7.3: Nishati ya uwezo wa mvuto

Last updated
Save as PDF

Page ID: 183382

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Eleza nguvu ya uwezo wa mvuto katika suala la kazi iliyofanywa dhidi ya mvuto.
Onyesha kwamba nguvu ya uwezo wa mvuto wa kitu cha molekuli m kwa urefu h duniani hutolewa na\(PE_g = mgh\)
Onyesha jinsi ujuzi wa nishati uwezo kama kazi ya msimamo unaweza kutumika kurahisisha mahesabu na kueleza matukio ya kimwili.

Kazi imefanywa dhidi ya mvuto

Kupanda ngazi na kuinua vitu ni kazi kwa maana ya kisayansi na ya kila siku—ni kazi iliyofanywa dhidi ya nguvu ya mvuto. Wakati kuna kazi, kuna mabadiliko ya nishati. Kazi iliyofanywa dhidi ya nguvu ya mvuto huenda katika aina muhimu ya nishati iliyohifadhiwa ambayo tutazichunguza katika sehemu hii.

Hebu tuhesabu kazi iliyofanywa katika kuinua kitu cha wingi\(m\) kupitia urefu kama\(h\) vile kwenye Kielelezo. Ikiwa kitu kinainuliwa moja kwa moja kwa kasi ya mara kwa mara, basi nguvu inahitajika kuinua ni sawa na uzito wake\(mg\). Kazi iliyofanywa kwa wingi ni basi\(W = Fd = mgh\). Tunafafanua hii kuwa nishati ya uwezo wa mvuto\((PE_g)\) iliyowekwa katika (au iliyopatikana na) mfumo wa Kitu-Dunia. Nishati hii inahusishwa na hali ya kujitenga kati ya vitu viwili vinavyovutia kwa nguvu ya mvuto. Kwa urahisi, tunataja hii kama\(PE_g\) iliyopatikana kwa kitu, kutambua kwamba hii ni nishati iliyohifadhiwa katika uwanja wa mvuto wa Dunia. Kwa nini tunatumia neno “mfumo”? Nishati ya uwezo ni mali ya mfumo badala ya kitu kimoja—kutokana na msimamo wake wa kimwili. Uwezo wa mvuto wa kitu ni kutokana na msimamo wake kuhusiana na mazingira ndani ya mfumo wa vitu vya Dunia. Nguvu inayotumika kwa kitu ni nguvu ya nje, kutoka nje ya mfumo. Wakati inafanya kazi nzuri huongeza nguvu ya uwezo wa mvuto wa mfumo. Kwa sababu nguvu ya nguvu ya mvuto inategemea nafasi ya jamaa, tunahitaji kiwango cha kumbukumbu ambacho tutaweka nishati inayoweza kuwa sawa na 0. Kwa kawaida tunachagua hatua hii kuwa uso wa Dunia, lakini hatua hii ni ya kiholela; jambo muhimu ni tofauti katika nishati ya uwezo wa mvuto, kwa sababu tofauti hii ndiyo inahusiana na kazi iliyofanyika. Tofauti katika nishati ya uwezo wa mvuto wa kitu (katika mfumo wa vitu vya Dunia) kati ya mizigo miwili ya ngazi itakuwa sawa kwa rungs mbili za kwanza kama kwa rungs mbili za mwisho.

Kubadili Kati ya Nishati na Nishati ya Kinetic

Nishati ya uwezo wa mvuto inaweza kubadilishwa kuwa aina nyingine za nishati, kama vile nishati ya kinetic. Ikiwa tunatoa wingi, nguvu ya mvuto itafanya kiasi cha kazi sawa na\(mgh\) juu yake, na hivyo kuongeza nishati yake ya kinetic kwa kiasi hicho (kwa theorem ya kazi ya nishati). Tutaona ni muhimu zaidi kuzingatia tu uongofu wa\(PE_g\) kwa\(KE\) bila kuzingatia wazi hatua ya kati ya kazi. (Angalia Mfano\(\PageIndex{2}\).) Njia ya mkato hii inafanya iwe rahisi kutatua matatizo kwa kutumia nishati (ikiwa inawezekana) badala ya kutumia nguvu wazi.

