3.1: Idadi tata

Malengo ya kujifunza

• Express mizizi mraba ya idadi hasi kama wingi wa\(i\).
• Panda namba tata kwenye ndege tata.
• Ongeza na uondoe namba tata.
• Kuzidisha na kugawanya namba tata.

Utafiti wa hisabati unaendelea kujengwa juu ya yenyewe. Integers hasi, kwa mfano, kujaza tupu kushoto na seti ya integers chanya. Seti ya namba za busara, kwa upande wake, hujaza tupu iliyoachwa na seti ya integers. Seti ya namba halisi hujaza tupu iliyoachwa na seti ya namba za busara. Haishangazi, seti ya namba halisi ina voids pia. Kwa mfano, bado hatuna ufumbuzi wa equations kama vile

\[x^2+4=0\]

Nadhani zetu bora huenda +2 au -2. Lakini kama sisi mtihani +2 katika equation hii, haifanyi kazi. Kama sisi mtihani —2, haifanyi kazi. Kama tunataka kuwa na ufumbuzi kwa equation hii, tutakuwa na kwenda mbali zaidi kuliko sisi hadi sasa. Baada ya yote, kwa hatua hii tumeelezea mizizi ya mraba ya nambari hasi kama haijulikani. Kwa bahati nzuri, kuna mfumo mwingine wa idadi ambayo hutoa ufumbuzi wa matatizo kama haya. Katika sehemu hii, tutazingatia mfumo huu wa nambari na jinsi ya kufanya kazi ndani yake.

Kuonyesha Mizizi ya Mraba ya Hesabu Hasi kama Mizigo ya i

Tunajua jinsi ya kupata mizizi ya mraba ya nambari yoyote halisi. Kwa namna hiyo, tunaweza kupata mizizi ya mraba ya idadi hasi. Tofauti ni kwamba mizizi si halisi. Ikiwa thamani katika radicand ni hasi, mizizi inasemekana kuwa namba ya kufikiri. Idadi ya kufikiri i inaelezwa kama mizizi ya mraba ya hasi 1.

\[\sqrt{-1}=i\]

Hivyo, kwa kutumia mali ya radicals,

\[i^2=(\sqrt{-1})^2=−1\]

Tunaweza kuandika mizizi mraba wa idadi yoyote hasi kama nyingi ya i Fikiria mizizi mraba ya -25.

\[\begin{align} \sqrt{-25}&=\sqrt{25 {\cdot} (-1)}\\ &=\sqrt{25}\sqrt{-1} \\ &= 5i \end{align}\]

Tunatumia 5 i na si -5 i kwa sababu mizizi kuu ya 25 ni mzizi mzuri.

Nambari ngumu ni jumla ya nambari halisi na nambari ya kufikiri. Nambari ngumu inaonyeshwa kwa fomu ya kawaida wakati imeandikwa\(a+bi\) ambapo\(a\) ni sehemu halisi na\(bi\) ni sehemu ya kufikiri. Kwa mfano,\(5+2i\) ni idadi tata. Hivyo, pia, ni\(3+4\sqrt{3}i\).

Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

Nambari za kufikiri zinajulikana na namba halisi kwa sababu nambari ya kufikiri ya mraba hutoa idadi halisi ya hasi. Kumbuka, wakati nambari halisi ya mraba ni mraba, matokeo ni nambari halisi halisi na wakati nambari halisi ya mraba, tena, matokeo ni nambari halisi halisi. Nambari ngumu ni mchanganyiko wa namba halisi na za kufikiri.

Idadi ya kufikiri na ngumu

Nambari tata ni idadi ya fomu\(a+bi\) ambapo

• \(a\)ni sehemu halisi ya idadi tata.
• \(bi\)ni sehemu ya kufikiri ya idadi tata.

Ikiwa\(b=0\), basi\(a+bi\) ni namba halisi. Ikiwa\(a=0\) na\(b\) si sawa na 0, nambari tata inaitwa nambari ya kufikiri. Nambari ya kufikiri ni hata mizizi ya nambari hasi.

