7.2: Nishati Kinetic na Theorem ya Kazi ya Nishati

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Eleza kazi kama uhamisho wa nishati na kazi ya wavu kama kazi iliyofanywa na nguvu ya wavu.
• Eleza na kutumia theorem ya kazi ya nishati.

Kazi Transfers Nishati

Ni nini kinachotokea kwa kazi iliyofanyika kwenye mfumo? Nishati huhamishiwa kwenye mfumo, lakini kwa namna gani? Je, inabakia katika mfumo au kuendelea? Majibu hutegemea hali hiyo. Kwa mfano, kama mower lawn katika [kiungo] (a) ni kusukwa ngumu tu ya kutosha kuitunza kwa kasi ya mara kwa mara, basi nishati kuweka katika mower na mtu ni kuondolewa kuendelea na msuguano, na hatimaye majani mfumo katika mfumo wa uhamisho joto. Kwa upande mwingine, kazi iliyofanywa kwenye briefcase na mtu anayebeba ngazi katika [kiungo] (d) imehifadhiwa katika mfumo wa Briefcase-Earth na inaweza kupatikana wakati wowote, kama inavyoonekana katika [kiungo] (e). Kwa kweli, ujenzi wa piramidi katika Misri ya kale ni mfano wa kuhifadhi nishati katika mfumo kwa kufanya kazi kwenye mfumo. Baadhi ya nishati iliyotolewa kwa vitalu vya mawe katika kuinua wakati wa ujenzi wa piramidi bado katika mfumo wa jiwe-ardhi na ina uwezo wa kufanya kazi.

Katika sehemu hii tunaanza kujifunza aina mbalimbali za kazi na aina za nishati. Tutaona kwamba baadhi ya aina za kazi zinaacha nishati ya mfumo wa mara kwa mara, kwa mfano, wakati wengine hubadilisha mfumo kwa namna fulani, kama vile kuifanya. Sisi pia kuendeleza ufafanuzi wa aina muhimu ya nishati, kama vile nishati ya mwendo.

Kazi ya Net na Theorem ya Kazi ya Nishati

Tunajua kutokana na utafiti wa sheria za Newton katika Dynamics: Nguvu na Sheria za Newton za Mwendo kwamba nguvu halisi husababisha kasi. Tutaona katika sehemu hii kwamba kazi iliyofanywa na nguvu ya wavu inatoa nishati ya mfumo wa mwendo, na katika mchakato tutapata pia kujieleza kwa nishati ya mwendo.

Hebu tuanze kwa kuzingatia jumla, au wavu, kazi iliyofanyika kwenye mfumo. Kazi ya wavu inafafanuliwa kuwa jumla ya kazi iliyofanywa na vikosi vyote vya nje-yaani, kazi ya wavu ni kazi iliyofanywa na nguvu ya nje ya wavu\(F_{net}\). Katika fomu ya equation, hii\(\theta\) ni\(W_{net} = F_{net}d \, cos \, \theta\) wapi angle kati ya vector nguvu na vector makazi yao. Kielelezo (a) inaonyesha grafu ya nguvu dhidi ya makazi yao kwa sehemu ya nguvu katika mwelekeo wa uhamisho-yaani,\(F \, cos \, \theta\) vs.\(d\) grafu. Katika kesi hiyo,\(F \, cos \, \theta\) ni mara kwa mara. Unaweza kuona kwamba eneo chini ya grafu ni\(F \, cos \, \theta\), au kazi imefanywa. Kielelezo (b) inaonyesha mchakato wa jumla zaidi ambapo nguvu inatofautiana. Eneo chini ya pembe imegawanywa katika vipande, kila mmoja ana nguvu ya wastani\((F \, cos \, \theta)_{i(ave)}\). kazi kufanyika ni e\((F \, cos \, \theta)_{i(ave)}d_i\) kwa kila strip, na jumla ya kazi kufanyika ni jumla ya\(W_i\). Hivyo kazi ya jumla iliyofanywa ni eneo la jumla chini ya pembe, mali muhimu ambayo tutataja baadaye.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Grafu ya\(F \, cos \, \theta\) vs.\(d\) wakati\(F \, cos \, \theta\) ni mara kwa mara. Eneo chini ya pembe linawakilisha kazi iliyofanywa na nguvu. (b) Grafu ya\(F \, cos \, \theta\)\(d\) vs. ambayo nguvu inatofautiana. Kazi iliyofanywa kwa kila muda ni eneo la kila mstari; kwa hiyo, eneo la jumla chini ya pembe linalingana na kazi ya jumla iliyofanywa.

