Skip to main content
Global

7.2: Mali ya Kubadilisha na Associative (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173309

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Tumia mali za kubadilisha na za ushirika
    • Tathmini maneno kwa kutumia mali ya kubadilisha na associative
    • Kurahisisha maneno kwa kutumia mali ya kubadilisha na associative
    kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. kurahisisha: 7y + 2 + y + 13. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.3.10.
    2. Kuzidisha:\(\dfrac{2}{3} \cdot 18\). Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 4.3.10.
    3. Kupata kinyume cha 15. Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 3.1.3.

    Katika sehemu chache zifuatazo, tutaangalia mali ya namba halisi. Mengi ya mali hizi zitaelezea mambo unayoyajua tayari, lakini itasaidia kutoa majina kwa mali na kufafanua rasmi. Kwa njia hii tutaweza kutaja yao na kuzitumia kama sisi kutatua milinganyo katika sura inayofuata.

    Tumia Mali za Comutative na Associative

    Fikiria juu ya kuongeza namba mbili, kama vile 5 na 3.

    \[\begin{split} 5 &+ 3 \qquad 3 + 5 \\ &\; 8 \qquad \qquad 8 \end{split}\]

    Matokeo ni sawa. 5 + 3 = 3 + 5

    Angalia, utaratibu ambao tunaongeza haijalishi. Vile vile ni kweli wakati wa kuzidisha 5 na 3.

    \[\begin{split} 5 &\cdot 3 \qquad \; 3 \cdot 5 \\ & 15 \qquad \quad 15 \end{split}\]

    Tena, matokeo ni sawa! 5 • 3 = 3 • 5. Utaratibu ambao tunazidisha haijalishi. Mifano hizi zinaonyesha tabia za kubadilisha za kuongeza na kuzidisha.

    Ufafanuzi: Mali za kubadilisha

    Mali ya Kubadilisha ya Kuongezea: ikiwa na b ni namba halisi, basi a + b = b + a

    Mali ya Kubadilisha ya Kuzidisha: ikiwa na b ni namba halisi, basi • b = b • a

    Mali ya kubadilisha inahusiana na utaratibu. Ikiwa unabadilisha utaratibu wa namba wakati unapoongeza au kuzidisha, matokeo ni sawa.

    Mfano\(\PageIndex{1}\):

    Tumia mali za kubadilisha ili uandike upya maneno yafuatayo: (a) -1 + 3 = _____ (b) 4 • 9 = _____

    Suluhisho

    (a) -1 + 3 = _____

    Tumia mali ya kubadilisha ya kuongeza ili kubadilisha utaratibu. -1 + 3 = 3 + (-1)

    (b) 4 • 9 = _____

    Tumia mali ya kubadilisha ya kuzidisha ili kubadilisha utaratibu. 4 • 9 = 9 • 4
    Zoezi\(\PageIndex{1}\):

    Tumia mali za kubadilisha ili uandike upya maneno yafuatayo: (a) -4 + 7 = _____ (b) 6 • 12 = _____

    Jibu

    \(-4+7=7+(-4)\)

    Jibu b

    \(6 \cdot 12=12 \cdot 6\)

    Zoezi\(\PageIndex{2}\):

    Tumia mali za kubadilisha ili uandike upya maneno yafuatayo: (a) 14 + (-2) = _____ (b) 3 (-5) = _____

    Jibu

    \(14+(-2)=-2+14\)

    Jibu b

    \(3(-5)=(-5) 3\)

    Nini kuhusu kuondoa? Je, ili jambo wakati sisi Ondoa idadi? Je, 7 - 3 hutoa matokeo sawa na 3 ÷ 7?

    \[\begin{split} 7 &- 3 \qquad 3 - 7 \\ &\; 4 \qquad \quad -4 \\ & \quad 4 \neq -4 \end{split}\]

    Matokeo hayakuwa sawa. 7- 3} 3 ÷ 7

    Kwa kuwa kubadilisha utaratibu wa uondoaji haukutoa matokeo sawa, tunaweza kusema kuwa uondoaji sio mgawanyiko. Hebu tuone kinachotokea tunapogawanya namba mbili. Je mgawanyiko commutative?

    \[\begin{split} 12 &\div 4 \qquad 4 \div 12 \\ & \dfrac{12}{4} \qquad \quad \dfrac{4}{12} \\ &\; 3 \qquad \qquad \dfrac{1}{3} \\ &\quad \; 3 \neq \dfrac{1}{3} \end{split}\]

    Matokeo si sawa. Hivyo 12 ÷ 4 坪 4 ÷ 12

    Kwa kuwa kubadilisha utaratibu wa mgawanyiko haukutoa matokeo sawa, mgawanyiko hauwezi kubadilisha.

    Kuongezea na kuzidisha ni commutative. Kutoa na mgawanyiko sio kubadilisha.

