1.1: Ufafanuzi wa Takwimu, Uwezekano, na Masharti muhimu

Sayansi ya takwimu inahusika na ukusanyaji, uchambuzi, tafsiri, na uwasilishaji wa data. Tunaona na kutumia data katika maisha yetu ya kila siku.

Katika kozi hii, utajifunza jinsi ya kuandaa na muhtasari wa data. Kuandaa na muhtasari wa data huitwa takwimu za maelezo. Njia mbili za muhtasari wa data ni kwa kuchora na kwa kutumia namba (kwa mfano, kutafuta wastani). Baada ya kujifunza uwezekano na uwezekano mgawanyo, utatumia mbinu rasmi za kuchora hitimisho kutoka kwa data “nzuri”. Mbinu rasmi huitwa takwimu za inferential. Inference ya takwimu inatumia uwezekano wa kuamua jinsi tunaweza kuwa na ujasiri kwamba hitimisho letu ni sahihi.

Ufafanuzi wa ufanisi wa data (inference) unategemea taratibu nzuri za kuzalisha data na uchunguzi wa makini wa data. Utakutana na nini kitaonekana kuwa kanuni nyingi za hisabati za kutafsiri data. Lengo la takwimu si kufanya mahesabu mengi kwa kutumia formula, lakini kupata ufahamu wa data yako. Mahesabu yanaweza kufanywa kwa kutumia calculator au kompyuta. Uelewa lazima uje kutoka kwako. Ikiwa unaweza kufahamu kabisa misingi ya takwimu, unaweza kuwa na ujasiri zaidi katika maamuzi unayofanya katika maisha.

Uwezekano

Uwezekano ni chombo cha hisabati kinachotumiwa kujifunza randomness. Inahusika na nafasi (uwezekano) wa tukio linalotokea. Kwa mfano, ikiwa unatupa sarafu ya haki mara nne, matokeo hayawezi kuwa vichwa viwili na mikia miwili. Hata hivyo, ikiwa unatupa sarafu moja mara 4,000, matokeo yatakuwa karibu na vichwa vya nusu na mikia ya nusu. Uwezekano wa kinadharia unaotarajiwa wa vichwa katika toss yoyote ni\(\frac{1}{2}\) au 0.5. Ingawa matokeo ya marudio machache hayana uhakika, kuna mfano wa kawaida wa matokeo wakati kuna marudio mengi. Baada ya kusoma kuhusu mtaalam wa takwimu wa Kiingereza Karl Pearson aliyechafua sarafu mara 24,000 na matokeo ya vichwa 12,012, mmoja wa waandishi alipiga sarafu mara 2,000. Matokeo yalikuwa vichwa 996. Sehemu hiyo\(\frac{996}{2000}\) ni sawa na 0.498 ambayo ni karibu sana na 0.5, uwezekano uliotarajiwa.

Nadharia ya uwezekano ilianza na utafiti wa michezo ya nafasi kama vile poker. Utabiri kuchukua fomu ya probabilities. Kutabiri uwezekano wa tetemeko la ardhi, mvua, au kama utapata A katika kozi hii, tunatumia probabilities. Madaktari hutumia uwezekano wa kuamua nafasi ya chanjo inayosababisha ugonjwa huo chanjo inatakiwa kuzuia. Hifadhi ya hisa hutumia uwezekano wa kuamua kiwango cha kurudi kwenye uwekezaji wa mteja. Unaweza kutumia uwezekano wa kuamua kununua tiketi ya bahati nasibu au la. Katika utafiti wako wa takwimu, utatumia nguvu za hisabati kupitia mahesabu ya uwezekano kuchambua na kutafsiri data yako.