Kazi ya wavu itakuwa rahisi kuchunguza ikiwa tunazingatia hali moja-dimensional ambapo nguvu hutumiwa kuharakisha kitu katika mwelekeo sambamba na kasi yake ya awali. Hali kama hiyo hutokea kwa mfuko kwenye mfumo wa conveyor wa ukanda wa roller umeonyeshwa kwenye Kielelezo.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mfuko kwenye ukanda wa roller unasukumwa kwa usawa kupitia umbali\(d\).

Nguvu ya mvuto na nguvu ya kawaida inayofanya kwenye mfuko ni perpendicular kwa uhamisho na kufanya kazi. Aidha, wao pia ni sawa na ukubwa na kinyume na mwelekeo hivyo hufuta kwa kuhesabu nguvu ya wavu. Nguvu ya wavu inatoka tu kutokana na nguvu ya usawa iliyotumiwa\(F_{app}\) na nguvu ya msuguano wa usawa\(f\). Kwa hiyo, kama inavyotarajiwa, nguvu ya wavu ni sawa na uhamisho, ili\(\theta = 0\) na\(cos \, \theta = 1\), na kazi ya wavu inatolewa na

\[W_{net} = F_{net} d.\]

Athari ya nguvu ya wavu\(F_{net}\) ni kuharakisha mfuko kutoka\(v_0\) kwa Nishati\(v\) ya kinetic ya ongezeko la mfuko, kuonyesha kwamba kazi ya wavu iliyofanywa kwenye mfumo ni chanya. (Angalia Mfano.) Kwa kutumia sheria ya pili ya Newton, na kufanya algebra fulani, tunaweza kufikia hitimisho la kuvutia. Kubadilisha\(F = ma\) kutoka sheria Newton ya pili inatoa

\[W_{net} = mad.\]

Ili kupata uhusiano kati ya kazi ya wavu na kasi iliyotolewa kwa mfumo na nguvu ya wavu inayofanya juu yake, tunachukua\(d = x - x_0\) na kutumia equation iliyojifunza katika Ulinganisho wa Mwendo kwa Kuharakisha Mara kwa mara katika Mwelekeo mmoja kwa mabadiliko katika kasi juu ya umbali\(d\) ikiwa kasi ina thamani ya mara kwa mara\(a\), yaani\(v^2 = v_0^2 + 2ad\). (kumbuka kwamba\(a\) inaonekana katika maneno ya kazi ya wavu). Kutatua kwa kuongeza kasi anatoa\(a = \frac{v^2 - v_0^2}{2d}.\) Wakati\(a\) ni kubadilishwa katika kujieleza kabla kwa\(W_{net}\) sisi kupata

\[W_{net} = m \left(\dfrac{v^2 - v_0^2}{2d} \right)d. \]

\(d\)cancels, na sisi upya hii ili kupata

\[W_{net} = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2. \]

Maneno haya inaitwa theorem ya kazi ya nishati, na kwa kweli inatumika kwa ujumla (hata kwa nguvu ambazo hutofautiana katika mwelekeo na ukubwa), ingawa tumeipata kwa kesi maalum ya nguvu ya mara kwa mara inayofanana na uhamisho. Theorem ina maana kwamba kazi ya wavu kwenye mfumo inalingana na mabadiliko katika wingi\(\frac{1}{2}mv^2\). Kiasi hiki ni mfano wetu wa kwanza wa aina ya nishati.

