12.4: Equation ya kurudi nyuma

Data mara chache inafaa mstari wa moja kwa moja hasa. Kawaida, lazima uwe na kuridhika na utabiri mbaya. Kwa kawaida, una seti ya data ambayo njama ya kueneza inaonekana “inafaa” mstari wa moja kwa moja. Hii inaitwa Line of Best Fit au Mraba Mraba Line.

ZOEZI SHIRIKISHI

Ikiwa unajua urefu wa kidole (mdogo) wa kidole, unafikiri unaweza kutabiri urefu wa mtu huyo? Kukusanya data kutoka darasa lako (urefu wa kidole cha pinky, kwa inchi). variable huru,\(x\), ni pinky kidole urefu na variable tegemezi\(y\),, ni urefu. Kwa kila seti ya data, fanya pointi kwenye karatasi ya grafu. Fanya grafu yako kubwa ya kutosha na utumie mtawala. Kisha “kwa jicho” futa mstari unaoonekana “unafaa” data. Kwa mstari wako, chagua pointi mbili rahisi na uitumie ili kupata mteremko wa mstari. Find\(y\) intercept ya mstari kwa kupanua line yako hivyo misalaba\(y\) -axis. Kutumia mteremko na\(y\) -intercepts, kuandika equation yako ya “fit bora.” Je, unadhani kila mtu atakuwa na equation sawa? Kwa nini au kwa nini? Kwa mujibu wa equation yako, ni urefu gani uliotabiriwa kwa urefu wa pinky wa inchi 2.5?

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Sampuli ya random ya wanafunzi wa takwimu 11 ilizalisha data zifuatazo, wapi\(x\) alama ya mtihani wa tatu kati ya 80, na\(y\) ni alama ya mwisho ya mtihani kati ya 200. Je, unaweza kutabiri mwisho mtihani alama ya mwanafunzi random kama unajua tatu mtihani alama?

1a: Jedwali kuonyesha alama kwenye mtihani wa mwisho kulingana na alama kutoka mtihani wa tatu.

\(x\)(alama ya tatu ya mtihani)	\(y\)(alama ya mwisho ya mtihani)
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">65	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) ">175
\ (x\) (alama ya tatu ya mtihani) ">67	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) ">133
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">71	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) "> 185
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">71	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) ">163
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">66	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) ">126
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">75	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) "> 198
\ (x\) (alama ya tatu ya mtihani) ">67	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) ">153
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">70	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) ">163
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">71	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) "> 159
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">69	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) ">151
\ (x\) (tatu mtihani alama) ">69	\ (y\) (alama ya mwisho ya mtihani) "> 159

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Kuwatawanya njama kuonyesha alama kwenye mtihani wa mwisho kulingana na alama kutoka mtihani wa tatu.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Scuba mbalimbali wana nyakati za kupiga mbizi za kiwango cha juu hawawezi kuzidi wakati wa kwenda kwa kina tofauti. Takwimu katika Jedwali zinaonyesha kina tofauti na nyakati za kupiga mbizi kwa dakika. Kutumia calculator yako kupata angalau mraba regression line na kutabiri upeo kupiga mbizi wakati kwa miguu 110.

\(X\)(kina kwa miguu)	\(Y\)(upeo wa kupiga mbizi wakati)
\ (X\) (kina katika miguu) "> 50	\ (Y\) (upeo wa kupiga mbizi wakati) "> 80
\ (X\) (kina katika miguu) "> 60	\ (Y\) (kiwango cha juu kupiga mbizi wakati) "> 55
\ (X\) (kina katika miguu) "> 70	\ (Y\) (upeo wa kupiga mbizi wakati) ">45
\ (X\) (kina katika miguu) "> 80	\ (Y\) (upeo wa kupiga mbizi wakati) ">35
\ (X\) (kina katika miguu) "> 90	\ (Y\) (kiwango cha juu kupiga mbizi wakati) "> 25
\ (X\) (kina katika miguu) "> 100	\ (Y\) (upeo wa kupiga mbizi wakati) ">22

Jibu

\(\hat{y} = 127.24 – 1.11x\)

Kwa miguu 110, diver angeweza kupiga mbizi kwa dakika tano tu.