Masharti muhimu

Katika takwimu, kwa ujumla tunataka kujifunza idadi ya watu. Unaweza kufikiria idadi ya watu kama mkusanyiko wa watu, vitu, au vitu chini ya utafiti. Ili kujifunza idadi ya watu, tunachagua sampuli. Wazo la sampuli ni kuchagua sehemu (au subset) ya idadi kubwa ya watu na kujifunza sehemu hiyo (sampuli) ili kupata taarifa kuhusu idadi ya watu. Takwimu ni matokeo ya sampuli kutoka kwa idadi ya watu.

Kwa sababu inachukua muda mwingi na pesa kuchunguza idadi nzima, sampuli ni mbinu ya vitendo sana. Ikiwa ungependa kuhesabu wastani wa kiwango cha daraja katika shule yako, ingekuwa na maana ya kuchagua sampuli ya wanafunzi wanaohudhuria shule. Data zilizokusanywa kutoka sampuli itakuwa wastani wa kiwango cha daraja la wanafunzi. Katika uchaguzi wa rais, sampuli za uchaguzi wa maoni za watu 1,000-2,000 zinachukuliwa. Uchaguzi wa maoni unatakiwa kuwakilisha maoni ya watu nchini kote. Wazalishaji wa vinywaji vya kaboni vya makopo huchukua sampuli ili kuamua kama ounce 16 inaweza kuwa na ounces 16 ya kunywa kaboni.

Kutoka data ya sampuli, tunaweza kuhesabu takwimu. Takwimu ni namba inayowakilisha mali ya sampuli. Kwa mfano, ikiwa tunaona darasa moja la hesabu kuwa sampuli ya idadi ya watu wa madarasa yote ya math, basi wastani wa idadi ya pointi zilizopatikana na wanafunzi kwa kuwa darasa moja la hesabu mwishoni mwa muda ni mfano wa takwimu. Takwimu ni makadirio ya parameter ya idadi ya watu, katika kesi hii maana. Kipimo ni tabia ya namba ya idadi ya watu wote ambayo inaweza kuhesabiwa na takwimu. Tangu sisi kuchukuliwa madarasa yote math kuwa idadi ya watu, basi wastani wa idadi ya pointi chuma kwa mwanafunzi juu ya madarasa yote math ni mfano wa parameter.

Moja ya wasiwasi kuu katika uwanja wa takwimu ni jinsi takwimu inakadiriwa kwa usahihi parameter. Usahihi unategemea jinsi sampuli inawakilisha idadi ya watu. Sampuli lazima iwe na sifa za idadi ya watu ili uwe sampuli ya mwakilishi. Sisi ni nia ya wote takwimu sampuli na parameter idadi ya watu katika takwimu inferential. Katika sura ya baadaye, tutatumia takwimu za sampuli ili kupima uhalali wa parameter iliyoanzishwa ya idadi ya watu.

Variable, au random variable, kawaida notated\(X\) na herufi kubwa kama vile na\(Y\), ni tabia au kipimo ambayo inaweza kuamua kwa kila mwanachama wa idadi ya watu. Vigezo inaweza kuwa namba au categorical. Vigawo vya namba huchukua maadili yenye vitengo sawa kama vile uzito katika paundi na muda kwa masaa. Vigezo vya kikundi huweka mtu au kitu ndani ya kikundi. Kama sisi basi\(X\) sawa idadi ya pointi chuma na mwanafunzi mmoja hisabati mwishoni mwa muda, basi\(X\) ni variable namba. Kama sisi basi\(Y\) kuwa chama uhusiano wa mtu, basi baadhi ya mifano ya\(Y\) ni pamoja na Republican, Democratic, na Independent. \(Y\)ni variable categorical. Tunaweza kufanya baadhi ya hesabu na maadili ya\(X\) (mahesabu ya wastani wa idadi ya pointi chuma, kwa mfano,), lakini haina mantiki ya kufanya hesabu na maadili ya\(Y\) (kuhesabu wastani chama uhusiano haina mantiki).

Takwimu ni maadili halisi ya kutofautiana. Zinaweza kuwa namba au zinaweza kuwa maneno. Datum ni thamani moja.

