Skip to main content
Global

27.3: Jaribio la Vijana la Double Slit

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    183446

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Eleza matukio ya kuingiliwa.
    • Kufafanua kuingiliwa kujenga kwa watakata mara mbili na uharibifu kuingiliwa kwa watakata mara mbili.

    Ingawa Christiaan Huygens alidhani kwamba mwanga ulikuwa wimbi, Isaac Newton hakufanya hivyo. Newton alihisi kwamba kulikuwa na maelezo mengine kwa ajili ya rangi, na kwa ajili ya kuingiliwa na madhara diffraction kwamba walikuwa kuonekana wakati huo. Kutokana na kimo kikubwa cha Newton, mtazamo wake kwa ujumla ulishinda. Ukweli kwamba kanuni ya Huygens ilifanya kazi haikuchukuliwa kuwa ushahidi uliokuwa wa moja kwa moja wa kutosha kuthibitisha kwamba mwanga ni wimbi. Kukubalika kwa tabia ya wimbi la mwanga alikuja miaka mingi baadaye wakati, katika 1801, mwanafizikia wa Kiingereza na daktari Thomas Young (1773—1829) alifanya yake sasa classic mara mbili watakata majaribio (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)).

    Boriti ya mwanga hupiga ukuta kwa njia ambayo jozi ya slits wima hukatwa. Kwa upande mwingine wa ukuta, ukuta mwingine unaonyesha mfano wa mistari sawa ya wima ya mwanga ambayo ni ya urefu sawa na fungu.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Young ya mara mbili watakata majaribio. Hapa safi wavelength mwanga kutumwa kwa njia ya jozi ya slits wima ni diffracted katika muundo kwenye screen ya mistari mbalimbali wima kuenea nje usawa. Bila diffraction na kuingiliwa, mwanga ingekuwa tu kufanya mistari miwili kwenye screen.

    Kwa nini sisi si kawaida kuchunguza tabia wimbi kwa mwanga, kama vile aliona katika Young mara mbili watakata majaribio? Kwanza, mwanga lazima kuingiliana na kitu kidogo, kama vile slits karibu spaced kutumiwa na Young, kuonyesha hutamkwa madhara wimbi. Zaidi ya hayo, Young kwanza kupita mwanga kutoka chanzo moja (Sun) kwa njia ya watakata moja kufanya mwanga kiasi fulani madhubuti. Kwa thabiti, tunamaanisha mawimbi ni katika awamu au kuwa na uhusiano wa awamu ya uhakika. Incoherent ina maana mawimbi yana uhusiano wa awamu ya random. Kwa nini Young kisha kupita mwanga kwa njia ya kupasuka mara mbili? Jibu la swali hili ni kwamba slits mbili hutoa vyanzo viwili vyenye mwanga ambavyo huingilia kati kwa ufanisi au kwa uharibifu. Vijana walitumia jua, ambapo kila wavelength huunda muundo wake mwenyewe, na kufanya athari iwe vigumu kuona. Tunaonyesha jaribio la kupasuka mara mbili na mwanga wa monochromatic (moja\(\lambda\)) ili kufafanua athari. Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha kuingiliwa safi na uharibifu wa mawimbi mawili yenye wavelength sawa na amplitude.

    Kielelezo a inaonyesha mawimbi matatu sine na wavelength huo mpangilio moja juu ya nyingine. Vipande na mabwawa ya kila wimbi vinaendana na yale ya mawimbi mengine. mawimbi mawili ya juu yanatajwa wimbi moja na wimbi mbili na wimbi la chini linaitwa matokeo. Amplitude ya mawimbi moja na mbili ni lebo x na amplitude ya wimbi matokeo ni lebo mbili x Kielelezo b inaonyesha hali kama hiyo, isipokuwa kwamba peaks ya wimbi mbili sasa align na mabwawa ya wimbi moja. Wimbi la matokeo sasa ni mstari wa usawa wa moja kwa moja kwenye mhimili wa x; yaani, mstari y unafanana na sifuri.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Amplitudes ya mawimbi kuongeza. (a) Uingiliaji safi wa kujenga unapatikana wakati mawimbi yanayofanana yanapatikana katika awamu. (b) Uingiliaji safi wa uharibifu hutokea wakati mawimbi yanayofanana hayatoka nje ya awamu, au kubadilishwa kwa wavelength ya nusu.