Matokeo ya mtihani wa tatu,\(x\), ni variable huru na alama ya mwisho ya mtihani,\(y\), ni variable tegemezi. Tutapanga mstari wa kurudi nyuma ambao bora “inafaa” data. Ikiwa kila mmoja wenu angefaa mstari “kwa jicho,” ungependa kuteka mistari tofauti. Tunaweza kutumia kile kinachoitwa chini-mraba regression line kupata bora fit line.

Fikiria mchoro uliofuata. Kila hatua ya data ni ya fomu (\(x, y\)) na kila hatua ya mstari wa fit bora kutumia chini-mraba linear regression ina fomu (\(x, \hat{y}\)).

The\(\hat{y}\) ni kusoma "\(y\)kofia” na ni makadirio ya thamani ya\(y\). Ni thamani ya\(y\) kupatikana kwa kutumia mstari wa kurudi nyuma. Kwa ujumla si sawa na\(y\) kutoka data.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

Neno\(y_{0} – \hat{y}_{0} = \varepsilon_{0}\) linaitwa “kosa” au mabaki. Sio kosa kwa maana ya kosa. Thamani kamili ya hatua za mabaki umbali wa wima kati ya thamani halisi ya\(y\) na thamani ya makadirio ya\(y\). Kwa maneno mengine, inachukua umbali wa wima kati ya hatua halisi ya data na uhakika uliotabiriwa kwenye mstari.

Ikiwa hatua ya data iliyozingatiwa iko juu ya mstari, mabaki ni chanya, na mstari hupunguza thamani halisi ya data\(y\). Ikiwa hatua ya data iliyozingatiwa iko chini ya mstari, mabaki ni hasi, na mstari unaonyesha kuwa thamani halisi ya data kwa\(y\).

Katika mchoro katika Kielelezo,\(y_{0} – \hat{y}_{0} = \varepsilon_{0}\) ni mabaki kwa uhakika umeonyeshwa. Hapa hatua iko juu ya mstari na mabaki ni chanya.

\(\varepsilon =\)barua ya Kigiriki epsilon

Kwa kila hatua ya data, unaweza kuhesabu mabaki au makosa,\(y_{i} - \hat{y}_{i} = \varepsilon_{i}\) kwa\(i = 1, 2, 3, ..., 11\).

Kila\(|\varepsilon|\) ni umbali wa wima.

Kwa mfano kuhusu alama za mtihani wa tatu na alama za mwisho za mtihani kwa wanafunzi wa takwimu za 11, kuna pointi 11 za data. Kwa hiyo, kuna\(\varepsilon\) maadili 11. Kama mraba kila mmoja\(\varepsilon\) na kuongeza, kupata

\[(\varepsilon_{1})^{2} + (\varepsilon_{2})^{2} + \dotso + (\varepsilon_{11})^{2} = \sum^{11}_{i = 1} \varepsilon^{2} \label{SSE}\]

Equation\ ref {SSE} inaitwa Jumla ya Makosa Squared (SSE).

Kutumia calculus, unaweza kuamua maadili ya\(a\) na\(b\) kwamba kufanya SSE kiwango cha chini. Unapofanya SSE kiwango cha chini, umeamua pointi zilizo kwenye mstari wa fit bora. Inageuka kuwa mstari wa fit bora ina equation:

\[\hat{y} = a + bx\]

wapi

• \(a = \bar{y} - b\bar{x}\)na
• \(b = \dfrac{\sum(x - \bar{x})(y - \bar{y})}{\sum(x - \bar{x})^{2}}\).

Njia ya sampuli ya\(x\) maadili na\(x\) maadili ni\(\bar{x}\) na\(\bar{y}\), kwa mtiririko huo. Mstari bora zaidi unapita kupitia hatua\((\bar{x}, \bar{y})\).

