Skip to main content
Global

8.2: Idadi ya Watu Maana ya Kutumia Usambazaji wa kawaida

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    181349

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Muda wa kujiamini kwa idadi ya watu unamaanisha na kupotoka kwa kiwango kinachojulikana kinategemea ukweli kwamba sampuli ina maana kufuata usambazaji wa wastani wa kawaida. Tuseme kwamba sampuli yetu ina maana ya\(\bar{x} = 10\) na tumejenga 90% kujiamini muda (5, 15) ambapo\(EBM = 5\).

    Kuhesabu Muda wa Uaminifu

    Kujenga muda kujiamini kwa moja haijulikani idadi ya watu maana\(\mu\), ambapo idadi ya watu kiwango kupotoka inajulikana, tunahitaji\(\bar{x}\) kama makadirio ya\(\mu\) na tunahitaji kiasi cha makosa. Hapa, kiasi cha hitilafu (\(EBM\)) inaitwa kosa lililofungwa kwa maana ya idadi ya watu (iliyofupishwa EBM). Maana ya sampuli\(\bar{x}\) ni makadirio ya uhakika ya maana ya idadi ya watu haijulikani\(\mu\).

    Makadirio ya muda wa kujiamini yatakuwa na fomu:

    \[(\text{point estimate} - \text{error bound}, \text{point estimate} + \text{error bound})\nonumber \]

    au, katika alama,

    \[(\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\nonumber \]

    Kiwango cha hitilafu (\(EBM\)) inategemea kiwango cha kujiamini (kifupi\(CL\)). Ngazi ya kujiamini mara nyingi inachukuliwa kuwa uwezekano wa kuwa makadirio ya muda wa kujiamini yatakuwa na parameter ya kweli ya idadi ya watu. Hata hivyo, ni sahihi zaidi kusema kwamba kiwango cha kujiamini ni asilimia ya vipindi vya kujiamini ambavyo vina parameter ya kweli ya idadi ya watu wakati sampuli za mara kwa mara zinachukuliwa. Mara nyingi, ni uchaguzi wa mtu anayejenga muda wa kujiamini kuchagua kiwango cha kujiamini cha 90% au zaidi kwa sababu mtu huyo anataka kuwa na uhakika wa hitimisho lake.

    Kuna uwezekano mwingine unaoitwa alpha\((\alpha)\). \(\alpha\)ni kuhusiana na kiwango cha kujiamini,\(CL\). \(\alpha\)ni uwezekano kwamba muda hauna parameter haijulikani idadi ya watu. Kihisabati,

    \[\alpha + CL = 1.\nonumber \]

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Tuseme tumekusanya data kutoka sampuli. Tunajua sampuli inamaanisha lakini hatujui maana kwa wakazi wote. Maana ya sampuli ni saba, na kosa lililofungwa kwa maana ni 2.5:\(\bar{x} = 7\) na\(EBM = 2.5\)

    Muda wa kujiamini ni (7 - 2.5, 7 + 2.5) na kuhesabu maadili hutoa (4.5, 9.5). Ikiwa kiwango cha kujiamini (\(CL\)) ni 95%, basi tunasema kwamba, “Tunakadiria kwa kujiamini 95% kwamba thamani halisi ya idadi ya watu inamaanisha ni kati ya 4.5 na 9.5.”

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Tuseme tuna data kutoka sampuli. Maana ya sampuli ni 15, na kosa lililofungwa kwa maana ni 3.2. Makadirio ya muda wa kujiamini kwa idadi ya watu inamaanisha nini?

    Jibu

    (11.8, 18.2)

    Muda wa kujiamini kwa idadi ya watu unamaanisha na kupotoka kwa kiwango kinachojulikana kinategemea ukweli kwamba sampuli ina maana kufuata usambazaji wa wastani wa kawaida. Tuseme kwamba sampuli yetu ina maana ya\(\bar{x} = 10\), na tuna ujenzi 90% kujiamini muda (5, 15) ambapo\(EBM = 5\). Ili kupata muda wa kujiamini wa 90%, lazima tujumuishe kati ya 90% ya uwezekano wa usambazaji wa kawaida. Ikiwa tunajumuisha kati ya 90%, tunaacha jumla ya\(\alpha = 10%\) mkia wote, au 5% katika kila mkia, wa usambazaji wa kawaida.

