10.1: Kuharakisha Angular

Last updated
Save as PDF

Page ID: 183790

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Eleza mwendo wa mviringo sare.
Eleza zisizo sare mviringo mwendo.
Tumia kasi ya angular ya kitu.
Angalia kiungo kati ya kasi ya mstari na angular.

Uniform Circular Motion na Gravitation kujadiliwa tu sare mviringo mwendo, ambayo ni mwendo katika mduara kwa kasi ya mara kwa mara na, hivyo, mara kwa mara angular kasi. Kumbuka kwamba kasi ya angular\(\omega\) ilifafanuliwa kama kiwango cha wakati wa mabadiliko ya angle\(\theta\).

\[ \omega = \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t},\]

ambapo\(\theta\) ni angle ya mzunguko kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Uhusiano kati ya kasi ya angular\(\omega\) na kasi ya mstari pia\(v\) ulifafanuliwa katika Mzunguko Angle na Angular Velocity kama

\[v = r \omega\]

\[\omega = \dfrac{v}{r}\]

wapi\(r\) Radius ya curvature, pia kuonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Kwa mujibu wa mkataba wa ishara, mwelekeo wa saa moja kwa moja unachukuliwa kama mwelekeo mzuri na mwelekeo wa saa kama hasi

Takwimu iliyotolewa inaonyesha mwendo wa mviringo wa kinyume na mstari usio na usawa, unaonyesha radius r, inayotolewa kutoka katikati ya mduara hadi upande wa kulia kwenye mzunguko wake na mstari mwingine hutolewa kwa namna ambayo inafanya papo hapo angle delta theta na mstari wa usawa. Vectors kasi ya tangential huonyeshwa mwishoni mwa mistari miwili. Kwenye upande wa chini wa kulia wa takwimu, formula ya kasi ya angular inapewa kama v juu ya r. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Takwimu hii inaonyesha sare mviringo mwendo na baadhi ya kiasi yake defined.

Angular kasi si mara kwa mara wakati skater pulls katika mikono yake, wakati mtoto kuanza up merry-kwenda pande zote kutoka mapumziko, au wakati kompyuta ngumu disk kupungua kwa kuacha wakati imezimwa. Katika kesi hizi zote, kuna kasi ya angular, ambayo\(\omega\) inabadilika. Mabadiliko ya kasi hutokea, kasi ya kasi ya angular. Kuharakisha angular\(\alpha\) hufafanuliwa kama kiwango cha mabadiliko ya kasi ya angular. Katika fomu ya equation, kasi ya angular inaelezwa kama ifuatavyo:

\[\alpha = \dfrac{\Delta \omega}{\Delta t},\]\(Δω\)wapi mabadiliko katika kasi ya angular na\(Δt\) ni mabadiliko kwa wakati. Vitengo vya kuongeza kasi ya angular ni (rad/s) /s, au rad/\(s^2\). Ikiwa\(ω\) huongezeka, basi\(α\) ni chanya. Ikiwa\(ω\) itapungua, basi\(α\) ni hasi.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating the Angular Acceleration and Deceleration of a Bike Wheel

Tuseme kijana anaweka baiskeli yake nyuma yake na kuanza gurudumu la nyuma linalozunguka kutoka kupumzika hadi kasi ya mwisho ya angular ya 250 rpm katika 5.00 s. (a) Kuhesabu kasi ya angular katika\(rad/s^2\). (b) Ikiwa sasa anapiga mabaki, na kusababisha kasi ya angular ya -87.3\(rad/s^2\), inachukua muda gani gurudumu kuacha?

Mkakati wa (a)

Kuongeza kasi ya angular inaweza kupatikana moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wake\(α=\frac{Δω}{Δt}\) kwa sababu kasi ya mwisho ya angular na wakati hutolewa. Tunaona kwamba\(Δω\) ni 250 rpm na\(Δt\) ni 5.00 s.

Suluhisho kwa (a)

Kuingia habari inayojulikana katika ufafanuzi wa kuongeza kasi ya angular, tunapata

\(α=\frac{Δω}{Δt}=\frac{250 rpm}{5.00 s}\).

