7.3: Theorem ya Kati ya Kikomo kwa Uwiano

Central Limit Theorem inatuambia kwamba uhakika makadirio kwa ajili ya sampuli maana\(\overline x\), linatokana na usambazaji wa\(\overline x\) kawaida wa ya. usambazaji huu kinadharia inaitwa usambazaji sampuli ya\(\overline x\) ya. sasa kuchunguza usambazaji sampuli kwa parameter nyingine muhimu tunataka kukadiria;\(p\) kutoka kazi ya wiani wa uwezekano wa binomial.

Ikiwa variable ya random ni ya kipekee, kama vile data ya categorical, basi parameter tunayotaka kukadiria ni idadi ya watu. Hii ni, bila shaka, uwezekano wa kuchora mafanikio katika kuteka yoyote ya random. Tofauti na kesi tu kujadiliwa kwa kuendelea random variable ambapo hatukujua usambazaji wa\(X\) idadi ya watu wa, hapa sisi kweli kujua msingi uwezekano wiani kazi kwa data hizi; ni binomial. Variable random ni\(X =\) idadi ya mafanikio na parameter tunataka kujua ni\(p\), uwezekano wa kuchora mafanikio ambayo ni kweli uwiano wa mafanikio katika idadi ya watu. Swali la suala ni: kutoka kwa usambazaji gani ulikuwa uwiano wa sampuli,\(p^{\prime}=\frac{x}{n}\) inayotolewa? Ukubwa wa sampuli ni\(n\) na\(X\) ni idadi ya mafanikio yaliyopatikana katika sampuli hiyo. Hili ni swali sambamba ambalo lilijibu tu na Theorem ya Kati ya Limit: kutoka kwa usambazaji gani ulikuwa sampuli inamaanisha\(\overline x\), inayotolewa? Tuliona kwamba mara tulijua kwamba usambazaji ulikuwa usambazaji wa kawaida basi tuliweza kuunda vipindi vya kujiamini kwa parameter ya idadi ya watu,\(\mu\). Tutatumia pia habari hii hiyo kupima nadharia kuhusu idadi ya watu maana baadaye. Tunataka sasa kuwa na uwezo wa kuendeleza vipindi vya kujiamini kwa parameter ya idadi ya watu\(p\) "kutoka kwa kazi ya wiani wa uwezekano wa binomial.

Ili kupata usambazaji ambao sampuli idadi kuja tunahitaji kuendeleza sampuli usambazaji wa idadi sampuli kama tulivyofanya kwa njia sampuli. Hivyo tena kufikiria kwamba sisi nasibu sampuli kusema watu 50 na kuwauliza kama wao kusaidia mpya shule dhamana suala. Kutokana na hili tunapata sampuli uwiano\(p^{\prime}\),, na graph juu ya mhimili wa\(p\) '. Sisi kufanya hivyo tena na tena nk, nk mpaka tuna usambazaji wa kinadharia ya\(p\) 'S Baadhi ya idadi sampuli itaonyesha upendeleo juu kuelekea suala dhamana na wengine kuonyesha chini favorability kwa sababu sampuli random kutafakari tofauti ya maoni ndani ya idadi ya watu. Nini tumefanya inaweza kuonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{9}\). Jopo la juu ni mgawanyo wa idadi ya watu wa probabilities kwa kila thamani iwezekanavyo ya kutofautiana kwa random\(X\). Wakati hatujui nini usambazaji maalum inaonekana kama kwa sababu hatujui\(p\), parameter idadi ya watu, hatujui kwamba ni lazima kuangalia kitu kama hiki. Katika hali halisi, hatujui ama maana au kupotoka kiwango cha usambazaji huu idadi ya watu, ugumu huo sisi wanakabiliwa wakati kuchambua ya\(X\) hapo awali.

Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

Kielelezo\(\PageIndex{9}\) maeneo maana juu ya usambazaji wa probabilities idadi ya watu kama\(\mu=np\) lakini bila shaka sisi si kweli kujua idadi ya watu maana kwa sababu hatujui idadi ya watu uwezekano wa mafanikio,\(p\). Chini ya usambazaji wa maadili ya idadi ya watu ni sampuli usambazaji wa\(p\) 'S. Tena Central Limit Theorem inatuambia kwamba usambazaji huu ni kawaida kusambazwa kama kesi ya usambazaji sampuli kwa ajili\(\overline x\) ya. usambazaji huu sampuli pia ina maana, maana ya \(p\)'s, na kupotoka kiwango,\(\sigma_{p^{\prime}}\).

