6.2: Kutumia Usambazaji wa kawaida

Last updated
Save as PDF

Page ID: 179244

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Eneo la kivuli katika grafu ifuatayo inaonyesha eneo la haki ya\(x\). Eneo hili linawakilishwa na uwezekano\(P(X > x)\). Majedwali ya kawaida hutoa uwezekano kati ya maana, sifuri kwa usambazaji wa kawaida wa kawaida, na thamani maalum kama vile\(x_1\). Hii ni sehemu unshaded ya grafu kutoka maana ya\(x_1\).

Hii ni kawaida usambazaji Curve. thamani, x, ni kinachoitwa kwenye mhimili usawa, X. mstari wima inaenea kutoka hatua x kwa Curve, na eneo chini ya Curve upande wa kushoto wa x ni kivuli. Eneo la sehemu hii ya kivuli inawakilisha uwezekano kwamba thamani ya kutofautiana ni chini ya x.

Kwa sababu usambazaji wa kawaida ni wa kawaida, ikiwa\(x_1\) ungekuwa umbali sawa na upande wa kushoto wa maana eneo hilo, uwezekano, katika mkia wa kushoto, itakuwa sawa na eneo la kivuli kwenye mkia wa kulia. Pia, kumbuka kwamba kwa sababu ya ulinganifu wa usambazaji huu, nusu moja ya uwezekano ni haki ya maana na nusu moja ni upande wa kushoto wa maana.

Mahesabu ya Probabilities

Ili kupata uwezekano wa kazi za wiani wa uwezekano na kutofautiana kwa random inayoendelea tunahitaji kuhesabu eneo chini ya kazi katika maadili ya\(X\) sisi ni nia ya. Kwa usambazaji wa kawaida hii inaonekana kazi ngumu kutokana na utata wa formula. Kuna, hata hivyo, njia rahisi ya kupata kile tunachotaka. Hapa tena ni formula ya usambazaji wa kawaida:

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}\nonumber\]

Kuangalia formula kwa ajili ya usambazaji wa kawaida ni wazi tu jinsi sisi ni kwenda kutatua kwa uwezekano kufanya hivyo kwa njia ile ile tulifanya hivyo na kazi ya awali uwezekano. Kuna sisi kuweka data katika formula na alifanya hesabu.

Ili kutatua puzzle hii tunaanza kujua kwamba eneo chini ya uwezekano wiani kazi ni uwezekano.

Hii inaonyesha kwamba eneo kati\(X_1\) na\(X_2\) ni uwezekano kama ilivyoelezwa katika formula:\(P (X_1 \leq X \leq X_2)\)

Chombo cha hisabati kinachohitajika ili kupata eneo chini ya pembe ni hesabu muhimu. muhimu ya kawaida uwezekano wiani kazi kati ya pointi mbili x ₁ na x ₂ ni eneo chini ya Curve kati ya pointi hizi mbili na ni uwezekano kati ya pointi hizi mbili.

Kufanya integrals haya hakuna furaha na inaweza kuwa muda mwingi sana. Lakini sasa, kukumbuka kuwa kuna idadi isiyo na kipimo ya mgawanyo wa kawaida huko nje, tunaweza kufikiria moja kwa maana ya sifuri na kupotoka kwa kiwango cha 1. Usambazaji huu wa kawaida unapewa jina la Usambazaji wa kawaida wa kawaida. Kuweka maadili haya katika formula inapunguza kwa equation rahisi sana. Sasa tunaweza kwa urahisi kabisa mahesabu probabilities wote kwa thamani yoyote ya x, kwa ajili ya usambazaji huu hasa kawaida, ambayo ina maana ya sifuri na kupotoka kiwango cha 1. Hizi zimezalishwa na zinapatikana hapa katika kiambatisho kwa maandishi au kila mahali kwenye wavuti. Wao huwasilishwa kwa njia mbalimbali. Jedwali katika maandishi haya ni uwasilishaji wa kawaida na umeanzishwa na uwezekano wa nusu ya usambazaji unaoanza na sifuri, maana, na kusonga nje. Eneo la kivuli kwenye grafu juu ya meza katika Majedwali ya Takwimu inawakilisha uwezekano kutoka sifuri hadi\(Z\) thamani maalum iliyoelezwa kwenye mhimili usio na usawa,\(Z\).

