zote za ujazo ni moja kwa moja. Baadhi ya kazi ambazo si moja kwa moja zinaweza kuwa na kikoa chao kizuizi ili wawe moja kwa moja, lakini tu juu ya uwanja huo. Kazi juu ya kikoa kilichozuiliwa ingekuwa na kazi ya inverse. Kwa kuwa kazi za quadratic sio moja kwa moja, tunapaswa kuzuia uwanja wao ili kupata inverses yao.
KUZUIA KIKOA
Ikiwa kazi si moja kwa moja, haiwezi kuwa na inverse. Kama sisi kuzuia uwanja wa kazi ili inakuwa moja kwa moja, hivyo kujenga kazi mpya, kazi hii mpya itakuwa na inverse.
Jinsi ya: Kutokana na kazi ya polynomial, kuzuia uwanja wa kazi ambayo si moja kwa moja na kisha kupata inverse
- Kuzuia kikoa kwa kuamua uwanja ambao kazi ya awali ni moja kwa moja.
- Badilisha nafasif(x) nay.
- xKubadilishana nay.
- Kutatua kway, na kubadili jina kazi au jozi ya kazif−1(x).
- Tathmini formulaf−1(x) kwa kuhakikisha kwamba matokeo ya kazi inverse yanahusiana na uwanja vikwazo wa kazi ya awali.
Mfano3.8.3: Restricting the Domain to Find the Inverse of a Polynomial Function
Kupata kazi inverse yaf:
- f(x)=(x−4)2,x≥4
- f(x)=(x−4)2,x≤4
Suluhisho
Kazi ya awalif(x)=(x−4)2 sio moja kwa moja, lakini kazi imezuiwax≤4 kwenye uwanja wax≥4 au ambayo ni moja kwa moja (Kielelezo3.8.6).
Ili kupata inverse, kuanza kwa kuchukua nafasif(x) na kutofautiana rahisiy.
y=(x−4)2xKubadilishana nay.
x=(y−4)2Chukua mizizi ya mraba.
±√x=y−44Ongeza pande zote mbili.
4±√x=y
Hii si kazi kama ilivyoandikwa. Tunahitaji kuchunguza vikwazo kwenye uwanja wa kazi ya awali ili kuamua inverse. Kwa kuwa tulibadilisha majukumu yax nay kwa asilif(x), tuliangalia uwanja: maadilix yanaweza kudhani. Wakati sisi kuachwa majukumu yax nay, hii alitupa maadiliy inaweza kudhani. Kwa kazi hii,x≥4, hivyo kwa inverse, tunapaswa kuway≥4, ambayo ni nini kazi yetu inverse anatoa.
- Uwanja wa kazi ya awali ulizuiliwax≥4, hivyo matokeo ya inverse yanahitaji kuwa sawaf(x)≥4, na tunapaswa kutumia kesi +:
f−1(x)=4+√x
- uwanja wa kazi ya awali ilikuwa vikwazo kwax≤4, hivyo matokeo ya inverse haja ya kuwa sawa,f(x)≤4, na ni lazima kutumia — kesi:
f−1(x)=4−√x
Uchambuzi
Katika grafu katika Kielelezo3.8.6, tunaona kazi ya awali iliyowekwa kwenye seti sawa ya shaba kama kazi yake ya inverse. Angalia kwamba pamoja grafu zinaonyesha ulinganifu kuhusu mstariy=x. jozi kuratibu(4,0) ni juu ya grafu off f na jozi kuratibu(0,4) ni juu ya grafu yaf−1. Kwa jozi yoyote kuratibu, kama(a,b) ni juu ya grafu yaf, basi(b,a) ni juu ya grafu yaf−1. Hatimaye, angalia kwamba grafu yaf intersects grafu yaf−1 juu ya mstariy=x. Pointi ya makutano kwa grafu yaf naf−1 daima uongo juu ya mstariy=x.

Mfano3.8.4: Finding the Inverse of a Quadratic Function When the Restriction Is Not Specified
Kuzuia uwanja na kisha kupata inverse ya
f(x)=(x−2)2−3.
Suluhisho
Tunaweza kuona hii ni parabola na kipeo katika(2,–3) kwamba kufungua zaidi. Kwa sababu grafu itapungua kwa upande mmoja wa kipeo na kuongezeka kwa upande mwingine, tunaweza kuzuia kazi hii kwenye uwanja ambao utakuwa moja kwa moja kwa kupunguza kikoax≥2.
Ili kupata inverse, tutatumia fomu ya vertex ya quadratic. Tunaanzaf(x) kwa kuchukua nafasi ya kutofautiana rahisiy, kisha tatuax.
y=(x−2)2−3xKubadilishana nay.
x=(y−2)2−3Ongeza 3 kwa pande zote mbili.
x+3=(y−2)2Chukua mizizi ya mraba.
±√x+3=y−2Ongeza 2 kwa pande zote mbili.
