12.3: Matumizi ya jumla ya Equation ya Bernoulli

Last updated
Save as PDF

Page ID: 182934

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Tumia kutumia theorem ya Torricelli.
Tumia nguvu katika mtiririko wa maji.

Theorem ya Torricelli

Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha maji yanayotokana na bomba kubwa kupitia bwawa. Je! Ni kasi gani inapoibuka? Kushangaza, ikiwa upinzani ni mdogo, kasi ni nini tu itakuwa kama maji yalianguka umbali\(h\) kutoka kwenye uso wa hifadhi; kasi ya maji ni huru ya ukubwa wa ufunguzi. Hebu angalia hii nje.

Sehemu ya a ya takwimu inaonyesha picha ya bwawa lenye maji yanayotokana na bomba kubwa chini ya bwawa. Sehemu ya b inaonyesha mchoro wa schematic kwa mtiririko wa maji katika hifadhi. Hifadhi inavyoonyeshwa kwa namna ya sehemu ya triangular na ufunguzi wa usawa pamoja na msingi kidogo karibu na msingi. Maji yanaonyeshwa inapita kupitia ufunguzi usio na usawa karibu na msingi. Urefu ambao huanguka unaonyeshwa kama h mbili. Shinikizo na kasi ya maji katika hatua hii ni P mbili na v mbili. Urefu ambao maji yanaweza kuanguka ikiwa huanguka kutoka urefu h juu ya ufunguzi hutolewa na h 2. Shinikizo na kasi ya maji katika hatua hii ni P moja na v moja. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Jet zilizopo ikitoa maji katika Glen Canyon Dam High Flow Experiment (Ofisi ya Reclamation): (b) Kutokana na kukosekana kwa upinzani mkubwa, maji hutoka kutoka hifadhi kwa kasi sawa ingekuwa kama ikaanguka umbali\(h\) bila msuguano. Huu ni mfano wa theorem ya Torricelli.

Equation ya Bernoulli lazima itumike kwani kina si mara kwa mara. Tunazingatia maji yanayotoka kwenye uso (hatua ya 1) hadi kwenye bandari ya tube (hatua ya 2). Equation Bernoulli kama ilivyoelezwa hapo awali ni

\[P_1 + \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \dfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2.\]

Wote\(P_1\) na\(P_2\) sawa shinikizo la anga (\(P_1\)ni shinikizo la anga kwa sababu ni shinikizo juu ya hifadhi. \(P_2\)lazima iwe na shinikizo la anga, kwani maji yanayotokea yamezungukwa na angahewa na hawezi kuwa na shinikizo tofauti na shinikizo la anga.) na kuondoa nje ya equation, na kuacha

\[\dfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = \dfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2.\]

Kutatua equation hii kwa\(v_2^2\) kutambua kwamba wiani\(\rho\) hufuta (kwa sababu maji hayawezi kuingizwa), huzaa

\[v_2^2 = v_1^2 + 2g(h_1 - h_2).\]

Sisi basi\(h = h_1 - h_2\), equation kisha inakuwa

\[v_2^2 = v_1^2 + 2gh\]

ambapo\(h\) ni urefu imeshuka kwa maji. Hii ni equation ya kinematic kwa kitu chochote kinachoanguka umbali\(h\) na upinzani usio na maana. Katika maji, equation hii ya mwisho inaitwa theorem ya Torricelli. Kumbuka kuwa matokeo ni huru ya mwelekeo wa kasi, kama tulivyopata wakati wa kutumia uhifadhi wa nishati kwa vitu vinavyoanguka.

Kielelezo inaonyesha injini moto kwamba ni stationed karibu na jengo mrefu. Ghorofa ya jengo mita kumi juu ya ardhi imechukua moto. Moto unaonyeshwa unatoka. Mtu wa moto amefikia karibu na eneo lililopata moto kwa kutumia ngazi na ananyunyizia maji kwenye moto kwa kutumia hose iliyoambatana na injini ya moto. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Shinikizo katika bomba la hose hii ya moto ni chini ya kiwango cha chini kwa sababu mbili: maji yanapaswa kwenda kupanda ili kufikia bomba, na kasi huongezeka kwa bubu. Licha ya shinikizo lake la kupungua, maji yanaweza kutumia nguvu kubwa juu ya chochote kinachopiga, kwa sababu ya nishati yake ya kinetic. Shinikizo katika mkondo wa maji huwa sawa na shinikizo la angahewa mara inapojitokeza hewani.

Matumizi yote yaliyotangulia ya equation ya Bernoulli yalihusisha hali ya kurahisisha, kama vile urefu wa mara kwa mara au shinikizo la mara kwa mara. Mfano unaofuata ni matumizi ya jumla zaidi ya equation ya Bernoulli ambayo shinikizo, kasi, na urefu wote hubadilika. (Angalia Kielelezo.)

Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating Pressure: A Fire Hose Nozzle

Hoses za moto zinazotumiwa katika moto mkubwa wa muundo zina ndani ya kipenyo cha cm 6.40. Tuseme hose vile hubeba mtiririko wa 40.0 L/s kuanzia shinikizo kupima ya\( 1.62 \times 10^6 \, N/m^2\). Ya hose inakwenda 10.0 m juu ya ngazi kwa bomba iliyo na kipenyo cha ndani cha cm 3.00. Kutokana na upinzani usio na maana, ni shinikizo gani katika bomba?

Mkakati

Hapa tunapaswa kutumia equation ya Bernoulli kutatua kwa shinikizo, kwani kina si mara kwa mara.

