4.4: Usambazaji wa Poisson
- Page ID
- 180083
Usambazaji mwingine muhimu wa uwezekano ni usambazaji wa Poisson, au usambazaji wa muda wa kusubiri. Usambazaji huu hutumiwa kuamua makarani wangapi wa Checkout wanahitajika ili kuweka muda wa kusubiri kulingana na viwango maalum, vipi mistari ya simu inahitajika ili kuweka mfumo usiozidi kuongezeka, na matumizi mengine mengi ya vitendo. mabadiliko ya Poisson, Pascal, zuliwa karibu karne nne zilizopita, ni kutumika leo na makampuni ya mawasiliano ya simu duniani kote kwa sababu mzigo, ngazi satellite hookup na matatizo Internet uwezo. Usambazaji hupata jina lake kutoka kwa Simeon Poisson aliyeiwasilisha mwaka 1837 kama ugani wa usambazaji wa binomial ambao tutaona unaweza kukadiriwa na Poisson.
Kuna sifa mbili kuu za jaribio la Poisson.
- Usambazaji wa uwezekano wa Poisson unatoa uwezekano wa matukio kadhaa yanayotokea katika kipindi cha kudumu cha muda au nafasi ikiwa matukio haya yanatokea kwa kiwango cha wastani kinachojulikana.
- Matukio hayo yanajitegemea wakati tangu tukio la mwisho. Kwa mfano, mhariri wa kitabu anaweza kuwa na nia ya idadi ya maneno yameandikwa vibaya katika kitabu fulani. Inawezekana kwamba, kwa wastani, kuna maneno matano yameandikwa vibaya katika kurasa 100. Muda ni kurasa 100 na ni kudhani kuwa hakuna uhusiano kati ya wakati misspellings kutokea.
- Variable random\(X\) = idadi ya matukio katika kipindi cha riba.
Mfano\(\PageIndex{12}\)
Benki inatarajia kupokea hundi sita mbaya kwa siku, kwa wastani. Je! Ni uwezekano gani wa benki kupata hundi mbaya chini ya tano siku yoyote? Ya riba ni idadi ya hundi benki inapata siku moja, hivyo muda wa riba ni siku moja. Hebu\(X\) = idadi ya hundi mbaya benki inapata siku moja. Ikiwa benki inatarajia kupokea hundi sita mbaya kwa siku basi wastani ni hundi sita kwa siku. Andika taarifa ya hisabati kwa swali la uwezekano.
- Jibu
-
\(P (x < 5)\)
Mfano\(\PageIndex{13}\)
Unaona kwamba mwandishi wa habari anasema “uh,” kwa wastani, mara mbili kwa kila matangazo. Ni uwezekano gani kwamba mwandishi wa habari anasema “uh” zaidi ya mara mbili kwa kila matangazo.
Hili ni tatizo la Poisson kwa sababu una nia ya kujua idadi ya mara mwandishi wa habari anasema “uh” wakati wa matangazo.
Kipindi cha maslahi ni nini?
- Jibu
-
a. matangazo moja kipimo kwa dakika
b Ni wastani wa idadi ya mara mwandishi wa habari anasema “uh” wakati wa matangazo moja?
- Jibu
-
b. 2
c Hebu\(X\) = ____________. Je! Maadili gani\(X\) huchukua?
- Jibu
-
c Hebu\(X\) = idadi ya mara mwandishi wa habari anasema “uh” wakati wa matangazo moja.
\(x = 0, 1, 2, 3\),...
d. swali uwezekano ni\(P\) (______).
- Jibu
-
d.\(P (x > 2)\)
Notation kwa Poisson: P = Poisson Uwezekano Distribution Kazi
\(X \sim P (\mu)\)
Soma hii kama "\(X\)ni variable random na usambazaji Poisson.” Kipimo ni\ (\ mu (au λ);\ mu (au λ) = maana ya muda wa riba. Maana ni idadi ya matukio yanayotokea kwa wastani wakati wa kipindi cha muda.
formula kwa ajili ya kompyuta probabilities kwamba ni kutoka mchakato Poisson ni:
\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]
wapi\(P(X)\) uwezekano wa\(X\) mafanikio,\(\mu\) ni idadi inayotarajiwa ya mafanikio kulingana na data ya kihistoria, e ni logarithm ya asili takriban sawa na 2.718, na\(X\) ni idadi ya mafanikio kwa kila kitengo, kwa kawaida kwa kitengo cha wakati.
Ili kutumia usambazaji wa Poisson, mawazo fulani yanapaswa kushikilia. Hizi ni: uwezekano wa mafanikio\(\mu\), haubadilishwa ndani ya muda, hawezi kuwa na mafanikio ya wakati mmoja ndani ya muda, na hatimaye, kwamba uwezekano wa mafanikio kati ya vipindi ni huru, dhana sawa ya usambazaji wa binomial.