Mteremko\(b\) unaweza kuandikwa kama\(b = r\left(\dfrac{s_{y}}{s_{x}}\right)\) wapi\(s_{y} =\) kupotoka kwa kiwango cha\(y\) maadili na\(s_{x} =\) kupotoka kwa kiwango cha\(x\) maadili. \(r\)ni mgawo wa uwiano, ambao unajadiliwa katika sehemu inayofuata.

Vigezo vya Mraba Vigezo vya Bora

Mchakato wa kufaa mstari unaofaa zaidi unaitwa regression linear. Wazo la kutafuta mstari bora zaidi linategemea dhana kwamba data zinatawanyika kuhusu mstari wa moja kwa moja. Vigezo vya mstari bora zaidi ni kwamba jumla ya makosa ya mraba (SSE) hupunguzwa, yaani, kufanywa kama ndogo iwezekanavyo. line nyingine yoyote unaweza kuchagua ingekuwa SSE juu kuliko line bora fit. Mstari huu unaofaa unaitwa mstari wa kurudi kwa mraba mdogo.

Kumbuka

Spreadsheets za kompyuta, programu za takwimu, na mahesabu mengi yanaweza kuhesabu haraka mstari unaofaa zaidi na kuunda grafu. Mahesabu huwa na kuchochea ikiwa yamefanywa kwa mkono. Maelekezo ya kutumia mahesabu ya TI-83, TI-83+, na TI-84+ ili kupata mstari unaofaa zaidi na kuunda scatterplot huonyeshwa mwishoni mwa sehemu hii.

Tatu mtihani vs mwisho mtihani mfano:

Grafu ya mstari wa kufaa bora kwa mfano wa tatu/mtihani wa mwisho ni kama ifuatavyo:

Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

Mstari mdogo wa kurudi nyuma (mstari bora zaidi) kwa mfano wa mtihani wa tatu/mwisho wa mtihani una equation:

\[\hat{y} = -173.51 + 4.83x\]

UKUMBUSHO

Kumbuka, daima ni muhimu kupanga mchoro wa kuwatawanya kwanza. Ikiwa njama ya kutawanya inaonyesha kuwa kuna uhusiano wa mstari kati ya vigezo, basi ni busara kutumia mstari bora zaidi ili utabiri\(y\) uliotolewa\(x\) ndani ya uwanja wa\(x\) maadili katika data ya sampuli, lakini si lazima kwa maadili ya x nje uwanja huo. Unaweza kutumia mstari kutabiri alama ya mwisho ya mtihani kwa mwanafunzi ambaye alipata daraja la 73 kwenye mtihani wa tatu. Unapaswa kutumia mstari kutabiri alama ya mwisho ya mtihani kwa mwanafunzi ambaye alipata daraja la 50 kwenye mtihani wa tatu, kwa sababu 50 sio ndani ya uwanja wa\(x\) maadili katika data ya sampuli, ambayo ni kati ya 65 na 75.

Uelewa mteremko

Mteremko wa mstari\(b\), unaelezea jinsi mabadiliko katika vigezo yanahusiana. Ni muhimu kutafsiri mteremko wa mstari katika mazingira ya hali iliyowakilishwa na data. Unapaswa kuwa na uwezo wa kuandika sentensi kutafsiri mteremko kwa Kiingereza wazi.

TAFSIRI YA MTEREMKO: mteremko wa mstari bora fit inatuambia jinsi tegemezi variable (\(y\)) mabadiliko kwa kila moja kitengo kuongezeka katika kujitegemea (\(x\)) variable, kwa wastani.

Tatu mtihani vs mwisho mtihani mfano

Slope: Mteremko wa mstari ni\(b = 4.83\).

Ufafanuzi: Kwa ongezeko la hatua moja katika alama kwenye mtihani wa tatu, alama ya mwisho ya mtihani huongezeka kwa pointi 4.83, kwa wastani.