Suluhisho

Majimbo ya equation ya Bernoulli

\[P_1 + \dfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \dfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2,\nonumber\]

ambapo usajili 1 na 2 hutaja hali ya awali kwenye ngazi ya chini na hali ya mwisho ndani ya bomba, kwa mtiririko huo. Lazima kwanza kupata kasi\(v_1\) na\(v_2\). Tangu\(Q = A_1v_1\), sisi kupata

\[\begin{align*}v_1 &= \dfrac{Q}{A_1} \\[5pt] &= \dfrac{40.0 \times 10^{-3} m^3/s}{\pi(3.20 \times 10^{-2} m)^2} \\[5pt] &= 12.4 \, m/s. \end{align*}\]

Vile vile, tunaona

\[v_2 = 56.6 \, m/s.\nonumber\]

(Kasi hii badala kubwa ni muhimu katika kufikia moto.) Sasa,\(h_1\) kuchukua kuwa sifuri, sisi kutatua equation Bernoulli kwa\(P_2\):

\[P_2 = P_1 + \dfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) - \rho gh_2. \nonumber\]

Kubadilisha maadili inayojulikana mavuno

\[\begin{align*} P_2 &= 1.62 \times 10^6 N/m^2 + \dfrac{1}{2}(1000 \, kg/m^3)[(12.4 \, m/s)^2 - (56.6 \, m/s)^2] - (1000 \, kg/m^3)(9.80 m/s^2)(10.0 \, m) \\[5pt] &= 0 \end{align*}\]

Majadiliano

Thamani hii ni shinikizo la kupima, kwani shinikizo la awali lilipewa kama shinikizo la kupima. Hivyo shinikizo la bomba linalingana na shinikizo la anga, kama ni lazima kwa sababu maji hutoka angahewa bila mabadiliko katika hali yake.

Nguvu katika mtiririko wa maji

Nguvu ni kiwango ambacho kazi imefanywa au nishati kwa namna yoyote hutumiwa au hutolewa. Kuona uhusiano wa nguvu na mtiririko wa maji, fikiria equation ya Bernoulli:

\[P + \dfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = constant.\]

Masharti yote matatu yana vitengo vya nishati kwa kiasi cha kitengo, kama ilivyojadiliwa katika sehemu iliyopita. Sasa, kwa kuzingatia vitengo, ikiwa tunazidisha nishati kwa kiasi cha kitengo na kiwango cha mtiririko (kiasi kwa wakati wa kitengo), tunapata vitengo vya nguvu. Hiyo ni\((E/V)(V/t) = E/t\). Hii ina maana kwamba kama sisi kuzidisha equation Bernoulli kwa kiwango cha mtiririko\(Q\), sisi kupata nguvu. Katika fomu equation, hii ni

\[\left(P + \dfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh \right)Q = power.\]

Kila neno lina maana ya kimwili. Kwa mfano,\(PQ\) ni nguvu zinazotolewa kwa maji, labda kwa pampu, ili kuipa shinikizo lake\(P\). Vile vile,\(\frac{1}{2}\rho v^2Q\) ni nguvu zinazotolewa kwa maji ya kutoa nishati yake kinetic. Na\(\rho ghQ\) ni nguvu kwenda nguvu mvuto uwezo.

Kufanya Connections: Nguvu

Nguvu hufafanuliwa kama kiwango cha nishati kuhamishwa, au\(E/t\). Mtiririko wa maji unahusisha aina kadhaa za nguvu. Kila aina ya nguvu inatambuliwa na aina maalum ya nishati inayotumiwa au kubadilishwa kwa fomu.

Mfano\(\PageIndex{2}\): Calculating Power in a Moving Fluid

Tuseme moto hose katika mfano uliopita ni kulishwa na pampu ambayo inapokea maji kwa njia ya hose na mduara 6.40-cm kuja kutoka hydrant na shinikizo la\(0.700 \times 10^6 \, N/m^2\). Je, pampu hutoa nguvu gani kwa maji?

Mkakati

Hapa tunapaswa kuzingatia fomu za nishati pamoja na jinsi zinavyohusiana na mtiririko wa maji. Kwa kuwa pembejeo na pato hoses na kipenyo sawa na ni katika urefu sawa, pampu haina mabadiliko ya kasi ya maji wala urefu wake, na hivyo nishati ya maji ya kinetic na nguvu ya uwezo wa mvuto hazibadilika. Hiyo ina maana pampu tu hutoa nguvu ya kuongeza shinikizo la maji na\(0.92 \times 10^6 \, N/m^2\) (kutoka\(0.700 \times 10^6 \, N/m^2 \) kwa\(1.62 \times 10^6 \, N/m^2)\).

Suluhisho

Kama ilivyojadiliwa hapo juu, nguvu zinazohusiana na shinikizo ni

\[\begin{align*} power &= PQ \\[5pt] &= (0.920 \times 10^6 \, N/m^2)(40.0 \times 10^{-3} m^3/s).\\[5pt] &= 3.68 \times 10^4 \, W \\[5pt] &= 36.8 \, kW \end{align*} \]

Majadiliano

Kiasi kikubwa cha nguvu kinahitaji pampu kubwa, kama vile hupatikana kwenye malori mengine ya moto. (Hii thamani kilowatt waongofu na kuhusu 50 hp.) Pampu katika mfano huu huongeza shinikizo la maji tu. Ikiwa pampu-kama vile moyo-moja kwa moja huongeza kasi na urefu pamoja na shinikizo, tunapaswa kuhesabu masharti yote matatu ili kupata nguvu inayotoa.

Muhtasari

Nguvu katika mtiririko wa maji hutolewa na equation\((P_1 + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh)Q = power\), ambapo muda wa kwanza ni nguvu inayohusishwa na shinikizo, pili ni nguvu inayohusishwa na kasi, na ya tatu ni nguvu inayohusishwa na urefu.