3.1: Istilahi ya uwezekano

Uwezekano ni kipimo kwamba ni kuhusishwa na jinsi sisi ni uhakika wa matokeo ya majaribio fulani au shughuli. Jaribio ni operesheni iliyopangwa kufanyika chini ya hali ya kudhibitiwa. Ikiwa matokeo hayajatanguliwa, basi jaribio linasemekana kuwa jaribio la nafasi. Flipping sarafu moja ya haki mara mbili ni mfano wa majaribio.

Matokeo ya jaribio inaitwa matokeo. Nafasi ya sampuli ya jaribio ni seti ya matokeo yote yanayowezekana. Njia tatu za kuwakilisha nafasi ya sampuli ni: kuorodhesha matokeo iwezekanavyo, kuunda mchoro wa mti, au kuunda mchoro wa Venn. Barua kubwa\(S\) hutumiwa kutaja nafasi ya sampuli. Kwa mfano, kama wewe flip sarafu moja ya haki,\(S = \{H, T\}\) ambapo\(H =\) vichwa na\(T =\) mikia ni matokeo.

Tukio ni mchanganyiko wowote wa matokeo. Upper kesi barua kama\(A\) na\(B\) kuwakilisha matukio. Kwa mfano, kama majaribio ni flip sarafu moja ya haki, tukio\(A\) inaweza kuwa kupata katika kichwa zaidi moja. Uwezekano wa tukio\(A\) umeandikwa\(P(A)\).

Uwezekano wa matokeo yoyote ni mzunguko wa muda mrefu wa jamaa wa matokeo hayo. Probabilities ni kati ya sifuri na moja, umoja (yaani, sifuri na moja na namba zote kati ya maadili haya). \(P(A) = 0\)ina maana tukio kamwe\(A\) kutokea. \(P(A) = 1\)ina maana tukio\(A\) daima hutokea. \(P(A) = 0.5\)ina maana tukio\(A\) ni sawa uwezekano wa kutokea au si kutokea. Kwa mfano, kama wewe flip sarafu moja ya haki mara kwa mara (kutoka 20 hadi 2,000 hadi 20,000 mara) mzunguko wa jamaa wa vichwa unakaribia 0.5 (uwezekano wa vichwa).

Uwezekano sawa ina maana kwamba kila matokeo ya jaribio hutokea kwa uwezekano sawa. Kwa mfano, kama wewe toss haki, sita upande mmoja kufa, kila uso (1, 2, 3, 4, 5, au 6) ni kama uwezekano wa kutokea kama uso nyingine yoyote. Kama toss sarafu ya haki, Mkuu (H) na Mkia (T) ni sawa uwezekano wa kutokea. Kama nasibu nadhani jibu la swali la kweli/uongo juu ya mtihani, wewe ni sawa uwezekano wa kuchagua jibu sahihi au jibu sahihi.

Ili kuhesabu uwezekano wa tukio A wakati matokeo yote katika nafasi ya sampuli yana uwezekano sawa, kuhesabu idadi ya matokeo ya tukio A na ugawanye na idadi ya matokeo katika nafasi ya sampuli. Kwa mfano, ikiwa unatupa dime ya haki na nickel ya haki, nafasi ya sampuli\(\{HH, TH, HT, TT\}\) ndipo\(T =\) mikia na\(H =\) vichwa. Nafasi ya sampuli ina matokeo manne. A = kupata kichwa kimoja. Kuna matokeo mawili ambayo yanakidhi hali hii\(\{HT, TH\}\), kwa hiyo\(P(A) = \frac{2}{4} = 0.5\).

