4.0: Utangulizi wa vigezo vya Random

Kielelezo\(\PageIndex{1}\) Unaweza kutumia uwezekano na discrete vigezo random kwa mahesabu ya uwezekano wa umeme akipiga ardhi mara tano wakati wa nusu saa radi. (Mikopo: Leszek Leszczyński)

Mwanafunzi anachukua swali kumi, kweli-uongo jaribio. Kwa sababu mwanafunzi alikuwa na ratiba hiyo ya busy, hakuweza kujifunza na nadhani nasibu kwa kila jibu. Je! Ni uwezekano gani wa mwanafunzi kupita mtihani na angalau 70%?

Makampuni madogo ili kuwa na hamu ya idadi ya simu umbali mrefu wito wafanyakazi wao kufanya wakati wa kilele cha siku. Tuseme wastani wa kihistoria ni wito 20. Je! Ni uwezekano gani kwamba wafanyakazi hufanya simu za umbali mrefu zaidi ya 20 wakati wa kilele?

Mifano hii miwili kuonyesha aina mbili tofauti ya matatizo uwezekano kuwashirikisha kipekee random vigezo. Kumbuka kwamba data ya kipekee ni data ambayo unaweza kuhesabu, yaani, kutofautiana kwa random inaweza tu kuchukua maadili ya namba nzima. Variable random inaelezea matokeo ya majaribio ya takwimu kwa maneno. Maadili ya kutofautiana kwa random yanaweza kutofautiana na kila marudio ya jaribio, mara nyingi huitwa jaribio.

Random variable Notation

Barua ya juu ya kesi X inaashiria kutofautiana kwa random. Barua za kesi za chini kama x au y zinaashiria thamani ya kutofautiana kwa random. Ikiwa X ni variable random, basi X imeandikwa kwa maneno, na x inapewa kama namba.

Kwa mfano, basi X = idadi ya vichwa kupata wakati toss sarafu tatu haki. Nafasi ya sampuli ya toss ya sarafu tatu za haki ni TTT; THH; HTH; HHT; HTT; THT; TTH; HHH. Kisha, x = 0, 1, 2, 3. X ni kwa maneno na x ni namba. Kumbuka kwamba kwa mfano huu, maadili x ni matokeo yanayohesabiwa. Kwa sababu unaweza kuhesabu maadili iwezekanavyo kama namba nzima ambayo X inaweza kuchukua na matokeo ni random (x maadili 0, 1, 2, 3), X ni za kipekee random variable.

Uwezekano Wiani Kazi (PDF) kwa Random Variable

Kazi ya wiani wa uwezekano au kazi ya usambazaji uwezekano ina sifa mbili:

1. uwezekano wiani kazi ni fomula hisabati kwamba mahesabu probabilities kwa aina maalum ya matukio, nini tumekuwa wito majaribio. Kuna aina ya uchawi kwa uwezekano wiani kazi (Pdf) sehemu kwa sababu formula huo mara nyingi inaeleza aina tofauti sana ya matukio. Kwa mfano, Pdf ya binomial itahesabu uwezekano wa sarafu za kupiga sarafu, ndiyo/hakuna maswali juu ya mtihani, maoni ya wapiga kura katika uchaguzi wa juu au chini, kwa kweli tukio lolote la binary. Kazi nyingine za wiani wa uwezekano zitatoa uwezekano kwa muda mpaka sehemu itashindwa, wakati mteja atafika kwenye kibanda cha turnpike, idadi ya simu inayowasili kwenye ubadilishanaji wa kati, kiwango cha ukuaji wa bakteria, na kuendelea. Kuna familia nzima ya uwezekano wiani kazi ambayo hutumiwa katika aina mbalimbali za maombi, ikiwa ni pamoja na dawa, biashara na fedha, fizikia na uhandisi, miongoni mwa wengine.

   Kwa mahitaji yetu hapa tutazingatia kazi chache tu za wiani wa uwezekano tunapoendeleza zana za takwimu za inferential.

   Kuhesabu Fomu na Mfumo wa Mchanganyiko

   Kama equation hii ni:

   \[P(A)=\frac{\text { number of ways to get } \mathrm{A}}{\text { Total number of possible outcomes }}\]

   Wakati sisi inaonekana katika nafasi sampuli kwa flipping 3 sarafu tunaweza kwa urahisi kuandika kamili sampuli nafasi na hivyo inaweza kwa urahisi kuhesabu idadi ya matukio ambayo alikutana matokeo yetu taka, kwa mfano x = 1, ambapo X ni variable random hufafanuliwa kama idadi ya vichwa.

   Kama tuna idadi kubwa ya vitu katika nafasi ya sampuli, kama vile staha kamili ya kadi 52, uwezo wa kuandika nafasi ya sampuli inakuwa vigumu.

