3.5: Venn michoro

Mchoro wa Venn ni picha ambayo inawakilisha matokeo ya majaribio. Kwa ujumla lina sanduku ambalo linawakilisha nafasi ya sampuli S pamoja na miduara au ovals. Miduara au ovals inawakilisha matukio. Venn michoro pia kutusaidia kubadilisha maneno ya kawaida ya Kiingereza katika maneno ya hisabati ambayo kusaidia kuongeza usahihi.

Venn michoro ni jina kwa ajili ya mvumbuzi wao, John Venn, profesa hisabati katika Cambridge na waziri Anglikana. Kazi yake kuu ilifanyika mwishoni mwa miaka ya 1870 na kupandisha tawi zima la hisabati na njia mpya ya kukabiliana na masuala ya mantiki. Tutaendeleza sheria za uwezekano tu zilizofunikwa kwa kutumia njia hii yenye nguvu ili kuonyesha uwezekano wa uwezekano ikiwa ni pamoja na Utawala wa Kuongeza, Utawala wa kuzidisha, Utawala wa Kusaidia, Uhuru, na uwezekano wa masharti.

Mfano 3.27

Tuseme majaribio ina matokeo 1, 2, 3,..., 12 ambapo kila matokeo ina nafasi sawa ya kutokea. Hebu tukio\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) na tukio\(B = \{6, 7, 8, 9\}\). Kisha\(A\) intersect\(B = A \cap B=\{6\}\) na\(A\) muungano\(B = A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Mchoro wa Venn ni kama ifuatavyo:

Kielelezo 3.6

Kielelezo 3.6 kinaonyesha uhusiano wa msingi kati ya namba hizi. Kwanza, idadi ni katika vikundi vinavyoitwa seti; kuweka A na kuweka B. idadi fulani iko katika seti zote mbili; tunasema katika seti A\(\cap \) katika seti B. neno la Kiingereza “na” linamaanisha umoja, maana ya kuwa na sifa za A na B, au katika kesi hii, kuwa sehemu ya A na B. hali hii inaitwa INTERSECTION ya seti mbili. Wanachama wote ambao ni sehemu ya seti zote mbili hufanya makutano ya seti mbili. Mfululizo umeandikwa kama\(A\cap B\)\(\cap\) wapi alama ya hisabati kwa makutano. Taarifa A\ cap BA\ cap B inasomewa kama “A intersect B.” Unaweza kukumbuka hili kwa kufikiri ya makutano ya barabara mbili.

Pia kuna namba hizo zinazounda kikundi ambacho, kwa uanachama, nambari lazima iwe katika kikundi kimoja au kikundi kingine. Nambari haipaswi kuwa katika vikundi vyote viwili, lakini badala yake tu katika mojawapo ya mbili. Nambari hizi zinaitwa UNION ya seti mbili na katika kesi hii ni namba 1-5 (kutoka A peke), 7-9 (kutoka seti B peke) na pia 6, ambayo ni katika seti zote mbili A na B. alama ya UNION ni\(\cup \), hivyo\(A\cup B=\) namba 1-9, lakini haijumuishi namba 10, 11, na 12. Maadili 10, 11, na 12 ni sehemu ya ulimwengu, lakini sio katika seti mbili.

Kutafsiri neno la Kiingereza “NA” katika alama ya mantiki ya hisabati\ cap, makutano, na neno “OR” katika ishara ya hisabati\ kikombe, muungano, hutoa njia sahihi sana ya kujadili masuala ya uwezekano na mantiki. Istilahi ya jumla kwa maeneo matatu ya mchoro wa Venn katika Mchoro 3.6 inavyoonekana kwenye Mchoro 3.7.

Zoezi 3.27

Tuseme majaribio ina matokeo nyeusi, nyeupe, nyekundu, machungwa, njano, kijani, bluu, na zambarau, ambapo kila matokeo ina nafasi sawa ya kutokea. Hebu tukio C = {kijani, bluu, zambarau} na tukio P = {nyekundu, njano, bluu}. Kisha\(C\cap P=\{blue\}\) na\(C \cup P=\{\text { green, blue, purple, red, yellow }\}\). Chora Venn mchoro anayewakilisha hali hii.

