4.1: Usambazaji wa Hypergeometri

Kazi rahisi zaidi ya wiani ni hypergeometric. Hii ni moja ya msingi kwa sababu imeundwa kwa kuchanganya ujuzi wetu wa probabilities kutoka kwa michoro ya Venn, sheria za kuongeza na kuzidisha, na formula ya kuhesabu ya kuchanganya.

Ili kupata idadi ya njia za kupata Aces 2 kutoka kwa nne kwenye staha tuliyohesabu:

\[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=6\nonumber\]

Na kama hatukuwa na huduma ya nini kingine tulikuwa katika mkono wetu kwa kadi nyingine tatu tungeweza kukokotoa:

\[\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)=\frac{48 !}{3 ! 45 !}=17,296\nonumber\]

Kuweka hii pamoja, tunaweza kukokotoa uwezekano wa kupata hasa Aces mbili katika 5 kadi poker mkono kama:

\[\frac{\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)}=.0399\nonumber\]

Suluhisho hili ni kweli tu usambazaji uwezekano unaojulikana kama Hypergeometric. Fomu ya jumla ni:

\[h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\nonumber\]

ambapo\(x\) = idadi tunayopenda kuja kutoka kwa kikundi na vitu A.

\(h(x)\)ni uwezekano wa\(x\) mafanikio, katika n majaribio, wakati mafanikio (Aces katika kesi hii) ni katika idadi ya watu ambayo ina N mambo. Usambazaji wa hypergeometric ni mfano wa usambazaji wa uwezekano wa kipekee kwa sababu hakuna uwezekano wa mafanikio ya sehemu, yaani, hawezi kuwa na mikono ya poker na 2 1/2 Aces. Alisema njia nyingine, kipekee random variable ina kuwa nzima, au kuhesabu, idadi tu. Hii usambazaji uwezekano kazi katika kesi ambapo uwezekano wa mafanikio mabadiliko na kila sare. Njia nyingine ya kusema hii ni kwamba matukio hayajitegemea. Kwa kutumia staha ya kadi, sisi ni sampuli bila uingizwaji. Ikiwa tunaweka kila kadi nyuma baada ya kufanywa, basi usambazaji wa hypergeometric uwe Pdf isiyofaa.

Kwa hypergeometric kufanya kazi,

1. idadi ya watu wanapaswa kugawanywa katika subsets mbili na mbili tu huru (aces na yasiyo ya aces katika mfano wetu). Variable random\(X\) = idadi ya vitu kutoka kundi la riba.
2. jaribio lazima liwe na uwezekano wa mabadiliko ya mafanikio na kila jaribio (ukweli kwamba kadi hazibadilishwa baada ya kuteka katika mfano wetu hufanya hili kweli katika kesi hii). Njia nyingine ya kusema hii ni kwamba wewe sampuli bila uingizwaji na kwa hiyo kila pick si huru.
3. kutofautiana kwa random lazima iwe wazi, badala ya kuendelea.

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Safi ya pipi ina maharage 30 ya jelly na gumdrops 20. Pipi kumi huchukuliwa kwa random. Je! Ni uwezekano gani kwamba 5 kati ya 10 ni gumdrops? Makundi mawili ni maharagwe ya jelly na gumdrops. Kwa kuwa swali la uwezekano linauliza uwezekano wa kuokota gumdrops, kikundi cha riba (kikundi cha kwanza A katika formula) ni gumdrops. Ukubwa wa kundi la maslahi (kikundi cha kwanza) ni 30. Ukubwa wa kundi la pili ni 20. Ukubwa wa sampuli ni 10 (maharagwe ya jelly au gumdrops). Hebu\(X\) = idadi ya gumdrops katika sampuli ya 10. \(X\)inachukua maadili\(x = 0, 1, 2, ..., 10\). a. ni uwezekano kauli imeandikwa hisabati nini? b Ni kazi gani ya wiani wa uwezekano wa hypergeometric iliyoandikwa ili kutatua tatizo hili? Jibu la swali ni nini “Je! Ni uwezekano gani wa kuchora gumdrops 5 katika tar 10 kutoka sahani?”

Jibu

a.\(P(x=5)\)
b.\(P(x=5)=\frac{\left(\begin{array}{c}{30} \\ {5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{20} \\ {5}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{50} \\ {10}\end{array}\right)}\)
c.\(P(x=5)=0.215\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Mfuko una tiles za barua. Arobaini na nne za matofali ni vowels, na 56 ni konsonanti. Matofali saba huchukuliwa kwa random. Unataka kujua uwezekano kwamba nne kati ya vigae saba ni vowels. Kikundi cha maslahi, ukubwa wa kikundi cha riba, na ukubwa wa sampuli?