   Tunaona kwamba probabilities si kitu zaidi ya kuhesabu matukio katika kila kikundi tunachopenda na kugawa na idadi ya vipengele katika ulimwengu, au nafasi ya sampuli. Hii ni rahisi kutosha kama sisi ni kuhesabu sophomores katika darasa Stat, lakini katika kesi ngumu zaidi orodha ya matokeo yote inawezekana inaweza kuchukua muda wa maisha. Kuna, kwa mfano, 36 matokeo iwezekanavyo kutoka kutupa mbili tu sita upande mmoja dice ambapo variable random ni jumla ya idadi ya matangazo kwenye pande up-inakabiliwa. Kama kulikuwa na kete nne basi jumla ya matokeo iwezekanavyo ingekuwa 1,296. Kuna zaidi ya 2.5 milioni inawezekana 5 mikono kadi poker katika staha kiwango cha 52 kadi. Ni wazi kuweka wimbo wa uwezekano huu wote na kuhesabu yao kupata katika uwezekano moja itakuwa tedious saa bora.

   Njia mbadala ya kuorodhesha nafasi kamili ya sampuli na kuhesabu idadi ya mambo tunayopenda, ni kuruka hatua ya orodha ya nafasi ya sampuli, na tu kuhesabu idadi ya vipengele ndani yake na kufanya mgawanyiko sahihi. Kama sisi ni baada ya uwezekano sisi kweli hawana haja ya kuona kila na kila kipengele katika nafasi ya sampuli, sisi tu haja ya kujua jinsi mambo mengi ni huko. Kuhesabu formula zilianzishwa kufanya hili tu. Wanatuambia idadi ya subsets zisizo na utaratibu wa ukubwa fulani ambazo zinaweza kuundwa kutoka kwa seti ya vipengele vya kipekee. Kwa unordered inamaanisha kuwa, kwa mfano, wakati wa kushughulika kadi, haijalishi ikiwa una {ace, ace, ace, mfalme} au {mfalme, ace, ace, ace} au {ace, mfalme, ace, ace} na kadhalika. Kila moja ya subsets hizi ni sawa kwa sababu kila mmoja ana 4 Aces na mfalme mmoja.

   Mfumo wa mchanganyiko

   \[\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\nonumber\]

   Hii ni formula kwamba anaelezea idadi ya subsets kipekee unordered ya ukubwa x ambayo inaweza kuundwa kutoka vipengele n kipekee. Fomu hiyo inasoma “n combinatorial x”. Wakati mwingine ni kusoma kama “n kuchagua x.” Hatua ya kufurahisha “!” inaitwa factorial na inatuambia kuchukua namba zote kutoka 1 kupitia idadi kabla ya! na kuzidisha pamoja hivyo 4! ni 1·2·3·4=24. Kwa ufafanuzi 0! = 1. Fomu hiyo inaitwa Mfumo wa Combinatorial. Pia inaitwa Mgawo wa Binomial, kwa sababu ambazo zitakuwa wazi hivi karibuni. Wakati dhana hii ya hisabati ilieleweka muda mrefu kabla ya 1653, Blaise Pascal anapewa mikopo kubwa kwa ushahidi wake kwamba alichapisha mwaka huo. Zaidi ya hayo, alianzisha njia ya jumla ya kuhesabu maadili ya combinatorials inayojulikana kwetu kama Pascal Triangle. Pascal alikuwa mmoja wa wasomi wa zama za maendeleo ya ajabu ya kiakili ambayo ni pamoja na kazi ya Galileo, Rene Descartes, Isaac Newton, William Shakespeare na uboreshaji wa mbinu ya kisayansi, mantiki sana kwa mada ya maandishi haya.

   Hebu kupata njia ngumu jumla ya idadi ya mchanganyiko wa Aces nne katika staha ya kadi kama tungekuwa kwenda kuchukua yao mbili kwa wakati mmoja. Nafasi ya sampuli itakuwa:

   S= {Jembe, Moyo), (Spade, Diamond), (Spade, Club), (Diamond, Club), (Moyo, Diamond), (Moyo, Klabu)}

   Kuna mchanganyiko 6; rasmi, subsets sita za kipekee zisizo na utaratibu wa ukubwa 2 ambazo zinaweza kuundwa kutoka vipengele 4 vya kipekee. Kutumia formula ya combinatorial tunataka kutatua formula kama ifuatavyo:

   \[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{(4-2) ! 2 !}=\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}=6\nonumber\]

   Kama tulitaka kujua idadi ya kipekee 5 mikono kadi poker ambayo inaweza kuundwa kutoka 52 kadi ya staha sisi tu kukokotoa:

   \[\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)\nonumber\]

   ambapo 52 ni idadi ya vipengele vya kipekee ambavyo tunachora na 5 ni kikundi cha ukubwa tunachowaweka.

   Pamoja na formula combinatorial tunaweza kuhesabu idadi ya mambo katika nafasi ya sampuli bila ya kuandika kila mmoja wao chini, kweli kazi ya maisha kwa idadi tu ya 5 mikono kadi kutoka staha ya 52 kadi. Sasa tunaweza kutumia chombo hiki kwa kazi muhimu sana uwezekano wiani, usambazaji hypergeometric.

   Kumbuka, uwezekano wiani kazi computes probabilities kwa ajili yetu. Sisi tu kuweka idadi sahihi katika formula na sisi kupata uwezekano wa matukio maalum. Hata hivyo, kwa formula hizi kufanya kazi zinapaswa kutumika tu kwa kesi ambazo ziliundwa.