Tatizo pekee ni kwamba hata kwa meza hii, itakuwa bahati mbaya ya ajabu kwamba data yetu ilikuwa na maana ya sifuri na kupotoka kwa kiwango cha moja. Suluhisho ni kubadili usambazaji tunao na maana yake na kupotoka kwa kawaida kwa usambazaji huu mpya wa kawaida. Standard Normal ina variable random kuitwa\(Z\).

Kutumia meza ya kawaida ya kawaida, inayoitwa meza ya kawaida, ili kupata uwezekano wa kupotoka kwa kiwango kimoja, nenda kwenye\(Z\) safu, usome chini ya 1.0 na kisha usome kwenye safu ya 0. idadi hiyo,\(0.3413\) ni uwezekano kutoka sifuri kwa 1 kiwango kupotoka. Juu ya meza ni eneo la kivuli katika usambazaji ambayo ni uwezekano wa kupotoka kwa kiwango kimoja. Jedwali limetatua tatizo letu muhimu la calculus. Lakini tu kama data yetu ina maana ya sifuri na kupotoka kwa kiwango cha 1.

Hata hivyo, jambo muhimu hapa ni, uwezekano wa kupotoka kwa kiwango kimoja kwenye usambazaji mmoja wa kawaida ni sawa na kila usambazaji wa kawaida. Ikiwa data ya idadi ya watu ina maana ya 10 na kupotoka kwa kiwango cha 5 basi uwezekano kutoka 10 hadi 15, kupotoka kwa kiwango kimoja, ni sawa na kutoka sifuri hadi 1, kupotoka kwa kiwango kimoja kwenye usambazaji wa kawaida wa kawaida. Ili kukokotoa probabilities, maeneo, kwa usambazaji wowote wa kawaida, tunahitaji tu kubadili usambazaji maalum wa kawaida kwa usambazaji wa kawaida na kuangalia jibu katika meza. Kama mapitio, hapa tena ni formula ya kusanifisha:

\[Z=\frac{x-\mu}{\sigma}\nonumber\]

wapi\(Z\) thamani kwenye usambazaji wa kawaida wa kawaida,\(X\) ni thamani kutoka kwa usambazaji wa kawaida mtu anataka kubadilisha kwa kiwango cha kawaida,\(\mu\) na\(\sigma\) ni, kwa mtiririko huo, maana na kiwango kupotoka kwa idadi hiyo. Kumbuka kwamba equation inatumia\(\mu\) na\(\sigma\) ambayo inaashiria vigezo vya idadi ya watu. Hii bado ni kushughulika na uwezekano hivyo sisi daima ni kushughulika na idadi ya watu, na maadili inayojulikana parameter na usambazaji inayojulikana. Pia ni muhimu kutambua kwamba kwa sababu usambazaji wa kawaida ni wa kawaida haijalishi ikiwa alama ya z-ni chanya au hasi wakati wa kuhesabu uwezekano. Kupotoka kwa kiwango kimoja upande wa kushoto (Hasi Z-alama) inashughulikia eneo moja kama kupotoka kwa kiwango kimoja kwa haki (chanya Z-alama). Ukweli huu ni kwa nini meza ya kawaida ya kawaida haitoi maeneo kwa upande wa kushoto wa usambazaji. Kwa sababu ya ulinganifu huu, formula ya alama ya Z wakati mwingine huandikwa kama:

\[Z=\frac{|x-\mu|}{\sigma}\nonumber\]

Ambapo mistari ya wima katika equation inamaanisha thamani kamili ya idadi.

Nini formula ya kusanifisha inafanya kweli ni kompyuta idadi ya upungufu wa kawaida\(X\) ni kutokana na maana ya usambazaji wake mwenyewe. Fomu ya kusanifisha na dhana ya kuhesabu upungufu wa kawaida kutoka kwa maana ni siri ya yote tutakayofanya katika darasa hili la takwimu. Sababu hii ni kweli ni kwamba takwimu zote hupungua kwa tofauti, na kuhesabu kwa upungufu wa kawaida ni kipimo cha tofauti.

