7.2: Kutumia Theorem ya Kati ya Kikomo

Last updated
Save as PDF

Page ID: 179814

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Mifano ya Theorem ya Kati ya Kikomo

Sheria ya Idadi Kubwa

Sheria ya idadi kubwa inasema kwamba kama wewe kuchukua sampuli ya ukubwa kubwa na kubwa kutoka idadi yoyote, basi maana ya usambazaji sampuli,\(\mu_{\overline x}\) huelekea kupata karibu na karibu na idadi ya watu kweli maana,\(\mu\). Kutoka Theorem ya Kati ya Limit, tunajua kwamba kama\(n\) anapata kubwa na kubwa, sampuli ina maana kufuata usambazaji wa kawaida. n kubwa anapata, ndogo kupotoka kiwango cha usambazaji sampuli anapata. (Kumbuka kwamba kiwango kupotoka kwa ajili ya usambazaji sampuli ya\(\overline X\) ni\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).) Hii ina maana kwamba sampuli maana\(\overline x\) lazima iwe karibu na idadi ya watu maana\(\mu\) kama\(n\) ongezeko. Tunaweza kusema kwamba\(\mu\) ni thamani kwamba sampuli ina maana mbinu kama n anapata kubwa. Theorem ya Kati ya Limit inaonyesha sheria ya idadi kubwa.

Dhana hii ni muhimu sana na ina jukumu muhimu sana katika kile kinachofuata inastahili kuendelezwa zaidi. Hakika, kuna masuala mawili muhimu yanayotokana na Theorem ya Kati ya Limit na matumizi ya Sheria ya Idadi kubwa kwao. Hizi ni

Kazi ya wiani ya uwezekano wa usambazaji wa sampuli ya njia ni kawaida kusambazwa bila kujali usambazaji wa msingi wa uchunguzi wa idadi ya watu na
kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli hupungua kama ukubwa wa sampuli zilizotumiwa kuhesabu njia za ongezeko la usambazaji wa sampuli.

Kuchukua hizi kwa utaratibu. Inaonekana kuwa counterintuitive kwamba idadi ya watu wanaweza kuwa na usambazaji wowote na usambazaji wa njia kutoka kwao itakuwa kawaida kusambazwa. Pamoja na matumizi ya kompyuta, majaribio yanaweza kuigwa ambayo yanaonyesha mchakato ambao usambazaji wa sampuli hubadilika kama ukubwa wa sampuli umeongezeka. Uigizaji huu unaonyesha kuibua matokeo ya ushahidi wa hisabati wa Theorem ya Kati ya Limit.

Hapa ni mifano mitatu ya mgawanyo tofauti sana idadi ya watu na mageuzi ya usambazaji sampuli kwa usambazaji wa kawaida kama ukubwa sampuli kuongezeka. Jopo la juu katika kesi hizi linawakilisha histogram kwa data ya awali. Paneli tatu zinaonyesha histograms kwa sampuli 1,000 zilizopigwa kwa nasibu kwa ukubwa tofauti wa sampuli:\(n=10\),\(n= 25\) na\(n=50\). Kama ukubwa wa sampuli unavyoongezeka, na idadi ya sampuli zilizochukuliwa inabakia mara kwa mara, usambazaji wa njia za sampuli 1,000 huwa karibu na mstari mwembamba unaowakilisha usambazaji wa kawaida.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\) ni kwa ajili ya usambazaji wa kawaida wa uchunguzi wa mtu binafsi na tunataka kutarajia usambazaji sampuli kuungana juu ya kawaida haraka. Matokeo yanaonyesha hili na kuonyesha kwamba hata kwa ukubwa mdogo sana wa sampuli usambazaji ni karibu na usambazaji wa kawaida.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\) ni usambazaji sare ambayo, kidogo ya kushangaza, haraka akakaribia usambazaji wa kawaida hata kwa sampuli tu ya 10.

Kielelezo\(\PageIndex{5}\) ni usambazaji wa skewed. Hii ya mwisho inaweza kuwa kielelezo, kijiometri, au binomial na uwezekano mdogo wa mafanikio kujenga skew katika usambazaji. Kwa mgawanyo skewed Intuition yetu bila kusema kwamba hii itachukua kubwa sampuli ukubwa kuhamia usambazaji wa kawaida na kwa kweli kwamba ni nini sisi kuchunguza kutoka simulation. Hata hivyo, kwa ukubwa wa sampuli ya 50, sio kuchukuliwa sampuli kubwa sana, usambazaji wa njia za sampuli umepata sana sura ya usambazaji wa kawaida.

