2.1: Tumia Lugha ya Algebra (Sehemu ya 1)

Malengo ya kujifunza

• Tumia vigezo na alama za algebraic
• Tambua maneno na milinganyo
• Kurahisisha maneno na watazamaji
• Kurahisisha maneno kwa kutumia utaratibu wa shughuli

Kuwa tayari!

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

1. Ongeza:\(43 + 69\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 1.2.8.
2. Kuzidisha:\((896)201\). Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 1.4.11.
3. Gawanya:\(7,263 ÷ 9\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 1.5.8.

Tumia Vigezo na Algebraic Algebraic

Greg na Alex wana siku ya kuzaliwa sawa, lakini walizaliwa katika miaka tofauti. Mwaka huu Greg ni umri wa\(20\) miaka na Alex ni\(23\), hivyo Alex ni umri wa\(3\) miaka kuliko Greg. Wakati Greg alikuwa\(12\), Alex alikuwa\(15\). Wakati Greg ni\(35\), Alex itakuwa\(38\). Haijalishi umri wa Greg ni nini, umri wa Alex utakuwa\(3\) miaka zaidi, sawa?

Katika lugha ya algebra, tunasema kwamba umri wa Greg na umri wa Alex ni tofauti na tatu ni mara kwa mara. Umri hubadilika, au hutofautiana, hivyo umri ni tofauti. \(3\)Miaka kati yao daima inakaa sawa, hivyo tofauti ya umri ni mara kwa mara.

Katika algebra, barua za alfabeti hutumiwa kuwakilisha vigezo. Tuseme tunaita umri wa Greg\(g\). Kisha tunaweza kutumia\(g + 3\) kuwakilisha umri wa Alex. Angalia Jedwali\(\PageIndex{1}\).

Jedwali\(\PageIndex{1}\)

Umri wa Greg	Umri wa Alex
12	15
20	23
35	38
g	g + 3

Barua hutumiwa kuwakilisha vigezo. Barua mara nyingi kutumika kwa ajili ya vigezo ni\(x, y, a, b,\) na\(c\).

Ufafanuzi: Vigezo na Constants

Variable ni barua inayowakilisha namba au kiasi ambacho thamani yake inaweza kubadilika.

Mara kwa mara ni namba ambayo thamani yake daima inakaa sawa.

Kuandika algebraically, tunahitaji baadhi ya alama kama vile idadi na vigezo. Kuna aina kadhaa za alama tutakayotumia. Katika Hesabu nzima, tulianzisha alama kwa shughuli nne za msingi za hesabu: kuongeza, kuondoa, kuzidisha, na mgawanyiko. Tutawafupisha hapa, pamoja na maneno tunayotumia kwa shughuli na matokeo.

Jedwali\(\PageIndex{2}\)

Operesheni	Nukuu	Sema:	Matokeo ni...
Ongezeko	a + b	a pamoja na b	jumla ya a na b
Kutoa	a - b	a minus b	tofauti ya a na b
Kuzidisha	a • b, (a) (b), (a) b, a (b)	mara b	bidhaa ya a na b
Mgawanyiko	a ÷ b, a/b\(\dfrac{a}{b}\),\(b \overline{)a}\)	a kugawanywa na b	quotient ya a na b

Katika algebra, alama ya msalaba\(×\), haitumiwi kuonyesha kuzidisha kwa sababu alama hiyo inaweza kusababisha machafuko. Ina\(3xy\) maana\(3 × y\) (mara tatu\(y\)) au\(3 • x • y\) (\(x\)mara tatu\(y\))? Ili kuiweka wazi, tumia\(•\) au mabano kwa kuzidisha.

Tunafanya shughuli hizi kwa namba mbili. Wakati wa kutafsiri kutoka kwa fomu ya mfano kwa maneno, au kutoka kwa maneno hadi fomu ya mfano, makini na maneno ya au kukusaidia kupata namba.

Jumla ya\(5\) na\(3\) ina maana kuongeza\(5\) pamoja\(3\), ambayo tunaandika kama\(5 + 3\).

Tofauti ya\(9\) na\(2\) ina maana ya\(9\) kuondoa\(2\), ambayo tunaandika kama\(9 − 2\).

Bidhaa ya\(4\) na\(8\) ina maana ya kuzidisha\(4\) mara\(8\), ambayo tunaweza kuandika kama\(4 • 8\).

Quotient ya\(20\) na\(5\) ina maana kugawanywa\(20\) na\(5\), ambayo tunaweza kuandika kama\(20 ÷ 5\).