Maneno mawili ambayo huja mara nyingi katika takwimu ni maana na uwiano. Ikiwa ungekuwa na kuchukua mitihani mitatu katika madarasa yako ya hisabati na kupata alama za 86, 75, na 92, ungependa kuhesabu alama yako ya maana kwa kuongeza alama tatu za mtihani na kugawa kwa tatu (alama yako ya maana itakuwa 84.3 hadi mahali moja ya decimal). Ikiwa, katika darasa lako la hesabu, kuna wanafunzi 40 na 22 ni wanaume na 18 ni wanawake, basi idadi ya wanafunzi wa wanaume ni\(\frac{22}{40}\) na uwiano wa wanafunzi wa wanawake ni\(\frac{18}{40}\). Maana na uwiano hujadiliwa kwa undani zaidi katika sura za baadaye.

KUMBUKA

Maneno "maana" na "wastani" mara nyingi hutumiwa kwa kubadilishana. Kubadilisha neno moja kwa lingine ni mazoezi ya kawaida. Neno la kiufundi ni “maana ya hesabu,” na “wastani” ni kitaalam eneo la kituo. Hata hivyo, katika mazoezi kati ya wasio wa takwimu, “wastani” hukubaliwa kwa kawaida kwa “maana ya hesabu.”

Mfano 1.1

Kuamua nini maneno muhimu yanataja katika utafiti wafuatayo. Tunataka kujua wastani (maana) kiasi cha fedha mwaka wa kwanza wanafunzi wa chuo kutumia katika ABC College juu ya vifaa vya shule ambayo si ni pamoja na vitabu. Sisi nasibu utafiti 100 mwaka wa kwanza wanafunzi katika chuo. Watatu wa wanafunzi hao walitumia $150, $200, na $225, kwa mtiririko huo.

Jibu

Suluhisho 1.1

Idadi ya watu wote ni wanafunzi wa mwaka wa kwanza kuhudhuria ABC College muda huu.

sampuli inaweza kuwa wanafunzi wote waliojiunga katika sehemu moja ya mwanzo takwimu kozi katika ABC College (ingawa sampuli hii inaweza kuwakilisha idadi ya watu wote).

Kipimo ni wastani (maana) kiasi cha fedha kilichotumiwa (ukiondoa vitabu) na wanafunzi wa chuo cha mwaka wa kwanza katika Chuo cha ABC neno hili: idadi ya watu inamaanisha.

Takwimu ni wastani (maana) kiasi cha fedha kilichotumiwa (ukiondoa vitabu) na wanafunzi wa chuo cha mwaka wa kwanza katika sampuli.

Variable inaweza kuwa kiasi cha fedha zilizotumiwa (ukiondoa vitabu) na mwanafunzi mmoja wa mwaka wa kwanza. Hebu\(X\) = kiasi cha fedha zilizotumiwa (ukiondoa vitabu) na mwanafunzi mmoja wa mwaka wa kwanza anayehudhuria Chuo cha ABC.

Takwimu ni kiasi cha dola kilichotumiwa na wanafunzi wa mwaka wa kwanza. Mifano ya data ni $150, $200, na $225.

Zoezi 1.1

Kuamua nini maneno muhimu yanataja katika utafiti wafuatayo. Tunataka kujua wastani (maana) kiasi cha fedha zilizotumiwa katika sare za shule kila mwaka na familia zilizo na watoto katika Chuo cha Knoll. Sisi nasibu utafiti 100 familia na watoto shuleni. Tatu ya familia alitumia $65, $75, na $95, kwa mtiririko huo.

Mfano 1.2

Kuamua nini maneno muhimu yanataja katika utafiti wafuatayo.

Utafiti ulifanyika katika chuo kienyeji kuchambua wastani nyongeza GPA ya wanafunzi waliohitimu mwaka jana. Jaza barua ya maneno ambayo inaelezea kila kitu hapa chini.