Fomu ya Standard

Kutokana na idadi ya kufikiri, kuelezea kwa fomu ya kawaida.

1. Andika\(\sqrt{−a}\) kama\(\sqrt{a}\sqrt{−1}\).
2. Express\(\sqrt{−1}\) kama \(i\).
3. Andika\(\sqrt{a}{\cdot}i\) kwa fomu rahisi.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Expressing an Imaginary Number in Standard Form

Eleza\(\sqrt{−9}\) kwa fomu ya kawaida.

Suluhisho

\[\sqrt{−9}=\sqrt{9}\sqrt{−1}=3i \nonumber\]

Kwa fomu ya kawaida, hii ni\(0+3i\).

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Eleza\(\sqrt{−24}\) kwa fomu ya kawaida.

Jibu

\(\sqrt{−24}=0+2i\sqrt{6}\)

Kupanga Nambari Complex juu ya Ndege Complex

Hatuwezi kupanga namba tata kwenye mstari wa namba kama tunaweza namba halisi. Hata hivyo, bado tunaweza kuwawakilisha graphically. Ili kuwakilisha nambari tata tunahitaji kushughulikia vipengele viwili vya nambari. Tunatumia ndege tata, ambayo ni mfumo wa kuratibu ambao mhimili usio na usawa unawakilisha sehemu halisi na mhimili wima inawakilisha sehemu ya kufikiri. Nambari tata ni pointi kwenye ndege, zilizoelezwa kama jozi zilizoamriwa\((a,b)\), ambapo\(a\) inawakilisha kuratibu kwa mhimili usio na usawa na\(b\) inawakilisha kuratibu kwa mhimili wima.

Hebu fikiria idadi\(−2+3i\). Sehemu halisi ya namba tata ni -2 na sehemu ya kufikiri ni\(3i\). Tunapanga jozi iliyoamriwa\((−2,3)\) ili kuwakilisha namba tata\(−2+3i\) kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{2}\)

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Plot ya idadi tata,\(-2 + 3i\). Kumbuka kwamba sehemu halisi\((-2)\) imepangwa kwenye mhimili wa x na sehemu ya kufikiri\((3i)\) imepangwa kwenye mhimili wa y.

Complex ndege

Katika ndege ngumu, mhimili usio na usawa ni mhimili halisi, na mhimili wima ni mhimili wa kufikiri kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{3}\).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Ndege tata inayoonyesha kuwa mhimili usio na usawa (katika ndege halisi, x-axis) inajulikana kama mhimili halisi na mhimili wima (katika ndege halisi, y-axis) inajulikana kama mhimili wa kufikiri.

Jinsi ya...

Kutokana na idadi tata, kuwakilisha vipengele vyake kwenye ndege tata.

1. Kuamua sehemu halisi na sehemu ya kufikiri ya idadi tata.
2. Hoja kando ya mhimili usio na usawa ili kuonyesha sehemu halisi ya namba.
3. Hoja sambamba na mhimili wima kuonyesha sehemu imaginary ya idadi.
4. Panda hatua.

Mfano\(\PageIndex{2}\): Plotting a Complex Number on the Complex Plane

Panda idadi tata\(3−4i\) kwenye ndege tata.

Suluhisho

Sehemu halisi ya namba tata ni 3, na sehemu ya kufikiri ni\(−4i\). Tunapanga jozi iliyoamriwa\((3,−4)\) kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{4}\).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Plot ya idadi tata,\(3 - 4i\). Kumbuka kwamba sehemu halisi\((3)\) imepangwa kwenye mhimili wa x na sehemu ya kufikiri\((-4i)\) imepangwa kwenye mhimili wa y.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Panda idadi tata\(−4−i\) kwenye ndege tata.

Jibu

Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

Kuongeza na Kutoa Hesabu Complex

Kama ilivyo na idadi halisi, tunaweza kufanya shughuli za hesabu kwenye namba tata. Ili kuongeza au kuondoa namba tata, tunachanganya sehemu halisi na kuchanganya sehemu za kufikiri.

Hesabu tata: Kuongezea na Kutoa

Kuongeza namba tata:

\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

Kuondoa namba tata:

\[(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i\]

Jinsi ya...

