12.5: Kupima Umuhimu wa Mgawo wa uwiano

Mgawo wa uwiano\(r\), inatuambia kuhusu nguvu na mwelekeo wa uhusiano wa mstari kati\(x\) na\(y\). Hata hivyo, kuaminika kwa mfano wa mstari pia inategemea ngapi pointi za data zilizoona ziko katika sampuli. Tunahitaji kuangalia thamani zote za mgawo wa uwiano\(r\) na ukubwa wa sampuli\(n\), pamoja. Tunafanya mtihani wa hypothesis wa “umuhimu wa mgawo wa uwiano” ili kuamua kama uhusiano wa mstari katika data ya sampuli ni nguvu ya kutosha kutumia mfano wa uhusiano katika idadi ya watu.

Data ya sampuli hutumiwa kukokotoa\(r\), mgawo wa uwiano wa sampuli. Ikiwa tulikuwa na data kwa idadi ya watu wote, tunaweza kupata mgawo wa uwiano wa idadi ya watu. Lakini kwa sababu tuna data tu ya sampuli, hatuwezi kuhesabu mgawo wa uwiano wa idadi ya watu. Mgawo wa uwiano wa sampuli\(r\),, ni makadirio yetu ya mgawo usiojulikana wa uwiano wa idadi

• Ishara ya mgawo wa uwiano wa idadi ya watu ni\(\rho\), barua ya Kigiriki “rho.”
• \(\rho =\)idadi ya uwiano mgawo (haijulikani)
• \(r =\)mgawo wa uwiano wa sampuli (inayojulikana; mahesabu kutoka data sampuli)

Mtihani wa hypothesis unatuwezesha kuamua kama thamani ya mgawo wa uwiano wa idadi ya watu\(\rho\) ni “karibu na sifuri” au “tofauti sana na sifuri”. Tunaamua hii kulingana na mgawo wa uwiano wa sampuli\(r\) na ukubwa wa sampuli\(n\).

Ikiwa mtihani unahitimisha kuwa mgawo wa uwiano ni tofauti sana na sifuri, tunasema kuwa mgawo wa uwiano ni “muhimu.”

• Hitimisho: Kuna ushahidi wa kutosha kuhitimisha kuwa kuna uhusiano mkubwa wa mstari kati\(x\) na\(y\) kwa sababu mgawo wa uwiano ni tofauti sana na sifuri.
• Nini hitimisho ina maana: Kuna uhusiano muhimu wa mstari kati\(x\) na\(y\). Tunaweza kutumia mstari wa kurudi nyuma kwa mfano wa uhusiano wa mstari kati\(x\) na\(y\) katika idadi ya watu.

Ikiwa mtihani unahitimisha kuwa mgawo wa uwiano haukutofautiana sana na sifuri (ni karibu na sifuri), tunasema kuwa mgawo wa uwiano ni “sio muhimu”.

• Hitimisho: “Kuna ushahidi usio na uwezo wa kuhitimisha kuwa kuna uhusiano mkubwa wa mstari kati\(x\) na\(y\) kwa sababu mgawo wa uwiano haukutofautiana sana na sifuri.”
• Nini hitimisho ina maana: Hakuna uhusiano muhimu wa mstari kati\(x\) na\(y\). Kwa hiyo, hatuwezi kutumia mstari wa kurudi nyuma ili kutengeneza uhusiano wa mstari kati\(x\) na\(y\) katika idadi ya watu.

KUMBUKA

• Kama\(r\) ni muhimu na kuwatawanya njama inaonyesha mwenendo linear, line inaweza kutumika kutabiri thamani ya\(y\) kwa ajili ya maadili ya\(x\) kwamba ni ndani ya uwanja wa\(x\) maadili aliona.
• Ikiwa\(r\) sio muhimu AU ikiwa njama ya kuwatawanya haionyeshi mwenendo wa mstari, mstari haupaswi kutumiwa kwa utabiri.
• Ikiwa\(r\) ni muhimu na ikiwa njama ya kuwatawanya inaonyesha mwenendo wa mstari, mstari hauwezi kuwa sahihi au wa kuaminika kwa utabiri NJE ya uwanja wa\(x\) maadili yaliyoonekana katika data.

