9.2: Matokeo na Hitilafu za Aina ya I na Aina ya II

Last updated
Save as PDF

Page ID: 179935

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Unapofanya mtihani wa hypothesis, kuna matokeo manne yanayowezekana kulingana na ukweli halisi (au uongo) wa nadharia\(H_0\) mbaya na uamuzi wa kukataa au la. Matokeo ni muhtasari katika meza ifuatayo:

Jedwali 9.2
\(\textbf{Statistical Decision}\)	\(\bf{H_0} \textbf{ is actually...}\)
\ (\ textbf {Uamuzi wa Takwimu}\)” style="wima align:middle; ">	\ (\ bf {H_0}\ textbf {ni kweli...}\)” style="wima align:middle; "> Kweli	Uongo
\ (\ textbf {Uamuzi wa Takwimu}\)” style="wima align:middle; ">Haiwezi kukubali\(H_0\)	\ (\ bf {H_0}\ textbf {ni kweli...}\)” style="wima align:middle; ">Aina I hitilafu	Matokeo sahihi
\ (\ textbf {Uamuzi wa Takwimu}\)” style="wima align:middle; ">Haiwezi kukataa\(H_0\)	\ (\ bf {H_0}\ textbf {ni kweli...}\)” style="wima align:katikati; ">Matokeo sahihi	Hitilafu ya aina ya II

Matokeo manne yanayowezekana katika meza ni:

Uamuzi hauwezi kukataa\(\bf{H_0}\)\(\bf{H_0}\) lini ni kweli (uamuzi sahihi).
Uamuzi hauwezi kukubali\(\bf{H_0}\)\(\bf{H_0}\) lini ni kweli (uamuzi usio sahihi unaojulikana kama kosa la Aina I). Kesi hii inaelezewa kama “kukataa null nzuri”. Kama tutakavyoona baadaye, ni aina hii ya hitilafu ambayo tutalinda kwa kuweka uwezekano wa kufanya kosa kama hilo. Lengo ni NOT kuchukua hatua ambayo ni kosa.
Uamuzi hauwezi kukataa\(\bf{H_0}\) wakati, kwa kweli,\(\bf{H_0}\) ni uongo (uamuzi usio sahihi unaojulikana kama kosa la Aina II). Hii inaitwa “kukubali null ya uongo”. Katika hali hii umeruhusu hali kama ilivyo kubaki katika nguvu wakati inapaswa kupinduliwa. Kama tutakavyoona, hypothesis ya null ina faida katika ushindani na mbadala.
Uamuzi hauwezi kukubali\(\bf{H_0}\)\(\bf{H_0}\) lini ni uongo (uamuzi sahihi).

Kila moja ya makosa hutokea kwa uwezekano fulani. barua Kigiriki\(\alpha\) na\(\beta\) kuwakilisha probabilities.

\(\alpha\)= uwezekano wa aina I kosa =\(\bf{P}\) (Aina mimi makosa) = uwezekano wa kukataa nadharia null wakati nadharia null hypothesis ni kweli: kukataa null nzuri.
\(\beta\)= uwezekano wa hitilafu ya Aina ya II =\(\bf{P}\) (Hitilafu ya Aina ya II) = uwezekano wa kutokataa nadharia ya null wakati hypothesis ya null ni ya uongo. (\(1 − \beta\)) inaitwa Nguvu ya Mtihani.

\(\alpha\)na\(\beta\) lazima iwe ndogo iwezekanavyo kwa sababu ni probabilities ya makosa.

Takwimu inaruhusu sisi kuweka uwezekano kwamba sisi ni kufanya makosa Aina I. Uwezekano wa kufanya hitilafu ya Aina ya I ni\(\alpha\). Kumbuka kwamba vipindi vya kujiamini katika kitengo cha mwisho viliwekwa kwa kuchagua thamani inayoitwa\(Z_{\alpha}\) (au\(t_{\alpha}\)) na thamani ya alpha iliamua kiwango cha kujiamini cha makadirio kwa sababu ilikuwa uwezekano wa muda kushindwa kukamata maana ya kweli (au parameter uwiano\(p\)). Hii alpha na kwamba moja ni sawa.