Mfano 3.28

Flip sarafu mbili za haki. Hebu A = mikia juu ya sarafu ya kwanza. Hebu B = mikia kwenye sarafu ya pili. Kisha A = {TT, TH} na B = {TT, HT}. Kwa hiyo,\(A\cap B=\{TT\}\). \(A\cup B=\{TH, TT, HT\}\).

nafasi ya sampuli wakati flip sarafu mbili haki ni X = {HH, HT, TH, TT}. matokeo HH ni katika wala A NOR B. mchoro Venn ni kama ifuatavyo:

Kielelezo 3.7

Zoezi 3.28

Roll haki, sita upande mmoja kufa. Hebu A = idadi kubwa ya dots imevingirwa. Hebu B = idadi isiyo ya kawaida ya dots imevingirwa. Kisha A= {2, 3, 5} na B = {1, 3, 5}. Kwa hiyo,\(A\cap B=\{3, 5\}\). \(A\cup B=\{1, 2, 3, 5\}\). Nafasi ya sampuli ya kufa kwa haki ni S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chora Venn mchoro anayewakilisha hali hii.

Mfano 3.29

Mtu mwenye damu ya aina O na hasi ya Rh (Rh-) anaweza kuchangia damu kwa mtu yeyote aliye na aina yoyote ya damu. Asilimia nne ya Wamarekani wa Afrika wana damu ya aina O na sababu hasi ya RH, 5-10% ya Wamarekani wa Afrika wana kipengele cha Rh, na 51% wana damu ya aina O.

Kielelezo 3.8

Mduara wa “O” unawakilisha Wamarekani Waafrika wenye damu ya aina O. Mviringo wa “Rh-” unawakilisha Wamarekani wa Afrika wenye kipengele cha Rh.

Tutachukua wastani wa 5% na 10% na kutumia 7.5% kama asilimia ya Wamarekani wa Afrika ambao wana Rh- sababu. Hebu O = Amerika ya Afrika na Aina O damu na R = Amerika ya Afrika na Rh- sababu.

1. P (O) = ___________
2. P (R) = ___________
3. \(P(O\cap R)=\)___________
4. \(P(O\cup R)=\)____________
5. Katika Mchoro wa Venn, kuelezea eneo linaloingiliana kwa kutumia sentensi kamili.
6. Katika Mchoro wa Venn, eleza eneo katika mstatili lakini nje ya mduara na mviringo kwa kutumia sentensi kamili.

Jibu

Suluhisho 3.29

a. 0.51; b. 0.075; c. 0.04; d. 0.545; e. eneo linawakilisha Wamarekani wa Afrika ambao wana aina O damu na sababu ya Rh. f. Eneo hilo linawakilisha Wamarekani wa Afrika ambao hawana aina O damu wala Rh- sababu.

Mfano 3.30

Asilimia hamsini ya wafanyakazi katika kiwanda hufanya kazi ya pili, 25% wana mke ambaye pia anafanya kazi, 5% hufanya kazi ya pili na kuwa na mke ambaye pia anafanya kazi. Chora Venn mchoro kuonyesha mahusiano. Hebu W = anafanya kazi ya pili na S = mke pia anafanya kazi.

Jibu

Asilimia arobaini ya wanafunzi katika chuo kienyeji ni wa klabu na 50% hufanya kazi kwa muda. Asilimia tano ya wanafunzi hufanya kazi kwa muda na ni wa klabu. Chora Venn mchoro kuonyesha mahusiano. Hebu C = mwanafunzi ni wa klabu na PT = mwanafunzi anafanya kazi kwa muda.

Kielelezo 3.9

Ikiwa mwanafunzi anachaguliwa kwa random, tafuta

• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu. P (C) = 0.40
• uwezekano kwamba mwanafunzi anafanya kazi kwa muda. P (PT) = 0.50
• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu na anafanya kazi kwa muda. \(P(C\cap PT)=0.05\)
• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu kutokana na kwamba mwanafunzi anafanya kazi kwa muda. \(P(C | P T)=\frac{P(C \cap P T)}{P(P T)}=\frac{0.05}{0.50}=0.1\)
• uwezekano kwamba mwanafunzi ni wa klabu OR anafanya kazi kwa muda. \(P(C \cup P T)=P(C)+P(P T)-P(C \cap P T)=0.40+0.50-0.05=0.85\)

Ili kutatua Mfano 3.30 tulipaswa kuteka juu ya dhana ya uwezekano wa masharti kutoka sehemu iliyopita. Kuna sisi kutumika michoro mti kufuatilia mabadiliko katika probabilities, kwa sababu nafasi ya sampuli iliyopita kama sisi sare bila badala. Kwa kifupi, uwezekano wa masharti ni nafasi ya kuwa kitu kitatokea kutokana na kwamba tukio lingine limetokea tayari. Weka njia nyingine, uwezekano kwamba kitu kitatokea kinakabiliwa na hali ambayo kitu kingine pia ni kweli. Katika Mfano 3.30 uwezekano P (C|PT) ni uwezekano masharti kwamba nasibu inayotolewa mwanafunzi ni mwanachama wa klabu, conditioned juu ya ukweli kwamba mwanafunzi pia ni kazi sehemu ya muda. Hii inaruhusu sisi kuona uhusiano kati ya Venn michoro na uwezekano postulates.