KUFANYA MTIHANI WA HYPOTHESIS

• Null hypothesis:\(H_{0}: \rho = 0\)
• Hypothesis mbadala:\(H_{a}: \rho \neq 0\)

NINI HYPOTHESES INAMAANISHA KWA MANENO:

• Null hypothesis\(H_{0}\): idadi ya watu uwiano mgawo ni NOT tofauti sana na sifuri. Kuna NOT muhimu linear uhusiano (uwiano) kati\(x\) na\(y\) katika idadi ya watu.
• Mbadala hypothesis\(H_{a}\): mgawo wa uwiano wa idadi ya watu ni tofauti sana na sifuri. Kuna MUHIMU LINEAR UHUSIANO (uwiano) kati\(x\) na\(y\) katika idadi ya watu.

Kuchora hitimisho:Kuna njia mbili za kufanya uamuzi. Mbinu mbili ni sawa na kutoa matokeo sawa.

• Njia ya 1: Kutumia\(p\text{-value}\)
• Njia ya 2: Kutumia meza ya maadili muhimu

Katika sura hii ya kitabu hiki, tutatumia kiwango cha umuhimu wa 5%,\(\alpha = 0.05\)

KUMBUKA

Kutumia\(p\text{-value}\) njia, unaweza kuchagua kiwango chochote cha umuhimu unachotaka; sio tu kutumia\(\alpha = 0.05\). Lakini meza ya maadili muhimu yaliyotolewa katika kitabu hiki inadhani kwamba tunatumia kiwango cha umuhimu wa 5%,\(\alpha = 0.05\). (Kama tulitaka kutumia kiwango tofauti cha umuhimu kuliko 5% kwa njia muhimu ya thamani, tutahitaji meza tofauti za maadili muhimu ambazo hazipatikani katika kitabu hiki.)

Method 1:\(p\text{-value}\) Kutumia kufanya uamuzi

Kutumia TI83, 83+, 84, 84+ CALCULATOR

Ili kuhesabu\(p\text{-value}\) kutumia LineRettest:

Kwenye skrini ya pembejeo ya LinRegTest, kwenye mstari wa haraka\(\beta\) au\(\rho\), onyesha "\(\neq 0\)”

Skrini ya pato inaonyesha\(p\text{-value}\) kwenye mstari unaosoma "\(p =\)”.

(Wengi kompyuta takwimu programu inaweza mahesabu\(p\text{-value}\).)

Ikiwa\(p\text{-value}\) ni chini ya kiwango cha umuhimu (\(\alpha = 0.05\)):

• Uamuzi: Kataa hypothesis null.
• Hitimisho: “Kuna ushahidi wa kutosha kuhitimisha kuwa kuna uhusiano mkubwa wa mstari kati\(x\) na\(y\) kwa sababu mgawo wa uwiano ni tofauti sana na sifuri.”

Kama\(p\text{-value}\) ni NOT chini ya kiwango umuhimu (\(\alpha = 0.05\))

• Uamuzi: Je, si kukataa hypothesis null.
• Hitimisho: “Kuna ushahidi usio na uwezo wa kuhitimisha kuwa kuna uhusiano mkubwa wa mstari kati\(x\) na\(y\) kwa sababu mgawo wa uwiano sio tofauti sana na sifuri.”

Hesabu Notes:

• Utatumia teknolojia ya kuhesabu\(p\text{-value}\). Yafuatayo inaelezea mahesabu ya kukokotoa takwimu za mtihani na\(p\text{-value}\):
• Ya\(p\text{-value}\) ni mahesabu kwa kutumia\(t\) -usambazaji na\(n - 2\) digrii za uhuru.
• Fomu ya takwimu za mtihani ni\(t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}}\). thamani ya takwimu mtihani\(t\), ni inavyoonekana katika kompyuta au calculator pato pamoja na\(p\text{-value}\). Takwimu ya mtihani\(t\) ina ishara sawa na mgawo wa uwiano\(r\).
• Ya\(p\text{-value}\) ni eneo la pamoja katika mkia wote.

Njia mbadala ya kuhesabu\(p\text{-value}\) (\(p\)) iliyotolewa na LinRettest ni amri 2*tcdf (abs (t), ,10^99, n-2) katika DISTR 2.

Tatu mtihani vs FINAL-EXAM EXAMPLE:\(p\text{-value}\) Mbinu

• Fikiria mtihani wa tatu/mfano wa mwisho wa mtihani.
• Mstari wa kufaa bora ni:\(\hat{y} = -173.51 + 4.83x\)\(r = 0.6631\) na na kuna pointi za\(n = 11\) data.
• Je, mstari wa kurudi nyuma unaweza kutumika kwa utabiri? Kutokana na alama ya tatu ya mtihani (\(x\)thamani), tunaweza kutumia mstari kutabiri alama ya mwisho ya mtihani (alitabiri\(y\) thamani)?