    Hii ni kawaida usambazaji Curve. Upeo wa curve unafanana na hatua ya 10 kwenye mhimili usio na usawa. Pointi 5 na 15 zimeandikwa kwenye mhimili. Mstari wa wima hutolewa kutoka kwa pointi hizi hadi kwenye pembe, na kanda kati ya mistari ni kivuli. Eneo la kivuli lina eneo sawa na 0.90.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Ili kukamata kati ya 90%, lazima tuondoke 1.645 “upungufu wa kawaida” upande wowote wa sampuli iliyohesabiwa maana. Thamani 1.645 ni z -score kutoka usambazaji wa kawaida wa uwezekano unaoweka eneo la 0.90 katikati, eneo la 0.05 kwenye mkia wa kushoto wa mbali, na eneo la 0.05 kwenye mkia wa mbali wa kulia.

    Ni muhimu kwamba “kupotoka kwa kawaida” kutumika lazima kuwa sahihi kwa parameter sisi ni kukadiria, hivyo katika sehemu hii tunahitaji kutumia kiwango kupotoka ambayo inatumika kwa njia sampuli, ambayo ni

    \[\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\nonumber \]

    Sehemu hii ni kawaida inayoitwa “kiwango makosa ya maana” kutofautisha wazi kiwango kupotoka kwa maana kutoka idadi ya watu kiwango kupotoka\(\sigma\).

    Kwa muhtasari, kama matokeo ya theorem kuu ya kikomo:

    • \(\bar{X}\)ni kawaida kusambazwa, yaani,\(\bar{X} \sim N(\mu_{x},\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\).
    • Wakati kiwango cha idadi ya watu kupotoka σ inajulikana, tunatumia usambazaji wa kawaida kuhesabu kosa lililofungwa.

    Kuhesabu Muda wa Uaminifu

    Kujenga makadirio ya muda wa kujiamini kwa maana ya idadi ya watu haijulikani, tunahitaji data kutoka sampuli ya random. Hatua za kujenga na kutafsiri muda wa kujiamini ni:

    • Tumia maana ya sampuli\(\bar{x}\) kutoka kwa data ya sampuli. Kumbuka, katika sehemu hii tunajua tayari kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu\(\sigma\).
    • Find z -score kwamba sambamba na ngazi ya kujiamini.
    • Tumia kosa lililofungwa\(EBM\).
    • Kujenga muda wa kujiamini.
    • Andika sentensi ambayo inatafsiri makadirio katika mazingira ya hali katika tatizo. (Eleza nini muda wa kujiamini unamaanisha, kwa maneno ya tatizo.)

    Sisi kwanza kuchunguza kila hatua kwa undani zaidi, na kisha kuonyesha mchakato na baadhi ya mifano.

    Kutafuta\(z\) alama kwa Kiwango cha Uaminifu Kilichoelezwa

    Tunapojua kiwango cha idadi ya watu kupotoka\(\sigma\), tunatumia usambazaji wa kawaida wa kawaida ili kuhesabu kosa lililofungwa EBM na kujenga muda wa kujiamini. Tunahitaji kupata thamani ya\(z\) kwamba unaweka eneo sawa na kiwango cha kujiamini (katika fomu decimal) katikati ya usambazaji wa kawaida\(Z \sim N(0, 1)\).

    Ngazi ya kujiamini\(CL\),, ni eneo katikati ya usambazaji wa kawaida wa kawaida. \(CL = 1 - \alpha\), hivyo\(\alpha\) ni eneo ambalo linagawanyika sawa kati ya mikia miwili. Kila mkia ina eneo sawa na\(\dfrac{\alpha}{2}\).

    The\(z\) -score ambayo ina eneo kwa haki ya\(\dfrac{\alpha}{2}\) inaashiria na\(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\).

    Kwa mfano, wakati\(CL = 0.95, \alpha = 0.05\) na\(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025\); tunaandika\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025}\).

    Eneo la kulia\(z_{0.025}\) ni\(0.025\) na eneo upande wa kushoto wa\(z_{0.025}\) ni\(1 - 0.025 = 0.975\).

    \[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96\nonumber \]

    kutumia calculator, kompyuta au kiwango kawaida uwezekano meza.

    Katika hali isiyo ya kawaida\((0.975, 0, 1) = 1.96\)

    Kumbuka kutumia eneo kwa LEFT ya\(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\); katika sura hii pembejeo mbili za mwisho katika amri ya InvNorm ni 0, 1, kwa sababu unatumia usambazaji wa kawaida wa kawaida\(Z \sim N(0, 1)\).