Njia rahisi zaidi ya kuona uhusiano kati ya kosa la alpha na kiwango cha kujiamini ni pamoja na takwimu zifuatazo.

Katikati ya Kielelezo 9.2 ni kawaida kusambazwa sampuli usambazaji alama\(H_0\). Hii ni usambazaji wa sampuli ya\(\overline X\) na kwa Theorem ya Kati ya Limit ni kawaida kusambazwa. Usambazaji katikati ni alama\(H_0\) na inawakilisha usambazaji kwa nadharia za null\(H_0\):\(\mu = 100\). Hii ni thamani inayojaribiwa. Taarifa rasmi za nadharia zisizo na null na mbadala zimeorodheshwa hapa chini ya takwimu.

Mgawanyo upande wowote wa\(H_0\) usambazaji unawakilisha mgawanyo ambao utakuwa wa kweli ikiwa\(H_0\) ni uongo, chini ya nadharia mbadala iliyoorodheshwa kama Ha. Hatujui ambayo ni kweli, na kamwe kujua. Kuna, kwa kweli, idadi isiyo na mwisho ya mgawanyo ambayo data inaweza kuwa inayotolewa kama Ha ni kweli, lakini wawili tu wao ni juu ya Kielelezo 9.2 anayewakilisha wengine wote.

Ili kupima hypothesis tunachukua sampuli kutoka kwa idadi ya watu na kuamua kama ingeweza kuja kutoka kwa usambazaji unaosababishwa na kiwango cha kukubalika cha umuhimu. Ngazi hii ya umuhimu ni makosa alpha na ni alama kwenye Kielelezo 9.2 kama maeneo kivuli katika kila mkia wa\(H_0\) usambazaji. (Kila eneo ni kweli\ alpha/2 kwa sababu usambazaji ni symmetrical na hypothesis mbadala inaruhusu uwezekano wa thamani kuwa ama kubwa kuliko au chini ya thamani nadharia-aitwaye mtihani mbili-tailed).

Kama sampuli maana alama kama\(\overline{X}_{1}\) ni katika mkia wa usambazaji wa\(H_0\), tunahitimisha kwamba uwezekano kwamba inaweza kuwa na kuja kutoka\(H_0\) usambazaji ni chini ya alpha. Sisi hivyo hali, “hypothesis null haiwezi kukubaliwa na (\ alpha) kiwango cha umuhimu”. Ukweli unaweza kuwa kwamba hii\(\overline{X}_{1}\) ilitoka kwa\(H_0\) usambazaji, lakini kutoka nje katika mkia. Kama hii ni hivyo basi tuna uongo kukataliwa kweli null hypothesis na kuwa alifanya makosa Aina mimi. Takwimu gani imefanya ni kutoa makadirio kuhusu kile tunachokijua, na kile tunachodhibiti, na kwamba ni uwezekano wa sisi kuwa na makosa,\(\alpha\).

Tunaweza pia kuona katika Kielelezo 9.2 kwamba sampuli maana inaweza kuwa kweli kutoka usambazaji Ha, lakini ndani ya mipaka iliyowekwa na kiwango cha alpha. Kesi hiyo ni alama kama\(\overline{X}_{2}\). Kuna uwezekano ambao kwa\(\overline{X}_{2}\) kweli ulitoka Ha lakini unaonekana katika upeo\(H_0\) kati ya mikia miwili. Uwezekano huu ni kosa la beta, uwezekano wa kukubali null ya uongo.

