4.3: Usambazaji wa Jiometri

Kazi ya wiani wa uwezekano wa kijiometri hujenga juu ya kile tulichojifunza kutokana na usambazaji wa binomial. Katika kesi hii majaribio inaendelea mpaka ama mafanikio au kushindwa hutokea badala ya kuweka idadi ya majaribio. Kuna sifa tatu kuu za jaribio la kijiometri.

1. Kuna majaribio moja au zaidi ya Bernoulli na kushindwa yote isipokuwa ya mwisho, ambayo ni mafanikio. Kwa maneno mengine, unaendelea kurudia kile unachofanya mpaka mafanikio ya kwanza. Kisha kuacha. Kwa mfano, wewe kutupa dart katika bullseye mpaka hit bullseye. Mara ya kwanza kugonga bullseye ni “mafanikio” hivyo uacha kutupa dart. Ni inaweza kuchukua majaribio sita mpaka hit bullseye. Unaweza kufikiria majaribio kama kushindwa, kushindwa, kushindwa, kushindwa, kushindwa, mafanikio, STOP.
2. Kwa nadharia, idadi ya majaribio inaweza kuendelea milele.
3. Uwezekano\(p\),, wa mafanikio na uwezekano,\(q\), wa kushindwa ni sawa kwa kila jaribio. \(p + q = 1\)na\(q = 1 − p\). Kwa mfano, uwezekano wa rolling tatu wakati kutupa moja ya haki kufa ni\(\frac{1}{6}\). Hii ni kweli bila kujali mara ngapi unaendelea kufa. Tuseme unataka kujua uwezekano wa kupata tatu za kwanza kwenye roll ya tano. Juu ya mistari moja hadi nne, huwezi kupata uso na tatu. Uwezekano wa kila moja ya mistari ni q =\(\frac{5}{6}\), uwezekano wa kushindwa. Uwezekano wa kupata tatu kwenye roll ya tano ni\(\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = 0.0804\)
4. \(X\)= idadi ya majaribio ya kujitegemea mpaka mafanikio ya kwanza.

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Kucheza mchezo wa nafasi uweze ama kushinda au kupoteza (hakuna uwezekano mwingine) mpaka kupoteza. Uwezekano wako wa kupoteza ni\(p = 0.57\). ni uwezekano kwamba inachukua mechi tano mpaka kupoteza nini? Hebu\(X\) = idadi ya michezo kucheza mpaka kupoteza (ni pamoja na mchezo kupoteza). Kisha X inachukua maadili 1, 2, 3,... (inaweza kwenda kwa muda usiojulikana). Swali la uwezekano ni\(P (x = 5)\).

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Wewe kutupa mishale katika bodi mpaka hit eneo la kituo cha. Uwezekano wako wa kupiga eneo la kituo ni\(p = 0.17\). Unataka kupata uwezekano kwamba inachukua nane throws mpaka hit kituo cha. Je! Maadili gani\(X\) huchukua?

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Mhandisi wa usalama anahisi kuwa 35% ya ajali zote za viwanda katika mmea wake husababishwa na kushindwa kwa wafanyakazi kufuata maelekezo. Anaamua kutazama ripoti za ajali (zilizochaguliwa nasibu na kubadilishwa katika rundo baada ya kusoma) mpaka atakapopata moja inayoonyesha ajali iliyosababishwa na kushindwa kwa wafanyakazi kufuata maelekezo. Kwa wastani, ni ripoti ngapi ambazo mhandisi wa usalama atatarajia kuangalia mpaka atakapopata ripoti inayoonyesha ajali iliyosababishwa na kushindwa kwa mfanyakazi kufuata maelekezo? Ni uwezekano gani kwamba mhandisi wa usalama atalazimika kuchunguza angalau ripoti tatu mpaka atakapopata ripoti inayoonyesha ajali iliyosababishwa na kushindwa kwa mfanyakazi kufuata maelekezo?

Hebu\(X\) = idadi ya ajali ambayo mhandisi wa usalama anapaswa kuchunguza mpaka atakapopata ripoti inayoonyesha ajali iliyosababishwa na mfanyakazi kushindwa kufuata maelekezo. X inachukua maadili 1, 2, 3,... Swali la kwanza linakuuliza kupata thamani inayotarajiwa au maana. Swali la pili linakuuliza kupata\(P (x \geq 3)\). (“Angalau” hutafsiriwa kuwa alama “kubwa kuliko au sawa na”).

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

mwalimu anahisi kwamba 15% ya wanafunzi kupata chini C juu ya mtihani wao wa mwisho. Yeye anaamua kuangalia mitihani ya mwisho (kuchaguliwa nasibu na kubadilishwa katika rundo baada ya kusoma) mpaka yeye anaona moja ambayo inaonyesha daraja chini C. tunataka kujua uwezekano kwamba mwalimu itakuwa na kuchunguza mitihani angalau kumi mpaka yeye anaona moja na daraja chini C. ni swali uwezekano gani alisema hesabu?