1. Idadi ya watu ____ 2. Takwimu ____ 3. Kipimo ____ 4. Mfano ____ 5. Tofauti ____ 6. Data ____

1. wanafunzi wote ambao walihudhuria chuo mwaka jana
2. GPA nyongeza ya mwanafunzi mmoja ambaye alihitimu kutoka chuo mwaka jana
3. 3.65, 2.80, 1.50, 3.90
4. kundi la wanafunzi ambao walihitimu kutoka chuo mwaka jana, nasibu kuchaguliwa
5. wastani nyongeza GPA ya wanafunzi ambao walihitimu kutoka chuo mwaka jana
6. wanafunzi wote ambao walihitimu chuo mwaka jana
7. wastani nyongeza GPA ya wanafunzi katika utafiti ambao walihitimu kutoka chuo mwaka jana

Jibu

Suluhisho 1.2

1. f; 2. g; 3. e; 4. d; 5. b; 6. c

Mfano 1.3

Kuamua nini maneno muhimu yanataja katika utafiti wafuatayo.

Kama sehemu ya utafiti uliotengenezwa kupima usalama wa magari, Bodi ya Taifa ya Usalama wa Usafiri ilikusanya na kupitisha data kuhusu madhara ya ajali ya magari kwenye dummies ya mtihani. Hapa ni kigezo walichotumia:

Jedwali 1.1

Kasi ambayo magari yalianguka	Eneo la “gari” (yaani dummies)
35 maili/saa	Kiti cha mbele

Magari yenye dummies katika viti vya mbele yalianguka ndani ya ukuta kwa kasi ya maili 35 kwa saa. Tunataka kujua idadi ya dummies katika kiti cha dereva ambayo ingekuwa na majeraha ya kichwa, kama wangekuwa madereva halisi. Tunaanza na sampuli rahisi ya random ya magari 75.

Jibu

Suluhisho 1.3

Idadi ya watu ni magari yote yenye dummies katika kiti cha mbele.

Sampuli ni magari 75, yaliyochaguliwa na sampuli rahisi ya random.

Kipimo ni uwiano wa dummies ya dereva (kama walikuwa watu halisi) ambao wangekuwa na majeraha ya kichwa katika idadi ya watu.

Takwimu ni uwiano wa dummies ya dereva (kama wangekuwa watu halisi) ambao wangekuwa wameumia majeraha ya kichwa katika sampuli.

Variable\(X\) = idadi ya dummies dereva (kama wangekuwa watu halisi) ambao wangekuwa wameumia majeraha ya kichwa.

Data ni aidha: ndiyo, alikuwa na kuumia kichwa, au hapana, hakuwa na.

Mfano 1.4

Kuamua nini maneno muhimu yanataja katika utafiti wafuatayo.

Kampuni ya bima ingependa kuamua uwiano wa madaktari wote ambao wamehusika katika kesi moja au zaidi ya maovu. Kampuni hiyo huchagua madaktari 500 kwa random kutoka kwenye saraka ya kitaaluma na huamua idadi katika sampuli ambao wamehusika katika kesi ya maovu.

Jibu

Suluhisho 1.4

Idadi ya watu ni madaktari wote waliotajwa katika saraka ya kitaaluma.

Kipimo ni uwiano wa madaktari ambao wamehusika katika suti moja au zaidi ya maovu katika idadi ya watu.

Sampuli ni madaktari 500 waliochaguliwa kwa random kutoka saraka ya kitaaluma.

Takwimu ni uwiano wa madaktari ambao wamehusika katika suti moja au zaidi ya maovu katika sampuli.

Variable\(X\) = idadi ya madaktari ambao wamehusika katika suti moja au zaidi ya maovu.

Takwimu ni aidha: ndiyo, ilihusika katika kesi moja au zaidi ya maovu, au hapana, haikuwa.