3.4: Meza ya Dharura na Miti ya uwezekano

Meza ya Dharura

Jedwali la dharura hutoa njia ya kuonyesha data ambayo inaweza kuwezesha kuhesabu probabilities. Jedwali husaidia katika kuamua uwezekano wa masharti kwa urahisi kabisa. Jedwali linaonyesha maadili ya sampuli kuhusiana na vigezo viwili tofauti ambavyo vinaweza kutegemeana au vinavyotegemea. Baadaye, tutatumia meza za dharura tena, lakini kwa namna nyingine.

Mfano\(\PageIndex{20}\)

Tuseme utafiti wa ukiukwaji kasi na madereva wanaotumia simu za mkononi zinazozalishwa zifuatazo data tamthiliya:

\ (\ UkurasaIndex {2}\) “>

Jedwali\(\PageIndex{2}\)

	Kasi ya ukiukaji katika mwaka jana	Hakuna ukiukwaji wa kasi katika mwaka jana	Jumla
Matumizi ya simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari	25	280	305
Haitumii simu ya mkononi wakati wa kuendesha gari	45	405	450
Jumla	70	685	755

Idadi ya watu katika sampuli ni 755. Jumla ya mstari ni 305 na 450. Jumla ya safu ni 70 na 685. Kumbuka kwamba 305 + 450 = 755 na 70 + 685 = 755.

Tumia probabilities zifuatazo kwa kutumia meza.

Pata P (Dereva ni mtumiaji wa simu ya mkononi).

Jibu

Suluhisho 3.20

a.\(\frac{\text { number of cell phone users }}{\text { total number in study }}=\frac{305}{755}\)

b Kupata P (Dereva hakuwa na ukiukwaji katika mwaka jana).

Jibu

Suluhisho 3.20

b.\(\frac{\text { number that had no violation }}{\text { total number in study }}=\frac{685}{755}\)

c. kupata P (Dereva hakuwa na ukiukwaji katika mwaka jana\(\cap\) alikuwa mtumiaji simu ya mkononi).

Jibu

Suluhisho 3.20

c.\(\frac{280}{755}\)

pata P (Dereva ni dereva wa mtumiaji\(\cup\) wa simu ya mkononi hakuwa na ukiukwaji katika mwaka jana).

Jibu

Suluhisho 3.20

d.\(\left(\frac{305}{755}+\frac{685}{755}\right)-\frac{280}{755}=\frac{710}{755}\)

e Tafuta P (Dereva ni\(|\) dereva wa mtumiaji wa simu ya mkononi alikuwa ukiukwaji mwaka jana).

Jibu

Suluhisho 3.20

e.\(\frac{25}{70}\) (Nafasi ya sampuli imepungua kwa idadi ya madereva waliokuwa na ukiukwaji.)

f. Kupata P (Dereva hakuwa na ukiukwaji mwaka jana\(|\) dereva hakuwa mtumiaji wa simu ya mkononi)

Jibu

Suluhisho 3.20

f.\(\frac{405}{450}\) (Nafasi ya sampuli imepungua kwa idadi ya madereva ambao hawakuwa watumiaji wa simu za mkononi.)

Zoezi\(\PageIndex{20}\)

Jedwali\(\PageIndex{3}\) linaonyesha idadi ya wanariadha ambao kunyoosha kabla ya kutumia na wangapi walikuwa na majeraha ndani ya mwaka uliopita.

\ (\ UkurasaIndex {3}\) “>

	Kuumia mwaka jana	Hakuna kuumia katika mwaka jana	Jumla
Stretches	55	295	350
Je, si kunyoosha	231	219	450
Jumla	286	514	800

Jedwali 3.3

1. P ni nini (mwanariadha anaweka kabla ya kutumia)?
2. Ni nini P (mwanamichezo anaweka kabla ya kufanya mazoezi|hakuna kuumia katika mwaka uliopita)?

Mfano\(\PageIndex{21}\)

Jedwali\(\PageIndex{4}\) linaonyesha sampuli ya random ya hikers 100 na maeneo ya hiking wanapendelea.

\ (\ PageIndex {4}\) Upendeleo wa Eneo la Hiking “>

Ngono	Uwanja wa pwani	Karibu na maziwa na mito	Juu ya kilele cha mlima	Jumla
Mwanamke	18	16	___	45
Kiume	___	___	14	55
Jumla	___	41	___	___

Jedwali 3.4 Hiking Eneo Upendeleo

a.