    Kuhesabu Hitilafu imefungwa

    makosa amefungwa formula kwa idadi ya watu haijulikani maana\(\mu\) wakati idadi ya watu kiwango kupotoka inajulikana\(\sigma\) ni

    \[EBM = z_{\alpha/2} \left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber \]

    Kujenga Muda wa Uaminifu

    Makadirio ya muda wa kujiamini ina muundo\((\bar{x} - EBM, \bar{x} + EBM)\).

    Grafu inatoa picha ya hali nzima.

    \[CL + \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{\alpha}{2} = CL + \alpha = 1.\nonumber \]

    Hii ni kawaida usambazaji Curve. Upeo wa curve unafanana na hatua ya x-bar kwenye mhimili usio na usawa. Vipengele x-bar - EBM na x-bar + EBM vinaandikwa kwenye mhimili. Mstari wa wima hutolewa kutoka kwa pointi hizi hadi kwenye pembe, na kanda kati ya mistari ni kivuli. Eneo la kivuli lina eneo sawa na 1 - na linawakilisha kiwango cha kujiamini. Kila mkia usio na shaded una eneo a/2.
    Kielelezo 8.2.2.

    Kuandika Ufafanuzi

    Tafsiri inapaswa kuonyesha wazi kiwango cha kujiamini (\(CL\)), kuelezea nini parameter ya idadi ya watu inakadiriwa (hapa, idadi ya watu inamaanisha), na ueleze muda wa kujiamini (mwisho wote). “Tunakadiria kwa kujiamini ___% kuwa idadi halisi ya watu inamaanisha (pamoja na muktadha wa tatizo) ni kati ya ___ na ___ (ni pamoja na vitengo vinavyofaa).”

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Tuseme alama juu ya mitihani katika takwimu ni kawaida kusambazwa na idadi ya watu haijulikani maana na idadi ya watu kiwango kupotoka ya pointi tatu. Sampuli ya random ya alama 36 inachukuliwa na inatoa sampuli maana (sampuli maana alama) ya 68. Kupata kujiamini muda makadirio kwa idadi ya watu maana mtihani alama (alama maana juu ya mitihani yote).

    Kupata 90% kujiamini muda kwa kweli (idadi ya watu) maana ya takwimu alama mtihani.

    Jibu

    • Unaweza kutumia teknolojia kuhesabu muda wa kujiamini moja kwa moja.
    • Suluhisho la kwanza linaonyeshwa hatua kwa hatua (Suluhisho A).
    • Suluhisho la pili linatumia mahesabu ya TI-83, 83+, na 84+ (Solution B).

    Suluhisho A

    Ili kupata muda wa kujiamini, unahitaji sampuli maana\(\bar{x}\), na\(EBM\).

    \[\bar{x} = 68\nonumber \]

    \[EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\nonumber \]

    \[\sigma = 3; n = 36\nonumber \]

    Ngazi ya kujiamini ni 90% (CL = 0.90)

    \[CL = 0.90\nonumber \]

    kwa hivyo

    \[\alpha = 1 – CL = 1 – 0.90 = 0.10\nonumber \]

    \[\dfrac{\alpha}{2} = 0.05 z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05}\nonumber \]

    Eneo la kulia\(z_{0.05}\) ni\(0.05\) na eneo upande wa kushoto wa\(z_{0.05}\) ni\(1 - 0.05 = 0.95\).

    \[z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\nonumber \]

    kutumia\(\text{invNorm}(0.95, 0, 1)\) kwenye TI-83,83 +, na 84+ calculators. Hii pia inaweza kupatikana kwa kutumia amri zinazofaa kwenye mahesabu mengine, kwa kutumia kompyuta, au kutumia meza ya uwezekano kwa usambazaji wa kawaida wa kawaida.

    \[EBM = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{36}}\right) = 0.8225\nonumber \]

    \[\bar{x} - EBM = 68 - 0.8225 = 67.1775\nonumber \]

    \[\bar{x} + EBM = 68 + 0.8225 = 68.8225\nonumber \]

    Muda wa kujiamini wa 90% ni (67.1775, 68.8225).

    Suluhisho B

    Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.

    Mshale chini ya 7:ZInterval.
    Bonyeza kuingia.
    Mshale kwa Stats na bonyeza kuingia.
    Arrow chini na kuingia tatu kwa σ, 68 kwa\(\bar{x}\), 36 kwa\(n\), na .90 kwa C-ngazi.
    Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.
    Muda wa kujiamini ni (hadi maeneo matatu ya decimal) (67.178, 68.822).

    Ufafanuzi

    Tunakadiria kwa kujiamini 90% kwamba idadi ya watu wa kweli inamaanisha alama ya mtihani kwa wanafunzi wote wa takwimu ni kati ya 67.18 na 68.82.