    Tuseme uliulizwa kurahisisha maneno haya.

    \[7 + 8 + 2\]

    Je, unaweza kufanya hivyo na jibu lako lingekuwa nini?

    Baadhi ya watu kufikiri 7 + 8 ni 15 na kisha 15 + 2 ni 17. Wengine wanaweza kuanza na 8 + 2 hufanya 10 na kisha 7 + 10 hufanya 17.

    Njia zote mbili hutoa matokeo sawa, kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{1}\). (Kumbuka kwamba mabano ni alama za kikundi ambazo zinaonyesha shughuli zipi zifanyike kwanza.)

    Picha inaonyesha equation. Upande wa kushoto wa equation unaonyesha wingi 7 pamoja na 8 katika mabano pamoja na 2. Upande wa kulia wa show ya equation 7 pamoja na wingi 8 pamoja na 2. Kila upande wa equation ni boxed tofauti katika nyekundu. Kila sanduku ina mshale akizungumzia kutoka sanduku na idadi 17 chini.

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Wakati wa kuongeza namba tatu, kubadilisha kikundi cha nambari hakubadilisha matokeo. Hii inajulikana kama Mali Associative ya Aidha.

    Kanuni hiyo inashikilia kweli kwa kuzidisha pia. Tuseme tunataka kupata thamani ya maneno yafuatayo:

    \[5 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 3\]

    Kubadilisha kikundi cha namba hutoa matokeo sawa, kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

    Picha inaonyesha equation. Upande wa kushoto wa equation unaonyesha wingi mara 5 1 ya tatu katika mabano mara 3. Upande wa kulia wa equation inaonyesha mara 5 kiasi 1 mara tatu 3. Kila upande wa equation ni boxed tofauti katika nyekundu. Kila sanduku ina mshale akizungumzia kutoka sanduku kwa idadi 5 chini.

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Wakati wa kuzidisha namba tatu, kubadilisha kikundi cha nambari hakubadilisha matokeo. Hii inajulikana kama Mali Associative ya Kuzidisha.

    Ikiwa tunazidisha namba tatu, kubadilisha kikundi hakuathiri bidhaa. Labda unajua hili, lakini istilahi inaweza kuwa mpya kwako. Mifano hii inaonyesha Mali Associative.

    Ufafanuzi: Mali za Ushirika

    Mali ya Ushirikiano wa Kuongeza: ikiwa, b, na c ni namba halisi, basi (a + b) + c = a + (b + c)

    Mali ya Ushirika wa Kuzidisha: ikiwa, b, na c ni namba halisi, basi (a • b) • c = a • (b • c)

    Mfano\(\PageIndex{2}\):

    Tumia mali za ushirika ili uandike upya zifuatazo: (a) (3 + 0.6) + 0.4 = __________ (b)\(\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15\) = __________

    Suluhisho

    (a) (3 + 0.6) + 0.4 = __________

    Badilisha kikundi. (3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

    Kumbuka kwamba 0.6 + 0.4 ni 1, hivyo kuongeza itakuwa rahisi kama sisi kundi kama inavyoonekana upande wa kulia.

    (b)\(\left(−4 \cdot \dfrac{2}{5}\right) \cdot 15\) = __________

    Badilisha kikundi. (3 + 0.6) + 0.4 = 3 + (0.6 + 0.4)

    Taarifa kwamba\(\dfrac{2}{5} \cdot 15\) ni 6. Kuzidisha itakuwa rahisi kama sisi kundi kama inavyoonekana upande wa kulia.

    Zoezi\(\PageIndex{3}\):

    Tumia mali za ushirika ili uandike upya yafuatayo: (a) (1 + 0.7) + 0.3 = __________ (b) (-9 • 8) •\(\dfrac{3}{4}\) = __________

    Jibu

    \((1+0.7)+0.3=1+(0.7+0.3)\)

    Jibu b

    \((-9 \cdot 8) \cdot \frac{3}{4}=-9\left(8 \cdot \frac{3}{4}\right)\)

    Zoezi\(\PageIndex{4}\):

    Tumia mali za ushirika ili uandike upya yafuatayo: (a) (4 + 0.6) + 0.4 = __________ (b) (-2 • 12) •\(\dfrac{5}{6}\) = __________

    Jibu

    \((4+0.6)+0.4=4+(0.6+0.4)\)

    Jibu b

    \((-2 \cdot 12) \cdot \frac{5}{6}=-2\left(12 \cdot \frac{5}{6}\right)\)

    Mbali na kutumia mali associative kufanya mahesabu rahisi, sisi mara nyingi kutumia ili kurahisisha maneno na vigezo.

    Mfano\(\PageIndex{3}\):

    Tumia Mali ya Associative ya Kuzidisha ili kurahisisha: 6 (3x).