Kwa njia, usambazaji wa Poisson unaweza kufikiriwa kama njia ya wajanja ya kubadili kutofautiana kwa random inayoendelea, kwa kawaida wakati, katika kutofautiana kwa random isiyo ya kawaida kwa kuvunja muda katika vipindi vya kujitegemea vya kujitegemea. Njia hii ya kufikiri juu ya Poisson inatusaidia kuelewa kwa nini inaweza kutumika kukadiria uwezekano wa kutofautiana kwa random tofauti kutoka usambazaji binomial. Poisson anaomba uwezekano wa mafanikio kadhaa wakati wa kipindi cha muda wakati binomial inaomba uwezekano wa idadi fulani ya mafanikio kwa idadi fulani ya majaribio.
Mfano\(\PageIndex{14}\)
Mashine ya kujibu Leah inapokea simu sita kati ya saa 8 na 10 a.m. Ni uwezekano gani kwamba Leah anapokea simu zaidi ya moja katika dakika 15 ijayo?
Hebu X = idadi ya simu Leah inapokea katika dakika 15. (Muda wa riba ni dakika 15 au\(\frac{1}{4}\) saa.)
\(x = 0, 1, 2, 3\),...
Ikiwa Leah anapata, kwa wastani, simu sita katika masaa mawili, na kuna vipindi nane vya dakika 15 katika masaa mawili, basi Lea anapata
\(\left(\frac{1}{8}\right)\)(6) = 0.75 wito katika 15 dakika, kwa wastani. Hivyo,\ mu = 0.75 kwa tatizo hili.
\(X \sim P (0.75)\)
Kupata\(P (x > 1). P (x > 1) = 0.1734\)
Uwezekano kwamba Leah anapokea simu zaidi ya moja katika dakika 15 ijayo ni karibu 0.1734.
Grafu ya\(X \sim P (0.75)\) ni:
The\(y\) -axis ina uwezekano wa\(x\) wapi\(X\) = idadi ya wito katika dakika 15.
Mfano\(\PageIndex{15}\)
Kulingana na utafiti profesa wa chuo kikuu anapata, kwa wastani, barua pepe za 7 kwa siku. Hebu X = idadi ya barua pepe profesa anapata kwa siku. Tofauti tofauti ya random X inachukua maadili x = 0, 1, 2... Variable ya random X ina usambazaji wa Poisson: X ~ P (7). Maana ni barua pepe za 7.
- Je! Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa barua pepe anapata barua pepe za 2 kwa siku?
- Je! Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa barua pepe anapata barua pepe nyingi za 2 kwa siku?
- Kupotoka kwa kiwango ni nini?
- Jibu
-
a.\(P(x=2)=\frac{\mu^{x_{e}-\mu}}{x !}=\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.022\)
b.\(P(x \leq 2)=\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{-7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.029\)
c. kiwango cha kupotoka =\(\sigma=\sqrt{\mu}=\sqrt{7} \approx 2.65\)
Mfano\(\PageIndex{16}\)
Ujumbe wa maandishi watumiaji kupokea au kutuma wastani wa 41.5 ujumbe wa maandishi kwa siku.
- Ujumbe wangapi wa maandishi gani ujumbe wa maandishi user kupokea au kutuma kwa saa?
- Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa ujumbe wa maandishi hupokea au kutuma ujumbe wawili kwa saa?
- Ni uwezekano gani kwamba mtumiaji wa ujumbe wa maandishi hupokea au kutuma ujumbe zaidi ya mbili kwa saa?
- Jibu
-
A.let X = idadi ya maandiko ambayo mtumiaji hutuma au kupokea katika saa moja. Idadi ya maandiko yanayopokelewa kwa saa ni\(\frac{41.5}{24}\) ≈ 1.7292.
b.\(P(x=2)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{1.729^{2} e^{-1.729}}{2 !}=0.265\)
c.\(P(x>2)=1-P(x \leq 2)=1-\left[\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}\right]=0.250\)
Mfano\(\PageIndex{17}\)
Mnamo Mei 13, 2013, kuanzia saa 4:30 jioni, uwezekano wa shughuli za chini za seismic kwa masaa 48 ijayo huko Alaska iliripotiwa kuwa karibu 1.02%. Tumia habari hii kwa siku 200 zifuatazo ili kupata uwezekano kwamba kutakuwa na shughuli za chini za seismic katika kumi ya siku 200 zifuatazo. Tumia mgawanyo wa binomial na Poisson ili kuhesabu uwezekano. Je, wao ni karibu?
- Jibu
-
Hebu X = idadi ya siku na shughuli za chini za seismic.
