7.1: Theorem ya Kati ya Kikomo kwa Njia za Mfano

Usambazaji wa sampuli ni usambazaji wa kinadharia. Imeundwa kwa kuchukua sampuli nyingi za ukubwa\(n\) kutoka kwa idadi ya watu. Kila maana sampuli ni kisha kutibiwa kama uchunguzi moja ya usambazaji huu mpya, usambazaji sampuli. Genius ya kufikiri kwa njia hii ni kwamba inatambua kwamba wakati sisi sampuli sisi ni kujenga uchunguzi na kwamba uchunguzi lazima kuja kutoka usambazaji fulani. Theorem ya Kati ya Limit inajibu swali: kutoka kwa usambazaji gani sampuli ina maana kuja? Kama hii ni aligundua, basi tunaweza kutibu sampuli maana tu kama uchunguzi nyingine yoyote na mahesabu probabilities kuhusu nini maadili inaweza kuchukua. Tumehamia kwa ufanisi kutoka kwenye ulimwengu wa takwimu ambapo tunajua tu tuliyo nayo kutoka sampuli, hadi ulimwengu wa uwezekano ambapo tunajua usambazaji ambao sampuli ina maana alikuja na vigezo vya usambazaji huo.

Sababu ambazo sampuli moja idadi ya watu ni dhahiri. Muda na gharama za kuangalia kila ankara ili kuamua uhalali wake au kila usafirishaji ili uone ikiwa ina vitu vyote vinaweza kuzidi gharama za makosa katika kulipa au usafirishaji. Kwa baadhi ya bidhaa, sampuli itahitaji kuharibu yao, aitwaye uharibifu sampuli. Mfano mmoja ni kupima uwezo wa chuma kuhimili kutu ya maji ya chumvi kwa sehemu kwenye vyombo vya bahari vinavyoenda.

Sampuli hivyo huwafufua swali muhimu; tu ambayo sampuli ilikuwa inayotolewa. Hata kama sampuli walikuwa nasibu inayotolewa, kuna kinadharia idadi karibu usio wa sampuli. Pamoja na vitu 100 tu, kuna sampuli zaidi ya milioni 75 ya kipekee ya ukubwa tano ambayo inaweza inayotolewa. Ikiwa sita ni katika sampuli, idadi ya sampuli iwezekanavyo huongezeka hadi zaidi ya bilioni moja. Kati ya sampuli milioni 75 iwezekanavyo, basi, ni nani uliyopata? Ikiwa kuna tofauti katika vitu vinavyopigwa sampuli, kutakuwa na tofauti katika sampuli. Mtu anaweza kuteka sampuli ya “unlucky” na kufanya hitimisho mbaya sana kuhusu idadi ya watu. Hii kutambua kwamba sampuli yoyote sisi kuteka ni kweli moja tu kutoka usambazaji wa sampuli hutoa sisi na nini pengine moja theorem muhimu zaidi ni takwimu: Theorem Central Limit. Bila Theorem ya Kati ya Limit itakuwa vigumu kuendelea na takwimu inferential kutoka nadharia rahisi uwezekano. Katika hali yake ya msingi, Theorem ya Kati ya Limit inasema kwamba bila kujali kazi ya msingi ya wiani wa data ya idadi ya watu, usambazaji wa kinadharia wa njia za sampuli kutoka kwa idadi ya watu utakuwa kawaida kusambazwa. Kwa asili, hii inasema kwamba maana ya sampuli inapaswa kutibiwa kama uchunguzi inayotokana na usambazaji wa kawaida. Theorem ya Kati ya Limit inashikilia tu ikiwa ukubwa wa sampuli ni “kubwa ya kutosha” ambayo imeonyeshwa kuwa uchunguzi wa 30 tu au zaidi.

Kielelezo 7.2 inaonyesha graphically pendekezo hili muhimu sana.

Kielelezo 7.2

Angalia kwamba mhimili usio na usawa kwenye jopo la juu umeandikwa\(X\). Hizi ni uchunguzi wa mtu binafsi wa idadi ya watu. Hii ni usambazaji usiojulikana wa maadili ya idadi ya watu. Grafu ni makusudi inayotolewa kila squiggly kuonyesha kwamba haijalishi tu jinsi isiyo ya kawaida mpira ni kweli. Kumbuka, sisi kamwe kujua nini usambazaji huu inaonekana kama, au maana yake au kiwango kupotoka kwa jambo hilo.

Huu ni usambazaji wa kinadharia unaoitwa usambazaji wa njia za sampuli.\(\overline{X}\) Kila uchunguzi juu ya usambazaji huu ni sampuli maana. Njia hizi zote za sampuli zilihesabiwa kutoka kwa sampuli za mtu binafsi na ukubwa sawa wa sampuli. Nadharia sampuli usambazaji ina wote wa sampuli maana maadili kutoka sampuli zote inawezekana kwamba wangeweza kuchukuliwa kutoka idadi ya watu. Bila shaka, hakuna mtu ambaye milele kweli kuchukua yote ya sampuli hizi, lakini kama alifanya hivyo ni jinsi gani wangeweza kuangalia. Na Theorem ya Kati ya Kikomo inasema kuwa watakuwa kawaida kusambazwa.

Theorem ya Kati ya Kikomo inakwenda hata zaidi na inatuambia kupotoka kwa maana na kiwango cha usambazaji huu wa kinadharia.

Jedwali 7.1

Kipengele	Usambazaji wa idadi ya watu	Sampuli	Sampuli usambazaji\(\overline{X}\) wa
Maana	\(\mu\)	\(\overline{X}\)	\ (\ overline {X}\) ya” style="wima align:middle; ">\(\mu_{\overline{x}} \text { and } \mathrm{E}\left(\mu_{\overline{x}}\right)=\mu\)
Standard kupotoka	\(\sigma\)	\(s\)	\ (\ overline {X}\) ya” style="wima align:middle; ">\(\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

umuhimu wa vitendo ya Theorem Central Limit ni kwamba sasa tunaweza kukokotoa probabilities kwa kuchora sampuli maana\(\overline{X}\), katika njia sawa tu kama tulivyofanya kwa kuchora uchunguzi maalum,\(X\)'s, wakati sisi alijua idadi ya watu maana na kiwango kupotoka na kwamba takwimu za idadi ya watu walikuwa kawaida kusambazwa.. Fomu ya kusanifisha inapaswa kurekebishwa ili kutambua kwamba kupotoka kwa maana na kiwango cha usambazaji wa sampuli, wakati mwingine, kinachoitwa kosa la kawaida la maana, ni tofauti na yale ya usambazaji wa idadi ya watu, lakini vinginevyo hakuna kitu kilichobadilika. Fomula mpya ya kusanifisha ni

\[Z=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\nonumber\]

Angalia kwamba\(\mu_{\overline{X}}\) katika formula ya kwanza imebadilishwa kuwa tu\(\mu\) katika toleo la pili. Sababu ni kwamba hesabu inaweza kuonyeshwa kwamba thamani inatarajiwa ya\(\mu_{\overline{X}}\) ni sawa na\(\mu\). Hii imesemwa katika Jedwali 7.1 hapo juu. Kihisabati,\(E(x)\) ishara ilisoma “thamani inayotarajiwa ya\(x\)”. Fomu hii itatumika katika kitengo kinachofuata ili kutoa makadirio ya parameter isiyojulikana ya idadi ya watu\(\mu\).