    Maelezo ya Kiwango cha Uaminifu wa 90%

    Asilimia tisini ya vipindi vyote kujiamini yalijengwa kwa njia hii yana kweli maana takwimu mtihani alama. Kwa mfano, kama sisi ujenzi 100 ya vipindi hivi kujiamini, tunataka kutarajia 90 wao vyenye kweli idadi ya watu maana mtihani alama.

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Tuseme wastani pizza utoaji mara ni kawaida kusambazwa na idadi ya watu haijulikani maana na idadi ya watu kiwango kupotoka kwa dakika sita. sampuli random ya 28 pizza utoaji migahawa ni kuchukuliwa na ina sampuli maana utoaji wakati wa 36 dakika. Kupata 90% kujiamini muda makadirio kwa idadi ya watu maana wakati wa kujifungua.

    Jibu

    (34.1347, 37.8653)

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Specific Absorption Rate

    Kiwango maalum cha ngozi (SAR) kwa simu ya mkononi hatua kiasi cha radio frequency (RF) nishati kufyonzwa na mwili wa mtumiaji wakati wa kutumia mobiltelefoner. Kila simu ya mkononi hutoa nishati ya RF. Mifano tofauti za simu zina hatua tofauti za SAR. Ili kupokea vyeti kutoka kwa Tume ya Mawasiliano ya Shirikisho (FCC) kwa ajili ya kuuza nchini Marekani, kiwango cha SAR kwa simu ya mkononi haipaswi kuwa zaidi ya watts 1.6 kwa kilo. Meza inaonyesha juu SAR ngazi kwa ajili ya uteuzi random ya mifano ya simu ya mkononi kama kipimo na FCC.

    Simu Model SAR Simu Model SAR Simu Model SAR
    Apple iPhone 4S 1.11 LG Ally 1.36 Pantech Laser 0.74
    BlackBerry Pearl 8120 1.48 KILO AX275 1.34 Samsung Tabia 0.5
    BlackBerry Tour 9630 1.43 LG Cosmos 1.18 Samsung Epic 4G Touch 0.4
    kriketi TXTM8 1.3 LG CU515 1.3 Samsung M240 0.867
    HP/Palm Centro 1.09 LG Trax CU575 1.26 Samsung Mjumbe III SCH-R750 0.68
    HTC One V 0.455 Motorola Q9h 1.29 Samsung Nexus S 0.51
    HTC Touch Pro 2 1.41 Motorola Razr2 V8 0.36 Samsung SGH-A227 1.13
    Huawei M835 Video 0.82 Motorola Razr2 V9 0.52 SGH-A107 Giphone 0.3
    Kyocera DuraPlus 0.78 Motorola V195s 1.6 Sony W350a 1.48
    Kyocera K127 Marble 1.25 Nokia 1680 1.39 T-Mkono Concord 1.38

    Kupata 98% kujiamini muda kwa kweli (idadi ya watu) maana ya Viwango maalum ngozi (SARs) kwa simu za mkononi. Kudhani kwamba idadi ya watu kiwango kupotoka ni\(\sigma = 0.337\).

    Suluhisho A

    Ili kupata muda wa kujiamini, kuanza kwa kutafuta makadirio ya uhakika: sampuli ina maana.

    \[\bar{x} = 1.024\nonumber \]

    Next, kupata\(EBM\). Kwa sababu wewe ni kujenga 98% kujiamini muda,\(CL = 0.98\).

    Hii ni kawaida usambazaji Curve. Hatua ya z0.01 imeandikwa kwenye makali ya kulia ya pembe na kanda ya haki ya hatua hii ni kivuli. Eneo la mkoa huu wa kivuli ni sawa na 0.01. Eneo lisilo na shaded ni sawa na 0.99.
    Kielelezo 8.2.3.

    Unahitaji kupata\(z_{0.01}\) kuwa na mali ambayo eneo chini ya safu ya kawaida ya wiani kwa haki ya\(z_{0.01}\) ni\(0.01\) na eneo la kushoto ni 0.99. Tumia calculator yako, kompyuta, au meza ya uwezekano kwa usambazaji wa kawaida wa kawaida kupata\(z_{0.01} = 2.326\).

    \(EBM = (z_{0.01})\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = (2.326)\dfrac{0.337}{\sqrt{30}} =0.1431\)

    Ili kupata muda wa kujiamini wa 98%, tafuta\(\bar{x} \pm EBM\).