Zoezi 3.30

Katika duka la vitabu, uwezekano kwamba mteja anunua riwaya ni 0.6, na uwezekano kwamba mteja anunua kitabu kisichokuwa cha uongo ni 0.4. Tuseme kwamba uwezekano kwamba mteja hununua wote ni 0.2.

1. Chora Venn mchoro anayewakilisha hali.
2. Kupata uwezekano kwamba mteja hununua ama riwaya au yasiyo ya uongo kitabu.
3. Katika mchoro wa Venn, kuelezea eneo linaloingiliana kwa kutumia sentensi kamili.
4. Tuseme kwamba wateja wengine wanununua disks tu za compact. Chora mviringo katika Venn mchoro wako anayewakilisha tukio hili.

Mfano 3.31

Seti ya mbwa 20 za Mchungaji wa Ujerumani huzingatiwa. 12 ni kiume, 8 ni kike, 10 wana rangi ya kahawia, na 5 wana sehemu nyeupe za manyoya. Jibu zifuatazo kwa kutumia Venn michoro.

Chora mchoro wa Venn tu kuonyesha seti ya mbwa wa kiume na wa kike.

Jibu

Suluhisho 3.31

Mchoro wa Venn hapa chini unaonyesha hali ya matukio ya kipekee ambapo matokeo ni matukio ya kujitegemea. Ikiwa mbwa hawezi kuwa wa kiume na wa kike, basi hakuna makutano. Kuwa kiume huzuia kuwa kike na kuwa kike huzuia kuwa kiume: katika kesi hii, jinsia ya tabia hiyo ni ya pekee. Mchoro Venn inaonyesha hii kama seti mbili bila makutano. Mkutano huo unasemekana kuwa ni seti ya null kwa kutumia alama ya hisabati.

Kielelezo 3.10

Chora pili Venn mchoro kuonyesha kwamba 10 ya mbwa kiume na kahawia Coloring.

Jibu

Suluhisho 3.31

Mchoro wa Venn hapa chini unaonyesha mwingiliano kati ya kiume na kahawia ambapo namba 10 imewekwa ndani yake. Hii inawakilisha\(\text{ Male}\cap \text{Brown }\): wote wa kiume na kahawia. Hii ni makutano ya sifa hizi mbili. Ili kupata umoja wa Mwanaume na Brown, basi ni maeneo mawili yaliyozunguka chini ya kuingiliana. Kwa maneno sahihi,\( \text{ Male}\cup \text{ Brown }=\text { Male }+\text { Brown }-\text { Male } \cap \text { Brown}\) itatupa idadi ya mbwa katika umoja wa seti hizi mbili. Kama hatukuwa Ondoa makutano, tungekuwa mara mbili kuhesabiwa baadhi ya mbwa.

Kielelezo 3.11

Sasa futa hali inayoonyesha hali ambayo eneo lisilo la kivuli linawakilisha “Hakuna manyoya nyeupe na ya kike,” au nyeupe manyoya\ cap Mwanamke. mkuu juu ya “manyoya” inaonyesha “si manyoya nyeupe.” Mkuu juu ya kuweka ina maana si katika kuweka kwamba, k.m.\(\mathrm{A}^{\prime}\) ina maana si\(\mathrm{A}\). Wakati mwingine, notation kutumika ni mstari juu ya barua. Kwa mfano,\(\overline{A}=\mathrm{A}^{\prime}\).