KUTUMIA TI-83, 83+, 84, 84+ CALCULATOR

Kutumia Mtihani wa Ukandamizaji wa Mstari wa T: LinRettest

1. Katika mhariri wa orodha ya STAT, ingiza\(X\) data katika orodha ya L1 na data ya Y katika orodha ya L2, iliyounganishwa ili maadili yanayofanana (\(x,y\)) yana karibu na kila mmoja katika orodha. (Ikiwa jozi fulani ya maadili hurudiwa, ingiza mara nyingi kama inaonekana katika data.)
2. Kwenye orodha ya STAT TESTS, tembea chini na mshale ili kuchagua LineRettest. (Kuwa makini kuchagua LinRegtest, kama baadhi calculators pia kuwa na bidhaa tofauti inayoitwa LinregTint.)
3. Kwenye skrini ya pembejeo ya LinRettest ingiza: Orodha: L1; Orodha: L2; bure: 1
4. Kwenye mstari unaofuata, kwa haraka\(\beta\) au\(\rho\), onyesha "\(\neq 0\)" na ubofye kuingia
5. Acha mstari wa “RegeQ:” tupu
6. Eleza Mahesabu na waandishi wa habari kuingia.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

Screen ya pato ina habari nyingi. Kwa sasa sisi kuzingatia vitu chache kutoka pato, na kurudi baadaye kwa vitu vingine.

Mstari wa pili unasema\(y = a + bx\). Tembea chini ili kupata maadili\(a = -173.513\), na\(b = 4.8273\); equation ya mstari bora fit ni\(\hat{y} = -173.51 + 4.83x\)

Vitu viwili chini ni\(r_{2} = 0.43969\) na\(r = 0.663\). Kwa sasa, angalia tu wapi kupata maadili haya; tutazungumzia katika sehemu mbili zifuatazo.

Graphing Scatterplot na Regression Line

1. Sisi ni kuchukua\(X\) data yako tayari imeingia katika orodha L1 na\(Y\) data yako iko katika orodha L2
2. Press 2 STATPLOT ENTER kutumia Plot 1
3. Kwenye skrini ya pembejeo kwa PLOT 1, onyesha On, na waandishi wa habari kuingia
4. Kwa TYPE: onyesha icon ya kwanza ambayo ni scatterplot na waandishi wa habari kuingia
5. Eleza Orodha: L1 na Orodha: L2
6. Kwa Mark: haijalishi ni ishara gani unayoonyesha.
7. Bonyeza kitufe cha ZOOM na kisha namba 9 (kwa kipengee cha menyu “ZoomStat”); calculator itafaa dirisha kwenye data
8. Ili kuchora mstari bora zaidi, bonyeza kitufe cha "\(Y =\)" na uangalie equation\(-173.5 + 4.83X\) katika equation Y1. (\(X\)Kitufe ni mara moja kushoto ya ufunguo wa STAT). Bonyeza ZOOM 9 tena ili uifanye.
9. Hiari: Ikiwa unataka kubadilisha dirisha la kutazama, bonyeza kitufe cha WINDOW. Ingiza dirisha lako linalohitajika kwa kutumia Xmin, Xmax, Ymin, Ymax

Kumbuka

Njia nyingine ya kuchora mstari baada ya kuunda njama ya kutawanya ni kutumia LinRettest.

1. Hakikisha umefanya njama kuwatawanya. Angalia kwenye skrini yako.
2. Nenda kwenye LinRettest na uingie orodha.
3. Katika RegeQ: bonyeza VARS na mshale juu ya Y-VARS. Waandishi wa habari 1 kwa 1:Kazi. Vyombo vya habari 1 kwa 1:Y1. Kisha mshale chini ya Kuhesabu na kufanya hesabu kwa mstari wa fit bora.
4. Waandishi wa habari\(Y = (\text{you will see the regression equation})\).
5. Bonyeza GRAPH. Mstari utatolewa.”