Mfano\(\PageIndex{1}\): translate to words

Tafsiri kutoka algebra hadi maneno:

1. \(12 + 14\)
2. \((30)(5)\)
3. \(64 ÷ 8\)
4. \(x − y\)

Suluhisho

12 + 14

12 pamoja na 14

jumla ya kumi na mbili na kumi na nne

(30) (5)

Mara 30 5

bidhaa ya thelathini na tano

64 ÷ 8

64 imegawanywa na 8

quotient ya sitini na nne na nane

x - y

x minus y

tofauti ya x na y

zoezi\(\PageIndex{1}\)

Tafsiri kutoka algebra hadi maneno.

1. \(18 + 11\)
2. \((27)(9)\)
3. \(84 ÷ 7\)
4. \(p − q\)

Jibu

\(18\)pamoja\(11\); jumla ya kumi na nane na kumi na moja

Jibu b

\(27\)mara\(9\); bidhaa ya ishirini na saba na tisa

Jibu c

\(84\)kugawanywa na\(7\); quotient ya themanini na nne na saba

Jibu d

\(p\)minus\(q\); tofauti ya\(p\) na\(q\)

zoezi\(\PageIndex{2}\)

Tafsiri kutoka algebra hadi maneno.

1. \(47 − 19\)
2. \(72 ÷ 9\)
3. \(m + n\)
4. \((13)(7)\)

Jibu

\(47\)minus\(19\); tofauti ya arobaini na saba na kumi na tisa

Jibu b

\(72\)kugawanywa na\(9\); quotient ya sabini na mbili na tisa

Jibu c

\(m\)pamoja\(n\); jumla ya\(m\) na\(n\)

Jibu d

\(13\)mara\(7\); bidhaa ya kumi na tatu na saba

Wakati kiasi mbili zina thamani sawa, tunasema ni sawa na kuunganisha kwa ishara sawa.

Ufafanuzi: Ishara ya usawa

\(a = b\)inasoma\(a\) ni sawa na\(b\)

Ishara\(=\) inaitwa ishara sawa.

Ukosefu wa usawa hutumiwa katika algebra kulinganisha kiasi mbili ambacho kinaweza kuwa na maadili tofauti. Mstari wa nambari unaweza kukusaidia kuelewa kutofautiana. Kumbuka kwamba kwenye mstari wa namba namba hupata kubwa kama wanaenda kutoka kushoto kwenda kulia. Hivyo kama tunajua kwamba\(b\) ni kubwa kuliko\(a\), inamaanisha kwamba\(b\) ni haki ya\(a\) juu ya mstari idadi. Tunatumia alama\(<\) "na"\(>\) "kwa usawa.

Ufafanuzi: Ukosefu

\(a < b\)inasoma\(a\) ni chini ya\(b\)

\(a\)ni upande wa kushoto wa\(b\) kwenye mstari wa namba

\(a > b\)inasoma\(a\) ni kubwa kuliko\(b\)

\(a\)ni na haki ya\(b\) juu ya mstari idadi

Maneno\(a < b\) na\(a > b\) yanaweza kusomwa kutoka kushoto-kwenda kulia au kulia-kushoto, ingawa kwa Kiingereza sisi kawaida kusoma kutoka kushoto-kwenda kulia. Kwa ujumla,\(a < b\) ni sawa na\(b > a\). Kwa mfano,\(7 < 11\) ni sawa na\(11 > 7\). \(a > b\)ni sawa na\(b < a\). Kwa mfano,\(17 > 4\) ni sawa na\(4 < 17\).

Tunapoandika ishara ya kukosekana kwa usawa na mstari chini yake, kama vile\(a ≤ b\), inamaanisha\(a < b\) au\(a = b\). Tunasoma hii\(a\) ni chini ya au sawa na\(b\). Pia, ikiwa tunaweka slash kupitia ishara sawa\(≠\), inamaanisha si sawa.

Sisi muhtasari alama ya usawa na usawa katika Jedwali\(\PageIndex{3}\).

Jedwali\(\PageIndex{3}\)

Aljebraic Notation	Sema
a = b	a ni sawa na b
a ∙ b	a si sawa na b
a <b	a ni chini ya b
a> b	a ni kubwa kuliko b
a ≤ b	a ni chini ya au sawa na b
a ≥ b	a ni kubwa kuliko au sawa na b

Ufafanuzi: Alama\(<\) and \(>\)

Alama\(<\) na\(>\) kila mmoja huwa na upande mdogo na upande mkubwa.

upande mdogo upande\(<\) mkubwa

upande mkubwa upande\(>\) mdogo

Sehemu ndogo ya ishara inakabiliwa na idadi ndogo na inakabiliwa na idadi kubwa zaidi.