Kazi ya Nishati Theorem

Kazi ya wavu kwenye mfumo inalingana na mabadiliko katika wingi\(\frac{1}{2}mv^2\).

\[W_{net} = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2. \]

Kiasi\(\frac{1}{2}mv^2\) katika theorem ya kazi ya nishati hufafanuliwa kuwa nishati ya kutafsiri kinetic (KE) ya molekuli\(m\) inayohamia kwa kasi\(v\). (Nishati ya kutafsiri kinetic ni tofauti na nishati ya kinetic ya mzunguko, ambayo inachukuliwa baadaye.) Katika fomu equation, translational kinetic nishati,

\[KE = \dfrac{1}{2}mv^2,\]

ni nishati inayohusishwa na mwendo wa kutafsiri. Nishati ya kinetiki ni aina ya nishati inayohusishwa na mwendo wa chembe, mwili mmoja, au mfumo wa vitu vinavyohamia pamoja.

Tunajua kwamba inachukua nishati ya kupata kitu, kama gari au mfuko katika Kielelezo, hadi kasi, lakini inaweza kuwa kidogo ajabu kwamba nishati kinetic ni sawia na kasi squared. Uwiano huu unamaanisha, kwa mfano, kwamba gari linalosafiri saa kilomita 100/h ina mara nne nishati ya kinetic ina saa 50 km/h, na kusaidia kuelezea kwa nini migongano ya kasi ni makubwa sana. Sasa tutazingatia mfululizo wa mifano ili kuonyesha mambo mbalimbali ya kazi na nishati.

Mfano \(\PageIndex{1}\): Calculating the Kinetic Energy of a Package

Tuseme mfuko wa kilo 30.0 kwenye mfumo wa conveyor wa ukanda wa roller katika Mchoro 7.03.2 unahamia saa 0.500 m/s. nishati yake ya kinetic ni nini?

Mkakati

Kwa sababu wingi\(m\) na kasi\(v\) hutolewa, nishati ya kinetic inaweza kuhesabiwa kutoka kwa ufafanuzi wake kama ilivyoelezwa katika equation\(KE = \frac{1}{2}mv^2\).

Suluhisho

Nishati ya kinetic hutolewa na\[KE = \dfrac{1}{2}mv^2.\]

Kuingia maadili inayojulikana inatoa

\[KE = 0.5(30.0 \, kg)(0.500 \, m/s)^2,\]

ambayo huzaa

\[KE = 3.75 \, kg \cdot m^2/s^2 = 3.75 \, J\]

Majadiliano

Kumbuka kwamba kitengo cha nishati ya kinetic ni joule, sawa na kitengo cha kazi, kama ilivyoelezwa wakati kazi ilielezwa kwanza. Pia ni ya kuvutia kwamba, ingawa hii ni mfuko mkubwa sana, nishati yake ya kinetic si kubwa kwa kasi hii ya chini. Ukweli huu ni sawa na uchunguzi kwamba watu wanaweza kusonga vifurushi kama hii bila kujisumbua wenyewe.

Mfano \(\PageIndex{2}\): Determining the Work to Accelerate a Package

Tuseme kwamba wewe kushinikiza kwenye mfuko 30.0 kg katika Kielelezo 7.03.2. na nguvu ya mara kwa mara ya 120 N kupitia umbali wa 0.800 m, na kwamba nguvu ya msuguano wa kupinga wastani wa 5.00 N.

(a) Tumia kazi ya wavu iliyofanywa kwenye mfuko. (b) Tatua tatizo sawa na sehemu (a), wakati huu kwa kutafuta kazi iliyofanywa na kila nguvu inayochangia nguvu ya wavu.

Mkakati na Dhana ya (a)

Hii ni mwendo katika tatizo moja mwelekeo, kwa sababu nguvu ya chini (kutoka uzito wa mfuko) na nguvu ya kawaida na ukubwa sawa na mwelekeo kinyume, ili waweze kufuta katika kuhesabu nguvu wavu, wakati nguvu kutumika, msuguano, na makazi yao yote ni ya usawa. (Angalia Mchoro 7.03.2.) Kama ilivyotarajiwa, kazi wavu ni nguvu wavu mara umbali.