Muhimu, katika kesi ya uchambuzi wa usambazaji wa njia za sampuli, Theorem ya Kati ya Limit ilituambia thamani inayotarajiwa ya maana ya sampuli ina maana katika usambazaji wa sampuli, na kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli. Tena Theorem ya Kati ya Limit hutoa habari hii kwa usambazaji wa sampuli kwa idadi. Majibu ni:

1. thamani inatarajiwa ya maana ya sampuli usambazaji wa idadi ya sampuli\(\mu_{p^{\prime}}\),, ni idadi ya watu,\(p\).
2. kupotoka kiwango cha usambazaji sampuli ya idadi sampuli,\(\sigma_{p^{\prime}}\), ni idadi ya watu kiwango kupotoka kugawanywa na mizizi mraba ya ukubwa sampuli,\(n\).

Wote hitimisho hizi ni sawa na sisi kupatikana kwa ajili ya usambazaji sampuli kwa njia sampuli. Hata hivyo, katika kesi hii, kwa sababu kupotoka kwa maana na kiwango cha usambazaji wa binomial wote hutegemea pp, formula ya kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli inahitaji kudanganywa kwa algebraic kuwa na manufaa. Tutachukua hiyo katika sura inayofuata. Ushahidi wa hitimisho hizi muhimu kutoka Theorem ya Kati ya Limit hutolewa hapa chini.

\[E\left(p^{\prime}\right)=E\left(\frac{x}{n}\right)=\left(\frac{1}{n}\right) E(x)=\left(\frac{1}{n}\right) n p=p\nonumber\]

(thamani inatarajiwa ya\(X\)\(E(x)\),, ni tu maana ya usambazaji binomial ambayo tunajua kuwa np.)

\[\sigma_{\mathrm{p}}^{2}=\operatorname{Var}\left(p^{\prime}\right)=\operatorname{Var}\left(\frac{x}{n}\right)=\frac{1}{n^{2}}(\operatorname{Var}(x))=\frac{1}{n^{2}}(n p(1-p))=\frac{p(1-p)}{n}\nonumber\]

Kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli kwa uwiano ni hivyo:

\[\sigma_{\mathrm{p}},=\sqrt{\frac{p(1-P)}{n}}\nonumber\]

\ (\ UkurasaIndex {2}\) “>

Jedwali\(\PageIndex{2}\)

Kipengele	Usambazaji wa idadi ya watu	Sampuli	Sampuli usambazaji\(p\) wa
Maana	\(\mu = np\)	\(p^{\prime}=\frac{x}{n}\)\)	\ (p\) ya” class="lt-stats-4585">\(p^{\prime} \text { and } E(p^{\prime})=p\)
Mkengeuko	\(\sigma=\sqrt{n p q}\)		\ (p\) ya” class="lt-stats-4585">\(\sigma_{p^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)

Jedwali\(\PageIndex{2}\) muhtasari matokeo haya na inaonyesha uhusiano kati ya idadi ya watu, sampuli na sampuli usambazaji. Angalia sambamba kati ya Jedwali hili na Jedwali\(\PageIndex{1}\) kwa kesi ambapo variable random ni kuendelea na tulikuwa kuendeleza usambazaji sampuli kwa njia.

Kupitia formula kwa kupotoka kiwango cha usambazaji sampuli kwa idadi tunaona kwamba kama\(n\) ongezeko kupotoka kiwango itapungua. Hii ni uchunguzi huo sisi alifanya kwa kupotoka kiwango kwa ajili ya usambazaji sampuli kwa njia. Tena, kama ukubwa wa sampuli huongezeka, makadirio\(p\) ya uhakika kwa ama\(\mu\) au hupatikana kuja kutoka kwa usambazaji na usambazaji mdogo na nyembamba. Tulihitimisha kuwa kwa kiwango fulani cha uwezekano, kiwango ambacho makadirio ya uhakika huja ni ndogo kama ukubwa wa sampuli\(n\), huongezeka. Kielelezo\(\PageIndex{8}\) kinaonyesha matokeo haya kwa kesi ya njia za sampuli. Tu mbadala\(p^{\prime}\) kwa ajili ya\(\overline x\) na tunaweza kuona athari za ukubwa sampuli juu ya makadirio ya uwiano sampuli.