Mgawo wa uwiano\(r\)

Mbali na kuangalia njama kuwatawanya na kuona kwamba mstari inaonekana busara, unawezaje kujua kama mstari ni predictor nzuri? Tumia mgawo wa uwiano kama kiashiria kingine (badala ya scatterplot) ya nguvu ya uhusiano kati\(x\) na\(y\). Mgawo wa uwiano\(r\), uliotengenezwa na Karl Pearson katika miaka ya 1900 mapema, ni namba na hutoa kipimo cha nguvu na mwelekeo wa chama cha mstari kati ya kutofautiana huru\(x\) na kutofautiana kwa tegemezi\(y\).

Mgawo wa uwiano umehesabiwa kama

\[r = \dfrac{n \sum(xy) - \left(\sum x\right)\left(\sum y\right)}{\sqrt{\left[n \sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}\right] \left[n \sum y^{2} - \left(\sum y\right)^{2}\right]}}\]

ambapo idadi\(n =\) ya pointi data.

Ikiwa unashutumu uhusiano wa mstari kati\(x\) na\(y\), basi\(r\) unaweza kupima jinsi uhusiano wa mstari ulivyo imara.

Nini VALUE ya\(r\) inatuambia:

• Thamani ya daima\(r\) ni kati ya -1 na +1: -1 ≤ r ≤ 1.
• Ukubwa wa uwiano\(r\) unaonyesha nguvu ya uhusiano wa mstari kati\(x\) na\(y\). Maadili ya\(r\) karibu na -1 au +1 yanaonyesha uhusiano mkubwa wa mstari kati\(x\) na\(y\).
• Ikiwa\(r = 0\) hakuna uhusiano wowote wa mstari kati\(x\) na\(y\) (hakuna uwiano wa mstari).
• Kama\(r = 1\), kuna kamili chanya uwiano. Kama\(r = -1\), kuna kamili hasi uwiano. Katika matukio haya yote, pointi zote za awali za data ziko kwenye mstari wa moja kwa moja. Bila shaka, katika ulimwengu wa kweli, hii haitatokea kwa ujumla.

Nini SIGN ya\(r\) inatuambia:

• Thamani nzuri ya\(r\) njia ambayo\(x\) inapoongezeka,\(y\) huelekea kuongezeka na\(x\) inapungua,\(y\) huelekea kupungua (uwiano mzuri).
• Thamani hasi ya\(r\) njia ambayo\(x\) inapoongezeka,\(y\) huelekea kupungua na\(x\) inapungua,\(y\) huelekea kuongezeka (uwiano hasi).
• Ishara ya\(r\) ni sawa na ishara ya mteremko\(b\),, ya mstari bora zaidi.

Kumbuka

Uwiano mkubwa hauonyeshe\(x\) sababu\(y\) au\(y\) sababu\(x\). Tunasema “uwiano haimaanishi causation.”

Kielelezo\(\PageIndex{5}\): (a) njama kuwatawanya kuonyesha data na uwiano chanya. \(0 < r < 1\)(b) njama kuwatawanya kuonyesha data na uwiano hasi. \(-1 < r < 0\)(c) njama kutawanya kuonyesha data na uwiano sifuri. \(r = 0\)

Fomu ya\(r\) inaonekana ya kutisha. Hata hivyo, sahajedwali za kompyuta, programu za takwimu, na mahesabu mengi yanaweza kuhesabu haraka\(r\). Mgawo wa uwiano\(r\) ni kipengee cha chini katika skrini za pato kwa linregtest kwenye calculator TI-83, TI-83+, au TI-84+ (angalia sehemu ya awali ya maelekezo).

Mgawo wa Uamuzi

Variable\(r^{2}\) inaitwa mgawo wa uamuzi na ni mraba wa mgawo wa uwiano, lakini kwa kawaida huelezwa kama asilimia, badala ya fomu ya decimal. Ina tafsiri katika mazingira ya data:

• \(r^{2}\), wakati walionyesha kama asilimia, inawakilisha asilimia ya tofauti katika tegemezi (alitabiri) variable\(y\) ambayo inaweza kuelezwa na tofauti katika kujitegemea (maelezo) variable\(x\) kutumia regression (bora fit) line.
• \(1 - r^{2}\), wakati walionyesha kama asilimia, inawakilisha asilimia ya tofauti kwa\(y\) kuwa ni NOT alielezea na tofauti katika\(x\) kutumia mstari regression. Hii inaweza kuonekana kama kueneza kwa pointi za data zilizozingatiwa kuhusu mstari wa kurudi nyuma.