2±√x+3=yBadilisha jina kazi.
f−1(x)=2±√x+3
Sasa tunahitaji kuamua kesi ipi ya kutumia. Kwa sababu sisi vikwazo kazi yetu ya awali kwa uwanja wax≥2, matokeo ya inverse lazima sawa, kutuambia kutumia kesi +
f−1(x)=2+√x+3
Ikiwa quadratic haikupewa katika fomu ya kipeo, kuandika tena katika fomu ya vertex ingekuwa hatua ya kwanza. Kwa njia hii tunaweza kuchunguza kwa urahisi kuratibu za vertex ili kutusaidia kuzuia kikoa.
Uchambuzi
Kumbuka kwamba sisi kiholela aliamua kuzuia uwanja juux≥2. Tunaweza tu kwa urahisi wameamua kuzuia uwanja kwax≤2, katika kesi hiyof−1(x)=2−√x+3. Kuzingatia kazi ya awali iliyowekwa kwenye seti moja ya shoka kama kazi yake inverse katika Kielelezo3.8.7. Angalia kwamba grafu zote zinaonyesha ulinganifu kuhusu mstariy=x. jozi kuratibu(2,−3) ni juu ya grafu yaf na jozi kuratibu(−3,2) ni juu ya grafu yaf−1. Kuzingatia kutoka kwenye grafu ya kazi zote mbili kwenye seti moja ya shaba
uwanja waf= aina mbalimbalif–1=[2,∞)
na
uwanja waf–1= aina mbalimbali yaf=[–3,∞).
Hatimaye, angalia kwamba grafu yaf intersects grafu yaf−1 kando ya mstariy=x.

Zoezi3.8.4
Pata inverse ya kazif(x)=x2+1, kwenye kikoax≥0.
- Jibu
-
f−1(x)=√x−1
Kupata Inverses
Angalia kwamba kazi kutoka kwa mifano ya awali zilikuwa zote za polynomials, na inverses zao zilikuwa kazi kubwa. Ikiwa tunataka kupata inverse ya kazi kubwa, tutahitaji kuzuia uwanja wa jibu kwa sababu kazi ya awali ni mdogo.
Jinsi ya: Kutokana na kazi kubwa, tafuta inverse
- Tambua aina mbalimbali za kazi ya awali.
- Badilisha nafasif(x) nay, kisha tatuax.
- Ikiwa ni lazima, punguza kikoa cha kazi ya inverse kwa aina mbalimbali ya kazi ya awali.
Mfano3.8.5: Finding the Inverse of a Radical Function
Kuzuia uwanja wa kazif(x)=√x−4 na kisha kupata inverse.
Suluhisho
Kumbuka kuwa kazi ya awali ina mbalimbalif(x)≥0. Badilisha nafasif(x) nay, kisha tatuax.
y=√x−4Badilisha nafasif(x) nay.
x=√y−4xKubadilishana nay.
x=√y−4Mraba kila upande.
x2=y−4Ongeza 4.
x2+4=yBadilisha jina kazif−1(x).
f−1(x)=x2+4
Kumbuka kwamba uwanja wa kazi hii lazima iwe mdogo kwa kazi mbalimbali ya awali.
f−1(x)=x2+4,x≥0
Uchambuzi
Taarifa katika Kielelezo3.8.8 kwamba inverse ni reflection ya kazi ya awali juu ya mstariy=x. Kwa sababu kazi ya awali ina matokeo mazuri tu, kazi ya inverse ina pembejeo zisizo za negative tu.

Zoezi3.8.5
Kuzuia kikoa na kisha kupata inverse ya kazif(x)=√2x+3.
- Jibu
-
f−1(x)=x2−32,x≥0
Kutatua Matumizi ya Kazi za Radical
Kazi kubwa ni ya kawaida katika mifano ya kimwili, kama tulivyoona katika kopo ya sehemu. Sasa tuna zana za kutosha ili tuweze kutatua tatizo lililofanywa mwanzoni mwa sehemu hiyo.
Mfano3.8.6: Solving an Application with a Cubic Function
Kipande cha changarawe kina sura ya koni na urefu sawa na radius mara mbili. Kiasi cha koni katika suala la radius hutolewa na
V=23πr3
Pata inverse ya kaziV=23πr3 ambayo huamua kiasiV cha koni na ni kazi ya radiusr. Kisha utumie kazi ya inverse ili kuhesabu radius ya kilima hicho cha changarawe kupima miguu 100 ya ujazo. Tumiaπ=3.14.
Suluhisho
Anza na kazi iliyotolewa kwaV. Kumbuka kwamba uwanja maana kwa ajili ya kazi nir>0 tangu radii hasi bila mantiki katika muktadha huu wala bila radius ya0. Pia angalia aina mbalimbali za kazi (kwa hiyo, uwanja wa kazi ya inverse) niV>0. Tatuar kwa suala laV, kwa kutumia njia iliyoelezwa hapo awali. Kumbuka kuwa katika programu halisi ya ulimwengu, hatuwezi kubadili vigezo wakati wa kutafuta inverses. Badala yake, sisi mabadiliko ambayo variable ni kuchukuliwa kuwa variable huru.