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Tuseme kwamba wewe ni kuangalia kwa mwanafunzi katika chuo yako ambaye anaishi ndani ya maili tano ya wewe. Unajua kwamba 55% ya wanafunzi 25,000 wanaishi ndani ya maili tano kati yenu. You nasibu kuwasiliana wanafunzi kutoka chuo mpaka mtu anasema yeye au yeye anaishi ndani ya maili tano ya wewe. Je! Ni uwezekano gani unahitaji kuwasiliana na watu wanne?

Hili ni tatizo la kijiometri kwa sababu unaweza kuwa na idadi ya kushindwa kabla ya kuwa na mafanikio moja unayotaka. Pia, uwezekano wa mafanikio unakaa takriban sawa kila wakati unapomwomba mwanafunzi ikiwa anaishi ndani ya maili tano kati yenu. Hakuna idadi ya uhakika ya majaribio (idadi ya nyakati unazouliza mwanafunzi).

a Hebu\(X\) = idadi ya ____________ lazima uulize ____________ moja anasema ndiyo.

Jibu

Acha\(X\) = idadi ya wanafunzi lazima uulize mpaka mtu anasema ndiyo.

b Ni maadili gani\(X\) huchukua?

Jibu

b. 1, 2, 3,..., (jumla ya idadi ya wanafunzi)

c. ni nini\(p\) na\(q\)?

Jibu

c.\(p = 0.55; q = 0.45\)

d. swali uwezekano ni\(P\) (_______).

Jibu

d.\(P (x = 4)\)

Uthibitisho wa Kijiometri: G = Kazi ya Usambazaji wa Uwezekano wa Kijiometri

\(X \sim G (p)\)

Soma hii kama "\(X\)ni kutofautiana kwa random na usambazaji wa kijiometri.” Kipimo ni\(p\);\(p\) = uwezekano wa mafanikio kwa kila jaribio.

Jiometri Pdf inatuambia uwezekano kwamba tukio la kwanza la mafanikio inahitaji\(x\) idadi ya majaribio ya kujitegemea, kila mmoja na uwezekano wa mafanikio p Kama uwezekano wa mafanikio katika kila kesi ni p, basi uwezekano kwamba\(x\) th kesi (nje ya\(x\) majaribio) ni mafanikio ya kwanza ni:

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x-1} p\nonumber\]

kwa\(x = 1, 2, 3\),...
thamani inatarajiwa ya\(X\), maana ya usambazaji huu, ni\(1/p\). Hii inatuambia jinsi majaribio mengi tunapaswa kutarajia mpaka tupate mafanikio ya kwanza ikiwa ni pamoja na katika hesabu jaribio linalosababisha mafanikio. Fomu ya juu ya usambazaji wa kijiometri hutumiwa kwa kuimarisha idadi ya majaribio mpaka mafanikio ya kwanza. Idadi ya majaribio ni pamoja na ile ambayo ni mafanikio:\(x\) = majaribio yote ikiwa ni pamoja na ile ambayo ni mafanikio. Hii inaweza kuonekana kwa namna ya formula. Ikiwa\(X\) = idadi ya majaribio ikiwa ni pamoja na mafanikio, basi tunapaswa kuzidisha uwezekano wa kushindwa\((1-p)\), mara idadi ya kushindwa, yaani\(X-1\).

Kwa kulinganisha, fomu ifuatayo ya usambazaji wa kijiometri hutumiwa kwa mfano wa idadi ya kushindwa mpaka mafanikio ya kwanza:

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x} p\nonumber\]

kwa\(x = 0, 1, 2, 3\),...
Katika kesi hii kesi ambayo ni mafanikio haihesabiwi kama jaribio katika formula:\(x\) = idadi ya kushindwa. thamani inatarajiwa, maana, ya usambazaji huu ni\(\mu=\frac{(1-p)}{p}\). Hii inatuambia jinsi wengi kushindwa kutarajia kabla ya kuwa na mafanikio. Katika hali yoyote, mlolongo wa probabilities ni mlolongo wa kijiometri.

Mfano\(\PageIndex{8}\)

Fikiria kwamba uwezekano wa sehemu ya kompyuta isiyofaa ni 0.02. Vipengele vimechaguliwa kwa nasibu. Pata uwezekano kwamba kasoro ya kwanza inasababishwa na sehemu ya saba iliyojaribiwa. Je! Unatarajia vipengele ngapi kupima mpaka mtu atakapopatikana kuwa na kasoro?

Hebu\(X\) = idadi ya vipengele vya kompyuta vilivyojaribiwa mpaka kasoro la kwanza linapatikana.

X inachukua maadili\(1, 2, 3\),... wapi\(p = 0.02. X \sim G(0.02)\)

Kupata\(P (x = 7)\). Jibu:\(P (x = 7) = (1 - 0.02)7-1 \times 0.02 = 0.0177\).

Uwezekano kwamba sehemu ya saba ni kasoro ya kwanza ni 0.0177.