Kwa sababu\(Δω\) ni katika mapinduzi kwa dakika (rpm) na tunataka vitengo vya kawaida\(rad/s^2\) vya kuongeza kasi ya angular, tunahitaji kubadilisha\(Δω\) kutoka rpm hadi rad/s:

\(Δω=250\frac{rev}{min}⋅\frac{2π rad}{rev}⋅\frac{1 min}{60 sec}=26.2rads\).

Kuingia kiasi hiki katika kujieleza kwa\(α\), tunapata

\(α=\frac{Δω}{Δt}=\frac{26.2 rad/s}{5.00 s}=5.24 rad/s^2\).

Mkakati wa (b)

Katika sehemu hii, tunajua kasi ya angular na kasi ya awali ya angular. Tunaweza kupata muda wa kuacha kwa kutumia ufafanuzi wa kasi ya angular na kutatua kwa Δt, kujitoa

\(Δt=\frac{Δω}{α}\).

Suluhisho kwa (b)

Hapa kasi ya angular inapungua kutoka 26.2 rad/s (250 rpm) hadi sifuri, hivyo\(Δω\) ni —26.2 rad/s, na α inapewa kuwa —87.3\(rad/s^2\). Hivyo,

\(Δt=\frac{–26.2 rad/s}{–87.3rad/s^2}=0.300 s.\)

Majadiliano

Kumbuka kuwa kasi ya angular kama msichana huzunguka gurudumu ni ndogo na chanya; inachukua 5 s kuzalisha kasi ya angular appreciable. Wakati anapiga breki, kasi ya angular ni kubwa na hasi. Kasi ya angular haraka inakwenda sifuri. Katika matukio hayo yote, mahusiano yanafanana na kile kinachotokea kwa mwendo wa mstari. Kwa mfano, kuna deceleration kubwa wakati ajali katika ukuta matofali-mabadiliko ya kasi ni kubwa katika muda mfupi muda.

Kama baiskeli katika mfano uliopita alikuwa juu ya magurudumu yake badala ya kichwa-chini, ingekuwa kwanza kuwa kasi chini na kisha kuja kuacha. Uunganisho huu kati ya mwendo wa mviringo na mwendo wa mstari unahitaji kuchunguzwa. Kwa mfano, itakuwa muhimu kujua jinsi kasi ya mstari na angular inahusiana. Katika mwendo mviringo, linear kuongeza kasi ni tangent kwa mduara katika hatua ya riba, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Hivyo, kasi ya mstari inaitwa kuongeza kasi ya tangential\(a_t\).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Katika mwendo wa mviringo\(a\), kasi ya mstari, hutokea kama ukubwa wa mabadiliko ya kasi:\(a\) ni tangent kwa mwendo. Katika muktadha wa mwendo wa mviringo, kasi ya mstari pia huitwa kasi ya kasi\(a_t\).

Kasi ya mstari au tangential inahusu mabadiliko katika ukubwa wa kasi lakini si mwelekeo wake. Tunajua kutoka kwa Mzunguko wa Mviringo wa Mviringo na Gravitation kwamba katika mwendo wa mzunguko wa centripetal kasi, ac, inahusu mabadiliko katika mwelekeo wa kasi lakini si ukubwa wake. kitu kufanyiwa mviringo mwendo uzoefu centripetal kuongeza kasi, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Hivyo,\(a_t\) na\(a_c\) ni perpendicular na huru ya mtu mwingine. Kuharakisha kasi\(a_t\) ni moja kwa moja kuhusiana\(α\) na kasi ya angular na inahusishwa na ongezeko au kupungua kwa kasi, lakini sio mwelekeo wake.