Fomu hii, katika kujificha nyingi, itaonekana tena na tena katika kozi hii.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Alama za mwisho za mtihani katika darasa la takwimu zilikuwa zinasambazwa kwa maana ya 63 na kupotoka kwa kiwango cha tano.

Pata uwezekano kwamba mwanafunzi aliyechaguliwa kwa nasibu alifunga zaidi ya 65 kwenye mtihani.
pata uwezekano kwamba mwanafunzi aliyechaguliwa kwa nasibu alifunga chini ya 85.

Jibu

Hebu\(X\) = alama kwenye mtihani wa mwisho. \(X \sim N(63, 5)\), wapi\(\mu = 63\) na\(\sigma = 5\).

Chora grafu.

Kisha, tafuta\(P(x > 65)\).

\(P(x > 65) = 0.3446\)

Hii ni kawaida usambazaji Curve. Upeo wa curve unafanana na hatua 63 kwenye mhimili usio na usawa. Hatua ya 65 pia imeandikwa. Mstari wa wima unatoka hatua ya 65 hadi kwenye pembe. Eneo la uwezekano wa haki ya 65 ni kivuli; ni sawa na 0.3446.

\[Z_{1}=\frac{x_{1}-\mu}{\sigma}=\frac{65-63}{5}=0.4\nonumber\]

\(P\left(x \geq x_{1}\right)=P\left(Z \geq Z_{1}\right)=0.3446\)

Uwezekano kwamba mwanafunzi yeyote aliyechaguliwa kwa alama za random zaidi ya 65 ni 0.3446. Hapa ndivyo tulivyopata jibu hili.

Jibu b

Jedwali la kawaida hutoa uwezekano kutoka sifuri hadi thamani\(Z_1\). Kwa tatizo hili swali linaweza kuandikwa kama:\(P(X \geq 65) = P(Z \geq Z1)\), ambayo ni eneo la mkia. Ili kupata eneo hili formula itakuwa\(0.5 – P(X \leq 65)\). Nusu moja ya uwezekano ni juu ya thamani ya maana kwa sababu hii ni usambazaji wa ulinganifu. Grafu inaonyesha jinsi ya kupata eneo katika mkia kwa kuondoa sehemu hiyo kutoka kwa maana, sifuri, kwa\(Z_1\) thamani. Jibu la mwisho ni:\(P(X \geq 63) = P(Z \geq 0.4) = 0.3446\)

\(z=\frac{65-63}{5}=0.4\)

Eneo upande wa kushoto\(Z_1\) wa maana ya sifuri ni\(0.1554\)

\(P(x > 65) = P(z > 0.4) = 0.5 – 0.1554 = 0.3446\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{85-63}{5}=4.4\)ambayo ni kubwa kuliko thamani ya kiwango cha juu juu ya Standard Kawaida Jedwali. Kwa hiyo, uwezekano kwamba mwanafunzi mmoja alama chini ya 85 ni takriban moja au 100%.

Alama ya 85 ni upungufu wa kiwango cha 4.4 kutoka kwa maana ya 63 ambayo ni zaidi ya kiwango cha kawaida cha meza. Kwa hiyo, uwezekano kwamba mwanafunzi mmoja alama chini ya 85 ni takriban moja (au 100%).

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Alama za golf kwa timu ya shule zilikuwa zinasambazwa kwa maana ya 68 na kupotoka kwa kiwango cha tatu. Kupata uwezekano kwamba golfer nasibu kuchaguliwa alifunga chini ya 65.

Mfano\(\PageIndex{2A}\)

Kompyuta binafsi hutumiwa kwa kazi ya ofisi nyumbani, utafiti, mawasiliano, fedha za kibinafsi, elimu, burudani, mitandao ya kijamii, na mambo mengine mengi. Tuseme kwamba idadi ya wastani ya masaa kompyuta binafsi ya kaya hutumiwa kwa ajili ya burudani ni saa mbili kwa siku. Kudhani mara kwa ajili ya burudani ni kawaida kusambazwa na kiwango kupotoka kwa nyakati ni nusu saa.

Pata uwezekano kwamba kompyuta binafsi ya kaya hutumiwa kwa ajili ya burudani kati ya masaa 1.8 na 2.75 kwa siku.

