4.2: Usambazaji wa Binomial

Kazi muhimu zaidi ya wiani na maombi mengi ni usambazaji wa binomial. Usambazaji huu kukokotoa probabilities kwa mchakato wowote binomial. Mchakato wa binomial, mara nyingi huitwa mchakato wa Bernoulli baada ya mtu wa kwanza kuendeleza mali zake kikamilifu, ni hali yoyote ambapo kuna matokeo mawili tu iwezekanavyo katika jaribio moja, inayoitwa mafanikio na kushindwa. Inapata jina lake kutoka kwa mfumo wa namba ya binary ambapo namba zote zinapunguzwa hadi ama 1 au 0, ambayo ndiyo msingi wa teknolojia ya kompyuta na rekodi za muziki wa CD.

Mfumo wa Binomial

\[b(x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\nonumber\]

\(b(x)\)wapi uwezekano wa\(X\) mafanikio katika\(n\) majaribio wakati uwezekano wa mafanikio katika yoyote TRIAL ONE ni\(p\). Na bila shaka\(q=(1-p)\) na ni uwezekano wa kushindwa katika jaribio lolote.

Tunaweza kuona sasa kwa nini formula ya combinatorial pia inaitwa mgawo wa binomial kwa sababu inaonekana tena hapa tena katika kazi ya uwezekano wa binomial. Kwa formula ya binomial kufanya kazi, uwezekano wa mafanikio katika jaribio lolote lazima iwe sawa kutoka kwa jaribio hadi jaribio, au kwa maneno mengine, matokeo ya kila jaribio lazima yawe huru. Flipping sarafu ni mchakato binomial kwa sababu uwezekano wa kupata kichwa katika flip moja hautegemei kile kilichotokea katika flips PREVIOUS. (Kwa wakati huu ni lazima ieleweke kwamba kutumia\(p\) kwa parameter ya usambazaji wa binomial ni ukiukwaji wa utawala ambao vigezo vya idadi ya watu huteuliwa na barua za Kigiriki. Katika vitabu vingi\(\theta\) (hutamkwa theta) hutumiwa badala ya p na hii ndivyo inavyopaswa kuwa.

Kama seti ya data, uwezekano wiani kazi ina maana na kupotoka kiwango kwamba inaelezea kuweka data. Kwa usambazaji wa binomial haya hutolewa na formula:

\[\mu=np\nonumber\]

\[\sigma=\sqrt{n p q}\nonumber\]

Angalia kwamba p ni parameter pekee katika equations hizi. Usambazaji wa binomial huonekana kama unatoka kwa familia moja ya parameter ya mgawanyo wa uwezekano. Kwa kifupi, tunajua yote kuna kujua kuhusu binomial mara moja tunajua p, uwezekano wa mafanikio katika jaribio lolote.

Katika nadharia ya uwezekano, chini ya hali fulani, usambazaji mmoja wa uwezekano unaweza kutumika kwa takriban mwingine. Tunasema kuwa moja ni usambazaji wa kikwazo cha mwingine. Ikiwa idadi ndogo inapaswa kupatikana kutoka kwa idadi kubwa ya watu, hata kama hakuna uingizwaji, bado tunaweza kutumia binomial hata kufikiri hii sio mchakato wa binomial. Ikiwa hakuna uingizwaji, inakiuka utawala wa uhuru wa binomial. Hata hivyo, tunaweza kutumia binomial kwa takriban uwezekano kwamba ni kweli usambazaji hypergeometric kama sisi ni kuchora chini ya asilimia 10 ya idadi ya watu, yaani n ni chini ya asilimia 10 ya N katika formula kwa ajili ya kazi hypergeometric. Sababu ya hoja hii ni kwamba wakati wa kuchora asilimia ndogo ya idadi ya watu hatubadili uwezekano wa mafanikio kutoka kuteka kuteka kwa njia yoyote yenye maana. Fikiria kuchora kutoka kwenye staha moja ya kadi 52 lakini kutoka kwenye kadi 6 za kadi. uwezekano wa kusema kuchora Ace haibadili uwezekano masharti ya nini kinatokea kwenye sare ya pili kwa njia ile ile ingekuwa kama kulikuwa na tu 4 Aces badala ya 24 Aces sasa kuteka kutoka. Uwezo huu wa kutumia usambazaji mmoja uwezekano wa kukadiria wengine utakuwa muhimu sana kwetu baadaye.