    Suluhisho

    Badilisha kikundi. (6 • 3) x
    Panua katika mabano. 18x

    Kumbuka kwamba tunaweza kuzidisha 6 • 3, lakini hatukuweza kuzidisha 3 • x bila kuwa na thamani kwa x.

    Zoezi\(\PageIndex{5}\):

    Tumia Mali ya Associative ya Kuzidisha ili kurahisisha maneno yaliyotolewa: 8 (4x).

    Jibu

    \(32x\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\):

    Tumia Mali ya Associative ya Kuzidisha ili kurahisisha maneno yaliyotolewa: -9 (7y).

    Jibu

    \(-63y\)

    Tathmini Maneno kwa kutumia Mali ya Commutative na Associative

    Mali ya kubadilisha na ushirika inaweza iwe rahisi kutathmini baadhi ya maneno ya algebraic. Kwa kuwa utaratibu haujalishi wakati wa kuongeza au kuzidisha maneno matatu au zaidi, tunaweza kupanga upya na kuunda tena maneno ili kufanya kazi yetu iwe rahisi, kama mifano kadhaa inayofuata inavyoonyesha.

    Mfano\(\PageIndex{4}\):

    Tathmini kila kujieleza wakati x =\(\dfrac{7}{8}\). (a) x + 0.37 + (- x) (b) x + (- x) + 0.37

    Suluhisho

    (a) x + 0.37 + (∙ x)

    Mbadala\(\dfrac{7}{8}\) kwa ajili ya x. $$\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {7} {8}} + 0.37 +\ kushoto (-\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {7} {8}}\ haki) $$
    Badilisha sehemu ndogo kwa decimals. 0.875 + 0.37 + (-0.875)
    Ongeza kushoto kwenda kulia. 1.245 - 0.875
    Ondoa. 0.37

    (b) x + (- x) + 0.37

    Mbadala\(\dfrac{7}{8}\) kwa ajili ya x. $$\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {7} {8}} +\ kushoto (-\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {7} {8}}\ haki) + 0.37 $$
    Ongeza kupinga kwanza. 0.37

    Ni tofauti gani kati ya sehemu (a) na sehemu (b)? Tu ili iliyopita. Kwa Mali ya Kubadilisha ya Kuongeza, x + 0.37 + (∙ x) = x + (- x) + 0.37. Lakini haikuwa sehemu (b) rahisi zaidi?

    Zoezi\(\PageIndex{7}\):

    Tathmini kila kujieleza wakati y =\(\dfrac{3}{8}\): (a) y + 0.84 + (∙ y) (b) y + (- y) + 0.84.

    Jibu

    \(0.84\)

    Jibu b

    \(0.84\)

    Zoezi\(\PageIndex{8}\):

    Tathmini kila usemi wakati f =\(\dfrac{17}{20}\): (a) f + 0.975 + (∙ f) (b) f + (- f) + 0.975.

    Jibu

    \(0.975\)

    Jibu b

    \(0.975\)

    Hebu tufanye moja zaidi, wakati huu na kuzidisha.

    Mfano\(\PageIndex{5}\):

    Tathmini kila kujieleza wakati n = 17. (a)\(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)\) (b)\(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\)

    Suluhisho

    (a)\(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right)\)

    Mbadala 17 kwa n. $$\ dfrac {4} {3}\ kushoto (\ dfrac {3} {4}\ dot\ textcolor {nyekundu} {17}\ haki) $$
    Kuzidisha katika mabano kwanza. $$\ dfrac {4} {3}\ kushoto (\ dfrac {51} {4}\ haki) $$
    Panua tena. $17$$

    (b)\(\left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\)

    Mbadala 17 kwa n. $$\ kushoto (\ dfrac {4} {3}\ dot\ dfrac {3} {4}\ haki)\ textcolor {nyekundu} {\ cdot 17} $$
    Kuzidisha. Bidhaa ya kurudi ni 1. $$ (1)\ dot $17
    Panua tena. $17$$

    Ni tofauti gani kati ya sehemu (a) na sehemu (b) hapa? Kundi tu limebadilishwa. Kwa Mali Associative ya Kuzidisha,\(\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{3}{4} n\right) = \left(\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\right) n\). Kwa kuchagua kwa makini jinsi ya kuunda mambo, tunaweza kufanya kazi iwe rahisi.

    Zoezi\(\PageIndex{9}\):

    Tathmini kila kujieleza wakati p = 24. (a)\(\dfrac{5}{9} \left(\dfrac{9}{5} p\right)\) (b)\(\left(\dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{9}{5}\right) p\)

    Jibu

    \(24\)

    Jibu b

    \(24\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\):

    Tathmini kila kujieleza wakati q = 15. (a)\(\dfrac{7}{11} \left(\dfrac{11}{7} q\right)\) (b)\(\left(\dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{11}{7}\right) q\)

    Jibu

    \(15\)

    Jibu b

    \(15\)

    Wachangiaji na Majina