Jibu

a Hebu\(X\) = kiasi cha muda (kwa saa) kompyuta binafsi ya kaya hutumiwa kwa ajili ya burudani. \(X \sim N(2, 0.5)\)wapi\(\mu= 2\) na\(\sigma = 0.5\).

Kupata\(P(1.8 < X < 2.75)\).

Uwezekano ambao unatafuta ni eneo kati\(X = 1.8\) na\(X = 2.75\). \(P(1.8 < X < 2.75) = 0.5886\)

Hii ni kawaida usambazaji Curve. Upeo wa curve unafanana na hatua ya 2 kwenye mhimili usio na usawa. Maadili 1.8 na 2.75 pia yanaandikwa kwenye x-axis. Mstari wa wima hupanua kutoka 1.8 na 2.75 hadi kwenye pembe. Eneo kati ya mistari ni kivuli.

\(P(1.8 \leq X \leq 2.75) = P(Z_1 \leq Z \leq Z_2)\)

Uwezekano kwamba kompyuta binafsi ya kaya hutumiwa kati ya masaa 1.8 na 2.75 kwa siku kwa ajili ya burudani ni 0.5886.

Mfano\(\PageIndex{2B}\)

Pata idadi kubwa ya masaa kwa siku ambayo robo ya chini ya kaya hutumia kompyuta binafsi kwa ajili ya burudani.

Jibu

Suluhisho 6.4

b Ili kupata idadi ya juu ya masaa kwa siku ambayo robo ya chini ya kaya inatumia kompyuta binafsi kwa ajili ya burudani, kupata 25 ^th asilimia,\(k\), ambapo\(P(x < k) = 0.25\).

Hii ni kawaida usambazaji Curve. Eneo chini ya mkia wa kushoto wa curve ni kivuli. Eneo la kivuli linaonyesha kwamba uwezekano wa kuwa x ni chini ya k ni 0.25. Inafuata kwamba k = 1.67. — Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

\(f(Z)=0.5-0.25=0.25, \text { therefore } Z \approx-0.675(\text { or just } 0.67 \text { using the table) } Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-2}{0.5}=-0.675 , \text {therefore } x=-0.675 * 0.5+2=1.66\)

Idadi kubwa ya masaa kwa siku ambayo robo ya chini ya kaya hutumia kompyuta binafsi kwa ajili ya burudani ni masaa 1.66.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Alama za golf kwa timu ya shule zilikuwa zinasambazwa kwa maana ya 68 na kupotoka kwa kiwango cha tatu. Pata uwezekano kwamba golfer alifunga kati ya 66 na 70.

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Nchini Marekani umri wa miaka 13 hadi 55+ya watumiaji wa smartphone takriban kufuata usambazaji wa kawaida na wastani wa wastani na kiwango cha kupotoka kwa miaka 36.9 na miaka 13.9, kwa mtiririko huo.

a Kuamua uwezekano kwamba mtumiaji wa smartphone wa random katika umri wa miaka 13 hadi 55+ ni kati ya umri wa miaka 23 na 64.7.

Jibu

Jibu: a. 0.8186; b. 0.8413

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Mkulima wa machungwa anayekua machungwa ya Mandarin hupata kwamba kipenyo cha machungwa ya Mandarin kilichovunwa kwenye shamba lake hufuata usambazaji wa kawaida na kipenyo cha wastani cha sentimita 5.85 na kupotoka kwa kiwango cha sentimita 0.24.

Pata uwezekano wa kuwa machungwa ya Mandarin iliyochaguliwa kwa nasibu kutoka kwenye shamba hili ina kipenyo kikubwa kuliko cm 6.0. Mchoro grafu.

Jibu

\[Z_{1}=\frac{6-5.85}{.24}=.625\nonumber\]

\(P(x \geq 6) = P(z \geq 0.625) = 0.2670\)

b. asilimia 20 ya machungwa ya Mandarin kutoka shamba hili yana kipenyo kati ya ______ na ______.

\(f(Z)=\frac{0.20}{2}=0.10, \text { therefore } Z \approx \pm 0.25\)

\(Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-5.85}{0.24}=\pm 0.25 \rightarrow \pm 0.25 \cdot 0.24+5.85=(5.79,5.91)\)