Tatizo letu ni kwamba tunaweza tu kuweka makosa alpha kwa sababu kuna idadi usio wa mgawanyo mbadala ambayo maana inaweza kuja kwamba si sawa na\(H_0\). Matokeo yake, mtaalamu wa takwimu huweka mzigo wa ushahidi juu ya hypothesis mbadala. Hiyo ni, hatuwezi kukataa nadharia mbaya isipokuwa kuna zaidi ya 90, au 95, au hata asilimia 99 uwezekano kwamba null ni uongo: mzigo wa ushahidi uongo na hypothesis mbadala. Hii ni kwa nini sisi kuitwa hii dhuluma ya hali kama ilivyo mapema.

Kwa mfano, mfumo wa mahakama wa Marekani huanza na dhana kwamba mshtakiwa “anachukuliwa kuwa hana hatia”. Hii ni hali kama ilivyo na ni hypothesis null. Jaji atamwambia jury kwamba hawawezi kupata mshtakiwa hatia isipokuwa ushahidi unaonyesha hatia zaidi ya “shaka nzuri” ambayo kwa kawaida hufafanuliwa katika kesi za jinai kama uhakika wa 95% ya hatia. Kama jury hawezi kukubali null, wasio na hatia, basi hatua itachukuliwa, wakati jela. Mzigo wa ushahidi daima uongo na hypothesis mbadala. (Katika kesi za kiraia, jury inahitaji tu kuwa zaidi ya 50% fulani ya makosa ili kupata hatia, inayoitwa “preponderance ya ushahidi”).

Mfano hapo juu ulikuwa kwa ajili ya mtihani wa maana, lakini mantiki hiyo inatumika kwa vipimo vya nadharia kwa vigezo vyote vya takwimu mtu anaweza kutaka kupima.

Yafuatayo ni mifano ya makosa ya Aina ya I na Aina ya II.

Mfano 9.4

Tuseme hypothesis null\(H_0\),, ni: Frank ya mwamba kupanda vifaa ni salama.

Aina mimi makosa: Frank anadhani kwamba mwamba wake kupanda vifaa inaweza kuwa salama wakati, kwa kweli, ni kweli ni salama.

Aina II makosa: Frank anadhani kwamba mwamba wake kupanda vifaa inaweza kuwa salama wakati, kwa kweli, si salama.

\(\bf{\alpha =}\)uwezekano kwamba Frank anadhani mwamba wake kupanda vifaa inaweza kuwa salama wakati, kwa kweli, ni kweli ni salama. \(\bf{\beta =}\)uwezekano kwamba Frank anadhani mwamba wake kupanda vifaa inaweza kuwa salama wakati, kwa kweli, si salama.

Angalia kwamba, katika kesi hii, kosa na matokeo makubwa ni kosa la Aina ya II. (Kama Frank anadhani vifaa vyake vya kupanda mwamba ni salama, ataenda mbele na kuitumia.)

Hii ni hali iliyoelezwa kama “kukubali null ya uongo”.

Mfano 9.5

Tuseme hypothesis null\(H_0\),, ni: mwathirika wa ajali ya gari ni hai wakati yeye fika katika chumba cha dharura ya hospitali. Hii ni hali kama ilivyo na inahitaji hakuna hatua kama ni kweli. Ikiwa hypothesis ya null haiwezi kukubaliwa basi hatua inahitajika na hospitali itaanza taratibu zinazofaa.

Weka mimi hitilafu: Wafanyakazi wa dharura wanadhani kwamba mwathirika amekufa wakati, kwa kweli, mwathirika yuko hai. Hitilafu ya aina ya II: Wafanyakazi wa dharura hajui kama mwathirika yuko hai wakati, kwa kweli, mwathirika amekufa.

\(\bf{\alpha =}\)uwezekano kwamba wafanyakazi wa dharura anadhani mwathirika amekufa wakati, kwa kweli, yeye ni kweli hai = P (Aina mimi makosa). \(\bf{\beta =}\)uwezekano kwamba wafanyakazi wa dharura hawajui kama mwathirika yuko hai wakati, kwa kweli, mwathirika amekufa = P (Hitilafu ya Aina ya II).