Jibu

Suluhisho 3.21

a.

\ (\ PageIndex {5}\) Upendeleo wa Eneo la Hiking “>

Jedwali\(\PageIndex{5}\) Hiking Eneo Upendeleo

Ngono	Uwanja wa pwani	Karibu na maziwa na mito	Juu ya kilele cha mlima	Jumla
Mwanamke	18	16	11	45
Kiume	16	25	14	55
Jumla	34	41	25	100

b Je, matukio “kuwa kike” na “kupendelea pwani” matukio ya kujitegemea?

Hebu F = kuwa kike na basi C = ikipendelea pwani.

1. Kupata\(P(F\cap C)\).
2. Pata P (F) P (C)

Nambari hizi mbili ni sawa? Ikiwa ni, basi F na C ni huru. Ikiwa sio, basi F na C hazijitegemea.

Jibu

Suluhisho 3.21

b.

1. \(P(F\cap C)=\frac{18}{100}\)= 0.18

2. P (F) P (C) =\(\left(\frac{45}{100}\right)\left(\frac{34}{100}\right)\) = (0.45) (0.34) = 0.153

\(P(F\cap C)\)∙ P (F) P (C), hivyo matukio F na C si huru.

pata uwezekano kwamba mtu ni kiume kutokana na kwamba mtu anapendelea kutembea karibu na maziwa na mito. Hebu M = kuwa kiume, na basi L = anapendelea kutembea karibu na maziwa na mito.

1. Neno gani linakuambia hii ni masharti?
2. Jaza vifungo na uhesabu uwezekano: P (___||___) = ___.
3. Je sampuli nafasi kwa tatizo hili wote 100 hikers? Ikiwa sio, ni nini?

Jibu

Suluhisho 3.21

c.

1. neno 'aliyopewa' inakuambia kwamba hii ni masharti.

2.P (M||L) =\(\frac{25}{41}\)

3.Hapana, nafasi ya sampuli kwa tatizo hili ni 41 hikers ambao wanapendelea maziwa na mito.

Pata uwezekano kwamba mtu ni mwanamke au anapendelea kutembea kwenye kilele cha mlima. Hebu F = kuwa kike, na basi P= anapendelea kilele cha mlima.

1. Pata P (F).
2. Pata P (P).
3. Kupata\(P(F\cap P)\).
4. Kupata\(P(F\cup P)\).

Jibu

Suluhisho 3.21

d.

1. P (F) =\(\frac{45}{100}\)
2. P (P) =\(\frac{25}{100}\)
3. \(P(F\cap P)\)=\(\frac{11}{100}\)
4. \(P(F\cup P)\)=\(\frac{45}{100}+\frac{25}{100}-\frac{11}{100}=\frac{59}{100}\)

Zoezi\(\PageIndex{21}\)

Jedwali\(\PageIndex{6}\) linaonyesha sampuli random ya 200 baiskeli na njia wanapendelea. Hebu M = wanaume na H = njia ya hilly.

\ (\ UkurasaIndex {6}\) “>

Jedwali\(\PageIndex{6}\)

Jinsia	Ziwa njia	Njia ya vilima	Njia ya misitu	Jumla
Mwanamke	45	38	27	110
Kiume	26	52	12	90
Jumla	71	90	39	200

1. Kati ya wanaume, ni uwezekano gani kwamba cyclist anapendelea njia ya hilly?
2. Je! Matukio “kuwa kiume” na “kupendelea njia ya hilly” matukio ya kujitegemea?

Mfano\(\PageIndex{22}\)

Mouse ya Muddy anaishi katika ngome yenye milango mitatu. Kama Muddy anatoka nje mlango wa kwanza, uwezekano kwamba anapata hawakupata na Alissa paka ni 1515 na uwezekano yeye si hawakupata ni 4545. Kama anatoka nje ya mlango wa pili, uwezekano anapata hawakupata na Alissa ni 1414 na uwezekano asikamatwe ni 3434. Uwezekano kwamba Alissa anamkamata Muddy kutoka nje ya mlango wa tatu ni 1212 na uwezekano yeye hakumkamata Muddy ni 1212. Inawezekana pia kwamba Muddy atachagua milango yoyote mitatu, hivyo uwezekano wa kuchagua kila mlango ni 1313.