\(H_{0}: \rho = 0\)

\(H_{a}: \rho \neq 0\)

\(\alpha = 0.05\)

• \(p\text{-value}\)ni 0.026 (kutoka LinRegtest kwenye calculator yako au kutoka programu ya kompyuta).
• The\(p\text{-value}\), 0.026, ni chini ya kiwango cha umuhimu wa\(\alpha = 0.05\).
• Uamuzi: Kataa Null hypothesis\(H_{0}\)
• Hitimisho: Kuna ushahidi wa kutosha kuhitimisha kuwa kuna uhusiano muhimu wa mstari kati ya alama ya mtihani wa tatu (\(x\)) na alama ya mwisho ya mtihani (\(y\)) kwa sababu mgawo wa uwiano ni tofauti sana na sifuri.

Kwa sababu\(r\) ni muhimu na njama ya kuwatawanya inaonyesha mwenendo wa mstari, mstari wa kurudi nyuma unaweza kutumika kutabiri alama za mwisho za mtihani.

METHOD 2: Kutumia meza ya Maadili muhimu kufanya uamuzi

Maadili muhimu ya 95% ya Jedwali la Mgawo wa Mfano wa Mfano inaweza kutumika kukupa wazo nzuri la kama thamani ya computed ya\(r\) ni muhimu au la. Linganisha\(r\) na thamani muhimu muhimu katika meza. Ikiwa\(r\) si kati ya maadili mazuri na mabaya, basi mgawo wa uwiano ni muhimu. Ikiwa\(r\) ni muhimu, basi unaweza kutaka kutumia mstari wa utabiri.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Tuseme umehesabu\(r = 0.801\) kwa kutumia pointi za\(n = 10\) data. \(df = n - 2 = 10 - 2 = 8\). Maadili muhimu yanayohusiana na\(df = 8\) ni\(-0.632\) na\(+0.632\). Ikiwa thamani\(r <\) hasi muhimu au thamani\(r >\) nzuri muhimu, basi\(r\) ni muhimu. Tangu\(r = 0.801\) na\(0.801 > 0.632\),\(r\) ni muhimu na line inaweza kutumika kwa ajili ya utabiri. Ukiona mfano huu kwenye mstari wa nambari, itakusaidia.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\). \(r\)si muhimu kati ya\(-0.632\) na\(+0.632\). \(r = 0.801 > +0.632\). Kwa hiyo,\(r\) ni muhimu.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Kwa mstari fulani wa fit bora, wewe computed kwamba\(r = 0.6501\) kwa kutumia pointi\(n = 12\) data na thamani muhimu ni 0.576. Je, mstari unaweza kutumika kwa utabiri? Kwa nini au kwa nini?

Jibu

Ikiwa njama ya kuwatawanya inaonekana mstari basi, ndiyo, mstari unaweza kutumika kwa utabiri,\(r >\) kwa sababu thamani nzuri muhimu.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Tuseme umehesabu\(r = –0.624\) na pointi 14 za data. \(df = 14 – 2 = 12\). Maadili muhimu ni\(-0.532\) na\(0.532\). Tangu\(-0.624 < -0.532\),\(r\) ni muhimu na line inaweza kutumika kwa ajili ya utabiri

Kielelezo\(\PageIndex{2}\). \(r = -0.624 - 0.532\). Kwa hiyo,\(r\) ni muhimu.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Kwa mstari fulani ya fit bora, wewe kukokotoa kwamba\(r = 0.5204\) kwa kutumia pointi\(n = 9\) data, na thamani muhimu ni\(0.666\). Je, mstari unaweza kutumika kwa utabiri? Kwa nini au kwa nini?

Jibu

Hapana, mstari hauwezi kutumika kwa utabiri,\(r <\) kwa sababu thamani muhimu sana.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Tuseme wewe computed\(r = 0.776\) na\(n = 6\). \(df = 6 - 2 = 4\). Maadili muhimu ni\(-0.811\) na\(0.811\). Tangu\(-0.811 < 0.776 < 0.811\),\(r\) si muhimu, na mstari haipaswi kutumiwa kwa utabiri.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\). \(-0.811 < r = 0.776 < 0.811\). Kwa hiyo,\(r\) si muhimu.

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Kwa mstari fulani ya fit bora, wewe kukokotoa kwamba\(r = -0.7204\) kwa kutumia pointi\(n = 8\) data, na thamani muhimu ni\(= 0.707\). Je, mstari unaweza kutumika kwa utabiri? Kwa nini au kwa nini?