Kuna sifa tatu za jaribio la binomial.

1. Kuna idadi maalum ya majaribio. Fikiria majaribio kama marudio ya jaribio. Barua hiyo\(n\) inaashiria idadi ya majaribio.
2. Variable random\(x\), idadi ya mafanikio, ni discrete.
3. Kuna matokeo mawili tu yanayowezekana, inayoitwa “mafanikio” na “kushindwa,” kwa kila jaribio. Barua hiyo\(p\) inaashiria uwezekano wa mafanikio kwenye jaribio lolote, na\(q\) linaashiria uwezekano wa kushindwa kwenye jaribio lolote. \(p + q = 1\).
4. majaribio n ni huru na ni mara kwa mara kwa kutumia hali ya kufanana. Fikiria hili kama kuchora na uingizwaji. Kwa sababu n majaribio ni huru, matokeo ya kesi moja haina msaada katika kutabiri matokeo ya kesi nyingine. Njia nyingine ya kusema hii ni kwamba kwa kila jaribio la mtu binafsi\(p\), uwezekano, wa mafanikio na uwezekano\(q\), wa kushindwa kubaki sawa. Kwa mfano, nasibu nadhani katika swali la kweli la uongo la takwimu lina matokeo mawili tu. Ikiwa mafanikio ni nadhani kwa usahihi, basi kushindwa kunafikiri vibaya. Tuseme Joe daima nadhani kwa usahihi juu ya takwimu yoyote ya kweli ya uongo swali na uwezekano\(p = 0.6\). Kisha,\(q = 0.4\). Hii ina maana kwamba kwa kila takwimu za uongo swali la Joe anajibu, uwezekano wake wa mafanikio (\(p = 0.6\)) na uwezekano wake wa kushindwa (\(q = 0.4\)) kubaki sawa.

Matokeo ya jaribio la binomial yanafaa usambazaji wa uwezekano wa binomial. Tofauti ya random\(X\) = idadi ya mafanikio yaliyopatikana katika majaribio ya\(n\) kujitegemea.

maana,\(\mu\), na ugomvi,\(\sigma^2\), kwa ajili ya usambazaji wa uwezekano wa binomial ni\(\mu = np\) na\(\sigma^2 = npq\). kupotoka kiwango\(\sigma\),, basi\ sigma =\(\sqrt{n p q}\).

Jaribio lolote ambalo lina sifa tatu na nne na wapi\(n = 1\) linaitwa kesi ya Bernoulli (jina lake baada ya Jacob Bernoulli ambaye, mwishoni mwa miaka ya 1600, alisoma sana). Jaribio la binomial hufanyika wakati idadi ya mafanikio inahesabiwa katika majaribio moja au zaidi ya Bernoulli.

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Tuseme wewe kucheza mchezo kwamba unaweza tu ama kushinda au kupoteza. uwezekano kwamba wewe kushinda mchezo wowote ni 55%, na uwezekano kwamba kupoteza ni 45%. Kila mchezo kucheza ni huru. Kama wewe kucheza mchezo 20 mara, kuandika kazi inayoelezea uwezekano kwamba wewe kushinda 15 ya 20 mara. Hapa, ikiwa unafafanua\(X\) kama idadi ya mafanikio, kisha\(X\) inachukua maadili 0, 1, 2, 3,..., 20. Uwezekano wa mafanikio ni\(p = 0.55\). Uwezekano wa kushindwa ni\(q = 0.45\). Idadi ya majaribio ni\(n = 20\). swali uwezekano inaweza kuwa alisema hesabu kama\(P(x = 15)\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Mkufunzi anafundisha dolphin kufanya tricks. Uwezekano kwamba dolphin hufanya hila kwa ufanisi ni 35%, na uwezekano kwamba dolphin haifanikiwa kufanya hila ni 65%. Kati ya majaribio 20, unataka kupata uwezekano kwamba dolphin inafanikiwa mara 12. Kupata\(P(X=12)\) kutumia binomial Pdf