Katika takwimu, semicircle hutolewa, na r radius yake, imeonyeshwa hapa kama sehemu ya mstari. Mwendo wa kupambana na saa ya mzunguko unaonyeshwa kwa mshale kwenye njia ya mduara. Tangential kasi vector, v, ya uhakika, ambayo ni juu ya hatua ya mkutano wa Radius na mduara, inavyoonekana kama mshale kijani na kuongeza kasi linear, ndogo t inavyoonekana kama mshale njano katika mwelekeo huo pamoja v. kuongeza kasi ya centripetal, ndogo c, pia inavyoonekana kama mshale wa njano inayotolewa perpendicular kwa t ndogo, kuelekea mwelekeo wa katikati ya mduara. studio katika takwimu inasema ndogo t huathiri ukubwa na ndogo c huathiri mwelekeo. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Kuongeza kasi ya kasi\(a_c\) hutokea kama mwelekeo wa mabadiliko ya kasi; ni perpendicular kwa mwendo wa mviringo. Kuongezeka kwa kasi na tangential ni hivyo perpendicular kwa kila mmoja.

Sasa tunaweza kupata uhusiano halisi kati ya kuongeza kasi ya mstari\(a_t\) na kuongeza kasi ya angular\(α\). Kwa sababu linear kuongeza kasi ni sawia na mabadiliko katika ukubwa wa kasi, ni defined (kama ilivyokuwa katika One-Dimensional Kinematics) kuwa

\(a_t=\frac{Δv}{Δt}\).

Kwa mwendo wa mviringo, kumbuka kuwa\(v=rω\), ili

\(a_t=\frac{Δ(rω)}{Δt}\).

Radi r ni mara kwa mara kwa mwendo wa mviringo, na hivyo\(Δ(rω)=r(Δω)\). Hivyo,

\(a_t=r\frac{Δω}{Δt}\).

Kwa ufafanuzi,\(α=\frac{Δω}{Δt}\). Hivyo,

\(a_t=rα\),

\(α=\frac{a_t}{r}\).

Ulinganisho huu unamaanisha kuwa kasi ya mstari na kuongeza kasi ya angular ni sawia moja kwa moja. Kuongezeka kwa kasi ya angular ni, kasi kubwa ya mstari (tangential) ni, na kinyume chake. Kwa mfano, kuongeza kasi ya angular ya magurudumu ya gari, kasi kubwa ya gari. Radi pia ni muhimu. Kwa mfano, ndogo gurudumu, ndogo yake linear kuongeza kasi kwa ajili ya kutolewa angular kuongeza kasi\(α\).

Zoezi\(\PageIndex{1}\): Calculating the Angular Acceleration of a Motorcycle Wheel

Pikipiki yenye nguvu inaweza kuharakisha kutoka 0 hadi 30.0 m/s (kuhusu 108 km/h) katika 4.20 s Ni nini kasi ya angular ya magurudumu yake ya 0.320-m radius? (Angalia Kielelezo.)

takwimu inaonyesha upande wa kulia mtazamo wa mtu wanaoendesha pikipiki hivyo, inayoonyesha linear kuongeza kasi ya pikipiki akizungumzia kuelekea mbele ya baiskeli kama mshale usawa na angular kuongeza kasi alpha ya magurudumu yake, inavyoonekana hapa kama mishale ikiwa pamoja mbele ya wote magurudumu akizungumzia chini. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Kuongezeka kwa kasi ya pikipiki kunafuatana na kasi ya angular ya magurudumu yake.

Mkakati

Tunapewa taarifa kuhusu kasi ya mstari wa pikipiki. Hivyo, tunaweza kupata kasi yake ya mstari\(a_t\). Kisha, maneno\(α=\frac{a_t}{r}\) yanaweza kutumika kupata kasi ya angular.

Suluhisho

Kuongeza kasi ya mstari ni

\(a_t=\frac{Δv}{Δt}=\frac{30.0 m/s}{4.20 s}=7.14m/s^2\).

Tunajua pia eneo la magurudumu. Kuingia maadili kwa\(a_t\) na\(r\) ndani\(α=\frac{a_t}{r}\), tunapata

\(α=\frac{a_t}{r}=\frac{7.14m/s^2}{0.320 m}=22.3rad/s^2\).

Majadiliano

Units ya radians ni dimensionless na kuonekana katika uhusiano wowote kati ya kiasi angular na linear.