    Wakati mwanga unapita kupitia slits nyembamba, hutenganishwa kwenye mawimbi ya semicircular, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{3a}\). Uingiliaji safi wa kujenga hutokea ambapo mawimbi yanajitokeza kwa crest au kupitia kupitia nyimbo. Uingiliaji safi wa uharibifu hutokea ambapo wao ni crest kwa kupitia nyimbo. Mwanga lazima uanguke kwenye skrini na ueneze machoni petu ili tuone mfano. Mfano sawa wa mawimbi ya maji unaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{3b}\). Kumbuka kwamba mikoa ya kuingiliwa kwa kujenga na uharibifu hutoka kwenye slits kwenye pembe zilizoelezwa vizuri kwenye boriti ya awali. Pembe hizi hutegemea wavelength na umbali kati ya slits, kama tutakavyoona hapa chini.

    Takwimu ina sehemu tatu. Sehemu ya kwanza ni kuchora inayoonyesha wavefronts sambamba inakaribia ukuta kutoka kushoto. Vipande vinaonyeshwa kama mistari inayoendelea, na mabwawa yanaonyeshwa kama mistari ya dotted. Mionzi miwili ya mwanga hupita kupitia slits ndogo katika ukuta na kuibuka katika muundo wa shabiki kutoka slits mbili. Hizi mistari shabiki nje ya haki mpaka hit ukuta wa kulia. Vipengele ambapo mistari hii ya shabiki hupiga ukuta wa mkono wa kulia ni mbadala iliyoandikwa min na max. Vipengele vya min vinahusiana na mistari inayounganisha viumbe vinavyoingiliana na mabwawa, na pointi za max zinahusiana na mistari inayounganisha viumbe vinavyoingiliana. Mchoro wa pili ni mtazamo kutoka juu ya bwawa la maji na mawimbi ya semicircular inayotoka pointi mbili upande wa kushoto wa bwawa ambazo hupangwa moja juu ya nyingine. Mawimbi haya ya semicircular yanaingiliana na kuunda mfano kama muundo uliofanywa na arcs katika picha ya kwanza. Mchoro wa tatu unaonyesha mstari wa wima, na dots fulani zinaonekana nyepesi kuliko dots nyingine. Mfano wa mwangaza ni ulinganifu kuhusu midpoint ya mstari huu. Dots karibu na midpoint ni mkali zaidi. Kama hoja kutoka midpoint juu, au chini, dots kuwa kuendelea dimmer mpaka kuna inaonekana kuwa dot kukosa. Ikiwa unaendelea bado mbali na midpoint, dots huonekana tena na kupata mkali, lakini ni kidogo sana kuliko dots kuu. Ikiwa unaendelea bado mbali na midpoint, dots hupata dimmer tena na kisha kutoweka tena, ndio ambapo mstari wa dotted unaacha.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Slits Double kuzalisha vyanzo viwili thabiti ya mawimbi (a) Mwanga huenea (diffracts) kutoka kila fungu, kwa sababu slits ni nyembamba. Mawimbi haya yanaingiliana na kuingilia kati kwa ufanisi (mistari mkali) na uharibifu (mikoa ya giza). Tunaweza tu kuona hili ikiwa mwanga unaanguka kwenye skrini na umetawanyika machoni petu. (b) Double watakata kuingiliwa mfano kwa mawimbi ya maji ni karibu sawa na ile kwa mwanga. Hatua ya wimbi ni kubwa zaidi katika mikoa ya kuingiliwa kwa kujenga na angalau katika mikoa ya kuingiliwa kwa uharibifu. (c) Wakati mwanga kwamba kupita kwa njia ya slits mara mbili iko kwenye screen, tunaona mfano kama hii. (mikopo: PASCO)