(a) uzito masharti ya saa cuckoo ni kukulia kwa urefu h inavyoonekana kwa makazi yao vector d akizungumzia zaidi. Uzito ni masharti ya mlolongo vilima kinachoitwa na nguvu F vector akizungumzia chini. Vector d pia inavyoonekana katika mwelekeo sawa na nguvu F. E in ni sawa na W na W ni sawa na m g h. (b) Uzito unaohusishwa na saa ya cuckoo huenda chini. E nje ni sawa na m g h. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Kazi iliyofanywa ili kuinua uzito imehifadhiwa katika mfumo wa Misa ya Dunia kama nishati ya uwezo wa mvuto. (b) Kama uzito unavyoshuka, nishati hii ya uwezo wa mvuto huhamishiwa saa ya cuckoo.

Kwa usahihi, sisi define mabadiliko katika nishati ya mvuto\(\Delta PE_g\) uwezo kuwa

\[\Delta PE_g = mgh, \]

ambapo, kwa unyenyekevu, tunaashiria mabadiliko katika urefu na\(h\) badala ya kawaida\(\Delta h\). Kumbuka kuwa\(h\) ni chanya wakati urefu wa mwisho ni mkubwa kuliko urefu wa awali, na kinyume chake. Kwa mfano, ikiwa molekuli ya kilo 0.500-hung kutoka saa ya cuckoo inafufuliwa 1.00 m, basi mabadiliko yake katika nishati ya uwezo wa mvuto ni

\[mgh = (0.500 \, kg)(9.80 \, m/s^2)(1.00 \, m)\]

\[= 4.90 \, kg \cdot m^2/s^2 = 4.90 \, J. \]

Kumbuka kwamba vitengo vya nishati ya mvuto hugeuka kuwa joules, sawa na kazi na aina nyingine za nishati. Kama saa inapoendesha, wingi hupungua. Tunaweza kufikiria uzito kama hatua kwa hatua kuacha yake 4.90 J ya nishati ya uwezo wa mvuto, bila kuzingatia moja kwa moja nguvu ya mvuto inayofanya kazi.

Kutumia Nishati Kurahisisha Mahesabu

equation\(\Delta PE_g = mgh\) inatumika kwa njia yoyote ambayo ina mabadiliko katika urefu wa\(h\), si tu wakati wingi ni lile moja kwa moja juu. (Angalia Kielelezo.) Ni rahisi sana kuhesabu\(mgh\) (kuzidisha rahisi) kuliko kuhesabu kazi iliyofanywa kwa njia ngumu. Wazo la nishati ya uwezo wa mvuto ina faida mbili kwamba inatumika sana sana na inafanya mahesabu rahisi. Kuanzia sasa, tutazingatia kwamba mabadiliko yoyote katika nafasi\(h\) ya wima ya wingi\(m\) yanafuatana na mabadiliko katika nishati ya uwezo wa mvuto\(mgh\), na tutaepuka kazi sawa lakini ngumu zaidi ya kuhesabu kazi iliyofanywa na au dhidi ya nguvu ya mvuto.

Kuna jengo la hadithi nne. Mtu anabeba televisheni hadi ngazi za jengo hilo. Urefu wa hadithi ya tatu ni h kutoka chini. Msichana amesimama nje ya jengo na anainua televisheni sawa kwa msaada wa pulley. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mabadiliko katika nishati ya mvuto\((\Delta PE_g)\) kati ya pointi A na B ni huru ya njia\(\Delta PE_g = mgh\) ya njia yoyote kati ya pointi mbili. Mvuto ni mojawapo ya darasa ndogo la nguvu ambapo kazi iliyofanywa na au dhidi ya nguvu inategemea tu pointi za kuanzia na za mwisho, si kwa njia kati yao.