Hadi sasa, tuna defined tatu rotational quanties—\(θ, ω,\) na\(α\). Kiasi hiki ni sawa na kiasi tafsiri\(x, v,\) na\(a\). Jedwali\(\PageIndex{2}\) linaonyesha kiasi cha mzunguko, kiasi cha kutafsiri sawa, na uhusiano kati yao.

Jedwali\(\PageIndex{2}\): Kiasi cha Mzunguko na Tafsiri
Mzunguko	Tafsiri	Uhusiano
\(θ\)	\(x\)	\(θ=\frac{x}{r}\)
\(ω\)	\(v\)	\(ω=\frac{v}{r}\)
\(α\)	\(a\)	\(α=\frac{a_t}{r}\)

KUFANYA UHUSIANO: JARIBIO LA KUCHUKUA-

Kaa chini na miguu yako chini kwenye kiti kinachozunguka. Kuinua moja ya miguu yako kama hiyo haifai (imeelekezwa). Kutumia mguu mwingine, kuanza kuzungumza mwenyewe kwa kusuuza chini. Acha kutumia mguu wako kushinikiza ardhi lakini kuruhusu mwenyekiti kugeuka. Kutoka asili ambapo ulianza, mchoro angle, kasi ya angular, na kasi ya angular ya mguu wako kama kazi ya muda kwa namna ya grafu tatu tofauti. Tathmini ukubwa wa kiasi hiki.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Kuharakisha angular ni vector, kuwa na ukubwa wote na mwelekeo. Tunaonyeshaje ukubwa wake na mwelekeo wake? Onyesha kwa mfano.

Jibu: Ukubwa wa kuongeza kasi ya angular ni\(α\) na vitengo vyake vya kawaida ni\(rad/s^2\). Mwelekeo wa kasi ya angular pamoja na mhimili uliowekwa unaonyeshwa na +au — ishara, kama vile mwelekeo wa kasi ya mstari katika mwelekeo mmoja unaonyeshwa na +au — ishara. Kwa mfano, fikiria gymnast kufanya flip mbele. Kasi yake ya angular itakuwa sawa na kitanda na kushoto kwake. Ukubwa wa kasi yake ya angular itakuwa sawia na kasi yake ya angular (kiwango cha spin) na wakati wake wa inertia kuhusu mhimili wake wa spin.

PHET EXPLORATIONS: MAPINDUZI YA LADYBUG

Kujiunga na Mapinduzi Ladybug katika utafutaji wa mwendo rotational. Mzunguko merry-kwenda pande zote kubadili angle yake, au kuchagua kasi ya angular mara kwa mara au kasi ya angular. Kuchunguza jinsi mviringo mwendo inahusiana na mdudu x, y nafasi, kasi, na kuongeza kasi kwa kutumia wadudu au grafu.

Muhtasari

Mzunguko wa mviringo wa kawaida ni mwendo na kasi ya angular ya mara kwa mara\(ω=\frac{Δθ}{Δt}\).
Katika mwendo usio sare wa mviringo, kasi hubadilika na wakati na kiwango cha mabadiliko ya kasi ya angular (yaani kasi ya angular) ni\(α=\frac{Δω}{Δt}\).
Linear au tangential kuongeza kasi inahusu mabadiliko katika ukubwa wa kasi lakini si mwelekeo wake, kutokana kama\(a_t=\frac{Δv}{Δt}\).
Kwa mwendo wa mviringo, kumbuka kuwa\(v=rω\), ili
\(a_t=\frac{Δ(rω)}{Δt}\).
Radi r ni mara kwa mara kwa mwendo wa mviringo, na hivyo\(Δ(rω)=rΔω\). Hivyo,
\(a_t=r\frac{Δω}{Δt}\).
Kwa ufafanuzi,\(Δω/Δt=α\). Hivyo,
\(a_t=rα\)

au

\(α=\frac{a_t}{r}\).

faharasa

kuongeza kasi ya angular: kiwango cha mabadiliko ya kasi ya angular na wakati

mabadiliko katika kasi ya angular: tofauti kati ya maadili ya mwisho na ya awali ya kasi ya angular

kasi ya tangential: kuongeza kasi katika mwelekeo tangent kwa mduara katika hatua ya riba katika mwendo mviringo