    Ili kuelewa mara mbili watakata kuingiliwa mfano, tunaona jinsi mawimbi mawili kusafiri kutoka slits kwa screen, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\). Kila watakata ni umbali tofauti na hatua fulani kwenye screen. Hivyo idadi tofauti za wavelengths zinafaa katika kila njia. Mawimbi kuanza kutoka slits katika awamu (crest kwa crest), lakini wanaweza kuishia nje ya awamu (crest kupitia nyimbo) katika screen kama njia tofauti katika urefu na wavelength nusu, kuingilia destructively kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4a}\). Ikiwa njia zinatofautiana na wavelength nzima, basi mawimbi hufika kwenye awamu (crest kwa crest) kwenye skrini, huingilia kwa ufanisi kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{4b}\). Kwa ujumla, kama njia zilizochukuliwa na mawimbi mawili zinatofautiana na idadi yoyote ya nusu-muhimu ya wavelengths [\( \left( 1/2 \right) \lambda , \left(3/2 \right) \lambda , \left( 5/2 \right) \lambda,\)nk], basi kuingiliwa kwa uharibifu hutokea. Vile vile, kama njia zilizochukuliwa na mawimbi mawili zinatofautiana na idadi yoyote muhimu ya wavelengths (\( \lambda , 2\lambda , 3\lambda \), nk), basi kuingiliwa kwa kujenga hutokea.

    Sehemu zote mbili za takwimu zinaonyesha schematic ya jaribio la kupasuka mara mbili. Mawimbi mawili, ambayo kila mmoja hutolewa kutoka kwenye fungu tofauti, hueneza kutoka kwenye slits hadi skrini. Katika schematic ya kwanza, wakati mawimbi yanapokutana kwenye skrini, moja ya mawimbi ni kwa kiwango cha juu wakati mwingine ni kiwango cha chini. Mpangilio huu umeandikwa giza (kuingiliwa kwa uharibifu). Katika schematic ya pili, wakati mawimbi yanapokutana kwenye skrini, mawimbi yote ni ya chini.. Mpangilio huu umeandikwa mkali (kuingiliwa kwa kujenga).
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Mawimbi hufuata njia tofauti kutoka slits hadi hatua ya kawaida kwenye skrini. (a) Uharibifu kuingiliwa hutokea hapa, kwa sababu njia moja ni nusu wavelength mrefu kuliko nyingine. Mawimbi yanaanza katika awamu lakini yanafika nje ya awamu. (b) Kuingiliwa kwa kujenga hutokea hapa kwa sababu njia moja ni wavelength nzima zaidi kuliko nyingine. Mawimbi huanza na kufika katika awamu.

    CHUKUA-NYUMBANI MAJARIBIO: KUTUMIA VIDOLE KAMA SLITS

    Angalia mwanga, kama taa ya barabara au bomba la incandescent, kwa njia ya pengo nyembamba kati ya vidole viwili vilivyofungwa karibu. Unaona aina gani ya mfano? Inabadilikaje wakati unaruhusu vidole kuhamia mbali kidogo? Je, ni tofauti zaidi kwa chanzo cha monochromatic, kama mwanga wa njano kutoka taa ya mvuke ya sodiamu, kuliko kwa bomba la incandescent?