Mfano\(\PageIndex{2}\): translate to words

Tafsiri kutoka algebra hadi maneno:

1. \(20 ≤ 35\)
2. \(11 ≠ 15 − 3\)
3. \(9 > 10 ÷ 2\)
4. \(x + 2 < 10\)

Suluhisho

20 ≤ 35

20 ni chini ya au sawa na 35

11 - 15 - 3

11 si sawa na 15 minus 3

9> 10 ÷ 2

9 ni kubwa kuliko 10 imegawanywa na 2

x + 2 <10

x pamoja na 2 ni chini ya 10

zoezi\(\PageIndex{3}\)

Tafsiri kutoka algebra hadi maneno.

1. \(14 ≤ 27\)
2. \(19 − 2 ≠ 8\)
3. \(12 > 4 ÷ 2\)
4. \(x − 7 < 1\)

Jibu

kumi na nne ni chini ya au sawa na ishirini na saba

Jibu b

kumi na tisa minus mbili si sawa na nane

Jibu c

kumi na mbili ni kubwa kuliko nne kugawanywa na mbili

Jibu d

\(x\)minus saba ni chini ya moja

zoezi\(\PageIndex{4}\)

Tafsiri kutoka algebra hadi maneno.

1. \(19 ≥ 15\)
2. \(7 = 12 − 5\)
3. \(15 ÷ 3 < 8\)
4. \(y - 3 > 6\)

Jibu

kumi na tisa ni kubwa kuliko au sawa na kumi na tano

Jibu b

saba ni sawa na kumi na mbili minus tano

Jibu c

kumi na tano kugawanywa na tatu ni chini ya nane

Jibu d

\(y\)minus tatu ni kubwa kuliko sita

Mfano\(\PageIndex{3}\): translate

Taarifa katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\) inalinganisha uchumi wa mafuta katika maili-kwa kila lita (mpg) ya magari kadhaa. Andika ishara sahihi =, katika kila kujieleza kulinganisha uchumi wa mafuta wa magari.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (mikopo: mabadiliko ya kazi na Bernard Goldbach, Wikimedia Commons)

1. MPG ya Prius _____ MPG ya Mini Cooper
2. MPG ya Versa _____ MPG ya Fit
3. MPG ya Mini Cooper _____ MPG ya Fit
4. MPG ya Corolla _____ MPG ya Versa
5. MPG ya Corolla_____ MPG ya Prius

Suluhisho

	MPG ya Prius____mpg ya Mini Cooper
Pata maadili katika chati.	48____27
Linganisha.	48> 27
	MPG ya Prius > MPG ya Mini Cooper

	MPG ya versa____mpg ya Fit
Pata maadili katika chati.	26____27
Linganisha.	26 <27
	MPG ya Versa <MPG ya Fit

	MPG ya Mini Cooper____mpg ya Fit
Pata maadili katika chati.	27____27
Linganisha.	27 = 27
	MPG ya Mini Cooper = MPG ya Fit

	MPG ya Corolla____mpg ya Versa
Pata maadili katika chati.	28____26
Linganisha.	28> 26
	MPG ya Corolla > MPG ya Versa

	MPG ya Corolla____mpg ya Prius
Pata maadili katika chati.	28____48
Linganisha.	28 <48
	MPG ya Corolla <MPG ya Prius

zoezi\(\PageIndex{5}\)

Tumia Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kujaza ishara sahihi,\(=\),\(<\), au\(>\).

1. MPG ya Prius_____mpg ya Versa
2. MPG ya Mini Cooper_____ MPG ya Corolla

Jibu

\(>\)

Jibu b

\(<\)

zoezi\(\PageIndex{6}\)

Tumia Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kujaza ishara sahihi,\(=\),\(<\), au\(>\).

1. MPG ya Fit_____ MPG ya Prius
2. MPG ya Corolla _____ MPG ya Fit

Jibu

\(<\)

Jibu b

\(<\)

Alama za kikundi katika algebra ni sawa na koma, koloni, na alama nyingine za punctuation katika lugha iliyoandikwa. Wao huonyesha maneno gani yanayotakiwa kuhifadhiwa pamoja na kutenganishwa na maneno mengine. Jedwali\(\PageIndex{4}\) linaorodhesha tatu za alama za kikundi ambazo hutumiwa kwa kawaida katika algebra.