    \(\bar{x} - EBM = 1.024 – 0.1431 = 0.8809\)

    \(\bar{x} - EBM = 1.024 – 0.1431 = 1.1671\)

    Tunakadiria kwa kujiamini 98% kwamba SAR ya kweli ina maana kwa idadi ya simu za mkononi nchini Marekani ni kati ya watts 0.8809 na 1.1671 kwa kilo.

    Suluhisho B

    • Bonyeza STAT na mshale juu ya vipimo.
    • Mshale chini ya 7:Z Muda.
    • Bonyeza kuingia.
    • Mshale kwa Stats na bonyeza kuingia.
    • Mshale chini na uingie maadili yafuatayo:
      • \(\sigma: 0.337\)
      • \(\bar{x}: 1024\)
      • \(n: 30\)
      • Kiwango cha C: 0.98
    • Mshale chini kwa Hesabu na waandishi wa habari kuingia.
    • Muda wa kujiamini ni (hadi maeneo matatu ya decimal) (0.881, 1.167).

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Jedwali linaonyesha tofauti random sampuli ya 20 mifano ya simu ya mkononi. Tumia data hii kwa mahesabu ya 93% kujiamini muda kwa kweli maana SAR kwa simu za mkononi kuthibitishwa kwa ajili ya matumizi nchini Marekani. Kama hapo awali, kudhani kwamba idadi ya watu kiwango kupotoka ni\(\sigma = 0.337\).

    Simu Model SAR Simu Model SAR
    Blackberry Pearl 8120 1.48 Nokia E71x 1.53
    HTC Evo Design 4G 0.8 Nokia N75 0.68
    HTC freestyle 1.15 Nokia N79 1.4
    LG Ally 1.36 Sagem Puma 1.24
    LG Fathom 0.77 Samsung Fascinate 0.57
    LG Optimus Vu 0.462 Samsung Inapenyeza 4G 0.2
    Motorola Cliq XT 1.36 Samsung Nexus S 0.51
    Motorola Droid Pro 1.39 Samsung Kujaza 0.3
    Motorola Droid Razr M 1.3 Sony W518a Walkman 0.73
    Nokia 7705 Twist 0.7 ZTE C79 0.869

    Jibu

    \[\bar{x} = 0.940\nonumber \]

    \[\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1 - CL}{2} = \dfrac{1 - 0.93}{2} = 0.035\nonumber \]

    \[z_{0.035} = 1.812\nonumber \]

    \[EBM = (z_{0.035})\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.812)\left(\dfrac{0.337}{\sqrt{20}}\right) = 0.1365\nonumber \]

    \[\bar{x} - EBM = 0.940 - 0.1365 = 0.8035\nonumber \]

    \[\bar{x} + EBM = 0.940 + 0.1365 = 1.0765\nonumber \]

    Tunakadiria kwa kujiamini kwa 93% kwamba SAR ya kweli ina maana kwa idadi ya simu za mkononi nchini Marekani ni kati ya 0.8035 na 1.0765 Watts kwa kilo.

    Angalia tofauti katika vipindi kujiamini mahesabu katika Mfano na yafuatayo Jaribu Ni zoezi. Kipindi hiki ni tofauti kwa sababu kadhaa: zilihesabiwa kutoka sampuli tofauti, sampuli zilikuwa ukubwa tofauti, na vipindi vilihesabiwa kwa viwango tofauti vya kujiamini. Ingawa vipindi ni tofauti, hawatoi habari zinazopingana. Madhara ya aina hizi za mabadiliko ni somo la sehemu inayofuata katika sura hii.

    Kubadilisha Ngazi ya Kuamini au Ukubwa wa Mfano

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Tuseme tunabadilisha tatizo la awali katika Mfano kwa kutumia kiwango cha kujiamini cha 95%. Kupata 95% kujiamini muda kwa kweli (idadi ya watu) maana takwimu mtihani alama.

    Jibu

    Ili kupata muda wa kujiamini, unahitaji sampuli maana\(\bar{x}\), na\(EBM\).

    \(\bar{x} = 68\)

    \(EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)

    \(\sigma = 3; n = 36\); Ngazi ya kujiamini ni 95% (CL = 0.95).

    \(CL = 0.95\)hivyo\(\alpha = 1 – CL = 1 – 0.95 = 0.05\)

    \(\dfrac{\alpha}{2} = 0.025 z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025}\)

    Eneo la kulia\(z_{0.025}\) ni 0.025 na eneo upande wa kushoto wa\(z_{0.025}\) ni\(1 – 0.025 = 0.975\).