    Kielelezo\(\PageIndex{5}\) kinaonyesha jinsi ya kuamua tofauti ya urefu wa njia kwa mawimbi ya kusafiri kutoka slits mbili hadi hatua ya kawaida kwenye skrini. Ikiwa skrini ni umbali mkubwa ikilinganishwa na umbali kati ya slits, basi angle\(\theta\) kati ya njia na mstari kutoka slits hadi skrini ni karibu sawa kwa kila njia. Tofauti kati ya njia zinaonyeshwa kwenye takwimu; trigonometry rahisi inaonyesha kuwa\(d \sin{\theta}\),\(d\) wapi umbali kati ya slits. Ili kupata kuingiliwa kwa kujenga kwa watakata mara mbili, tofauti ya urefu wa njia lazima iwe nyingi muhimu ya wavelength, au

    \[d\sin{\theta} = m \lambda, ~for~ m=0,1,-1,2,-2 ... \left( constructive \right). \label{27.4.1}\]

    Vile vile, ili kupata kuingiliwa kwa uharibifu kwa kupasuka mara mbili, tofauti ya urefu wa njia lazima iwe nyingi ya nusu muhimu ya wavelength, au

    \[d \sin{\theta} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda, ~for~ m=0,1,-1,2,-2 ... \left( destructive \right). \label{27.4.2}\]

    wapi\(\lambda\) wavelength ya mwanga,\(d\) ni umbali kati ya slits, na\(\theta\) ni angle kutoka mwelekeo wa awali wa boriti kama ilivyojadiliwa hapo juu. Tunaita\(m\) utaratibu wa kuingiliwa. Kwa mfano,\(m=4\) ni ya nne ili kuingiliwa.

    Takwimu ni schematic ya jaribio la kupasuka mara mbili, na ukubwa wa slits umeongezeka ili kuonyesha maelezo. Slits mbili ziko upande wa kushoto, na skrini iko upande wa kulia. Slits zinawakilishwa na mstari mwembamba wa wima na mapungufu mawili hukatwa kwa umbali d mbali. Mionzi miwili, moja kutoka kila fungu, angle juu na kulia kwa theta angle juu ya usawa. Kwenye skrini, mionzi hii inaonyeshwa kugeuka kwa hatua ya kawaida. ray kutoka watakata juu ni kinachoitwa l ndogo moja, na ray kutoka watakata chini ni kinachoitwa l ndogo mbili. Katika slits, pembetatu ya kulia hutolewa, na mstari mwembamba kati ya slits kutengeneza hypotenuse. Hypotenuse inaitwa d, ambayo ni umbali kati ya slits. Kipande kifupi cha ray kutoka kwenye sehemu ya chini ni kinachoitwa delta l na huunda upande mfupi wa pembetatu sahihi. Upande mrefu wa pembetatu ya kulia huundwa na sehemu ya mstari ambayo inakwenda chini na kulia kutoka kwenye sehemu ya juu hadi kwenye ray ya chini. Sehemu hii ya mstari ni perpendicular kwa ray ya chini, na angle inafanya na hypotenuse inaitwa theta. Chini ya pembetatu hii ni formula delta l sawa d sine theta.
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Njia kutoka kila fungu hadi hatua ya kawaida kwenye skrini hutofautiana na kiasi\(d\sin{\theta}\), kuchukua umbali wa skrini ni mkubwa zaidi kuliko umbali kati ya slits (sio kuongeza hapa).

    Ulinganisho wa kuingiliwa kwa mara mbili kunamaanisha kuwa mfululizo wa mistari mkali na giza huundwa. Kwa slits wima, mwanga kuenea nje usawa upande wowote wa tukio boriti katika muundo kuitwa kuingiliwa pindo, mfano katika Kielelezo\(\PageIndex{6}\). Upeo wa pindo mkali huanguka upande wowote, kuwa mkali zaidi katikati. Karibu na slits ni, zaidi ni kueneza kwa pindo kali. Tunaweza kuona hili kwa kuchunguza Ulinganisho\ ref {27.4.1}.