\ (\ UkurasaIndex {7}\) Uchaguzi wa Mlango “>

Jedwali la\(\PageIndex{7}\) mlango Choice

Hawakupata au la	Mlango mmoja	Mlango wa pili	Mlango wa tatu	Jumla
Hawakupata	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	____
Si hawakupata	\(\frac{4}{15}\)	\(\frac{3}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	____
Jumla	____	____	____	1

• Kuingia kwanza\(\frac{1}{15}=\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) ni\(P(Door One\cap Caught)\)
• Kuingia\(\frac{4}{15}=\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) ni\(P(Door One\cap Not Caught)\)

Thibitisha entries iliyobaki.

a. Kukamilisha uwezekano meza ya dharura. Tumia maingizo ya jumla. Thibitisha kwamba kuingia kona ya chini ya kulia ni 1.

Jibu

Suluhisho 3.22

a.

\ (\ UkurasaIndex {8}\) Uchaguzi wa Mlango “>

Jedwali la\(\PageIndex{8}\) mlango Choice

Hawakupata au la	Mlango mmoja	Mlango wa pili	Mlango wa tatu	Jumla
Hawakupata	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{19}{60}\)
Si hawakupata	\(\frac{4}{15}\)	\(\frac{3}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{41} {60}\)
Jumla	\(\frac{5}{15}\)	\(\frac{4}{12}\)	\(\frac{2}{6}\)	1

b Ni uwezekano gani kwamba Alissa haipati Muddy?

Jibu

Suluhisho 3.22

b.\(\frac{41}{60}\)

c. ni uwezekano gani kwamba Muddy anachagua Mlango One\ cap Door Mbili kutokana na kwamba Muddy ni hawakupata na Alissa?

Jibu

Suluhisho 3.22

c.\(\frac{9}{19}\)

Mfano\(\PageIndex{23}\)

Jedwali\(\PageIndex{9}\) lina idadi ya uhalifu kwa wakazi 100,000 kutoka 2008 hadi 2011 nchini Marekani

\ (\ PageIndex {9}\) Kiwango cha Uhalifu wa Marekani Kiwango cha Uhalifu Kwa Wakazi 100,000 2008-2011 “>

Jedwali Kiwango cha Uhalifu wa\(\PageIndex{9}\) Marekani Kwa Wakazi 100,000 2008-2011

Mwaka	Wizi	uvunjaji	Ubakaji	Gari	Jumla
2008	145.7	732.1	29.7	314.7
2009	133.1	717.7	29.1	259.2
2010	119.3	701	27.7	239.1
2011	113.7	702.2	26.8	229.6
Jumla

JUMLA kila safu na kila mstari. Jumla ya data = 4,520.7

1. Kupata\(P(2009\cap Robbery)\).
2. Kupata\(P(2010\cap Burglary)\).
3. Kupata\(P(2010\cup Burglary)\).
4. Kupata P (2011|Ubakaji).
5. Kupata P (Gari|2008).

Jibu

Suluhisho 3.23

1. 0.0294
2. 0.1551
3. 0.7165
4. 0.2365
5. 0.2575

Zoezi\(\PageIndex{23}\)

Jedwali\(\PageIndex{10}\) linahusiana uzito na urefu wa kundi la watu binafsi kushiriki katika utafiti wa uchunguzi.

\ (\ UkurasaIndex {10}\) “>

Jedwali\(\PageIndex{10}\)

Uzito/urefu	mrefu	Kati	Short	Jumla
Feta	18	28	14
Kawaida	20	51	28
Uzito wa chini	12	25	9
Jumla

1. Pata jumla ya kila mstari na safu
2. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Tall.
3. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Feta na Tall.
4. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Tall kutokana na kwamba mtu binafsi ni Feta.
5. Kupata uwezekano kwamba mtu binafsi nasibu waliochaguliwa kutoka kundi hili ni Feta kutokana na kwamba mtu binafsi ni Tall.
6. Kupata uwezekano nasibu waliochaguliwa mtu binafsi kutoka kundi hili ni Tall na Underweight.
7. Je matukio Feta na Tall huru?

mti michoro

Wakati mwingine, wakati matatizo ya uwezekano ni ngumu, inaweza kuwa na manufaa kwa grafu hali hiyo. Michoro ya mti inaweza kutumika kutazama na kutatua uwezekano wa masharti.

mti michoro

Mchoro wa mti ni aina maalum ya grafu inayotumiwa kuamua matokeo ya jaribio. Inajumuisha “matawi” yaliyoandikwa na masafa ama au probabilities. Miti michoro inaweza kufanya baadhi ya matatizo uwezekano rahisi taswira na kutatua. Mfano unaofuata unaonyesha jinsi ya kutumia mchoro wa mti.