Mfano\(\PageIndex{1}\): The Force to Stop Falling

Mtu wa kilo 60.0-anaruka kwenye sakafu kutoka urefu wa 3.00 m Kama anasimama kwa bidii (pamoja na viungo vya magoti vyake vinavyozidi 0.500 cm), tumia mahesabu ya nguvu kwenye viungo vya magoti.

Mkakati

Nishati ya mtu huyu huleta sifuri katika hali hii na kazi iliyofanywa juu yake na sakafu wakati anaacha. Ya awali\(PE_g\) inabadilishwa kuwa\(KE\) anapoanguka. Kazi iliyofanywa na sakafu inapunguza nishati hii ya kinetic hadi sifuri.

Suluhisho

Kazi iliyofanywa kwa mtu kwa sakafu kama anavyoacha inapewa

\[W = Fd \, cos \, \theta = - Fd \]

na ishara ndogo kwa sababu uhamisho wakati wa kuacha na nguvu kutoka sakafu ni kinyume chake\((cos \, \theta = cos \, 180^o = -1.)\) Sakafu huondoa nishati kutoka kwenye mfumo, hivyo inafanya kazi mbaya.

Nishati ya kinetic ambayo mtu anayo juu ya kufikia sakafu ni kiasi cha nishati inayopotea kwa kuanguka kwa urefu\(h\):

\[KE = -\Delta PE_g = -mgh \]

Umbali\(d\) ambao magoti ya mtu hupiga magoti ni ndogo sana kuliko urefu\(h\) wa kuanguka, hivyo mabadiliko ya ziada katika nishati ya uwezo wa mvuto wakati wa bend ya magoti hupuuzwa. Kazi\(W\) iliyofanywa na sakafu juu ya mtu huacha mtu na huleta nishati ya kinetic ya mtu kwa sifuri:

\[W = -KE = mgh\]

Kuchanganya equation hii na kujieleza kwa\(W\) anatoa\[ -Fd = mgh.\]

Kukumbuka kuwa\(h\) ni hasi kwa sababu mtu huyo akaanguka, nguvu kwenye viungo vya magoti hutolewa na

\[F = -\dfrac{mgh}{d} = -\dfrac{(60.0 \, kg)(9.80 \, m/s^2)(-3.00 \, m)}{5.00 \times 10^{-3} \, m} = 3.53 \times 10^5 \, N.\]

Majadiliano

Nguvu kubwa (mara 500 zaidi ya uzito wa mtu) juu ya muda mfupi wa athari ni ya kutosha kuvunja mifupa. Njia bora zaidi ya mto mshtuko ni kwa kupiga miguu au kusonga chini, kuongeza muda ambao nguvu hufanya. Mwendo wa kusonga wa 0.5 m kwa njia hii hutoa nguvu mara 100 ndogo kuliko mfano. Hopping ya kangaroo inaonyesha njia hii kwa vitendo. Kangaroo ni mnyama mkubwa pekee wa kutumia hopping kwa locomotion, lakini mshtuko katika hopping ni cushioned na bending ya miguu yake ya nyuma katika kila kuruka. (Angalia Kielelezo.)

Kangaroo ya kuruka inaonyeshwa kutua chini katika picha moja na hewa baada ya kuchukua kuruka mwingine kwenye picha ya pili. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Kazi iliyofanywa na ardhi juu ya kangaroo inapunguza nishati yake ya kinetic kwa sifuri kama inavyoanguka. Hata hivyo, kwa kutumia nguvu ya ardhi kwenye miguu ya nyuma juu ya umbali mrefu, athari kwenye mifupa imepunguzwa. (mikopo: Chris Samuel, Flickr)

Mfano\(\PageIndex{2}\): Finding the Speed of a Roller Coaster from its Height

(a) Je, ni kasi ya mwisho ya coaster roller inavyoonekana katika Kielelezo, ikiwa huanza kutoka kupumzika juu ya kilima cha 20.0 m na kazi iliyofanywa na vikosi vya msuguano ni duni? (b) Kasi yake ya mwisho ni nini (tena kuchukua msuguano usio na maana) ikiwa kasi yake ya awali ni 5.00 m/s?