Grafu ya\(X \sim G(0.02)\) ni:

Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

\(y\)Axis ina uwezekano wa\(x\), ambapo\(X\) = idadi ya vipengele vya kompyuta vilivyojaribiwa. Kumbuka kwamba probabilities kushuka kwa nyongeza ya kawaida. Nyongeza hii ni uwiano sawa kati ya idadi ya kila na inaitwa maendeleo ya kijiometri na hivyo jina kwa ajili ya kazi hii uwezekano wiani.

Idadi ya vipengele ambavyo ungependa kutarajia kupima mpaka utakapopata sehemu ya kwanza ya kasoro ni maana,\(\mu = 50\).

formula kwa maana kwa ajili ya kutofautiana random hufafanuliwa kama idadi ya kushindwa mpaka mafanikio ya kwanza ni\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.02}=50\)

Angalia Mfano\(\PageIndex{9}\) kwa mfano ambapo kijiometri random variable hufafanuliwa kama idadi ya majaribio mpaka mafanikio ya kwanza. Thamani inayotarajiwa ya formula hii kwa kijiometri itakuwa tofauti na toleo hili la usambazaji.

Fomu ya ugomvi ni\(\sigma^2 =\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)=\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)= 2,450\)

Kupotoka kwa kiwango ni\(\sigma = \sqrt{\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)} = 49.5\)

Hatari ya maisha ya kuendeleza saratani ya kongosho ni moja kati ya 78 (1.28%). Hebu X = idadi ya watu unayowauliza kabla ya mtu anasema ana saratani ya kongosho. Variable random X katika kesi hii ni pamoja na idadi tu ya majaribio ambayo yalikuwa kushindwa na haina kuhesabu kesi ambayo ilikuwa na mafanikio katika kutafuta mtu ambaye alikuwa na ugonjwa huo. Fomu sahihi ya kutofautiana hii ya random ni ya pili iliyotolewa hapo juu. Kisha X ni tofauti ya random isiyo ya kawaida na usambazaji wa kijiometri: X ~ G\(\left(\frac{1}{78}\right)\) au X ~ G (0.0128).

1. Je! Ni uwezekano gani wa kuuliza watu 9 kabla ya mtu kusema ana saratani ya kongosho? Hii inauliza, ni uwezekano gani unawauliza watu 9 bila mafanikio na mtu wa kumi ni mafanikio?
2. Je, ni uwezekano gani kwamba lazima uulize watu 20?
3. Kupata (i) maana na (ii) kiwango kupotoka ya X.

Jibu

a.\(P(x=9)=(1-0.0128)^{9} \cdot 0.0128=0.0114\)

b.\(P(x=20)=(1-0.0128)^{19} \cdot 0.0128=0.01\)

1. Maana =\(\mu =\frac{(1-p)}{p}=\frac{(1-0.0128)}{0.0128}=77.12\)
2. Kukengeuka kwa kiwango =\(\sigma =\sqrt{\frac{1-p}{p^{2}}}=\sqrt{\frac{1-0.0128}{0.0128^{2}}} \approx 77.62\)

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Kiwango cha kusoma na kuandika kwa taifa hupima uwiano wa watu wenye umri wa miaka 15 na zaidi ambao wanaweza kusoma na kuandika. Kiwango cha kusoma na kuandika kwa wanawake katika Makoloni ya Umoja wa Uhuru ni 12%. Hebu\(X\) = idadi ya wanawake unayouliza mpaka mtu anasema kuwa anajifunza.

1. Je, ni uwezekano wa usambazaji wa\(X\) nini?
2. Je! Ni uwezekano gani unawauliza wanawake watano kabla ya mtu kusema yeye anajifunza?
3. Je! Ni uwezekano gani unapaswa kuuliza wanawake kumi?

Mfano\(\PageIndex{10}\)

Mchezaji wa baseball ana wastani wa batting ya 0.320. Hii ni uwezekano wa jumla kwamba anapata hit kila wakati yeye ni katika popo.

Je, ni uwezekano kwamba yeye anapata hit yake ya kwanza katika safari ya tatu kwa popo?

Jibu

\(P(x=3)=(1-0.32)^{3-1} \times .32=0.1480\)

Katika kesi hii mlolongo ni kushindwa, kushindwa, mafanikio.

Ni safari ngapi kwa popo unatarajia mgongaji haja kabla ya kupata hit?

Jibu

\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.320}=3.125 \approx 3\)

Hii ni thamani tu inayotarajiwa ya mafanikio na hivyo maana ya usambazaji.

Mfano\(\PageIndex{11}\)

Kuna nafasi ya 80% ya kuwa mbwa wa Dalmatian ana matangazo 13 nyeusi. Unaenda kwenye show ya mbwa na uhesabu matangazo kwenye Dalmatians. Ni uwezekano gani kwamba utaangalia matangazo kwenye mbwa 3 kabla ya kupata moja ambayo ina 13 matangazo nyeusi?

Jibu

\(P(x=3)=(1-0.80)^{3} \times 0.80=0.0064\)

maelezo ya chini

1” Kuenea kwa VVU, jumla (% ya watu wenye umri wa miaka 15-49),” Benki ya Dunia, 2013. Inapatikana mtandaoni kwenye http://data.worldbank.org/indicator/...last&sort=desc (imefikia Mei 15, 2013).