Jibu

Ndiyo, mstari unaweza kutumika kwa utabiri, kwa sababu\(r <\) thamani hasi muhimu.

TATU-EXAM vs FINAL-EXAM EXAMPLE: muhimu thamani mbinu

Fikiria mtihani wa tatu/mfano wa mwisho wa mtihani. Mstari wa kufaa bora ni:\(\hat{y} = -173.51 + 4.83x\)\(r = 0.6631\) na na kuna pointi za\(n = 11\) data. Je, mstari wa kurudi nyuma unaweza kutumika kwa utabiri? Kutokana na alama ya mtihani wa tatu (\(x\)thamani), tunaweza kutumia mstari kutabiri alama ya mwisho ya mtihani (alitabiri\(y\) thamani)?

• \(H_{0}: \rho = 0\)
• \(H_{a}: \rho \neq 0\)
• \(\alpha = 0.05\)

• Matumizi "95% muhimu Thamani” meza kwa ajili ya\(r\) na\(df = n - 2 = 11 - 2 = 9\).
• Maadili muhimu ni\(-0.602\) na\(+0.602\)
• tangu\(0.6631 > 0.602\),\(r\) ni muhimu.
• Uamuzi: Kataa hypothesis null.
• Hitimisho:Kuna ushahidi wa kutosha kuhitimisha kuwa kuna uhusiano muhimu wa mstari kati ya alama ya mtihani wa tatu (\(x\)) na alama ya mwisho ya mtihani (\(y\)) kwa sababu mgawo wa uwiano ni tofauti sana na sifuri.

Kwa sababu\(r\) ni muhimu na njama ya kuwatawanya inaonyesha mwenendo wa mstari, mstari wa kurudi nyuma unaweza kutumika kutabiri alama za mwisho za mtihani.

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Tuseme wewe computed zifuatazo uwiano coefficients. Kwa kutumia meza katika mwisho wa sura, kuamua kama\(r\) ni muhimu na mstari wa fit bora kuhusishwa na kila r inaweza kutumika kutabiri\(y\) thamani. Ikiwa inasaidia, futa mstari wa nambari.

1. \(r = –0.567\)na ukubwa wa sampuli\(n\),, ni\(19\). Ya\(df = n - 2 = 17\). Thamani muhimu ni\(-0.456\). \(-0.567 < -0.456\)hivyo\(r\) ni muhimu.
2. \(r = 0.708\)na ukubwa wa sampuli\(n\),, ni\(9\). Ya\(df = n - 2 = 7\). Thamani muhimu ni\(0.666\). \(0.708 > 0.666\)hivyo\(r\) ni muhimu.
3. \(r = 0.134\)na ukubwa wa sampuli\(n\),, ni\(14\). Ya\(df = 14 - 2 = 12\). Thamani muhimu ni\(0.532\). \(0.134\)ni kati ya\(-0.532\) na\(0.532\) hivyo\(r\) si muhimu.
4. \(r = 0\)na ukubwa wa sampuli\(n\),, ni tano. Bila kujali\(dfs\) ni nini,\(r = 0\) ni kati ya maadili mawili muhimu hivyo\(r\) si muhimu.

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Kwa mstari fulani wa fit bora, wewe kukokotoa kwamba\(r = 0\) kwa kutumia pointi\(n = 100\) data. Je, mstari unaweza kutumika kwa utabiri? Kwa nini au kwa nini?

Jibu

Hapana, mstari hauwezi kutumika kwa utabiri bila kujali ukubwa wa sampuli ni nini.

Mawazo katika kupima umuhimu wa mgawo wa uwiano

Kupima umuhimu wa mgawo wa uwiano inahitaji kwamba mawazo fulani kuhusu data yanatidhika. Nguzo ya mtihani huu ni kwamba data ni sampuli ya pointi zilizoonekana zilizochukuliwa kutoka kwa idadi kubwa ya watu. Sisi si kuchunguza idadi ya watu wote kwa sababu haiwezekani au upembuzi yakinifu kufanya hivyo. Tunachunguza sampuli ili kuteka hitimisho kuhusu kama uhusiano wa mstari ambao tunaona kati\(x\) na\(y\) katika data ya sampuli hutoa ushahidi mkubwa wa kutosha ili tuweze kuhitimisha kuwa kuna uhusiano wa mstari kati\(x\) na\(y\) katika idadi ya watu.

