Skip to main content
Global

5.1: Mali ya Kazi za Uzito wa Uwezekano wa Kuendelea

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    179701

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Grafu ya usambazaji unaoendelea uwezekano ni safu. Uwezekano unawakilishwa na eneo chini ya pembe. Tayari tumekutana na dhana hii wakati tulianzisha masafa ya jamaa na histograms katika Sura ya 2. Eneo la jamaa kwa maadili mbalimbali ilikuwa uwezekano wa kuchora kwa random uchunguzi katika kundi hilo. Tena na usambazaji Poisson katika Sura ya 4, grafu katika Mfano\(\PageIndex{14}\) kutumika masanduku kuwakilisha uwezekano wa maadili maalum ya kutofautiana random. Katika kesi hiyo, sisi walikuwa kuwa kidogo kawaida kwa sababu vigezo random ya usambazaji Poisson ni za kipekee, idadi nzima, na sanduku ina upana. Angalia kwamba mhimili usio na usawa, kutofautiana kwa random\(x\), kwa makusudi haukuweka alama kwenye mhimili. Uwezekano wa thamani maalum ya kutofautiana kwa random inayoendelea itakuwa sifuri kwa sababu eneo chini ya hatua ni sifuri. Uwezekano ni eneo.

    Curve inaitwa uwezekano wiani kazi (kifupi kama pdf). Tunatumia ishara\(f(x))\) kuwakilisha safu. \(f(x))\)ni kazi inayofanana na grafu; tunatumia kazi ya wiani\(f(x))\) kuteka grafu ya usambazaji wa uwezekano.

    Eneo chini ya Curve hutolewa na kazi tofauti inayoitwa kazi ya usambazaji wa nyongeza (iliyofupishwa kama cdf). Kazi ya usambazaji wa jumla hutumiwa kutathmini uwezekano kama eneo. Kihisabati, nyongeza uwezekano wiani kazi ni muhimu ya pdf, na uwezekano kati ya maadili mawili ya kuendelea random variable itakuwa muhimu ya pdf kati ya maadili haya mawili: eneo chini ya Curve kati ya maadili haya. Kumbuka kwamba eneo chini ya pdf kwa maadili yote iwezekanavyo ya kutofautiana random ni moja, uhakika. Hivyo uwezekano unaweza kuonekana kama asilimia jamaa ya uhakika kati ya maadili mawili ya riba.

    • Matokeo hupimwa, hayakuhesabiwa.
    • Eneo lote chini ya pembe na juu ya x-axis ni sawa na moja.
    • Uwezekano hupatikana kwa vipindi vya maadili x badala ya\(x\) maadili ya mtu binafsi.
    • \(P(c < x < d)\)ni uwezekano kwamba random variable X ni katika muda kati ya maadili c na d.\(P(c < x < d)\) ni eneo chini ya Curve, juu ya x-axis,\(c\) na haki ya kushoto ya\(d\).
    • \(P(x = c) = 0\)Uwezekano\(x\) unaochukua thamani yoyote ya mtu binafsi ni sifuri. Eneo chini ya pembe, juu ya mhimili wa x, na kati\(x = c\) na\(x = c\) hauna upana, na kwa hiyo hakuna eneo (\(\text{area }= 0\)). Kwa kuwa uwezekano ni sawa na eneo hilo, uwezekano pia ni sifuri.
    • \(P(c < x < d)\)ni sawa na uwezekano\(P(c ≤ x ≤ d)\) kwa sababu ni sawa na eneo hilo.

    Tutapata eneo ambalo linawakilisha uwezekano kwa kutumia jiometri, formula, teknolojia, au meza za uwezekano. Kwa ujumla, calculus muhimu inahitajika ili kupata eneo chini ya pembe kwa kazi nyingi za wiani wa uwezekano. Tunapotumia fomu ili kupata eneo katika kitabu hiki, fomu zilipatikana kwa kutumia mbinu za hesabu muhimu.

    Kuna mgawanyo unaoendelea uwezekano. Wakati wa kutumia usambazaji wa uwezekano unaoendelea kwa mfano uwezekano, usambazaji unaotumiwa huchaguliwa kutengeneza na kufaa hali fulani kwa njia bora.

    Katika sura hii na ijayo, tutajifunza usambazaji sare, usambazaji wa kielelezo, na usambazaji wa kawaida. Grafu zifuatazo zinaonyesha mgawanyo huu.

    Grafu hii inaonyesha usambazaji sare. Mhimili wa usawa huanzia 0 hadi 10. Usambazaji unatokana na mstatili unaoenea kutoka x = 2 hadi x = 8.8. Kanda kutoka x = 3 hadi x = 6 ni kivuli ndani ya mstatili. Eneo la kivuli linawakilisha P (3 x <6).
    \(\PageIndex{2}\)Kielelezo Grafu inaonyesha Usambazaji Sare na eneo kati\(x = 3\) na\(x = 6\) kivuli kuwakilisha uwezekano kwamba thamani ya kutofautiana random\(X\) ni katika muda kati ya tatu na sita.
    \(\PageIndex{3}\)Kielelezo Grafu inaonyesha Usambazaji wa Kielelezo na eneo kati\(x = 2\) na\(x = 4\) kivuli ili kuwakilisha uwezekano kwamba thamani ya kutofautiana kwa random\(X\) iko katika muda kati ya mbili na nne.
    Grafu hii inaonyesha usambazaji wa kielelezo. Grafu huteremka chini. Inaanza kwa hatua kwenye mhimili wa y na inakaribia x-axis kwenye makali ya kulia ya grafu. Eneo chini ya grafu kutoka x = 2 hadi x = 4 ni kivuli ili kuwakilisha P (2 <x <4).
    \(\PageIndex{4}\)Kielelezo Grafu inaonyesha Usambazaji wa kawaida wa kawaida na eneo kati\(x = 1\) na\(x = 2\) kivuli ili kuwakilisha uwezekano kwamba thamani ya kutofautiana kwa random\(X\) iko katika muda kati ya moja na mbili.