Fikiria mtihani wa tatu/mwisho mtihani mfano kuletwa katika sehemu ya awali

• Mstari wa kufaa bora ni:\(\hat{y} = -173.51 + 4.83x\)
• Mgawo wa uwiano ni\(r = 0.6631\)
• Mgawo wa uamuzi ni\(r^{2} = 0.6631^{2} = 0.4397\)
• Ufafanuzi wa\(r^{2}\) katika mazingira ya mfano huu:
• Takriban 44% ya tofauti (0.4397 ni takriban 0.44) katika darasa la mwisho la mtihani unaweza kuelezewa na tofauti katika darasa kwenye mtihani wa tatu, kwa kutumia mstari bora wa kurudi nyuma.
• Kwa hiyo, takriban 56% ya tofauti (\(1 - 0.44 = 0.56\)) katika darasa la mwisho la mtihani hauwezi kuelezewa na tofauti katika darasa kwenye mtihani wa tatu, kwa kutumia mstari bora wa kurudi nyuma. (Hii inaonekana kama kutawanyika kwa pointi kuhusu mstari.)

Muhtasari

Mstari wa kurudi nyuma, au mstari wa kufaa bora, unaweza kupatikana kwenye njama ya kutawanya na kutumika kutabiri matokeo ya\(x\) na\(y\) vigezo katika kuweka data fulani au data ya sampuli. Kuna njia kadhaa za kupata mstari wa kurudi nyuma, lakini kwa kawaida mstari wa kurudi nyuma wa mraba hutumiwa kwa sababu hujenga mstari wa sare. Residuals, pia hujulikana “makosa,” kupima umbali kutoka thamani halisi ya\(y\) na makadirio ya thamani ya\(y\). Jumla ya Makosa ya Mraba, wakati umewekwa kwa kiwango cha chini chake, huhesabu pointi kwenye mstari wa kufaa bora. Mistari ya kurudi nyuma inaweza kutumika kutabiri maadili ndani ya seti iliyotolewa ya data, lakini haipaswi kutumiwa kufanya utabiri kwa maadili nje ya seti ya data.

Mgawo wa uwiano\(r\) hupima nguvu ya ushirikiano wa mstari kati\(x\) na\(y\). Variable\(r\) lazima iwe kati ya -1 na +1. Wakati\(r\) ni chanya,\(x\) na huwa\(y\) na kuongezeka na kupungua kwa pamoja. Wakati\(r\) ni hasi,\(x\) itaongezeka na\(y\) itapungua, au kinyume,\(x\) itapungua na\(y\) itaongezeka. Mgawo wa uamuzi\(r^{2}\), ni sawa na mraba wa mgawo wa uwiano. Wakati walionyesha kama asilimia,\(r^{2}\) inawakilisha asilimia ya tofauti katika variable tegemezi\(y\) ambayo inaweza kuelezwa na tofauti katika variable huru\(x\) kwa kutumia mstari regression.

faharasa

Mgawo wa uwiano

kipimo kilichotengenezwa na Karl Pearson (miaka ya 1900 mapema) ambayo inatoa nguvu ya ushirikiano kati ya variable huru na variable tegemezi; formula ni:

\[r = \dfrac{n \sum xy - \left(\sum x\right) \left(\sum y\right)}{\sqrt{\left[n \sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}\right] \left[n \sum y^{2} - \left(\sum y\right)^{2}\right]}}\]

\(n\)wapi idadi ya pointi za data. Mgawo hauwezi kuwa zaidi ya 1 au chini ya -1. Karibu na mgawo ni ± 1, nguvu ushahidi wa uhusiano muhimu wa mstari kati\(x\) na\(y\).