Kutokana na namba mbili ngumu, pata jumla au tofauti.

1. Tambua sehemu halisi na za kufikiri za kila nambari.
2. Ongeza au uondoe sehemu halisi.
3. Ongeza au uondoe sehemu za kufikiri.

Mfano\(\PageIndex{3}\): Adding Complex Numbers

Ongeza\(3−4i\) na\(2+5i\).

Suluhisho

Tunaongeza sehemu halisi na kuongeza sehemu za kufikiri.

\[\begin{align*} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i \\ (3−4i)+(2+5i)&=(3+2)+(−4+5)i \\ &=5+i \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Ondoa\(2+5i\) kutoka\(3–4i\).

Jibu

\((3−4i)−(2+5i)=1−9i\)

Kuzidisha Idadi tata

Kuzidisha idadi tata ni sawa na kuzidisha binomials. Tofauti kubwa ni kwamba tunafanya kazi na sehemu halisi na za kufikiri tofauti.

Kuzidisha Nambari tata kwa Nambari halisi

Hebu tuanze kwa kuzidisha idadi tata kwa idadi halisi. Sisi kusambaza idadi halisi kama sisi ingekuwa na binomial. Kwa hiyo, kwa mfano,

Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

Jinsi ya...

Kutokana na idadi tata na idadi halisi, kuzidisha ili kupata bidhaa.

1. Tumia mali ya usambazaji.
2. Kurahisisha.

Mfano\(\PageIndex{4}\): Multiplying a Complex Number by a Real Number

Pata bidhaa\(4(2+5i).\)

Suluhisho

Kusambaza 4.

\[\begin{align*} 4(2+5i)&=(4⋅2)+(4⋅5i) \\ &=8+20i \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Pata bidhaa\(−4(2+6i)\).

Jibu

\(−8−24i\)

Kuzidisha Idadi Tata Pamoja

Sasa, hebu tuzidishe namba mbili ngumu. Tunaweza kutumia mali ya usambazaji au njia ya FOIL. Kumbuka kwamba FOIL ni kifupi cha kuzidisha maneno ya Kwanza, ya nje, ya ndani, na ya mwisho pamoja. Kutumia mali ya usambazaji au njia ya FOIL, tunapata

\[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 \nonumber\]

Kwa sababu\(i^2=−1\), tuna

\[(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci−bd \nonumber\]

Ili kurahisisha, tunachanganya sehemu halisi, na tunachanganya sehemu za kufikiri.

\[(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i \nonumber\]

Jinsi ya...

Kutokana na namba mbili ngumu, kuzidisha ili kupata bidhaa.

1. Tumia mali ya usambazaji au njia ya FOIL.
2. Kurahisisha.

Mfano\(\PageIndex{5}\): Multiplying a Complex Number by a Complex Number

Kuzidisha\((4+3i)(2−5i)\).

Suluhisho

Tumia\((a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\)

\[\begin{align*} (4+3i)(2−5i)&=(4⋅2−3⋅(−5))+(4⋅(−5)+3⋅2)i \\ &=(8+15)+(−20+6)i \\ &=23−14i \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Kuzidisha\((3−4i)(2+3i)\).

Jibu

\(18+i\)

Kugawanya idadi Complex

Idara ya namba mbili ngumu ni ngumu zaidi kuliko kuongeza, kuondoa, na kuzidisha kwa sababu hatuwezi kugawanya na idadi ya kufikiri, maana kwamba sehemu yoyote lazima iwe na denominator halisi ya nambari. Tunahitaji kupata muda ambao tunaweza kuzidisha nambari na denominator ambayo itaondoa sehemu ya kufikiri ya denominator ili tuweze kuishia na idadi halisi kama denominator. Neno hili linaitwa conjugate tata ya denominator, ambayo hupatikana kwa kubadilisha ishara ya sehemu ya kufikiri ya idadi tata. Kwa maneno mengine, conjugate tata ya\(a+bi\) ni\(a−bi\).