Theorem ya Kati ya Limit hutoa zaidi ya ushahidi kwamba usambazaji wa sampuli wa njia ni kawaida kusambazwa. Pia inatupa kwa kupotoka kwa maana na kiwango cha usambazaji huu. Zaidi ya hayo, kama ilivyojadiliwa hapo juu, thamani inatarajiwa ya maana\(\mu_{\overline{x}}\), ni sawa na maana ya idadi ya watu wa data ya awali ambayo ni nini sisi ni nia ya kukadiria kutoka sampuli sisi alichukua. Tayari tumeingiza hitimisho hili la Theorem ya Kati ya Kikomo katika fomu tunayotumia kwa kusanifisha kutoka kwa usambazaji wa sampuli hadi usambazaji wa kawaida wa kawaida. Na hatimaye, Theorem ya Kati ya Limit pia imetoa kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli\(\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\), na hii ni muhimu kuwa na mahesabu ya uwezekano wa maadili ya kutofautiana kwa random mpya,\(\overline x\).

Kielelezo\(\PageIndex{6}\) kinaonyesha usambazaji wa sampuli. maana imekuwa alama juu ya mhimili usawa wa\(\overline X\)'s na kupotoka kiwango imeandikwa kwa haki juu ya usambazaji. Kumbuka kwamba kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli ni kupotoka kwa kiwango cha awali cha idadi ya watu, imegawanywa na ukubwa wa sampuli. Tayari tumeona kwamba kama ukubwa wa sampuli huongezeka usambazaji wa sampuli unakuwa karibu na karibu na usambazaji wa kawaida. Kama hii inatokea, kupotoka kwa kiwango cha usambazaji wa sampuli hubadilika kwa njia nyingine; kupotoka kwa kiwango kunapungua kama\(n\) ongezeko. Kwa kubwa sana\(n\), kupotoka kwa kawaida kwa usambazaji wa sampuli inakuwa ndogo sana na kwa infinity huanguka juu ya maana ya idadi ya watu. Hii ni nini maana kwamba inatarajiwa thamani ya\(\mu_{\overline{x}}\) ni idadi ya watu maana,\(\mu\).

Wakati maadili yasiyo ya uliokithiri ya\(n\), uhusiano huu kati ya kupotoka kiwango cha usambazaji sampuli na ukubwa sampuli ina sehemu muhimu sana katika uwezo wetu wa kukadiria vigezo sisi ni nia ya.

Kielelezo\(\PageIndex{7}\) inaonyesha mgawanyo wa sampuli tatu. Mabadiliko pekee yaliyofanywa ni ukubwa wa sampuli uliotumiwa kupata njia za sampuli kwa kila usambazaji. Kama ukubwa wa sampuli kuongezeka,\(n\) huenda kutoka 10 kwa 30 kwa 50, kupotoka kiwango cha mgawanyo husika sampuli kupungua kwa sababu ukubwa sampuli ni katika denominator ya kupotoka kiwango cha mgawanyo sampuli.

Matokeo ya hili ni muhimu sana. Kielelezo\(\PageIndex{8}\) kinaonyesha athari za ukubwa wa sampuli kwenye imani tutakuwa nayo katika makadirio yetu. Hizi ni mgawanyo wa sampuli mbili kutoka kwa idadi sawa. Usambazaji mmoja wa sampuli uliundwa na sampuli za ukubwa wa 10 na nyingine na sampuli za ukubwa wa 50. Mambo mengine yote mara kwa mara, usambazaji wa sampuli na ukubwa wa sampuli 50 una kupotoka kwa kiwango kidogo kinachosababisha grafu kuwa ya juu na nyembamba. Athari muhimu ya hii ni kwamba kwa uwezekano huo wa kupotoka kwa kiwango kimoja kutoka kwa maana, usambazaji huu unashughulikia kiasi kidogo cha maadili iwezekanavyo kuliko usambazaji mwingine. Kupotoka kwa kiwango kimoja ni alama kwenye\(\overline X\) mhimili kwa kila usambazaji. Hii inavyoonyeshwa na mishale miwili ambayo ni pamoja na au kupunguza kiwango kimoja cha kupotoka kwa kila usambazaji. Ikiwa uwezekano wa kuwa maana ya kweli ni kupotoka kwa kiwango kimoja mbali na maana, basi kwa usambazaji wa sampuli na ukubwa mdogo wa sampuli, maadili ya uwezekano ni makubwa zaidi. Swali rahisi ni, ungependa kuwa na sampuli maana kutoka nyembamba, usambazaji tight, au gorofa, usambazaji pana kama makadirio ya idadi ya watu maana? Jibu lako linatuambia kwa nini watu intuitively daima kuchagua data kutoka sampuli kubwa badala ya sampuli ndogo. Sampuli inamaanisha kuwa wanapata inatoka kwa usambazaji zaidi. Dhana hii itakuwa msingi wa kile kitaitwa kiwango cha kujiamini katika kitengo kinachofuata.