Suluhisho kwa (a)

Nguvu ya wavu ni nguvu ya kushinikiza chini ya msuguano, au\(F_{net} = 120 \, N - 5.00 \, N = 115 \, N\). Hivyo kazi wavu ni

\[W_{net} = F_{net}d = (115 \, N)(0.800 \, m) \]

\[= 92.0 \, N \cdot m = 92.0 \, J\]

Majadiliano kwa (a)

Thamani hii ni kazi ya wavu iliyofanywa kwenye mfuko. Kwa kweli mtu anafanya kazi zaidi kuliko hii, kwa sababu msuguano unapinga mwendo. Msuguano hufanya kazi mbaya na huondoa baadhi ya nishati ambayo mtu hutumia na kuibadilisha kwa nishati ya joto. Kazi ya wavu ni sawa na jumla ya kazi iliyofanywa na kila nguvu ya mtu binafsi.

Mkakati na Dhana ya (b)

Vikosi vinavyofanya kwenye mfuko ni mvuto, nguvu ya kawaida, nguvu ya msuguano, na nguvu iliyotumiwa. Nguvu ya kawaida na nguvu ya mvuto ni kila perpendicular kwa makazi yao, na kwa hiyo usifanye kazi.

Suluhisho kwa (b)

Nguvu iliyowekwa inafanya kazi.

\[W_{app} = F_{app}d \, cos \, (0^o) = F_{app}d\]

\[= (120 \, N)(0.800 \, m) \]

\[= 96.0 \, J\]

Nguvu ya msuguano na uhamisho ni kinyume chake, ili\(\theta = 180^o\), na kazi iliyofanywa na msuguano ni

\[W_{fr} = F_{fr}d \, cos \, (180^o)\]

\[= -(5.00 \, N)(0.800 \, m)\]

\[= -4.00 \, J\]

Hivyo kiasi cha kazi iliyofanywa na mvuto, kwa nguvu ya kawaida, kwa nguvu iliyotumiwa, na kwa msuguano ni, kwa mtiririko huo,

\[W_{gr} = 0,\]

\[W_N = 0,\]

\[W_{app} = 96.0 \, J,\]

\[W_{fr} = -4 \, J.\]

Kazi ya jumla iliyofanywa kama jumla ya kazi iliyofanywa na kila nguvu inaonekana kuwa

\[W_{total} = W_{gr} + W_N + W_{app} + W_{fr} = 92.0 \, J.\]

Majadiliano kwa (b)

Kazi ya jumla ya mahesabu\(W_{total}\) kama jumla ya kazi kwa kila nguvu inakubaliana, kama inavyotarajiwa, na kazi\(W_{net}\) iliyofanywa na nguvu ya wavu. Kazi iliyofanywa na mkusanyiko wa nguvu inayofanya kitu inaweza kuhesabiwa kwa njia yoyote.

Mfano\(\PageIndex{3}\): Determining Speed from Work and Energy

Pata kasi ya mfuko katika Kielelezo 7.03.2. mwishoni mwa kushinikiza, kwa kutumia dhana za kazi na nishati.

Mkakati

Hapa kazi ya nishati theorem inaweza kutumika, kwa sababu sisi tu mahesabu kazi wavu\(W_{net}\) na awali kinetic nishati, Hesabu\(\frac{1}{2}mv_0^2\) hizi kuruhusu sisi kupata mwisho kinetic nishati,\(\frac{1}{2}mv^2\) na hivyo kasi ya mwisho\(v\).

Suluhisho

Theorem ya kazi ya nishati katika fomu ya equation ni

\[W_{net} = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2.\]

Kutatua kwa\(\frac{1}{2}mv^2\) anatoa

\[\dfrac{1}{2}mv^2 = W_{net} + \dfrac{1}{2}mv_0^2\]

Hivyo,\[\dfrac{1}{2}mv^2 = 92.0 \, J + 3.75 \, J = 95.75 \, J. \]

Kutatua kwa kasi ya mwisho kama ombi na kuingia maadili inayojulikana inatoa

\[v = \sqrt{\dfrac{2(95.75 \, J)}{m}} = \sqrt{\dfrac{191.5 \, kg \cdot m^2/s^2}{30.0 \, kg}}\]

\[= 2.53 \, m/s\]

Majadiliano

Kutumia kazi na nishati, sisi sio tu kufikia jibu, tunaona kwamba nishati ya mwisho ya kinetic ni jumla ya nishati ya awali ya kinetic na kazi ya wavu iliyofanywa kwenye mfuko. Hii ina maana kwamba kazi kweli anaongeza kwa nishati ya mfuko.