    Kwa fasta\(\lambda\) na\(m\), ndogo\(d\) ni, kubwa\(\theta\) lazima iwe, tangu\(\sin{\theta} = m \lambda / d\). Hii ni sambamba na ugomvi wetu kwamba madhara ya wimbi yanaonekana zaidi wakati kitu ambacho wimbi linakutana (hapa, hupiga umbali\(d\) mbali) ni ndogo. Ndogo\(d\) hutoa kubwa\(\theta\), hivyo athari kubwa.

    Takwimu ina sehemu mbili zilizopangwa kwa upande mmoja. Mchoro upande wa kushoto unaonyesha utaratibu wa kupasuka mara mbili pamoja na grafu ya muundo wa kiwango cha matokeo kwenye skrini ya mbali. Grafu inaelekezwa kwa wima, ili kilele cha ukubwa kinakua na upande wa kushoto kutoka skrini. Upeo wa kiwango cha juu ni katikati ya skrini, na baadhi ya kilele kidogo cha makali huonekana pande zote mbili za katikati. Hizi peaks kuwa kuendelea dimmer juu ya kusonga mbali na kituo, na ni symmetric kuhusiana na kilele cha kati. Umbali kutoka upeo wa kati hadi kilele cha kwanza cha dimmer kinaitwa y ndogo, na umbali kutoka upeo wa kati hadi kilele cha pili cha dimmer kinachoitwa y ndogo mbili. Mfano upande wa kulia unaonyesha baa zenye usawa mkali kwenye background ya giza. Kila bar ya usawa inaendana na moja ya kilele cha kiwango kutoka kwa takwimu ya kwanza.
    Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Mfano wa kuingiliwa kwa watakata mara mbili una kiwango kinachoanguka na angle. Picha inaonyesha mistari mingi mkali na giza, au pindo, iliyoundwa na nuru inayopitia mtego mara mbili.

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Finding a Wavelength from an Interference Pattern

    Tuseme unapita mwanga kutoka laser ya He-Ne kupitia slits mbili zilizotengwa na 0.1000 mm na kupata kwamba mstari wa tatu mkali kwenye skrini hutengenezwa kwa pembe ya\(10.95^{\circ}\) jamaa na boriti ya tukio. Je, ni wavelength ya mwanga?

    Mkakati:

    Mstari wa tatu mkali ni kutokana na kuingiliwa kwa utaratibu wa tatu, ambayo ina maana kwamba\(m=3\). Tunapewa\(d = 0.0100 mm\) na\(\theta = 10.95^{\circ}\). Kwa hiyo wavelength inaweza kupatikana kwa kutumia equation\(d \sin{\theta} = m \lambda\) kwa kuingiliwa kwa kujenga.

    Suluhisho

    equation ni\(d \sin{\theta} = m \lambda\). Kutatua kwa wavelength\(\lambda\) inatoa

    \[\lambda = \frac{d \sin{\theta}}{m}. \nonumber\]

    Kubadilisha maadili inayojulikana mavuno

    \[\begin{align*} \lambda &= \frac{\left(0.0100 mm \right) \left(\sin{10.95^{\circ}} \right)}{3} \\[4pt] &= 6.33 \times 10^{-4} mm = 633\, nm. \end{align*}\]

    Majadiliano:

    Kwa tarakimu tatu, hii ni wavelength ya mwanga iliyotolewa na laser ya kawaida ya He-Ne. Si kwa bahati mbaya, rangi hii nyekundu ni sawa na ile iliyotolewa na taa za neon. Muhimu zaidi, hata hivyo, ni ukweli kwamba mifumo ya kuingiliwa inaweza kutumika kupima wavelength. Young alifanya hivyo kwa wavelengths inayoonekana. Mbinu hii ya uchambuzi bado inatumiwa sana kupima spectra ya sumakuumeme. Kwa utaratibu uliopewa, angle ya kuingiliwa kwa kujenga huongezeka na\(\lambda\), ili spectra (vipimo vya kiwango dhidi ya wavelength) vinaweza kupatikana.