Tuseme unaendelea moja ya haki sita upande mmoja kufa, na idadi\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) juu ya nyuso zake. Hebu tukio\(E =\) rolling idadi ambayo ni angalau tano. Kuna matokeo mawili\(\{5, 6\}\). \(P(E) = \frac{2}{6}\)Kama ungekuwa na roll kufa mara chache tu, huwezi kushangaa kama matokeo yako aliona hakuwa mechi uwezekano. Kama ungekuwa unaendelea kufa idadi kubwa sana ya nyakati, ungependa kutarajia kwamba, ujumla,\(\frac{2}{6}\) ya mistari bila kusababisha matokeo ya “angalau tano”. Wewe bila kutarajia hasa\(\frac{2}{6}\). Mzunguko wa jamaa wa muda mrefu wa kupata matokeo haya ungekuja uwezekano wa kinadharia wa\(\frac{2}{6}\) kama idadi ya marudio inakua kubwa na kubwa.

Tabia hii muhimu ya majaribio ya uwezekano inajulikana kama sheria ya idadi kubwa ambayo inasema kuwa kama idadi ya marudio ya jaribio imeongezeka, mzunguko wa jamaa uliopatikana katika jaribio huelekea kuwa karibu na karibu na uwezekano wa kinadharia. Ingawa matokeo hayafanyike kulingana na muundo wowote au utaratibu, kwa ujumla, mzunguko wa jamaa wa muda mrefu uliozingatiwa utakaribia uwezekano wa kinadharia. (Neno empirical mara nyingi hutumiwa badala ya neno aliona.)

Ni muhimu kutambua kwamba katika hali nyingi, matokeo hayawezekani sawa. sarafu au kufa inaweza kuwa haki, au upendeleo. Mbili math profesa katika Ulaya walikuwa takwimu zao wanafunzi mtihani Ubelgiji moja Euro sarafu na kugundua kwamba katika 250 majaribio, kichwa alikuwa kupatikana 56% ya muda na mkia kupatikana 44% ya muda. Takwimu zinaonekana kuonyesha kwamba sarafu si sarafu ya haki; marudio zaidi yatakuwa na manufaa kuteka hitimisho sahihi zaidi kuhusu upendeleo huo. Baadhi dice inaweza kuwa upendeleo. Angalia kete katika mchezo una nyumbani; matangazo juu ya kila uso ni kawaida mashimo madogo kuchonga nje na kisha walijenga kufanya matangazo kuonekana. Kete yako inaweza au kutokuwa na upendeleo; inawezekana kwamba matokeo yanaweza kuathiriwa na tofauti kidogo uzito kutokana na idadi tofauti ya mashimo katika nyuso. Kamari kasinon pesa nyingi kulingana na matokeo kutoka dice rolling, hivyo casino dice ni alifanya tofauti ili kuondoa upendeleo. Casino dice na nyuso gorofa; mashimo ni kabisa kujazwa na rangi kuwa wiani sawa na nyenzo kwamba dice ni alifanya nje ya ili kila uso ni sawa uwezekano wa kutokea. Baadaye tutajifunza mbinu za kutumia kufanya kazi na probabilities kwa matukio ambayo si sawa.

“\(\cup\)" Tukio: Muungano

Matokeo ni katika tukio\(A \cup B\) kama matokeo ni katika A au ni katika B au ni katika wote A na B. Kwa mfano, basi\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) na\(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Kumbuka kwamba 4 na 5 si waliotajwa mara mbili.

“\(\cap \)" Tukio: Intersection

Matokeo ni katika tukio\(A \cap B\) kama matokeo ni katika A na B kwa wakati mmoja. Kwa mfano, basi\(A\) na\(B\) uwe\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) na\(\{4, 5, 6, 7, 8\}\), kwa mtiririko huo. Kisha\(A \cap B = \{4, 5\}\).