Equation ya mstari wa kurudi nyuma ambayo tunahesabu kutoka kwa data ya sampuli inatoa mstari bora zaidi kwa sampuli yetu maalum. Tunataka kutumia mstari huu bora zaidi kwa sampuli kama makadirio ya mstari bora zaidi kwa idadi ya watu. Kuchunguza njama ya kuwatawanya na kupima umuhimu wa mgawo wa uwiano hutusaidia kuamua ikiwa ni sahihi kufanya hivyo.

Mawazo ya msingi ya mtihani wa umuhimu ni:

• Kuna uhusiano linear katika idadi ya watu kwamba mifano ya thamani ya wastani wa\(y\) kwa maadili tofauti ya\(x\). Kwa maneno mengine, thamani inayotarajiwa ya\(y\) kwa kila thamani fulani iko kwenye mstari wa moja kwa moja katika idadi ya watu. (Hatujui equation kwa mstari kwa idadi ya watu. Mstari wetu wa kurudi nyuma kutoka sampuli ni makadirio yetu bora ya mstari huu katika idadi ya watu.)
• \(y\)Maadili ya\(x\) thamani yoyote ni kawaida kusambazwa kuhusu mstari. Hii ina maana kwamba kuna\(y\) maadili zaidi waliotawanyika karibu na mstari kuliko waliotawanyika mbali zaidi. Dhana (1) ina maana kwamba mgawanyo huu wa kawaida unazingatia mstari: njia za mgawanyo huu wa kawaida wa\(y\) maadili hulala kwenye mstari.
• Ukosefu wa kiwango cha\(y\) maadili ya idadi ya watu kuhusu mstari ni sawa kwa kila thamani ya\(x\). Kwa maneno mengine, kila moja ya mgawanyo huu wa kawaida wa\(y\) maadili una sura sawa na kuenea juu ya mstari.
• Makosa ya mabaki yanajitegemea (hakuna mfano).
• Takwimu zinazalishwa kutoka sampuli iliyoundwa vizuri, random au jaribio la randomized.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\). \(y\)Maadili kwa kila\(x\) thamani ni kawaida kusambazwa kuhusu mstari na kupotoka sawa kiwango. Kwa kila\(x\) thamani, maana ya\(y\) maadili iko kwenye mstari wa kurudi nyuma. \(y\)Maadili zaidi hulala karibu na mstari kuliko waliotawanyika zaidi mbali na mstari.

Muhtasari

Ukandamizaji wa mstari ni utaratibu wa kufaa mstari wa moja kwa moja wa fomu\(\hat{y} = a + bx\) kwa data. Masharti ya kurudi nyuma ni:

• Linear Katika idadi ya watu, kuna uhusiano linear kwamba mifano ya thamani ya wastani wa\(y\) kwa maadili tofauti ya\(x\).
• Independent mabaki yanadhaniwa kuwa huru.
• Kawaida\(y\) maadili ni kusambazwa kawaida kwa thamani yoyote ya\(x\).
• Sawa ugomvi Kupotoka kwa kiwango cha\(y\) maadili ni sawa kwa kila\(x\) thamani.
• Random data ni zinazozalishwa kutoka vizuri iliyoundwa sampuli random au majaribio randomized.

Mteremko\(b\) na uingizaji\(a\) wa mstari wa mraba mdogo hukadiria mteremko\(\beta\) na kuingilia kati\(\alpha\) ya mstari wa kurudi kwa idadi ya watu (kweli). Kukadiria idadi ya watu kiwango kupotoka ya\(y\)\(\sigma\),, kutumia kiwango kupotoka ya mabaki,\(s\). \(s = \sqrt{\frac{SEE}{n-2}}\). Variable\(\rho\) (rho) ni mgawo wa uwiano wa idadi ya watu. Ili kupima thamani ya\(H_{0}: \rho =\) nadharia ya null, tumia mtihani wa kurudi nyuma wa mstari. Nadharia tete ya kawaida ya null ni\(H_{0}: \rho = 0\) ambayo inaonyesha hakuna uhusiano wa mstari kati\(x\) na\(y\) katika idadi ya watu. TI-83, 83+, 84, 84+ calculator kazi LinRegttest inaweza kufanya mtihani huu (STATS VIPIMO LinRegttest).

Mapitio ya Mfumo

Angalau Mraba Line au Mstari wa Best Fit:

\[\hat{y} = a + bx\]

wapi

\[a = y\text{-intercept}\]

\[b = \text{slope}\]

Kupotoka kwa kiwango cha mabaki:

\[s = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}}\]

wapi

\[SSE = \text{sum of squared errors}\]

\[n = \text{the number of data points}\]