    Kwa mgawanyo kuendelea uwezekano, UWEZEKANO = AREA.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Fikiria kazi\(f(x) = \frac{1}{20}\)\(0 ≤ x ≤ 20. x =\) kwa idadi halisi. Grafu ya\(f(x) = \frac{1}{20}\) ni mstari usio na usawa. Hata hivyo, tangu\(0 ≤ x≤ 20, f(x)\) ni vikwazo kwa sehemu kati\(x = 0\) na\(x = 20\), umoja.

    Hii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili.
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

    \(f(x) = \frac{1}{20}\)kwa\(0 ≤ x ≤ 20\).

    Grafu ya\(f(x) =\frac{1}{20}\) ni sehemu ya mstari wa usawa wakati\(0 ≤ x ≤ 20\).

    Eneo kati ya\(f(x) = \frac{1}{20}\) wapi\(0 ≤ x ≤ 20\) na x-axis ni eneo la mstatili na msingi\(= 20\) na urefu\(= \frac{1}{20}\).

    \[\operatorname{AREA}=20\left(\frac{1}{20}\right)=1\nonumber\]

    Tuseme tunataka kupata eneo kati\(bf{f(x)) = \frac{1}{20}}\) na x -axis ambapo\(\bf{0 < x < 2}\).

    Hii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili. Mkoa umevuliwa ndani ya mstatili kutoka x = 0 hadi x = 2.
    Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

    \[\operatorname{AREA}=(2-0)\left(\frac{1}{20}\right)=0.1\nonumber\]

    \[(2-0)=2= \text{base of rectangle}\nonumber\]

    KUKUMBUSHA

    eneo la mstatili = (msingi) (urefu).

    Eneo hilo linalingana na uwezekano. uwezekano kwamba\(x\) ni kati ya sifuri na mbili ni\(0.1\), ambayo inaweza kuandikwa hesabu kama\(P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1\).

    Tuseme tunataka kupata eneo kati\(\bf{f(x) = \frac{1}{20}}\) na x -axis ambapo\(\bf{ 4 < x < 15 }\).

    Hii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili. Mkoa umevuliwa ndani ya mstatili kutoka x = 4 hadi x = 15.
    Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

    \(\operatorname{AREA}=(15-4)\left(\frac{1}{20}\right)=0.55\)

    \((15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}\)

    Eneo hilo linalingana na uwezekano\(P (4 < x < 15) = 0.55\).

    Tuseme tunataka kupata\(P(x = 15)\). Kwenye grafu ya x-y,\(x = 15\) ni mstari wa wima. Mstari wa wima hauna upana (au upana wa sifuri). Kwa hiyo,\(P(x = 15) =\) (msingi) (urefu)\(= (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

    Hii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili. Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili usio na usawa hadi kwenye grafu saa x = 15.
    Kielelezo\(\PageIndex{8}\)

    \(P(X ≤ x)\), ambayo inaweza pia kuandikwa kama\(P(X < x)\) mgawanyo wa kuendelea, inaitwa kazi ya usambazaji wa jumla au CDF. Angalia “chini ya au sawa na” ishara. Tunaweza pia kutumia CDF kuhesabu\(P (X > x)\). CDF inatoa “eneo upande wa kushoto” na\(P(X > x)\) inatoa “eneo la kulia.” Tunahesabu\(P(X > x)\) kwa mgawanyo unaoendelea kama ifuatavyo:\(P(X > x) = 1 – P (X < x)\).

    Hii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili. Eneo upande wa kushoto wa thamani, x, ni kivuli.
    Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

    Weka grafu\(f(x)\) na\(x\). Kuongeza\(x\) na\(y\) axes na kiwango cha juu\(x\) na\(y\) maadili. \(f(x) = \frac{1}{20} , 0 ≤ x ≤ 20\).

    Ili kuhesabu uwezekano\(x\) ulio kati ya maadili mawili, angalia grafu ifuatayo. Kivuli eneo kati\(x = 2.3\) na\(x = 12.7\). Kisha uhesabu eneo la kivuli cha mstatili.

    Hii inaonyesha grafu ya kazi f (x) = 1/20. Mstari wa usawa unaanzia hatua (0, 1/20) hadi hatua (20, 1/20). Mstari wa wima unatoka kwenye mhimili wa x hadi mwisho wa mstari kwenye hatua (20, 1/20) kuunda mstatili. Mkoa umevuliwa ndani ya mstatili kutoka x = 2.3 hadi x = 12.7
    Kielelezo\(\PageIndex{10}\)

    \(P(2.3<x<12.7)=(\text { base })(\text { height })=(12.7-2.3)\left(\frac{1}{20}\right)=0.52\)

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Fikiria kazi\(f(x) = \frac{1}{8}\) kwa\(0 \leq x \leq 8\). Chora grafu ya\(f(x))\) na kupata\(P(2.5 < x < 7.5)\).