    \(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.025} = 1.96\)

    wakati wa kutumia kawaida (0.975,0,1) kwenye mahesabu ya TI-83, 83+, au 84+. (Hii pia inaweza kupatikana kwa kutumia amri zinazofaa kwenye mahesabu mengine, kwa kutumia kompyuta, au kutumia meza ya uwezekano kwa usambazaji wa kawaida wa kawaida.)

    \(EBM = (1.96)\left(\dfrac{3}{\sqrt{36}}\right) = 0.98\)

    \(\bar{x} – EBM = 68 – 0.98 = 67.02\)

    \(\bar{x} + EBM = 68 + 0.98 = 68.98\)

    Kumbuka kwamba\(EBM\) ni kubwa kwa 95% ngazi ya kujiamini katika tatizo awali.

    Ufafanuzi

    Tunakadiria kwa kujiamini 95% kwamba idadi ya watu wa kweli inamaanisha kwa alama zote za mtihani wa takwimu ni kati ya 67.02 na 68.98.

    Maelezo ya Ngazi ya kujiamini 95%

    Asilimia tisini na tano ya vipindi vyote kujiamini yalijengwa kwa njia hii yana thamani ya kweli ya idadi ya watu maana takwimu mtihani alama.

    Kulinganisha matokeo

    Muda wa kujiamini wa 90% ni (67.18, 68.82). Muda wa kujiamini 95% ni (67.02, 68.98). Muda wa kujiamini wa 95% ni pana. Ikiwa unatazama grafu, kwa sababu eneo 0.95 ni kubwa kuliko eneo 0.90, ni busara kwamba muda wa kujiamini wa 95% ni pana. Ili kuwa na uhakika zaidi kwamba muda wa kujiamini kwa kweli una thamani ya kweli ya idadi ya watu maana kwa alama zote za mtihani wa takwimu, muda wa kujiamini unahitaji kuwa pana.

    Sehemu (a) inaonyesha kawaida usambazaji Curve. Kanda ya kati yenye eneo sawa na 0.90 ni kivuli. Kila mkia usio na shaded wa curve una eneo sawa na 0.05. Sehemu (b) inaonyesha kawaida usambazaji Curve. Kanda ya kati yenye eneo sawa na 0.95 ni kivuli. Kila mkia usio na shaded wa curve una eneo sawa na 0.025.
    Kielelezo 8.2.4.

    Muhtasari: Athari ya Kubadilisha Ngazi ya U

    • Kuongezeka kwa kiwango cha kujiamini huongeza kosa lililofungwa, na kufanya muda wa kujiamini kuwa pana.
    • Kupungua kwa kiwango cha kujiamini hupungua kosa lililofungwa, na kufanya muda wa kujiamini kuwa nyepesi.

    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Rejea nyuma pizza-utoaji Jaribu Ni zoezi. idadi ya watu kiwango kupotoka ni dakika sita na sampuli maana kutoa muda ni 36 dakika. Tumia ukubwa wa sampuli ya 20. Kupata 95% kujiamini muda makadirio ya kweli maana pizza utoaji wakati.

    Jibu

    (33.37, 38.63)

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Tuseme tunabadilisha tatizo la awali katika Mfano ili kuona nini kinatokea kwa kosa lililofungwa ikiwa ukubwa wa sampuli umebadilishwa.

    Acha kila kitu sawa isipokuwa ukubwa wa sampuli. Tumia kiwango cha awali cha kujiamini cha 90%. Nini kinatokea kwa makosa amefungwa na muda kujiamini kama sisi kuongeza ukubwa sampuli na kutumia\(n = 100\) badala ya\(n = 36\)? Nini kinatokea ikiwa tunapungua ukubwa wa sampuli\(n = 25\) badala ya\(n = 36\)?

    • \(\bar{x} = 68\)
    • \(EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\)
    • \(\sigma = 3\); Ngazi ya kujiamini ni 90% (CL =0.90);\(z_{\dfrac{\alpha}{2}} = z_{0.05} = 1.645\).

    Jibu

    Suluhisho A

    Kama sisi kuongeza ukubwa sampuli\(n\) kwa 100, sisi kupunguza makosa amefungwa.

    Wakati\(n = 100: EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{100}}\right) = 0.4935\).

    Suluhisho B

    Kama sisi kupunguza ukubwa sampuli\(n\) kwa 25, sisi kuongeza makosa amefungwa.