Kumbuka kuwa conjugates tata zina uhusiano wa usawa: Mchanganyiko mgumu wa\(a+bi\) ni\(a−bi\), na mchanganyiko mgumu wa\(a−bi\) ni\(a+bi\). Zaidi ya hayo, wakati equation quadratic na coefficients halisi ina ufumbuzi tata, ufumbuzi daima ni conjugates tata ya mtu mwingine.

Tuseme tunataka kugawanya\(c+di\) na\(a+bi\), ambapo wala wala\(b\) sawa sifuri. Sisi kwanza kuandika mgawanyiko kama sehemu, kisha kupata conjugate tata ya denominator, na kuzidisha.

\[\dfrac{c+di}{a+bi} \, \text{ where $a{\neq}0$ and $b{\neq}0$} \nonumber\]

Panua namba na denominator kwa conjugate tata ya denominator.

\[\dfrac{(c+di)}{(a+bi)}{\cdot}\dfrac{(a−bi)}{(a−bi)}=\dfrac{(c+di)(a−bi)}{(a+bi)(a−bi)} \nonumber\]

Tumia mali ya usambazaji.

\[=\dfrac{ca−cbi+adi−bdi^2}{a^2−abi+abi−b^2i^2} \nonumber\]

Kurahisisha, kukumbuka hilo\(i^2=−1\).

\[=\dfrac{ca−cbi+adi−bd(−1)}{a^2−abi+abi−b^2(−1)} \\ =\dfrac{(ca+bd)+(ad−cb)i}{a^2+b^2} \nonumber\]

Ufafanuzi: Conjugate Complex

Mchanganyiko mgumu wa idadi tata\(a+bi\) ni\(a−bi\). Inapatikana kwa kubadilisha ishara ya sehemu ya kufikiri ya nambari tata. Sehemu halisi ya nambari imesalia bila kubadilika.

• Wakati nambari tata imeongezeka kwa mchanganyiko wake mgumu, matokeo ni namba halisi.
• Wakati nambari tata imeongezwa kwenye mchanganyiko wake mgumu, matokeo ni namba halisi.

Mfano\(\PageIndex{6}\): Finding Complex Conjugates

Pata mchanganyiko tata wa kila nambari.

1. \(2+i\sqrt{5}\)
2. \(−\frac{1}{2}i\)

Suluhisho

a. idadi tayari katika fomu\(a+bi\). Mchanganyiko mgumu ni\(a−bi\), au\(2−i\sqrt{5}\).
b Tunaweza kuandika upya nambari hii kwa fomu\(a+bi\) kama\(0−\frac{1}{2}i\). Mchanganyiko mgumu ni\(a−bi\), au\(0+\frac{1}{2}i\). Hii inaweza kuandikwa tu kama\(\frac{1}{2}i\).

Uchambuzi

Ingawa tumeona kwamba tunaweza kupata conjugate tata ya idadi ya kufikiri, katika mazoezi sisi kwa ujumla kupata conjugates tata ya idadi tata tu na sehemu halisi na imaginary. Ili kupata namba halisi kutoka kwa nambari ya kufikiri, tunaweza tu kuzidisha na\(i\).

Jinsi ya...

Kutokana na namba mbili ngumu, ugawanye moja kwa moja.

1. Andika tatizo la mgawanyiko kama sehemu.
2. Kuamua conjugate tata ya denominator.
3. Kuzidisha nambari na denominator ya sehemu na conjugate tata ya denominator.
4. Kurahisisha.

Mfano\(\PageIndex{7}\): Dividing Complex Numbers

Gawanya\((2+5i)\) na\((4−i)\).