Jedwali\(\PageIndex{4}\)

Alama za Kundi la kawaida
mabano	()
mabano	[]
magango	{}

Hapa ni baadhi ya mifano ya maneno ambayo yanajumuisha alama za makundi. Sisi kurahisisha maneno kama haya baadaye katika sehemu hii.

\[8(14 - 8) \qquad 21 - 3[2 + 4(9 - 8)] \qquad 24 \div {13 - 2[1(6 - 5) + 4]} \nonumber\]

Tambua Maneno na Ulinganisho

Ni tofauti gani katika Kiingereza kati ya maneno na sentensi? Maneno yanaonyesha mawazo moja ambayo hayajakamilika yenyewe, lakini sentensi hutoa taarifa kamili. “Running very fast” ni maneno, lakini “Mchezaji wa soka alikuwa anaendesha haraka sana” ni sentensi. Sentensi ina somo na kitenzi.

Katika algebra, tuna maneno na equations. Maneno ni kama maneno. Hapa ni baadhi ya mifano ya maneno na jinsi yanahusiana na maneno ya maneno:

Jedwali\(\PageIndex{5}\)

Ufafanuzi	Maneno	Maneno
3 + 5	3 pamoja na 5	jumla ya tatu na tano
n - 1	n minus moja	tofauti ya n na moja
6 • 7	Mara 6 7	bidhaa ya sita na saba
\(\dfrac{x}{y}\)	x kugawanywa na y	quotient ya x na y

Angalia kwamba maneno hayafanyi sentensi kamili kwa sababu maneno hayana kitenzi. Equation ni maneno mawili yanayounganishwa na ishara sawa. Unaposoma maneno alama zinawakilisha katika equation, una sentensi kamili kwa Kiingereza. Ishara sawa inatoa kitenzi. Hapa ni baadhi ya mifano ya equations:

Jedwali\(\PageIndex{6}\)

Mlinganyo	Sentensi
3 + 5 = 8	Jumla ya tatu na tano ni sawa na nane.
n - 1 = 14	n minus moja sawa na kumi na nne.
6 • 7 = 42	Bidhaa ya sita na saba ni sawa na arobaini na mbili.
x = 53	x ni sawa na hamsini na tatu.
y + 9 = 2y - 3	y pamoja na tisa ni sawa na mbili y minus tatu.

Ufafanuzi: Maneno na Equations

Maneno ni namba, kutofautiana, au mchanganyiko wa namba na vigezo na alama za uendeshaji.

Equation imeundwa na maneno mawili yanayounganishwa na ishara sawa.

Mfano\(\PageIndex{4}\): expression or equation

Kuamua kama kila mmoja ni usemi au equation:

1. \(16 − 6 = 10\)
2. \(4 • 2 + 1\)
3. \(x ÷ 25\)
4. \(y + 8 = 40\)

Suluhisho

(a) 16 - 6 = 10	Hii ni equation-maneno mawili yanaunganishwa na ishara sawa.
(b) 4 • 2 + 1	Hii ni kujieleza - hakuna ishara sawa.
(c) x ÷ 25	Hii ni kujieleza - hakuna ishara sawa.
(d) y + 8 = 40	Hii ni equation-maneno mawili yanaunganishwa na ishara sawa.

zoezi\(\PageIndex{7}\)

Kuamua kama kila mmoja ni usemi au equation:

1. \(23 + 6 = 29\)
2. \(7 • 3 − 7\)

Jibu

mlinganyo

Jibu b

kujieleza

zoezi\(\PageIndex{8}\)

Kuamua kama kila mmoja ni usemi au equation:

1. \(y ÷ 14\)
2. \(x − 6 = 21\)

Jibu

kujieleza

Jibu b

mlinganyo

Kurahisisha Maneno na Watazamaji

Ili kurahisisha kujieleza namba ina maana ya kufanya hesabu yote iwezekanavyo. Kwa mfano, ili kurahisisha\(4 • 2 + 1\)\(4 • 2\) tunatarajia kwanza kuzidisha kupata\(8\) na kisha kuongeza\(1\) kupata\(9\). Tabia nzuri ya kuendeleza ni kufanya kazi chini ya ukurasa, kuandika kila hatua ya mchakato chini ya hatua ya awali. Mfano ulioelezwa tu utaonekana kama hii:

\[\begin{split} 4 \cdot 2 + &1 \\ 8 + &1 \\ &9 \end{split}\]

Tuseme tuna maneno\(2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2\). Tunaweza kuandika hii zaidi compactly kutumia nukuu kielelezo. Nukuu ya kielelezo hutumiwa katika algebra kuwakilisha kiasi kilichoongezeka kwa yenyewe mara kadhaa. Tunaandika\(2 • 2 • 2\) kama\(2^3\) na\(2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2\) kama\(2^9\). Katika maneno kama vile\(2^3\), the\(2\) inaitwa msingi na\(3\) inaitwa exponent. exponent inatuambia jinsi mambo mengi ya msingi tuna kuzidisha.

ina maana kuzidisha mambo matatu ya\(2\)

Tunasema\(2^3\) ni katika nukuu kielelezo na\(2 • 2 • 2\) iko katika nukuu iliyopanuliwa.