    Wakati\(n = 25: EBM = \left(z_{\dfrac{\alpha}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = (1.645)\left(\dfrac{3}{\sqrt{25}}\right) = 0.987\).

    Muhtasari: Athari ya Kubadilisha ukubwa wa Mfano

    • Kuongezeka kwa ukubwa wa sampuli husababisha kosa lililofungwa kupungua, na kufanya muda wa kujiamini kuwa nyepesi.
    • Kupungua kwa ukubwa wa sampuli husababisha kosa lililofungwa kuongezeka, na kufanya muda wa kujiamini kuwa pana.

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Rejea nyuma pizza-utoaji Jaribu Ni zoezi. Wakati wa utoaji wa maana ni dakika 36 na kiwango cha kupotoka kwa idadi ya watu ni dakika sita. Kudhani ukubwa sampuli ni iliyopita 50 migahawa na sampuli hiyo maana. Kupata 90% kujiamini muda makadirio kwa idadi ya watu maana wakati wa kujifungua.

    Jibu

    (34.6041, 37.3958)

    Kufanya kazi nyuma ili kupata Hitilafu Iliyofungwa au Njia ya Mfano

    Tunapohesabu muda wa kujiamini, tunapata maana ya sampuli, kuhesabu kosa lililofungwa, na uitumie kuhesabu muda wa kujiamini. Hata hivyo, wakati mwingine tunaposoma masomo ya takwimu, utafiti unaweza kusema muda wa kujiamini tu. Ikiwa tunajua muda wa kujiamini, tunaweza kufanya kazi nyuma ili kupata makosa yote yaliyofungwa na maana ya sampuli.

    Kupata Hitilafu imefungwa

    • Kutoka thamani ya juu kwa muda, toa maana ya sampuli,
    • Au, kutoka kwa thamani ya juu kwa muda, toa thamani ya chini. Kisha ugawanye tofauti na mbili.

    Kutafuta Maana ya Mfano

    • Ondoa kosa lililofungwa kutoka thamani ya juu ya muda wa kujiamini,
    • Au, wastani wa mwisho wa juu na wa chini wa muda wa kujiamini.

    Angalia kwamba kuna njia mbili za kufanya kila hesabu. Unaweza kuchagua njia ambayo ni rahisi kutumia na habari unayojua.

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Tuseme tunajua kwamba muda wa kujiamini ni (67.18, 68.82) na tunataka kupata kosa lililofungwa. Tunaweza kujua kwamba sampuli maana ni 68, au labda chanzo chetu tu alitoa muda wa kujiamini na hakutuambia thamani ya sampuli maana.

    Tumia Hitilafu iliyofungwa:

    • Kama tunajua kwamba sampuli maana ni\(68: EBM = 68.82 – 68 = 0.82\).
    • Kama hatujui sampuli maana:\(EBM = \dfrac{(68.82−67.18)}{2} = 0.82\).

    Tumia Maana ya Mfano:

    • Kama tunajua kosa amefungwa:\(\bar{x} = 68.82 – 0.82 = 68\)
    • Kama hatujui kosa amefungwa:\(\bar{x} = \dfrac{(67.18+68.82)}{2} = 68\).

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Tuseme tunajua kwamba muda wa kujiamini ni (42.12, 47.88). Pata hitilafu iliyofungwa na maana ya sampuli.

    Jibu

    Mfano maana ni 45, kosa amefungwa ni 2.88

    Kuhesabu Ukubwa wa Mfano\(n\)

    Kama watafiti hamu kiasi maalum ya makosa, basi wanaweza kutumia kosa amefungwa formula kwa mahesabu required sampuli ukubwa. makosa amefungwa formula kwa idadi ya watu maana wakati idadi ya watu kiwango kupotoka inajulikana ni

    \[EBM = \left(z_{\dfrac{a}{2}}\right)\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \label{samplesize}\nonumber \]

    formula kwa ajili ya ukubwa sampuli ni\(n = \dfrac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}}\), kupatikana kwa kutatua makosa amefungwa formula kwa\(n\). Katika Equation\ ref {samplesize},\(z\) ni\(z_{\dfrac{a}{2}}\), sambamba na kiwango taka kujiamini. mtafiti mipango utafiti ambaye anataka maalum kujiamini ngazi na makosa amefungwa unaweza kutumia formula hii kwa mahesabu ya ukubwa wa sampuli zinahitajika kwa ajili ya utafiti.