Suluhisho

Tunaanza kwa kuandika tatizo kama sehemu.

\[\dfrac{(2+5i)}{(4−i)} \nonumber\]

Kisha sisi huzidisha nambari na denominator kwa conjugate tata ya denominator.

\[\dfrac{(2+5i)}{(4−i)}{\cdot}\dfrac{(4+i)}{(4+i)} \nonumber\]

Ili kuzidisha namba mbili ngumu, tunapanua bidhaa kama tunavyopenda na polynomials (mchakato unaoitwa FOIL).

\[\begin{align} \dfrac{(2+5i)}{(4−i)}{\cdot}\dfrac{(4+i)}{(4+i)}&=\dfrac{8+2i+20i+5i^2}{16+4i−4i−i^2} \\ &=\dfrac{8+2i+20i+5(−1)}{16+4i−4i−(−1)} &\text{ because $i^2=-1$} \\ &=\dfrac{3+22i}{17} \\ &=\dfrac{3}{17}+\dfrac{22}{17}i & \text{Separate real and imaginary parts.} \end{align}\]

Kumbuka kwamba hii inaonyesha quotient katika fomu ya kawaida.

Mfano\(\PageIndex{8}\): Substituting a Complex Number into a Polynomial Function

Hebu\(f(x)=x^2−5x+2\). Tathmini\(f(3+i)\).

Suluhisho

Mbadala\(x=3+i\) katika kazi\(f(x)=x^2−5x+2\) na kurahisisha.

\[\begin{align*} f(3+i) &= (3+i)^2 - 5(3+i) + 2\; \qquad \text{Substitute 3+i for x}\\ &= (3+6i+i^2) - (15+5i) + 2\; \qquad \text{Multiply}\\ &= 9+6i+(-1)-15-5i+2\; \qquad \text{Subsitute -1 for }i^2\\ &= -5+i\; \qquad \text{Combine like terms} \end{align*}\]

Uchambuzi

Tunaandika\(f(3+i)=−5+i\). Kumbuka kwamba pembejeo ni\(3+i\) na pato ni\(−5+i\).

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Hebu\(f(x)=2x^2−3x\). Tathmini\(f(8−i)\).

Jibu

\(102−29i\)

Mfano\(\PageIndex{9}\): Substituting an Imaginary Number in a Rational Function

Hebu\(f(x)=\frac{2+x}{x+3}\). Tathmini\(f(10i)\).

Suluhisho

Mbadala\(x=10i\) na kurahisisha.

\[\begin{align*} &\dfrac{2+10i}{10i+3} &\text{Substitute $10i$ for $x$.} \\ &\dfrac{2+10i}{3+10i} &\text{Rewrite the denominator in standard form.} \\ &\dfrac{2+10i}{3+10i}{\cdot}\dfrac{3–10i}{3–10i} &\text{Multiply the numerator and denominator by the complex conjugate of the denominator.}\\ &\dfrac{6–20i+30i–100i^2}{9–30i+30i–100i^2} &\text{Multiply using the distributive property or the FOIL method.} \\ &\dfrac{6–20i+30i–100(–1)}{9–30i+30i–100(–1)} &\text{Substitute –1 for $i^2$.}\\ &\dfrac{106+10i}{109} &\text{Simplify.}\\ &\dfrac{106}{109}+\dfrac{10}{109} &\text{Separate the real and imaginary parts.} \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Hebu\(f(x)=\frac{x+1}{x−4}\). Tathmini\(f(−i)\).

Jibu

\(−\frac{3}{17}+\frac{5i}{17}\)

Kurahisisha Mamlaka ya\(i\)

Nguvu za\(i\) ni za mzunguko. Hebu tuangalie kile kinachotokea tunapoinua kwa nguvu zinazoongezeka.

\[\begin{align*} i^1&=i \\[4pt] i^2&=−1 \\[4pt] i^3&=i^2⋅i=−1⋅i=−i \\[4pt] i^4&=i^3⋅i=−i⋅i=−i^2=−(−1)=1 \\[4pt] i^5&=i^4⋅i=1⋅i=i \end{align*}\]

Tunaweza kuona kwamba wakati sisi kupata nguvu ya tano ya\(i\), ni sawa na nguvu ya kwanza. Tunapoendelea kuongezeka\(i\) kwa yenyewe kwa nguvu za kuongezeka, tutaona mzunguko wa 4. Hebu tuchunguze ijayo 4 mamlaka ya\(i\).

\[\begin{align*} i^6&=i^5⋅i=i⋅i=i^2=−1 \\[4pt] i^7&=i^6⋅i=i^2⋅i=i^3=−i \\[4pt] i^8&=i^7⋅i=i^3⋅i=i^4=1 \\[4pt] i^9&=i^8⋅i=i^4⋅i=i^5=i \end{align*}\]

Mfano\(\PageIndex{10}\): Simplifying Powers of \(i\)

Tathmini\(i^{35}\).