Ufafanuzi: Nukuu ya kielelezo

Kwa kujieleza yoyote\(a^n\),\(a\) ni sababu tele kwa yenyewe\(n\) mara kama\(n\) ni integer chanya.

Maneno\(a^n\)\(a\) yanasomewa kwa\(n^{th}\) nguvu.

Kwa nguvu ya\(n = 2\) na\(n = 3\), tuna majina maalum. \(a^2\)inasomwa kama "\(a\)squared”\(a^3\) inasomwa kama "\(a\)cubed” Jedwali\(\PageIndex{7}\) linaorodhesha mifano ya maneno yaliyoandikwa katika nukuu ya kielelezo.

Jedwali\(\PageIndex{7}\)

Nukuu ya kielelezo	Katika Maneno
\(7^2\)	7 kwa nguvu ya pili, au mraba 7
\(5^3\)	5 kwa nguvu ya tatu, au 5 cubed
\(9^4\)	9 kwa nguvu ya nne
\(12^5\)	12 kwa nguvu ya tano

Mfano\(\PageIndex{5}\): exponential form

Andika kila kujieleza kwa fomu ya kielelezo:

1. \(16 • 16 • 16 • 16 • 16 • 16 • 16\)
2. \(9 • 9 • 9 • 9 • 9\)
3. \(x • x • x • x\)
4. \(a • a • a • a • a • a • a • a\)

Suluhisho

(a) msingi 16 ni sababu 7 mara.	\(16^7\)
(b) msingi 9 ni sababu 5 mara.	\(9^5\)
(c) msingi x ni sababu 4 mara.	\(x^4\)
(d) msingi a ni sababu 8 mara.	\(a^8\)

zoezi\(\PageIndex{9}\)

Andika kila kujieleza kwa fomu ya kielelezo:\(41 • 41 • 41 • 41 • 41\)

Jibu

\(41^5\)

zoezi\(\PageIndex{10}\)

Andika kila kujieleza kwa fomu ya kielelezo:\(7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7\)

Jibu

\(7^9\)

Mfano\(\PageIndex{6}\): expanded form

Andika kila usemi wa kielelezo katika fomu iliyopanuliwa:

1. \(8^6\)
2. \(x^5\)

Suluhisho

1. Msingi ni\(8\) na exponent ni\(6\), hivyo\(8^6\) ina maana\(8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8\)
2. Msingi ni\(x\) na exponent ni\(5\), hivyo\(x^5\) ina maana\(x • x • x • x • x\)

zoezi\(\PageIndex{11}\)

Andika kila usemi wa kielelezo katika fomu iliyopanuliwa:

1. \(4^8\)
2. \(a^7\)

Jibu

\(4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\)

Jibu b

\(a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\)

zoezi\(\PageIndex{12}\)

Andika kila usemi wa kielelezo katika fomu iliyopanuliwa:

1. \(8^8\)
2. \(b^6\)

Jibu

\(8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\)

Jibu b

\(b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\)

Ili kurahisisha kujieleza kwa ufafanuzi bila kutumia calculator, tunaandika kwa fomu iliyopanuliwa na kisha kuzidisha mambo.

Mfano\(\PageIndex{7}\): simplify

Kurahisisha:\(3^4\).

Suluhisho

Panua maneno.	3 ^4 = 3 • 3 • 3 • 3
Panua kushoto kwenda kulia.	9 • 3 • 3 = 27 • 3
Kuzidisha.	81

zoezi\(\PageIndex{13}\)

Kurahisisha:

1. \(5^3\)
2. \(1^7\)

Jibu

\(125\)

Jibu b

\(1\)

zoezi\(\PageIndex{14}\)

Kurahisisha:

1. \(7^2\)
2. \(0^5\)

Jibu

\(49\)

Jibu b

\(0\)

Wachangiaji na Majina

• Template:ContribElementaryAlgebraOpenStax