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu kwa umri wa wanafunzi wa Chuo cha Foothill ni miaka 15. Kama tunataka kuwa 95% ujasiri kwamba sampuli maana umri ni ndani ya miaka miwili ya idadi ya watu kweli maana umri wa Foothill College wanafunzi, wangapi nasibu kuchaguliwa Foothill College wanafunzi lazima utafiti?

    Suluhisho

    • Kutoka tatizo, tunajua kwamba\(\sigma = 15\) na\(EBM = 2\).
    • \(z = z_{0.025} = 1.96\), kwa sababu kiwango cha kujiamini ni 95%.
    • \(n = \dfrac{z^{2}\sigma^{2}}{EBM^{2}} = \dfrac{(1.96)^{2}(15)^{2}}{2^{2}}\)kutumia sampuli ukubwa equation.
    • Matumizi\(n = 217\): Daima pande zote jibu hadi integer ijayo ya juu ili kuhakikisha kwamba ukubwa wa sampuli ni kubwa ya kutosha.

    Kwa hiyo, 217 Foothill College wanafunzi wanapaswa kuwa utafiti ili kuwa 95% ujasiri kwamba sisi ni ndani ya miaka miwili ya idadi ya watu kweli maana umri wa Foothill College wanafunzi.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu kwa urefu wa wachezaji wa mpira wa kikapu ya sekondari ni inchi tatu. Kama tunataka kuwa 95% ujasiri kwamba sampuli maana urefu ni ndani ya inchi moja ya idadi ya watu kweli maana urefu, wangapi nasibu kuchaguliwa wanafunzi lazima utafiti?

    Jibu

    Wanafunzi 35

    Marejeo

    1. “American Ukweli Finder.” Ofisi ya Sensa ya Marekani. Inapatikana mtandaoni kwenye http://factfinder2.census.gov/faces/...html? refresh=t (kupatikana Julai 2, 2013).
    2. “Disclosure Data Catalogue: Ripoti ya Muhtasari wa Tume ya Uchaguzi ya Shirikisho la Marekani. Inapatikana mtandaoni kwenye www.fec.gov/data/index.jsp (imefikia Julai 2, 2013).
    3. “Mwelekeo wa Uandikishaji wa Headcount na Idadi ya Wanafunzi Miaka kumi ya Kuanguka Mwelekeo wa Kuanguka kwa hivi karibuni. Foothill De Anza Community College Wilaya. Inapatikana mtandaoni kwenye research.fhda.edu/factbook/fh... phicTrends.htm (imefikia Septemba 30,2013).
    4. Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Strawn, Katherine M. Flegal, Zuguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. Johnson. Vituo vya Kudhibiti Magonjwa na Kuzuia. Inapatikana mtandaoni kwenye www.cdc.gov/growthcharts/2000... thchart-us.pdf (imefikia Julai 2, 2013).
    5. La, Lynn, Kent German. “Viwango vya mionzi ya simu za mkononi.” c|wavu sehemu ya CBX Interactive Inc Inpatikana mtandaoni kwenye http://reviews.cnet.com/cell-phone-radiation-levels/ (imefikiwa Julai 2, 2013).
    6. “Maana ya Mapato katika Miezi 12 iliyopita (katika Dola za Mfumuko wa bei za 2011): Utafiti wa Jumuiya ya Marekani ya 2011 Makadirio ya Mwaka wa 1.” American Ukweli Finder, Marekani Ofisi ya Sensa. Inapatikana mtandaoni kwenye http://factfinder2.census.gov/faces/...prodType=table (imefikia Julai 2, 2013).
    7. “Metadata Maelezo ya mgombea Summary File.” Tume ya Uchaguzi ya Shirikisho la Marekani. Inapatikana mtandaoni kwenye www.fec.gov/finance/disclosur... esummary.shtml (imefikia Julai 2, 2013).
    8. “Utafiti wa Taifa wa Afya na Lishe.” Vituo vya Kudhibiti Magonjwa na Kuzuia. Inapatikana mtandaoni kwenye http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (imefikia Julai 2, 2013).

    faharasa

    Ngazi ya kujiamini (\(CL\))
    asilimia kujieleza kwa uwezekano kwamba muda kujiamini ina kweli idadi ya watu parameter; kwa mfano, kama\(CL = 90%\), kisha 90 kati ya 100 sampuli makadirio ya muda itakuwa enclose kweli idadi ya watu parameter.
    Hitilafu imefungwa kwa maana ya Idadi ya Watu (\(EBM\))
    kiasi cha makosa; inategemea kiwango cha kujiamini, ukubwa wa sampuli, na kupotoka kwa kiwango cha idadi ya watu inayojulikana au inakadiriwa.