Mfano\(\PageIndex{4}\): Work and Energy Can Reveal Distance, Too

Jinsi mbali gani mfuko katika Kielelezo 7.03.2. pwani baada ya kushinikiza, kuchukua msuguano bado mara kwa mara? Tumia kazi na masuala ya nishati.

Mkakati

Tunajua kwamba mara mtu ataacha kusuuza, msuguano utaleta mfuko kupumzika. Kwa upande wa nishati, msuguano hufanya kazi hasi mpaka umeondoa nishati yote ya kinetic ya mfuko. Kazi iliyofanywa na msuguano ni nguvu ya msuguano mara umbali uliosafiri mara cosine ya angle kati ya nguvu ya msuguano na uhamisho; kwa hiyo, hii inatupa njia ya kutafuta umbali uliosafiri baada ya mtu kuacha kusumaji.

Suluhisho

Nguvu ya kawaida na nguvu ya mvuto kufuta kwa kuhesabu nguvu ya wavu. Nguvu ya msuguano wa usawa ni nguvu ya wavu, na inachukua kinyume na uhamisho, hivyo\(\theta = 180^o\). Ili kupunguza nishati ya kinetic ya mfuko hadi sifuri, kazi\(W_{fr}\) kwa msuguano lazima iwe chini ya nishati ya kinetic ambayo mfuko ulianza na pamoja na kile mfuko uliokusanywa kutokana na kusubu. Hivyo\(W_{fr} = -95.75 \, J\). Zaidi ya hayo\(W_{fr} = df' \, cos \, \theta = - Fd'\),, ambapo\(d'\) ni umbali inachukua kuacha. Hivyo,

\[d' = -\dfrac{W_{fr}}{f} = \dfrac{-95.75 \, J}{5.00 \, N}, \]

na hivyo

\[ d' = 19.2 \, m\]

Majadiliano

Hii ni umbali wa kuridhisha kwa mfuko kwa pwani juu ya mfumo kiasi msuguano bure conveyor. Kumbuka kuwa kazi iliyofanywa na msuguano ni hasi (nguvu iko kinyume cha mwendo), hivyo huondoa nishati ya kinetic.

Baadhi ya mifano katika sehemu hii inaweza kutatuliwa bila kuzingatia nishati, lakini kwa gharama ya kukosa kupata ufahamu kuhusu kazi gani na nishati zinafanya katika hali hii. Kwa ujumla, ufumbuzi unaohusisha nishati kwa ujumla ni mfupi na rahisi zaidi kuliko wale wanaotumia kinematiki na mienendo pekee.

Muhtasari

• Kazi ya wavu\(W_{net}\) ni kazi iliyofanywa na nguvu ya wavu inayofanya kitu.
• Kazi kufanyika kwenye kitu uhamisho nishati kwa kitu.
• Nishati ya kutafsiri kinetic ya kitu cha\(m\) kusonga kwa kasi\(v\) ni\(KE = \frac{1}{2}mv^2\).
• Theorem ya kazi ya nishati inasema kwamba kazi ya wavu\(W_{net} \) kwenye mfumo hubadilisha nishati yake ya kinetic,\(W_{net} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2\).

faharasa

kazi ya wavu

kazi iliyofanywa na nguvu wavu, au vector jumla ya majeshi yote, kaimu juu ya kitu

theorem ya kazi-nishati

matokeo, kulingana na sheria za Newton, kwamba kazi ya wavu iliyofanywa kwenye kitu ni sawa na mabadiliko yake katika nishati ya kinetic

nishati kinetic

nishati kitu kina kwa sababu ya mwendo wake, sawa na\(\frac{1}{2}mv^2\) kwa tafsiri (yaani, isiyo ya mzunguko) mwendo wa kitu cha\(m\) kusonga kwa kasi\(v\)