Msaidizi wa tukio A umeashiria A( soma “Mkuu”). Alina matokeo yote ambayo si katika A. taarifa kwamba\(P(A) + P(A′) = 1\). Kwa mfano, basi\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) na basi\(A = \{1, 2, 3, 4\}\). Kisha,\(A′ = \{5, 6\}\). \(P(A) = \frac{4}{6}\)\(P(A′) = \frac{2}{6}\), na\(P(A) + P(A′) = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1\)

Uwezekano wa masharti ya\(A\) kutolewa\(B\) umeandikwa\(P(A|B)\). \(P(A|B)\)ni uwezekano kwamba tukio\(A\) kutokea kutokana na kwamba tukio\(B\) tayari ilitokea. Masharti hupunguza nafasi ya sampuli. Tunahesabu uwezekano wa A kutoka nafasi iliyopunguzwa ya sampuli\(B\). Fomu ya kuhesabu\(P(A|B)\)\(P(B)\) ni\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) wapi zaidi kuliko sifuri.

Kwa mfano, tuseme tunatupa haki moja, sita upande mmoja kufa. Nafasi ya sampuli\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Hebu\(A =\) uso ni 2 au 3 na\(B =\) uso ni hata\((2, 4, 6)\). Ili kuhesabu\(P(A|B)\), tunahesabu idadi ya matokeo 2 au 3 katika nafasi ya sampuli\(B = \{2, 4, 6\}\). Kisha tunagawanya kwamba kwa idadi ya matokeo\(B\) (badala ya\(S\)).

Tunapata matokeo sawa kwa kutumia formula. Kumbuka kwamba\(S\) ina matokeo sita.

\(P(A|B) = \frac{\frac{(\text { the number of outcomes that are } 2 \text { or } 3 \text { and even in } S)}{6}}{\frac{(\text { the number of outcomes that are even in } S)}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}}=\frac{1}{3}\)

Tabia mbaya

Vikwazo vya tukio hutoa uwezekano kama uwiano wa mafanikio ya kushindwa. Hii ni ya kawaida katika muundo mbalimbali kamari. Kihisabati, tabia mbaya ya tukio inaweza kuelezwa kama:

\[\frac{P(A)}{1-P(A)}\nonumber\]

ambapo\(P(A)\) ni uwezekano wa mafanikio na bila shaka\(1 − P(A)\) ni uwezekano wa kushindwa. Tabia mbaya ni daima alinukuliwa kama “nambari kwa denominator,” kwa mfano 2 kwa 1. Hapa uwezekano wa kushinda ni mara mbili ya kupoteza; hivyo, uwezekano wa kushinda ni 0.66. Uwezekano wa kushinda 0.60 ingeweza kuzalisha tabia mbaya kwa ajili ya kushinda ya 3 hadi 2. Wakati hesabu ya tabia mbaya inaweza kuwa na manufaa katika kumbi kamari katika kuamua kiasi payoff, si muhimu kwa ajili ya kuelewa uwezekano au nadharia ya takwimu.

Kuelewa Istilahi na alama

Ni muhimu kusoma kila tatizo kwa makini kufikiri juu na kuelewa nini matukio ni. Kuelewa maneno ni hatua ya kwanza muhimu sana katika kutatua matatizo ya uwezekano. Rejesha tatizo mara kadhaa ikiwa ni lazima. Tambua wazi tukio la riba. Kuamua kama kuna hali iliyoelezwa katika maneno ambayo yanaonyesha kuwa uwezekano ni masharti; uangalie kwa makini hali hiyo, ikiwa ipo.

Suluhisho 3.3

1. \(P(M) = 0.52\)
2. \(P(F) = 0.48\)
3. \(P(R) = 0.87\)
4. \(P(L) = 0.13\)
5. \(P(M \cap R) = 0.43\)
6. \(P(F \cap L) = 0.04\)
7. \(P(M \cup F) = 1\)
8. \(P(M \cup R) = 0.96\)
9. \(P(F \cup L) = 0.57\)
10. \(P(M') = 0.48\)
11. \(P(R|M) = 0.8269\)(mviringo hadi sehemu nne za decimal)
12. \(P(F|L) = 0.3077\)(mviringo hadi sehemu nne za decimal)
13. \(P(L|F) = 0.0833\)