27.5: Diffraction Single Slit

Last updated
Save as PDF

Page ID: 183455

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Jadili moja watakata diffraction mfano.

Mwanga unaopitia njia moja huunda muundo wa diffraction tofauti kabisa na yale yaliyoundwa na slits mbili au gratings diffraction. Kielelezo 1 kinaonyesha muundo mmoja wa kupasuka kwa diffraction. Kumbuka kuwa kiwango cha juu cha kati ni kubwa kuliko wale upande wowote, na kwamba kiwango hupungua kwa kasi upande wowote. Kwa upande mwingine, grating diffraction inazalisha mistari sawasawa spaced kwamba hafifu polepole upande wowote wa kituo cha.

Sehemu ya a ya takwimu inaonyesha fungu katika bar wima. Kwa haki ya bar ni grafu ya kiwango dhidi ya urefu. Grafu imegeuka digrii tisini kinyume chake ili kiwango cha ukubwa kinaongezeka upande wa kushoto na urefu huongezeka unapokwenda kwenye ukurasa. Tu mbele ya pengo, nguvu ya kati kilele inaenea upande wa kushoto kutoka msingi wa grafu, na kilele kidogo cha satellite kinaonekana juu na chini ya kilele hiki cha kati. Sehemu ya b ya takwimu inaonyesha kuchora kwa muundo wa kiwango cha mbili-dimensional unaozingatiwa kutoka kwa diffraction moja ya kupasuka. Mstari wa kati ni pana kabisa ikilinganishwa na kupigwa kwa satellite, na kuna maeneo ya giza kati ya kupigwa wote. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Single watakata diffraction mfano. Mwanga wa monochromatic unaopita kupitia mtego mmoja una kiwango cha juu cha kati na maxima ndogo na dimmer upande wowote. Upeo wa kati ni mara sita zaidi kuliko inavyoonekana. (b) Mchoro unaonyesha kiwango cha juu cha kati na dimmer na nyembamba maxima upande wowote.

Uchunguzi wa diffraction moja ya kupasuka ni mfano katika Kielelezo 2. Hapa tunazingatia mwanga unaotokana na sehemu tofauti za fungu sawa. Kwa mujibu wa kanuni ya Huygens, kila sehemu ya wavefront katika fungu hutoa mawimbi. Hizi ni kama mionzi inayoanza katika awamu na kichwa kwa pande zote. (Kila ray ni perpendicular kwa wavefront ya wavelet.) Kutokana screen ni mbali sana ikilinganishwa na ukubwa wa watakata, rays kuelekea marudio ya kawaida ni karibu sambamba. Wakati wao kusafiri moja kwa moja mbele, kama katika Kielelezo 2a, wao kubaki katika awamu, na upeo wa kati ni kupatikana. Hata hivyo, wakati rays kusafiri kwa angle\(\theta\) jamaa na mwelekeo wa awali wa boriti, kila safari umbali tofauti na eneo la kawaida, na wanaweza kufika ndani au nje ya awamu. Katika Mchoro 2b, ray kutoka chini husafiri umbali wa\(\lambda\) wavelength moja zaidi kuliko ray kutoka juu. Hivyo ray kutoka katikati husafiri umbali\(\lambda / 2\) zaidi kuliko ule upande wa kushoto, hutoka nje ya awamu, na huingilia uharibifu. Ray kutoka kidogo juu ya katikati na moja kutoka kidogo juu ya chini pia kufuta kila mmoja. Kwa kweli, kila ray kutoka kwenye fungu itakuwa na mwingine kuingilia kati kwa uharibifu, na kiwango cha chini cha kiwango kitatokea kwa pembe hii. Kutakuwa na kiwango cha chini kingine kwa pembe sawa na haki ya mwelekeo wa tukio la mwanga.