V=23πr3
Kutatua kwar3.
r3=3V2π
Kutatua kwar.
r=3√3V2π
Hii ni matokeo yaliyotajwa katika kopo ya sehemu. Sasa tathmini hii kwaV=100 naπ=3.14.
r=3√3V2π=3√3⋅1002⋅3.14≈3√47.7707≈3.63
Kwa hiyo, radius ni karibu 3.63 ft.
Kuamua Domain ya Kazi ya Radical Imejumuishwa na Kazi Zingine
Wakati kazi kubwa zinajumuisha kazi nyingine, kuamua uwanja unaweza kuwa ngumu zaidi.
Mfano3.8.7: Finding the Domain of a Radical Function Composed with a Rational Function
Pata uwanja wa kazi:
f(x)=√(x+2)(x−3)(x−1).
Suluhisho
Kwa sababu mizizi ya mraba inaelezwa tu wakati wingi chini ya radical sio hasi, tunahitaji kuamua wapi
(x+2)(x−3)(x−1)≥0.
Pato la kazi ya busara inaweza kubadilisha ishara (mabadiliko kutoka kwa chanya hadi hasi au kinyume chake) katika x -intercepts na kwa asymptotes wima. Kwa equation hii, grafu inaweza kubadilisha ishara katikax=–2,1, na3.
Kuamua vipindi ambavyo kujieleza kwa busara ni chanya, tunaweza kupima maadili fulani katika kujieleza au kuchora grafu. Wakati mbinu zote mbili zinafanya kazi vizuri, kwa mfano huu tutatumia grafu kama inavyoonekana kwenye Kielelezo3.8.9.

Kazi hii ina mbili x -intercepts, zote mbili ambazo zinaonyesha tabia linear karibu x -intercepts. Kuna asymptote moja ya wima, inayolingana na sababu ya mstari; tabia hii ni sawa na kazi ya msingi ya toolkit, na hakuna asymptote ya usawa kwa sababu kiwango cha nambari ni kubwa kuliko kiwango cha denominator. Kuna y -intercept at(0,√6).
Kutoka y -intercept na x -intercept saax=−2, tunaweza mchoro upande wa kushoto wa grafu. Kutoka kwa tabia katika asymptote, tunaweza kupiga upande wa kulia wa grafu.
Kutoka kwenye grafu, sasa tunaweza kusema juu ya vipindi vipi matokeo yatakuwa yasiyo ya hasi, ili tuweze kuwa na uhakika kwamba kazi ya awalif(x) itafafanuliwa. f(x)ina uwanja−2≤x<1 aux≥3, au katika nukuu ya muda,[−2,1)∪[3,∞).
Kutafuta Inverses ya Kazi za busara
Kama ilivyo kwa kutafuta inverses ya kazi za quadratic, wakati mwingine ni muhimu kupata inverse ya kazi ya busara, hasa ya kazi za busara ambazo ni uwiano wa kazi za mstari, kama vile katika maombi ya ukolezi.
Mfano3.8.8: Finding the Inverse of a Rational Function
Kazi
C=20+0.4n100+n
inawakilisha mkusanyikoC wa suluhisho la asidi baada yan mL ya ufumbuzi wa 40% imeongezwa kwa 100 ml ya suluhisho la 20%. Kwanza, tafuta inverse ya kazi; yaani, kupata kujielezan kwa suala laC. Kisha utumie matokeo yako ili ueleze ni kiasi gani cha ufumbuzi wa 40% unapaswa kuongezwa ili mchanganyiko wa mwisho ni suluhisho la 35%.
Suluhisho
Sisi kwanza tunataka inverse ya kazi ili kuamua ngapi mL tunahitaji kwa mkusanyiko fulani. Tutatatuan kwa suala laC.
C=20+0.4n100+nC(100+n)=20+0.4n100C+Cn=20+0.4n100C−20=0.4n−Cn100C−20=(0.4−C)nn=100C−200.4−C
Sasa tathmini kazi hii kwa 35%, ambayo niC=0.35.
n=100(0.35)−200.4−0.35=150.05=300
Tunaweza kuhitimisha kwamba 300 ml ya suluhisho la 40% inapaswa kuongezwa.
Zoezi3.8.8
Pata inverse ya kazif(x)=x+3x−2.
- Jibu
-
f−1(x)=2x+3x−1
vyombo vya habari
Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na inverses na kazi kubwa.
Dhana muhimu
- Inverse ya kazi ya quadratic ni kazi ya mizizi ya mraba.
- Ikiwaf−1 ni inverse ya kazif, basif ni inverse ya kazif−1. Angalia Mfano3.8.1.
- Ingawa haiwezekani kupata inverse ya kazi nyingi za polynomial, baadhi ya polynomials ya msingi haiwezi kuingizwa. Angalia Mfano3.8.2.
- Ili kupata inverse ya kazi fulani, tunapaswa kuzuia kazi kwenye uwanja ambao utakuwa moja kwa moja. Angalia Mifano3.8.3 na3.8.4
- Tunapopata inverse ya kazi kubwa, tunahitaji kizuizi kwenye uwanja wa jibu. Angalia Mfano3.8.5 na3.8.7.
- Inverse na radical na kazi inaweza kutumika kutatua matatizo ya maombi. Angalia Mifano3.8.6 na3.8.8.