Hitilafu na matokeo makubwa ni hitilafu ya Aina ya I. (Kama wafanyakazi wa dharura anadhani mwathirika amekufa, hawatamtendea.)

Zoezi 9.5

Tuseme hypothesis null\(H_0\),, ni: mgonjwa si mgonjwa. Ni aina gani ya hitilafu ina matokeo makubwa, Aina ya I au Aina II?

Mfano 9.6

Ni Boy Genetic Labs wanadai kuwa na uwezo wa kuongeza uwezekano kwamba mimba itasababisha mvulana kuzaliwa. Wanatakwimu wanataka mtihani madai. Tuseme kwamba hypothesis null\(H_0\),, ni: Ni Boy Maumbile Labs haina athari kwa matokeo ya jinsia. Hali kama ilivyo ni kwamba madai ni ya uongo. Mzigo wa ushahidi daima huanguka kwa mtu anayedai, katika kesi hii Maabara ya Genetics.

Aina mimi makosa: Hii matokeo wakati kweli null hypothesis ni kukataliwa. Katika mazingira ya hali hii, tunataka kusema kwamba tunaamini kwamba Ni Boy Genetic Labs huathiri matokeo ya jinsia, wakati kwa kweli haina athari. Uwezekano wa hitilafu hii hutokea unaonyeshwa na barua ya Kigiriki alpha,\ alpha.

Aina II makosa: Hii matokeo wakati sisi kushindwa kukataa uongo null hypothesis. Katika muktadha, tunataka kusema kwamba Ni Boy Genetic Labs haina ushawishi matokeo ya kijinsia ya mimba wakati, kwa kweli, ni gani. Uwezekano wa hitilafu hii hutokea unaashiria kwa barua ya Kigiriki beta,\ beta.

Hitilafu ya matokeo makubwa itakuwa kosa la Aina ya I tangu wanandoa watatumia bidhaa ya It a Boy Genetic Labs kwa matumaini ya kuongeza nafasi ya kuwa na mvulana.

Zoezi 9.6

“Red tide” ni maua ya algae inayozalisha sumu—spishi chache tofauti za tabaka la planktoni inayoitwa dinoflagellates. Hali ya hewa na hali ya maji inaposababisha blooms hizi, samakigamba kama chaza wanaoishi katika eneo hilo huendeleza viwango vya hatari vya sumu ya kupooza. Katika Massachusetts, Idara ya Uvuvi Marine (DMF) wachunguzi ngazi ya sumu katika samakigamba na sampuli ya mara kwa mara ya samakigamba kando ya pwani. Ikiwa kiwango cha wastani cha sumu katika chaza kinazidi 800 μg (mikrogramu) ya sumu kwa kilo ya nyama ya chaza katika eneo lolote, uvunaji wa chaza ni marufuku huko mpaka maua yamekwisha na viwango vya sumu katika chaza hupungua. Eleza makosa ya Aina ya I na Aina ya II katika muktadha huu, na ueleze ambayo hitilafu ina matokeo makubwa zaidi.

Mfano 9.7

Dawa fulani ya majaribio inadai kiwango cha tiba cha angalau 75% kwa wanaume wenye saratani ya prostate. Eleza makosa ya Aina ya I na Aina ya II katika muktadha. Hitilafu ipi ni mbaya zaidi?

Aina I: Mgonjwa wa saratani anaamini kiwango cha tiba ya madawa ya kulevya ni chini ya 75% wakati ni kweli angalau 75%.

Aina ya II: Mgonjwa wa saratani anaamini dawa ya majaribio ina angalau kiwango cha tiba ya 75% wakati ina kiwango cha tiba ambacho ni chini ya 75%.

Katika hali hii, hitilafu ya Aina ya II ina matokeo mabaya zaidi. Ikiwa mgonjwa anaamini madawa ya kulevya hufanya kazi angalau 75% ya muda, hii inawezekana itaathiri uchaguzi wa mgonjwa (na daktari) kuhusu kutumia dawa kama chaguo la matibabu.