Mfano\(\PageIndex{24}\)

Kwa upande mwingine, kuna mipira 11. Mipira mitatu ni nyekundu (R) na mipira nane ni bluu (B). Chora mipira miwili, moja kwa wakati, na uingizwaji. “Kwa uingizwaji” ina maana kwamba kuweka mpira wa kwanza nyuma katika urn kabla ya kuchagua mpira wa pili. Mchoro wa mti kwa kutumia masafa ambayo yanaonyesha matokeo yote yanayowezekana ifuatavyo.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) Jumla = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

Seti ya kwanza ya matawi inawakilisha kuteka kwanza. Seti ya pili ya matawi inawakilisha sare ya pili. Kila moja ya matokeo ni tofauti. Kwa kweli, tunaweza kuorodhesha kila mpira nyekundu kama R1, R2, na R3 na kila mpira bluu kama B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, na B8. Kisha matokeo tisa ya RR yanaweza kuandikwa kama:

R1R1; R1R2; R1R3; R2R1; R2R2; R2R3; R3R1; R3R2; R3R3

Matokeo mengine ni sawa.

Kuna jumla ya mipira 11 katika urn. Chora mipira miwili, moja kwa wakati, na uingizwaji. Kuna 11 (11) = 121 matokeo, ukubwa wa nafasi ya sampuli.

a. orodha 24 BR matokeo: B1R1, B1R2, B1R3,...

Jibu

Suluhisho 3.24

a. B1R1; B1R2; B1R3; B2R1; B2R2; B2R3; B3R1; B3R2; B3R3; B4R1; B4R2; B4R3; B5R1; B5R3; B6R1; B6R3; B7R2; B7R3; B8R1; B8R2; B8R3

b Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (RR).

Jibu

Suluhisho 3.24

b. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}\)

c Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (RB\ kikombe BR) P (RB\ kikombe BR).

Jibu

Suluhisho 3.24

c.\(P(RB\cup BR)\) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right)=\frac{48}{121}\)

d Kutumia mchoro wa mti, hesabu\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw)\).

Jibu

Suluhisho 3.24

d.\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{24}{121}\)

e Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (R kwenye kuteka 2n|B kwenye sare ya 1).

Jibu

Suluhisho 3.24

e. P (R juu ya kuteka 2n|B kwenye sare ya 1) = P (R juu ya 2n|B juu ya 1) =\(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\)

Tatizo hili ni moja ya masharti. Nafasi ya sampuli imepunguzwa kwa matokeo hayo ambayo tayari yana bluu kwenye sare ya kwanza. Kuna 24 + 64 = 88 matokeo iwezekanavyo (24 BR na 64 BB). Ishirini na nne ya 88 matokeo inawezekana ni BR. \(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\).

f Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (BB).

Jibu

Suluhisho 3.24

f. P (BB) =\(\frac{64}{121}\)

Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (B kwenye kuteka 2n|R kwenye sare ya kwanza).

Jibu

Suluhisho 3.24

g. P (B kwenye kuteka 2n|R kwenye sare ya kwanza) =\(\frac{8}{11}\)

Kuna 9 + 24 matokeo ambayo R kwenye sare ya kwanza (9 RR na 24 RB). Nafasi ya sampuli ni basi 9 + 24 = 33. 24 ya matokeo 33 yana B kwenye sare ya pili. Uwezekano ni basi\(\frac{24}{33}\).

Zoezi\(\PageIndex{24}\)

Katika staha ya kawaida, kuna kadi 52. Kadi 12 ni kadi za uso (tukio F) na kadi za 40 si kadi za uso (tukio N). Chora kadi mbili, moja kwa wakati, na uingizwaji. Matokeo yote yanayowezekana yanaonyeshwa kwenye mchoro wa mti kama masafa. Kutumia mchoro wa mti, hesabu P (FF).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

Mfano\(\PageIndex{25}\)

Urn ina marumaru tatu nyekundu na marumaru nane ya bluu ndani yake. Chora marumaru mawili, moja kwa wakati, wakati huu bila uingizwaji, kutoka kwenye urn. “Bila uingizwaji” inamaanisha kwamba huna kuweka mpira wa kwanza nyuma kabla ya kuchagua marumaru ya pili. Kufuatia ni mchoro wa mti kwa hali hii. Matawi yanaandikwa na uwezekano badala ya masafa. Nambari katika ncha za matawi huhesabiwa kwa kuzidisha namba kwenye matawi mawili yanayofanana, kwa mfano,\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\) Jumla =\(\frac{56+24+24+6}{110}=\frac{110}{110}=1\)