Jibu

Suluhisho 3.31

Kielelezo 3.12

Utawala wa Kuongeza wa Uwezekano

Tulikutana na utawala wa kuongeza mapema lakini bila msaada wa michoro ya Venn. Venn michoro kusaidia taswira mchakato kuhesabu kwamba ni asili katika hesabu ya uwezekano. Kurudia tena Utawala wa Uwezekano wa Kuongeza:

\[P(A \cup B)=P(\mathrm{A})+P(B)-P(A \cap B)\nonumber\]

Kumbuka kwamba uwezekano ni tu uwiano wa vitu tunavyopenda kuhusiana na idadi ya vitu. Hii ni kwa nini tunaweza kuona manufaa ya michoro Venn. Mfano 3.31 unaonyesha jinsi tunavyoweza kutumia michoro ya Venn kuhesabu idadi ya mbwa katika muungano wa kahawia na wa kiume kwa kutukumbusha kuondoa makutano ya kahawia na kiume. Tunaweza kuona athari za hii moja kwa moja kwenye probabilities katika utawala wa kuongeza.

Mfano 3.32

Hebu tufanye sampuli ya wanafunzi wa 50 ambao wako katika darasa la takwimu. 20 ni freshmen na 30 ni sophomores. Wanafunzi 15 hupata “B” katika kozi, na wanafunzi 5 wote wanapata “B” na ni freshmen.

Kupata uwezekano wa kuchagua mwanafunzi ambaye ama anapata “B” AU ni freshmen. Sisi ni kutafsiri neno OR kwa ishara ya hisabati kwa utawala wa kuongeza, ambayo ni muungano wa seti mbili.

Jibu

Suluhisho 3.32

Tunajua kwamba kuna wanafunzi 50 katika sampuli yetu, hivyo tunajua denominator ya sehemu yetu kutupa uwezekano. Tunahitaji tu kupata idadi ya wanafunzi ambao wanakidhi sifa tunayopenda, yaani. mwanafunzi yeyote na mwanafunzi yeyote aliyepata daraja la “B.” Pamoja na Utawala Aidha ya uwezekano, tunaweza kuruka moja kwa moja kwa probabilities.

Hebu “A” = idadi ya freshmen, na basi “B” = daraja la “B.” Hapa chini tunaweza kuona mchakato wa kutumia michoro ya Venn kutatua hili.

Ya\(P(A)=\frac{20}{50}=0.40, P(B)=\frac{15}{50}=0.30, \text { and } P(A \cap B)=\frac{5}{50}=0.10\)

Kwa hiyo,\(P(A \cap B)=0.40+0.30-0.10=0.60\)

Kielelezo 3.13

Ikiwa matukio mawili ni ya kipekee, basi, kama mfano ambapo tunachora mbwa wa kiume na wa kike, utawala wa kuongeza ni rahisi kwa tu\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−0\). Hii ni kweli kwa sababu, kama tulivyoona mapema, muungano wa matukio pande kipekee ni kuweka null,. Michoro hapa chini inaonyesha hili.

Kielelezo 3.14

Utawala wa Kuzidisha wa Uwezekano

Kurejesha Utawala wa Kuzidisha wa Uwezekano kwa kutumia nukuu ya michoro ya Venn, tuna:

\[P(A\cap B)=P(A|B)⋅P(B)\nonumber\]

Utawala wa kuzidisha unaweza kubadilishwa na kidogo ya algebra katika utawala wafuatayo wa masharti. Kisha Venn michoro inaweza kisha kutumika kuonyesha mchakato.

Utawala wa masharti:\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Kutumia ukweli huo kutoka Mfano 3.32 hapo juu, kupata uwezekano kwamba mtu atapata “B” ikiwa ni “Freshman.”

\[P(A | B)=\frac{0.10}{0.30}=\frac{1}{3}\nonumber\]

Kielelezo 3.15

Utawala wa kuzidisha lazima pia ubadilishwe ikiwa matukio mawili yanajitegemea. Matukio ya kujitegemea hufafanuliwa kama hali ambapo uwezekano wa masharti ni uwezekano tu wa tukio la riba. Rasmi, uhuru wa matukio hufafanuliwa kama\(P(A|B)=P(A)\) au\(P(B|A)=P(B)\). Wakati flipping sarafu, matokeo ya flip pili ni huru ya matokeo ya flip kwanza; sarafu hawana kumbukumbu. Utawala wa kuzidisha wa uwezekano kwa matukio ya kujitegemea hivyo inakuwa:

\[P(A\cap B)=P(A)⋅P(B)\nonumber\]

Njia moja rahisi ya kukumbuka hii ni kuzingatia kile tunachomaanisha kwa neno “na.” Tunaona kwamba Utawala wa Kuzidisha umetafsiri neno “na” kwa nukuu ya Venn kwa makutano. Kwa hiyo, matokeo yanapaswa kukidhi hali mbili za freshmen na daraja la “B” katika mfano hapo juu. Ni vigumu, chini ya uwezekano, kufikia hali mbili kuliko moja tu au nyingine. Tunaweza kujaribu kuona mantiki ya Utawala wa kuzidisha wa uwezekano kutokana na ukweli kwamba sehemu ndogo zinazidishwa mara kwa mara kuwa ndogo.

