2.2: Kutatua Equations kwa kutumia Idara na Kuzidisha Mali ya Usawa
- Page ID
- 177599
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Kutatua equations kwa kutumia Idara na Kuzidisha Mali ya Usawa
- Tatua equations zinazohitaji kurahisisha
- Tafsiri kwa equation na kutatua
- Tafsiri na kutatua programu
Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.
- Kurahisisha:\(−7(\frac{1}{-7})\).
Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 1.6.13. - Tathmini\(9x+2\) wakati\(x=−3\).
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Zoezi 1.5.34.
Kutatua Equations Kutumia Idara na Kuzidisha Mali ya Usawa
Huenda umeona kwamba milinganyo yote tuliyoweza kutatuliwa hadi sasa yamekuwa ya fomu\(x+a=b\) au\(x−a=b\). Tuliweza kutenganisha kutofautiana kwa kuongeza au kuondoa muda wa mara kwa mara upande wa equation na kutofautiana. Sasa tutaona jinsi ya kutatua equations ambayo kutofautiana kuongezeka kwa mara kwa mara na hivyo itahitaji mgawanyiko kutenganisha kutofautiana.
Hebu tuangalie puzzle yetu tena na bahasha na counters katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).
Katika mfano kuna bahasha mbili zinazofanana ambazo zina idadi sawa ya counters. Kumbuka, upande wa kushoto wa nafasi ya kazi lazima iwe sawa na upande wa kulia, lakini counters upande wa kushoto ni “siri” katika bahasha. Kwa hiyo ni counters ngapi katika kila bahasha?
Tunawezaje kuamua nambari? Tunapaswa kutenganisha counters upande wa kulia katika makundi mawili ya ukubwa sawa ili kuendana na bahasha mbili upande wa kushoto. Hesabu 6 zilizogawanywa katika makundi mawili sawa hutoa counters 3 katika kila kikundi (tangu\(6\div 2=3\)).
Nini equation mifano hali inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\)? Kuna bahasha mbili, na kila mmoja ina counters xx. Pamoja, bahasha mbili zinapaswa kuwa na jumla ya counters 6.
 |
|
| Ikiwa tunagawanya pande zote mbili za equation na 2, kama tulivyofanya na bahasha na counters, |  |
| tunapata: |  |
Tuligundua kwamba kila bahasha ina counters 3. Je, hii hundi? Tunajua\(2\cdot 3=6\), hivyo inafanya kazi! Tatu counters katika kila bahasha mbili gani sawa sita!
Mfano huu unasababisha Idara ya Mali ya Usawa.
Kwa idadi yoyote a, b, na c, na\(c\neq 0\),
\[\begin{array} {llll} {\text { If }} &{a} &{=} &{b} \\ {\text {then}} & {\frac { a } { c }} &{=} &{\frac { b } { c }} \end{array}\]
Unapogawanya pande zote mbili za equation na nambari yoyote isiyo ya sifuri, bado una usawa.
Kufanya shughuli za Hisabati za Manipulative “Idara ya Mali ya Usawa” itakusaidia kuendeleza uelewa bora wa jinsi ya kutatua equations kwa kutumia Mali ya Idara ya Usawa.
Lengo katika kutatua equation ni 'kurekebisha' operesheni juu ya variable. Katika mfano unaofuata, variable huongezeka kwa 5, hivyo tutagawanya pande zote mbili kwa 5 ili 'kurekebisha' kuzidisha.
Kutatua:\(5x=−27\).
- Jibu
-
Ili kutenganisha x, “tengeneza” kuzidisha kwa 5. 
Gawanya 'kurekebisha' kuzidisha. 
Kurahisisha. 
Angalia: 
Mbadala\(-\frac{27}{5}\) kwa ajili ya x. 
Kwa kuwa hii ni kauli ya kweli,\(x = -\frac{27}{5}\)
ni ufumbuzi wa\(5x=−27\).
Kutatua:\(3y=−41\).