Kutumia usambazaji wa binomial:
\[P\left(x=10\right)=\frac{200 !}{10 !(200-10) !} \times .0102^{10} \times .9898^{190}=0.000039\nonumber\]Kutumia usambazaji wa Poisson:
Tumia\(\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04\)\[P\left(x=10\right)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{2.04^{10} e^{-2.04}}{10 !}=0.000045\nonumber \]
Tunatarajia makadirio ya kuwa nzuri kwa sababu\(n\) ni kubwa (zaidi ya 20) na\(p\) ni ndogo (chini ya 0.05). Matokeo ni karibu-wote probabilities taarifa ni karibu 0.
Kukadiria Usambazaji wa Binomial na Usambazaji wa Poisson
Tuligundua kabla ya kuwa usambazaji wa binomial ulitoa makadirio ya usambazaji wa hypergeometric. Sasa tunaona kwamba usambazaji Poisson inaweza kutoa makadirio ya binomial. Tunasema kwamba usambazaji wa binomial unakaribia Poisson. Usambazaji wa binomial unakaribia usambazaji wa Poisson ni kama n anapata kubwa na p ni ndogo kama kwamba np inakuwa thamani ya mara kwa mara. Kuna sheria kadhaa za kidole kwa wakati mtu anaweza kusema watatumia Poisson kukadiria binomial. Mmoja anaonyesha kwamba np, maana ya binomial, inapaswa kuwa chini ya 25. Mwandishi mwingine anaonyesha kwamba inapaswa kuwa chini ya 7. Na mwingine, akibainisha kuwa maana na tofauti ya Poisson ni sawa, inaonyesha kwamba np na npq, maana na tofauti ya binomial, inapaswa kuwa kubwa kuliko 5. Hakuna utawala mmoja uliokubaliwa kwa upana wa kidole kwa wakati mtu anaweza kutumia Poisson kukadiria binomial.
Kama sisi hoja kwa njia ya mgawanyo haya uwezekano sisi ni kupata mgawanyo kisasa zaidi kwamba, kwa maana, vyenye mgawanyo chini ya kisasa ndani yao. Pendekezo hili limethibitishwa na wanahisabati. Hii anapata sisi ngazi ya juu ya sophistication katika usambazaji ijayo uwezekano ambayo inaweza kutumika kama makadirio ya yote ya wale kwamba tuna kujadiliwa hadi sasa. Hii ni usambazaji wa kawaida.
Mfano\(\PageIndex{18}\)
Utafiti wa wazee 500 katika Shule ya Biashara ya Bei hutoa taarifa zifuatazo. 75% kwenda moja kwa moja kufanya kazi baada ya kuhitimu. 15% kuendelea kufanya kazi kwenye MBA yao. 9% kukaa kupata mdogo katika mpango mwingine. 1% kuendelea kupata Mwalimu katika Fedha.
Ni uwezekano gani kwamba zaidi ya wazee 2 kwenda shule ya kuhitimu kwa ajili ya Mwalimu wao katika fedha?
- Jibu
-
Hii ni wazi tatizo la usambazaji wa uwezekano wa binomial. Uchaguzi ni binary wakati sisi kufafanua matokeo kama “Shule ya Uzamili katika Fedha” dhidi ya “chaguzi nyingine zote.” kutofautiana random ni discrete, na matukio ni, tunaweza kudhani, huru. Kutatua kama tatizo la binomial, tuna:
Suluhisho la Binomial
\[n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber\]
\[P(0)=\frac{500 !}{0 !(500-0) !} 0.01^{0}(1-0.01)^{500^{-0}}=0.00657\nonumber\]
\[P(1)=\frac{500 !}{1 !(500-1) !} 0.01^{1}(1-0.01)^{500}=0.03318\nonumber\]
\[P(2)=\frac{500 !}{2 !(500-2) !} 0.01^{2}(1-0.01)^{500^{2}}=0.08363\nonumber\]
Kuongeza yote 3 pamoja = 0.12339
\[1−0.12339=0.87661\nonumber\]
Poisson makadirio
\[n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber\]
\[n \cdot p \cdot(1-p)=500 \cdot 0.01 \cdot(0.99) \approx 5=\sigma^{2}=\mu\nonumber\]
\[P(X)=\frac{e^{-n p}(n p)^{x}}{x !}=\left\{P(0)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{0}}{0 !}\right\}+\left\{P(1)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{1}}{1 !}\right\}+\left\{P(2)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{2}}{2 !}\right\}\nonumber\]
\[0.0067+0.0337+0.0842=0.1247\nonumber\]
\[1−0.1247=0.8753\nonumber\]
makadirio kwamba ni mbali na 1 elfu moja ni hakika makadirio kukubalika.