Maendeleo ya Kanuni za Uwezekano na matumizi ya michoro ya Venn inaweza kuonyeshwa kusaidia kama tunataka kuhesabu uwezekano kutoka kwa data iliyopangwa katika meza ya dharura.

Mfano 3.33

Jedwali 3.11 linatokana na sampuli ya watu 200 ambao waliulizwa ni kiasi gani cha elimu walichokamilisha. Nguzo zinawakilisha elimu ya juu waliyoimaliza, na safu zinatenganisha watu binafsi kwa wanaume na wa kike.

Jedwali 3.11

	Chini ya shule ya sekondari	Shule ya sekondari	Baadhi ya chuo	chuo grad	Jumla
Kiume	5	15	40	60	120
Mwanamke	8	12	30	30	80
Jumla	13	27	70	90	200

Sasa, tunaweza kutumia meza hii kujibu maswali uwezekano. Mifano zifuatazo zimeundwa ili kusaidia kuelewa muundo hapo juu wakati wa kuunganisha ujuzi kwa michoro zote mbili za Venn na sheria za uwezekano.

Je! Ni uwezekano gani kwamba mtu aliyechaguliwa alimaliza chuo na ni mwanamke?

Jibu

Suluhisho 3.33

Hii ni kazi rahisi ya kutafuta thamani ambapo sifa mbili intersect juu ya meza, na kisha kutumia postulate ya uwezekano, ambayo inasema kwamba uwezekano wa tukio ni uwiano wa matokeo yanayofanana tukio ambalo sisi ni nia kama uwiano wa wote jumla iwezekanavyo matokeo.

\(P(\text {College Grad } \cap \text { Female })=\frac{30}{200}=0.15\)

Je! Ni uwezekano gani wa kuchagua mwanamke au mtu aliyemaliza chuo kikuu?

Jibu

Suluhisho 3.33

Kazi hii inahusisha matumizi ya utawala wa kuongeza ili kutatua uwezekano huu.

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female })=P(F)+P(C G)-P(F \cap C G)\)

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female }) =\frac{80}{200}+\frac{90}{200}-\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=0.70\)

Ni uwezekano gani wa kuchagua mhitimu wa shule ya sekondari ikiwa tunachagua tu kutoka kwa kikundi cha wanaume?

Jibu

Suluhisho 3.33

Hapa ni lazima kutumia masharti uwezekano utawala (iliyopita kuzidisha utawala) kutatua kwa uwezekano huu.

\(P (\text{HS Grad } | \text { Male }）=\frac{P(\mathrm{HS} \text { Grad } \cap \mathrm{Male})}{\mathrm{P}(\mathrm{Male})}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=0.125\)

Je, tunaweza kuhitimisha kwamba kiwango cha elimu kilichopatikana na watu hawa 200 ni huru na jinsia ya mtu?

Jibu

Suluhisho 3.33

Kuna njia mbili za kukabiliana na mtihani huu. Njia ya kwanza inataka kupima ikiwa makutano ya matukio mawili yanafanana na bidhaa za matukio tofauti kukumbuka kwamba ikiwa matukio mawili yanajitegemea kuliko\(P(A)^{*} P(B)=P(A \cap B)\). Kwa ajili ya unyenyekevu, tunaweza kutumia maadili mahesabu kutoka juu.

Je,\(P(\text { College Grad } \cap \text { Female })=P(C G) \cdot P(F)\)?

\(\frac{30}{200} \neq \frac{90}{200} \cdot \frac{80}{200}\)kwa sababu 0.15 ∙ 0.18.

Kwa hiyo, jinsia na elimu hapa sio huru.

Njia ya pili ni kupima kama uwezekano wa masharti ya B iliyotolewa ni sawa na uwezekano wa A. tena kwa unyenyekevu, tunaweza kutumia thamani tayari iliyohesabiwa kutoka hapo juu.

Je,\(P(H S \text { Grad } | \text { Male })=P(H S \text { Grad) }\)?

\(\frac{15}{120} \neq \frac{27}{200}\)kwa sababu 0.125 ∙ 0.135.

Kwa hiyo, tena jinsia na elimu hapa sio huru.