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Sarafu ya haki imepigwa mara 15. Kila flip ni huru. Je! Ni uwezekano gani wa kupata vichwa zaidi ya kumi? Hebu\(X\) = idadi ya vichwa katika flips 15 ya sarafu ya haki. \(X\)inachukua maadili 0, 1, 2, 3,..., 15. Tangu sarafu ni haki,\(p = 0.5\) na\(q = 0.5\). Idadi ya majaribio ni\(n = 15\). Hali uwezekano swali hesabu.

Jibu

\(P (x > 10)\)

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Takriban asilimia 70 ya wanafunzi wa takwimu hufanya kazi zao za nyumbani kwa wakati ili kukusanywa na kufuzu. Kila mwanafunzi anafanya kazi za nyumbani kwa kujitegemea. Katika darasa la takwimu la wanafunzi wa 50, ni uwezekano gani kwamba angalau 40 watafanya kazi zao za nyumbani kwa wakati? Wanafunzi huchaguliwa kwa nasibu.

a Hii ni tatizo la binomial kwa sababu kuna mafanikio tu au __________, kuna idadi maalum ya majaribio, na uwezekano wa mafanikio ni 0.70 kwa kila jaribio.

Jibu

a. kushindwa

b Ikiwa tunavutiwa na idadi ya wanafunzi wanaofanya kazi zao za nyumbani kwa wakati, basi tunafafanuzaje\(X\)?

Jibu

b.\(X\) = idadi ya wanafunzi wa takwimu wanaofanya kazi zao za nyumbani kwa wakati

c Ni maadili gani\(x\) huchukua?

Jibu

c. 0, 1, 2,..., 50

d. ni nini “kushindwa,” kwa maneno?

Jibu

Kushindwa hufafanuliwa kama mwanafunzi ambaye hana kukamilisha kazi yake ya nyumbani kwa wakati.

Uwezekano wa mafanikio ni\(p = 0.70\). Idadi ya majaribio ni\(n = 50\).

e Kama\(p + q = 1\), basi ni nini\(q\)?

Jibu

e.\(q = 0.30\)

f. maneno “angalau” kutafsiri kama aina gani ya usawa kwa swali uwezekano\(P(x\) ____ 40).

Jibu

f. kubwa kuliko au sawa na (\(\geq\))
swali uwezekano ni\(P(x \geq 40)\).

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Asilimia sitini na tano ya watu hupitia mtihani wa dereva wa serikali kwenye jaribio la kwanza. Kikundi cha watu 50 ambao wamechukua mtihani wa dereva huchaguliwa kwa nasibu. Toa sababu mbili kwa nini hii ni tatizo la binomial

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Wakati wa msimu wa kawaida wa NBA wa 2013, DeAndre Jordan wa Los Angeles Clippers alikuwa na kiwango cha juu cha kukamilika kwa lengo la uwanja katika ligi hiyo. DeAndre alifunga na 61.3% ya shots zake. Tuseme unachagua sampuli ya random ya shots 80 zilizofanywa na DeAndre wakati wa msimu wa 2013. Hebu\(X\) = idadi ya shots kwamba alifunga pointi.

1. Je, ni uwezekano wa usambazaji kwa\(X\) nini?
2. Kwa kutumia formula, mahesabu ya (i) maana na (ii) kiwango kupotoka ya\(X\).
3. Kupata uwezekano kwamba DeAndre alifunga na 60 ya shots hizi.
4. Pata uwezekano kwamba DeAndre alifunga na zaidi ya 50 ya shots hizi.