- Jibu
-
\(y = -\frac{41}{3}\)
Kutatua:\(4z=−55\).
- Jibu
-
\(y = -\frac{55}{4}\)
Fikiria equation\(\frac{x}{4} = 3\). Tunataka kujua nini idadi kugawanywa na 4 anatoa 3. Ili “kurekebisha” mgawanyiko, tutahitaji kuzidi na 4. Mali ya Kuzidisha ya Usawa itatuwezesha kufanya hivyo. Mali hii inasema kwamba ikiwa tunaanza na kiasi mbili sawa na kuzidisha wote kwa idadi sawa, matokeo ni sawa.
Kwa idadi yoyote a, b, na c,
\[\begin{array} {llll} {\text {If}} &{a} & {=} &{b} \\ {\text {then}} &{a c} &{=} &{b c} \end{array}\]
Ikiwa unazidisha pande zote mbili za equation kwa idadi sawa, bado una usawa.
Kutatua:\(\frac{y}{-7} = -14\)
- Jibu
-
Hapa y imegawiwa na -7. Lazima tuzidishe na -7 ili kutenganisha y.
Panua pande zote mbili kwa -7. 
Kuzidisha. 
Kurahisisha. 
Angalia:\(\frac{y}{-7} = -14\) Mbadala y=98. 
Gawanya. 
Kutatua:\(\frac{a}{-7} = -42\)
- Jibu
-
\(a = 294\)
Kutatua:\(\frac{b}{-6} = -24\)
- Jibu
-
\(b = 144\)
Kutatua:\(-n = 9\)
- Jibu
-
Kumbuka -n ni sawa na -1n. 
Gawanya pande zote mbili kwa -1. 
Gawanya. 
Angalia kwamba kuna njia nyingine mbili za kutatua -n=9. Pia tunaweza kutatua equation hii kwa kuzidisha pande zote mbili kwa -1 na pia kwa kuchukua kinyume cha pande zote mbili. Angalia: 
Mbadala n=-9. 
Kurahisisha. 
Kutatua:\(−k=8\).
- Jibu
-
\(k = -8\)
Kutatua:\(−g=3\).
- Jibu
-
\(g = -3\)
Kutatua:\(\frac{3}{4}x = 12\)
- Jibu
-
Kwa kuwa bidhaa ya nambari na usawa wake ni 1, mkakati wetu utakuwa kutenganisha x kwa kuzidisha kwa usawa wa\(\frac{3}{4}\).
Kuzidisha kwa usawa wa\(\frac{3}{4}\). 
Repicurals kuzidisha hadi 1. 
Kuzidisha. 
Kumbuka kwamba tunaweza kuwa na kugawanywa pande zote mbili za equation\(\frac{3}{4}x = 12\) na\(\frac{3}{4}\) kutenganisha x Wakati hii ingekuwa kazi, watu wengi bila kupata kuzidisha kwa rahisi kubadilishana.. Angalia: 
Mbadala\(x=16\). 
Kutatua:\(\frac{2}{5}n=14\).
- Jibu
-
\(n = 35\)
Kutatua:\(\frac{5}{6}y=15\).
- Jibu
-
\(y = 18\)
Katika mfano unaofuata, maneno yote ya kutofautiana yana upande wa kulia wa equation. Kama siku zote, lengo letu katika kutatua equation ni kutenganisha kutofautiana.
Kutatua:\(\frac{8}{15} = -\frac{4}{5}x\)
- Jibu
-
Kuzidisha kwa usawa wa\(-\frac{4}{5}\). 
Repicurals kuzidisha hadi 1. 
Kuzidisha. 
Angalia: 
Hebu\(x = -\frac{2}{3}\). 
Kutatua:\(\frac{9}{25} = -\frac{4}{5}z\)
- Jibu
-
\(z = - \frac{9}{5}\)
\(\frac{5}{6} = -\frac{8}{3}r\)
- Jibu
-
\(r = -\frac{5}{16}\)
Kutatua equations ambayo yanahitaji kurahisisha
Milinganyo mingi huanza ngumu zaidi kuliko yale tuliyokuwa tukifanya kazi nayo.