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating Highest Order Possible

    Mwelekeo wa kuingilia kati hauna idadi isiyo na idadi ya mistari, kwani kuna kikomo cha jinsi kubwa\(m\) inaweza kuwa. Je, ni ya juu ili kujenga kuingiliwa iwezekanavyo na mfumo ilivyoelezwa katika mfano uliopita?

    Mkakati na Dhana:

    Equation\(d \sin{\theta} = m \lambda \left( for m = 0,1,-1,2,-2,...\right)\) inaelezea kuingiliwa kwa kujenga. Kwa maadili fasta ya\(d\) na\(\lambda\), kubwa\(m\) ni, kubwa\(\sin{\theta}\) ni. Hata hivyo, thamani ya juu ambayo\(\sin{\theta}\) inaweza kuwa na 1, kwa angle ya\(90^{\circ}\). (Pembe kubwa zinamaanisha kuwa mwanga unakwenda nyuma na haufikia skrini kabisa.) Hebu tupate ambayo\(m\) inalingana na angle hii ya kiwango cha juu cha diffraction.

    Suluhisho

    Kutatua equation\(d\sin{\theta} = m \lambda\) kwa\(m\) anatoa:

    \[m = \frac{d \sin{\theta}}{\lambda}. \nonumber \]

    Kuchukua\(\sin{\theta} = 1\) na kubadilisha maadili ya\(d\) na\(\lambda\) kutoka mfano uliopita anatoa

    \[m = \frac{\left(0.0100 mm\right) \left(1\right)}{633 nm} \approx 15.8. \nonumber\]

    Kwa hiyo, integer kubwa\(m\) inaweza kuwa ni 15, au

    \[m = 15. \nonumber\]

    Majadiliano:

    Idadi ya pindo inategemea urefu wa wavelength na kujitenga. Idadi ya pindo itakuwa kubwa sana kwa kujitenga kwa kiasi kikubwa. Hata hivyo, kama mgawanyiko wa mgawanyiko unakuwa mkubwa zaidi kuliko wavelength, ukubwa wa muundo wa kuingiliwa hubadilika ili skrini iwe na mistari miwili mkali iliyopigwa na slits, kama inavyotarajiwa wakati mwanga unatenda kama ray. Pia tunaona kwamba pindo hupata zaidi mbali na kituo hicho. Kwa hiyo, sio pindo zote 15 zinaweza kuonekana.

    Muhtasari

    • Young ya mara mbili watakata majaribio alitoa ushahidi yakinifu wa tabia wimbi la mwanga.
    • Mfano wa kuingiliwa unapatikana kwa superposition ya mwanga kutoka slits mbili.
    • Kuna kuingiliwa kwa kujenga wakati\(d\sin{\theta} = m \lambda \left(for m = 0,1,-2,2,-2,...\right)\), wapi\(d\) umbali kati ya slits,\(\theta\) ni angle kuhusiana na mwelekeo wa tukio, na\(m\) ni utaratibu wa kuingiliwa.
    • Kuna kuingiliwa kwa uharibifu wakati\(d \sin{\theta} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda \left( for m = 0,1,-1,2,-2,...\right)\).

    faharasa

    thabiti
    mawimbi ni katika awamu au kuwa na uhusiano wa awamu ya uhakika
    kuingiliwa kwa kujenga kwa ajili ya kupasuka mara mbili
    tofauti ya urefu wa njia lazima iwe nyingi muhimu ya wavelength
    kuingiliwa kwa uharibifu kwa ajili ya kupasuka mara mbili
    tofauti ya urefu wa njia lazima iwe nyingi ya nusu muhimu ya wavelength
    kutoeleweka
    mawimbi yana uhusiano wa awamu random
    agizo
    integer\(m\) kutumika katika equations kwa kuingiliwa kujenga na uharibifu kwa ajili ya kupasuka mara mbili