Takwimu inaonyesha schematics nne za kifungu cha ray kinachopita kupitia fungu moja. Fungu linawakilishwa kama pengo katika mstari wa wima. Katika schematic ya kwanza, kifungu cha ray kinapita kwa usawa kupitia fungu. schematic hii ni kinachoitwa theta sawa na sifuri na mkali. Mpangilio wa pili umeandikwa giza na inaonyesha kifungu cha ray kinachopita kupitia pembe ya digrii takribani kumi na tano juu ya usawa. njia urefu tofauti kati ya juu na chini ray ni lambda, na schematic kinachoitwa sine theta sawa lambda juu d. schematic tatu kinachoitwa mkali na inaonyesha ray kifungu kupita kwa njia ya watakata katika angle ya digrii ishirini na tano juu ya usawa. njia urefu tofauti kati ya rays juu na chini ni tatu lambda juu ya mbili d, na schematic kinachoitwa sine theta sawa tatu lambda juu mbili d. schematic ya mwisho ni kinachoitwa giza na inaonyesha ray kifungu kupita kwa njia ya watakata kwa pembeni ya digrii arobaini juu ya usawa. njia urefu tofauti kati ya rays juu na chini ni mbili lambda juu d, na schematic kinachoitwa sine theta sawa mbili lambda juu d. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mwanga unaopita kwa njia moja hupigwa kwa pande zote na inaweza kuingilia kati kwa ufanisi au kwa uharibifu, kulingana na angle. Tofauti katika urefu wa njia kwa mionzi kutoka upande wowote wa fungu inaonekana kuwa\(D \sin{\theta}\).

Kwa pembe kubwa iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 2c, urefu wa njia hutofautiana na\(3 \lambda / 2\) kwa mionzi kutoka juu na chini ya fungu. Ray moja husafiri umbali\(\lambda\) tofauti na ray kutoka chini na inakuja katika awamu, kuingilia kati kwa ufanisi. Mionzi miwili, kila mmoja kutoka juu ya hizo mbili, pia itaongeza kwa ufanisi. Mionzi mingi kutoka kwenye fungu itakuwa na mwingine kuingilia kati kwa ufanisi, na kiwango cha juu kitatokea kwa pembe hii. Hata hivyo, mionzi yote haiingilii kwa ufanisi kwa hali hii, na hivyo kiwango cha juu sio kali kama kiwango cha juu. Hatimaye, katika Kielelezo 2d, angle inavyoonekana ni kubwa ya kutosha kuzalisha kiwango cha chini cha pili. Kama inavyoonekana katika takwimu, tofauti katika urefu wa njia kwa rays kutoka upande wowote wa watakata ni\(D \sin{\theta}\), na tunaona kwamba kiwango cha chini cha uharibifu kinapatikana wakati umbali huu ni nyingi muhimu ya wavelength.

Grafu inaonyesha tofauti ya kiwango kama kazi ya sine theta. Curve ina kilele nguvu katika sine theta sawa sifuri, kisha ina oscillations ndogo kueneza symmetrically kwa upande wa kushoto na kulia wa kilele hii ya kati. Oscillations zote zinaonekana kuwa za urefu sawa. Kati ya kila oscillation, curve inaonekana kwenda sifuri, na kila sifuri ni lebo. Zero kwanza upande wa kushoto wa kilele kuu kinachoitwa bala lambda juu d na sifuri kwanza kwa haki ni kinachoitwa lambda juu d. zero pili upande wa kushoto ni kinachoitwa bala mbili lambda juu d na sifuri pili na haki ni kinachoitwa mbili lambda juu d. zero tatu upande wa kushoto kinachoitwa minus tatu lambda juu d na sifuri tatu na haki ni kinachoitwa tatu lambda juu d. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Graph ya moja watakata diffraction nguvu kuonyesha upeo kati kuwa pana na makali zaidi kuliko wale kwa pande. Kwa kweli upeo wa kati ni mara sita zaidi kuliko inavyoonekana hapa.

Hivyo, ili kupata uharibifu kuingiliwa kwa watakata moja,\[D \sin{\theta} = m \lambda,~for~m = 1, -1, 2, -2, 3,... \left(destructive\right), \label{27.6.1}\] wapi\(D\) upana watakata,\(\lambda\) ni wavelength mwanga,\(\theta\) ni angle jamaa na mwelekeo wa awali wa mwanga, na\(m\) ni utaratibu wa kiwango cha chini. Kielelezo 3 inaonyesha grafu ya kiwango kwa kuingiliwa moja watakata, na ni dhahiri kwamba maxima upande wowote wa upeo wa kati ni kiasi kidogo makali na si kama pana. Hii ni sambamba na mfano katika Kielelezo 1b.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating Single Slit Diffraction

Mwanga unaoonekana wa wavelength 550 nm huanguka kwenye fungu moja na hutoa kiwango cha chini cha pili cha diffraction kwa pembe ya\(45.0^{\circ}\) jamaa na mwelekeo wa tukio la mwanga.

Upana wa fungu ni nini?
Kwa kiwango gani kiwango cha chini cha kwanza kinazalishwa?