Kwa equations hizi ngumu zaidi hatua ya kwanza ni kurahisisha pande zote mbili za equation iwezekanavyo. Hii kwa kawaida inahusisha kuchanganya maneno kama hayo au kutumia mali ya kusambaza.
Kutatua:\(14−23=12y−4y−5y\).
- Jibu
-
Anza kwa kurahisisha kila upande wa equation.
Kurahisisha kila upande. 
Gawanya pande zote mbili kwa 3 ili kutenganisha y. 
Gawanya. 
Angalia: 
Mbadala\(y=−3\). 
Kutatua:\(18−27=15c−9c−3c\).
- Jibu
-
\(c=−3\)
Kutatua:\(18−22=12x−x−4x\).
- Jibu
-
\(x = -\frac{4}{7}\)
Kutatua:\(−4(a−3)−7=25\).
- Jibu
-
Hapa tutawezesha kila upande wa equation kwa kutumia mali ya usambazaji kwanza.
Kusambaza. 
Kurahisisha. 
Kurahisisha. 
Gawanya pande zote mbili na\(-4\) kujitenga. 
Gawanya. 
Angalia: 
Mbadala\(a = -5\) 
Kutatua:\(−4(q−2)−8=24\).
- Jibu
-
\(q=−6\)
Kutatua:\(−6(r−2)−12=30\).
- Jibu
-
\(r=−5\)
Sasa tuna kufunikwa mali zote nne za usawa-kutoa, Aidha, mgawanyiko, na kuzidisha. Tutaweza orodha yao yote pamoja hapa kwa ajili ya kumbukumbu rahisi.
Unapoongeza, ondoa, kuzidisha, au ugawanye kiasi sawa kutoka pande zote mbili za equation, bado una usawa.
\ [kuanza {safu} {ll} {\ textbf {Ondoa Mali ya Usawa}} & {\ textbf {Kuongeza Mali ya Usawa}}\\
{\ maandishi {Kwa idadi yoyote halisi a, b, na c,}} & {\ maandishi {Kwa idadi yoyote halisi a, b, na c,}\\ {
\ maandishi {if} = b,} & {\ maandishi {if} = b,} & {\ maandishi {kama} = b,}
\\ {\ Nakala {kisha} a - c = b - c} & {\ Nakala {kisha} a + c = b + c}
\\ {\ textbf {Divition Mali ya Usawa}} & {\ textbf
{Kuzidisha Mali ya Usawa}}\\ {\ Nakala {Kwa idadi yoyote halisi a, b, na c,}
\\ Nakala kama} a = b,} & {\ maandishi {ikiwa} a = b,}
\\ {\ text {kisha} a - c = b - c} & {\ maandishi {\ text {kisha} a + c = b + c}
\ mwisho {safu}\]
Unapoongeza, ondoa, kuzidisha, au ugawanye kiasi sawa kutoka pande zote mbili za equation, bado una usawa.
Tafsiri kwa Equation na Kutatua
Katika mifano michache ijayo, tutatafsiri sentensi katika equations na kisha kutatua equations. Unaweza kutaka kupitia meza tafsiri katika sura ya awali.
Tafsiri na kutatua: Nambari 143 ni bidhaa ya -11 na y.
- Jibu
-
Tafsiri. 
Gawanya kwa -11. 
Kurahisisha. 
Angalia:
\[\begin{array} {lll} {143} &{=} &{-11y} \\ {143} &{\stackrel{?}{=}} &{-11(-13)} \\ {143} &{=} &{143\checkmark} \end{array}\]
Tafsiri na kutatua: Nambari 132 ni bidhaa ya -12 na y.
- Jibu
-
132=-12y; y=-11
Tafsiri na kutatua: Nambari 117 ni bidhaa ya -13 na z.