KUMBUKA

Ikiwa unapata nyekundu kwenye sare ya kwanza kutoka kwa uwezekano wa tatu nyekundu, kuna marumaru mawili nyekundu yaliyoachwa kuteka kwenye sare ya pili. Huwezi kuweka nyuma au kuchukua nafasi ya marumaru kwanza baada ya kuwa inayotolewa ni. Unatumia bila uingizwaji, ili kwenye sare ya pili kuna marumaru kumi yaliyoachwa kwenye urn.

Tumia uwezekano wafuatayo kwa kutumia mchoro wa mti.

a. P (RR) = ________

Jibu

Suluhisho 3.25

a. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\)

b Jaza vifungo:

\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)\)+ (___) (___) =\(\frac{48}{110}\)

Jibu

Suluhisho 3.25

b.\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{48}{110}\)

c. P (R juu ya 2nD|B juu ya 1) =

Jibu

Suluhisho 3.25

c. P (R juu ya 2nD|B juu ya 1) =\(\frac{3}{10}\)

d Jaza vifungo.

\(P(Ron 1st\cap Bon 2nd)\)= (___) (___) =\(\frac{24}{100}\)

Jibu

Suluhisho 3.25

d.\(P(R \text{ on 1st }\cap B \text{ on 2nd}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)=\frac{24}{110}\)

e. Kupata P (BB).

Jibu

Suluhisho 3.25

e. P (BB) =\(\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)\)

f. kupata P (B juu ya 2nD|R juu ya 1).

Jibu

Suluhisho 3.25

f Kutumia mchoro wa mti, P (B juu ya 2n|R juu ya 1) = P (R|B) =\(\frac{8}{10}\).

Ikiwa tunatumia probabilities, tunaweza kuandika mti kwa njia ifuatayo ya jumla.

• P (R|R) hapa ina maana P (R juu ya 2nD|R juu ya 1)
• P (B|R) hapa ina maana P (B juu ya 2nD|R juu ya 1)
• P (R|B) hapa inamaanisha P (R juu ya 2n|B tarehe 1)
• P (B|B) hapa inamaanisha P (B juu ya 2n|B tarehe 1)

Zoezi\(\PageIndex{25}\)

Katika staha ya kawaida, kuna kadi 52. Kadi kumi na mbili ni kadi uso (F) na 40 kadi si kadi uso (N). Chora kadi mbili, moja kwa wakati, bila uingizwaji. Mchoro wa mti umeandikwa na uwezekano wote unaowezekana.

Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

1. Kupata\(P(FN\cup NF)\).
2. Pata P (N|F).
3. Pata P (kwa kadi moja ya uso).
   Kidokezo: “Kwa kadi moja ya uso” inamaanisha zero au kadi moja ya uso.
4. Kupata P (angalau kwenye kadi ya uso).
   Kidokezo: “Angalau kadi moja ya uso” inamaanisha kadi moja au mbili za uso.

Mfano\(\PageIndex{26}\)

takataka ya kittens inapatikana kwa ajili ya kupitishwa katika Humane Society ina kittens tabby nne na kittens tano nyeusi. Familia inakuja na kwa nasibu huchagua kittens mbili (bila uingizwaji) kwa kupitishwa.

1. Je! Ni uwezekano gani kwamba kittens zote mbili ni tabby?
   
   \(a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) b \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right) c \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right) d \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\)
2. Je! Ni uwezekano gani kwamba kitten moja ya kila rangi huchaguliwa?
   
   a.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)\)
3. Je! Ni uwezekano gani kwamba tabby huchaguliwa kama kitten ya pili wakati kitten nyeusi ilichaguliwa kama ya kwanza?
4. Je! Ni uwezekano gani wa kuchagua kittens mbili za rangi sawa?

Jibu

Suluhisho 3.26

a. c, b. d, c.\(\frac{4}{8}\), d.\(\frac{32}{72}\)

Zoezi\(\PageIndex{26}\)

Tuseme kuna mipira minne nyekundu na mipira mitatu ya njano katika sanduku. Mipira miwili hutolewa kutoka sanduku bila uingizwaji. Je! Ni uwezekano gani kwamba mpira mmoja wa kila rangi huchaguliwa?