Mpangilio unaonyesha kipande kimoja upande wa kushoto na muundo unaosababisha kiwango kwenye skrini umewekwa kwenye haki. Kipande kimoja kinawakilishwa na pengo la ukubwa d katika mstari wa wima. Ray ya lambda ya wavelength inaingia pengo kutoka upande wa kushoto, kisha mionzi mitano huondoka katikati ya pengo na kichwa kwenda kulia. Ray moja inaendelea kwenye kituo cha usawa cha schematic. Mionzi miwili inazunguka juu: ya kwanza kwa angle isiyojulikana theta moja juu ya usawa na ya pili kwa pembe theta mbili sawa na digrii arobaini na tano juu ya usawa. Mwisho wa mionzi miwili hupungua chini kwa pembe sawa, ili wawe sawa juu ya usawa kwa heshima na mionzi miwili inayoendelea zaidi. Upeo kwenye skrini ni kiwango cha juu ambapo ray kuu hupiga skrini, wakati ni kiwango cha chini ambapo mionzi ya angled hupiga skrini. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Grafu ya muundo mmoja wa kuchapishwa diffraction inachambuliwa katika mfano huu.

Mkakati:

Kutokana na taarifa iliyotolewa, na kuchukua screen ni mbali na watakata, tunaweza kutumia equation\(D \sin{\theta} = m \lambda\) kwanza kupata\(D\), na tena kupata angle kwa kiwango cha chini ya kwanza\(\theta_{1}\).

Suluhisho (a):

Sisi ni kutokana na kwamba\(\lambda = 550 nm\),\(m =2\), na\(\theta_{2} = 45.0^{\circ}\). Kutatua equation\(D = \sin{\theta} = m \lambda\) kwa\(D\) na kubadilisha maadili inayojulikana inatoa\[D = \frac{m \lambda}{\sin{\theta_{2}}} = \frac{2\left(550 nm\right)}{\sin{45.0^{\circ}}} \label{27.6.2}\]\[= \frac{1100 \times 10^{-9}}{0.707}\]\[=1.56 \times 10^{-6}.\]

Suluhisho (b):

Kutatua equation\(D = \sin{\theta} = m \lambda\) kwa\(\sin{\theta_{1}}\) na kubadilisha maadili inayojulikana anatoa\[\sin_{\theta_{1}} = \frac{m \lambda}{D} = \frac{1 \left(550 \times 10^{-9} m \right)}{1.56 \times 10^{-6}}. \label{27.6.3}\] Hivyo angle\(\theta_{1}\) ni\[\theta_{1} = \sin{0.354}^{-1} = 20.7^{\circ} \label{27.6.4}\]

Majadiliano:

Tunaona kwamba fungu ni nyembamba (ni mara chache tu zaidi kuliko wavelength ya mwanga). Hii ni sambamba na ukweli kwamba mwanga lazima kuingiliana na kitu kulinganishwa na ukubwa wa wavelength yake ili kuonyesha madhara makubwa wimbi kama vile hii moja watakata diffraction mfano. Pia tunaona kwamba kiwango cha juu cha kati\(20.7^{\circ}\) kinaendelea upande wowote wa boriti ya awali, kwa upana wa karibu\(41^{\circ}\). Pembe kati ya minima ya kwanza na ya pili ni kuhusu tu\(24^{\circ} \left(45.0^{\circ} - 20.7^{\circ}\right)\). Hivyo upeo wa pili ni karibu nusu tu kama pana kama upeo wa kati.

Muhtasari

Kipande kimoja kinazalisha muundo wa kuingiliwa unaojulikana na upeo mkubwa wa kati na maxima nyembamba na dimmer kwa pande.
Kuna uharibifu kuingiliwa kwa watakata moja wakati\(D \sin{\theta} = m \lambda,~ \left(for~m = 1, -1, 2, -2, 3, ...\right)\) ambapo\(D\) ni upana watakata,\(\lambda\) ni wavelength mwanga wa,\(\theta\) ni angle jamaa na mwelekeo wa awali wa mwanga, na\(m\) ni utaratibu wa kiwango cha chini. Kumbuka kuwa hakuna\(m = 0\) kiwango cha chini.

faharasa

kuingiliwa kwa uharibifu kwa kukata moja: hutokea wakati\(D \sin{\theta} = m \lambda, \left(for~m = 1, -1, 2, -2, 3, ...\right)\), wapi\(D\) upana wa watakata,\(\lambda\) ni wavelength ya mwanga,\(\theta\) ni angle jamaa na mwelekeo wa awali wa mwanga, na\(m\) ni utaratibu wa kiwango cha chini