- Jibu
-
117=-13z; z=-9
Tafsiri na kutatua: n kugawanywa na 8 ni -32.
- Jibu
-
Anza kwa kutafsiri sentensi katika equation.
Tafsiri.
Multiple pande zote mbili na 8. 
Kurahisisha. 
Angalia: Je, nn imegawanywa na 8 sawa na -32? Hebu\(n=−256\). Je, -256 imegawiwa na 88 sawa na -32? Tafsiri. \(\frac{-256}{8} \stackrel{?}{=} -32\) Kurahisisha. \(−32=−32\checkmark\)
Tafsiri na kutatua: nn imegawanywa na 7 ni sawa na -21.
- Jibu
-
\(\frac{n}{7}=−21; n=−147\)
Tafsiri na kutatua: n kugawanywa na 8 ni sawa na -56.
- Jibu
-
\(\frac{n}{8}=−56;n=−448\)
Tafsiri na kutatua: Quotient ya yy na -4 ni 68.
- Jibu
-
Anza kwa kutafsiri sentensi katika equation.
Tafsiri. 
Panua pande zote mbili na -4. 
Kurahisisha. 
Angalia: Je, quotient ya y na -4 ni sawa na 68? Hebu y=-272. Je, quotient ya -272 na -4 ni sawa na 68? Tafsiri. \(\frac{-272}{-4} \stackrel{?}{=} 68\) Kurahisisha. \(68 = 68\checkmark\)
Tafsiri na kutatua: Quotient ya q na -8 ni 72.
- Jibu
-
\(\frac{q}{-8}=72;q=−576\)
Tafsiri na kutatua: Quotient ya p na -9 ni 81.
- Jibu
-
\(\frac{p}{-9}=81;p=−729\)
Tafsiri na kutatua: Tatu-nne ya p ni 18.
- Jibu
-
Anza kwa kutafsiri sentensi katika equation. Kumbuka, “ya” tafsiri katika kuzidisha.
Tafsiri. 
Kuzidisha pande zote mbili na\(\frac{4}{3}\). 
Kurahisisha. 
Angalia: Je, tatu-nne ya p sawa na 18? Hebu p = 24. Ni tatu ya nne ya 24 sawa na 18? Tafsiri. \(\frac{3}{4}\cdot 24 \stackrel{?}{=} 18\) Kurahisisha. \(18=18\checkmark\)
Tafsiri na kutatua: Mbili-tano ya f ni 16.
- Jibu
-
\(\frac{2}{5}f=16; f=40\)
Tafsiri na kutatua: Tatu-nne ya f ni 21.
- Jibu
-
\(\frac{3}{4}f=21; f=28\)
Tafsiri na kutatua: Jumla ya tatu na nane na x ni nusu moja.
- Jibu
-
Anza kwa kutafsiri sentensi katika equation.
Tafsiri. 
Ondoa\(\frac{3}{8}\) kutoka kila upande. 
Kurahisisha na kuandika upya sehemu ndogo na denominators ya kawaida. 
Kurahisisha. 
Angalia: Je, jumla ya tatu-nane na x ni sawa na nusu moja? Hebu\(x=\frac{1}{8}\). Je, jumla ya tatu-nane na moja ya nane ni sawa na nusu? Tafsiri. \(\frac{3}{8} + \frac{1}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\) Kurahisisha. \(\frac{4}{8} \stackrel{?}{=} \frac{1}{2}\) Kurahisisha. \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \checkmark\)
Tafsiri na kutatua: Jumla ya tano na nane na x ni moja ya nne.
- Jibu
-
\(\frac{5}{8} + x = \frac{1}{4}; x = -\frac{3}{8}\)
Tafsiri na kutatua: Jumla ya tatu na nne na x ni tano na sita.