Suluhisho

Tangu\(i^4=1\), tunaweza kurahisisha tatizo kwa factoring nje kama mambo mengi ya i ^ 4 iwezekanavyo. Kwa kufanya hivyo, kwanza onyesha mara ngapi 4 inakwenda 35:\(35=4⋅8+3\).

\[i^{35}=i^{4⋅8+3}=i^{4⋅8}⋅i^{3}=(i^4)^8⋅i^3=1^8⋅i^3=i^3=−i \nonumber \]

Q & A

Je, tunaweza kuandika\(i^35\) kwa njia nyingine muhimu?

Kama tulivyoona katika Mfano\(\PageIndex{10}\), sisi kupunguzwa\(i^{35}\)\(i^3\) kwa kwa kugawa exponent na 4 na kutumia salio kupata fomu kilichorahisishwa. Lakini labda mwingine factorization ya\(i^{35}\) inaweza kuwa na manufaa zaidi. Jedwali\(\PageIndex{1}\) linaonyesha baadhi factorizations nyingine iwezekanavyo.

Jedwali\(\PageIndex{1}\): Kila moja ya haya hatimaye itasababisha jibu tulilopata hapo juu lakini inaweza kuhitaji hatua kadhaa zaidi kuliko njia yetu ya awali.

Factorization ya\(i^{35}\)	\(i^{34}{\cdot}i\)	\(i^{33}{\cdot}i^2\)	\(i^{31}{\cdot}i^4\)	\(i^{19}{\cdot}i^{16}\)
Fomu iliyopunguzwa	\(\big(i^2\big)^{17}{\cdot}i\)	\(i^{33}{\cdot}(-1)\)	\(i^{31}{\cdot}1\)	\(i^{19}{\cdot}\big(i^4\big)^4\)
Fomu rahisi	\((-1)^{17}{\cdot}i\)	\(-i^{33}\)	\(i^{31}\)	\(i^{19}\)

Dhana muhimu

• Mizizi ya mraba ya idadi yoyote hasi inaweza kuandikwa kama nyingi ya\(i\).
• Ili kupanga namba tata, tunatumia mistari miwili ya namba, tulivuka ili kuunda ndege tata. Mhimili usio na usawa ni mhimili halisi, na mhimili wima ni mhimili wa kufikiri.
• Nambari tata zinaweza kuongezwa na kuondolewa kwa kuchanganya sehemu halisi na kuchanganya sehemu za kufikiri.
• Nambari tata zinaweza kuongezeka na kugawanywa.
• Ili kuzidisha idadi tata, usambaze kama vile kwa polynomials.
• Ili kugawanya namba tata, kuzidisha namba zote mbili na denominator kwa conjugate tata ya denominator ili kuondoa idadi tata kutoka kwa denominator.
• Nguvu za\(i\) ni za mzunguko, kurudia kila nne.

faharasa

ngumu conjugate
nambari tata ambayo ishara ya sehemu ya kufikiri inabadilishwa na sehemu halisi ya nambari imesalia bila kubadilika; wakati umeongezwa au kuongezeka kwa nambari ya awali tata, matokeo ni namba halisi

nambari tata
- jumla ya idadi halisi na nambari ya kufikiri, iliyoandikwa kwa fomu ya kawaida\(a+bi\), wapi\(a\) sehemu halisi, na\(bi\) ni sehemu ya kufikiri

ndege
ngumu - mfumo wa kuratibu ambao mhimili usawa hutumiwa kuwakilisha sehemu halisi ya idadi tata, na mhimili wima hutumiwa kuwakilisha sehemu ya kufikiri ya idadi tata.

imaginary idadi idadi katika fomu bi ambapo\(i=\sqrt{−1}\)