- Jibu
-
\(\frac{3}{4} + x = \frac{5}{6}; x = \frac{1}{12}\)
Tafsiri na Kutatua Maombi
Ili kutatua programu kwa kutumia Idara na Kuzidisha Mali ya Usawa, tutafuata hatua sawa tulizotumia katika sehemu ya mwisho. Sisi restate tatizo katika sentensi moja tu, hawawajui variable, na kisha kutafsiri sentensi katika equation kutatua.
Denae alinunua paundi 6 za zabibu kwa $10.74. Ni gharama gani ya pauni moja ya zabibu?
- Jibu
-
\[\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The cost of 1 pound of grapes}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let c = the cost of one pound.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{\text{The cost of 6 pounds is }$10.74} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{6c = 10.74} \\ {\text{Solve.}} &{\frac{6c}{c} = \frac{10.74}{6}} \\ {} &{c = 1.79} \\\\ {} &{\text{The grapes cost }$ 1.79 \text{ per pound.}} \\ \\ {\text{Check: If one pound costs }$1.79, do} &{} \\ {\text{6 pounds cost }$ 10.74?} &{} \\\\ {6(1.79) \stackrel{?}{=} 10.74} &{} \\ {10.74 = 10.74\checkmark} &{} \end{array}\]
Tafsiri na kutatua:
Arianna alinunua pakiti 24 ya chupa za maji kwa $9.36. Ni gharama gani ya chupa moja ya maji?
- Jibu
-
$0.39
Tafsiri na kutatua:
Katika JB ya Bowling Alley, 6 watu wanaweza kucheza kwenye mstari mmoja kwa $34.98. Ni gharama gani kwa kila mtu?
- Jibu
-
$5.83
Andreas alinunua gari lililotumika kwa $12,000. Kwa sababu gari lilikuwa na umri wa miaka 4, bei yake ilikuwa\(\frac{3}{4}\) ya bei ya awali, wakati gari lilikuwa jipya. Bei ya awali ya gari ilikuwa nini?
- Jibu
-
\[\begin{array} {ll} {\text{What are you asked to find?}} &{\text{The original price of the car}} \\\\ {\text{Assign a variable.}} &{\text{Let p = the original price.}} \\\\ {\text{Write a sentence that gives the}} &{$12000\text{ is }\frac{3}{4} \text{ of the original price.}} \\ {\text{information to find it.}} &{} \\\\ {\text{Translate into an equation.}} &{12000 = \frac{3}{4}p} \\ {} &{\frac{3}{4}(12000) = \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}p}\\ {}&{16000 = p} \\{\text{Solve.}} &{} \\\\ {} &{\text{The original cost of the car was }$ 16000.} \\ \\ {\text{Check: Is }\frac{3}{4} \text{ of }$16000 \text{ equal to }$12000} &{} \\\\ {\frac{3}{4}\cdot 16000 \stackrel{?}{=} 12000} &{} \\ {12000 = 12000\checkmark} &{} \end{array}\]
Tafsiri na kutatua:
Kodi ya mali ya kila mwaka kwenye nyumba ya Mehta ni $1,800, imehesabiwa kama thamani\(\frac{15}{1000}\) ya tathmini ya nyumba. Thamani ya tathmini ya nyumba ya Mehta ni nini?
- Jibu
-
$120,000
Tafsiri na kutatua:
Stella kupandwa 14 kujaa ya maua katika\(\frac{2}{3}\) ya bustani yake. Ngapi kujaa ya maua angehitaji kujaza bustani nzima?
- Jibu
-
21 kujaa
Dhana muhimu
- Mali ya Idara ya Usawa -Kwa idadi yoyote a, b, na c, na\(c\neq 0\), kama\(a=b\), basi\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\).
Unapogawanya pande zote mbili za equation na nambari yoyote isiyo ya sifuri, bado una usawa. - Mali ya kuzidisha ya Usawa - Kwa idadi yoyote a, b, na c, kama\(a=b\), basi\(ac = bc\).
Ikiwa unazidisha pande zote mbili za equation kwa idadi sawa, bado una usawa.