Njia ya coaster ya roller inavyoonyeshwa na gari kuhusu kwenda kuteremka. urefu wa awali wa gari roller coaster katika mstari ni mita ishirini na tano kutoka sehemu ya chini ya kufuatilia na kasi yake v ndogo zero ni sawa na sifuri. Urefu wa coaster roller kutoka sehemu ya ngazi ya kufuatilia ni mita ishirini. Hatua ya kumaliza ya gari iko kwenye sehemu ya ngazi ya kufuatilia na kasi katika hatua hiyo haijulikani. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Kasi ya coaster ya roller huongezeka kama mvuto huivuta kuteremka na ni kubwa zaidi katika hatua yake ya chini kabisa. Kutazamwa kwa suala la nishati, nishati ya uwezo wa mvuto wa mfumo wa Roller-coaster-dunia inabadilishwa kuwa nishati ya kinetic. Ikiwa kazi iliyofanywa na msuguano ni duni, yote\(\Delta PE_g\) inabadilishwa kuwa\(KE\).

Mkakati

Coaster roller inapoteza nishati uwezo kama inakwenda kuteremka. Tunapuuza msuguano, ili nguvu iliyobaki inayotumiwa na kufuatilia ni nguvu ya kawaida, ambayo ni perpendicular kwa mwelekeo wa mwendo na haifanyi kazi. Kazi ya wavu kwenye coaster ya roller inafanywa kwa mvuto peke yake. Kupoteza kwa nishati ya uwezo wa mvuto kutoka kusonga chini kupitia umbali\(h\) ni sawa na faida katika nishati ya kinetic. Hii inaweza kuandikwa katika fomu equation kama\(-\Delta PE = \Delta KE \). Kutumia equations kwa\(PE_g\) na\(KE\) tunaweza kutatua kwa kasi ya mwisho\(v\), ambayo ni kiasi taka.

Suluhisho kwa (a)

Hapa nishati ya awali ya kinetic ni sifuri, ili\(\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2\). equation kwa ajili ya mabadiliko katika nishati uwezo inasema kwamba\(\Delta PE_g = mgh\). Kwa kuwa\(h\) ni hasi katika kesi hii, tutaandika tena hii\(\Delta PE_g = -mg|h|\) ili kuonyesha ishara ndogo wazi. Hivyo,\[-\Delta PE_g = \Delta KE\] inakuwa\[mg|h| = \dfrac{1}{2}mv^2\]

Kutatua kwa\(v\) tunaona kwamba molekuli cancels na kwamba\[v = \sqrt{2g|h|}. \]

Kubadilisha maadili inayojulikana,

\[v = \sqrt{2(9.80 \, m/s^2)(20.0 \, m)} \]

\[= 19.8 \, m/s\]

Suluhisho kwa (b)

Tena\(-\Delta PE_g = \Delta KE\). Katika kesi hii kuna nishati ya awali ya kinetic, hivyo\(\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2\). Hivyo,

\[mgh = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}m_0^2.\]

Kupanga upya inatoa

\[\dfrac{1}{2}mv^2 = mg|h| + \dfrac{1}{2}mv_0^2.\]

Hii ina maana kwamba nishati ya mwisho ya kinetic ni jumla ya nishati ya awali ya kinetic na nishati ya uwezo wa mvuto. Misa tena kufuta, na\[v = \sqrt{2g|h| + v_0^2}.\]

Equation hii ni sawa na equation kinematics\(v = \sqrt{v_0^2 + 2ad}\), lakini ni zaidi ya jumla-kinematics equation ni halali tu kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara, ambapo equation yetu juu ni halali kwa njia yoyote bila kujali kama kitu hatua na kuongeza kasi ya mara kwa mara. Sasa, badala ya maadili inayojulikana inatoa

\[v = \sqrt{2(9.80 \, m/s^2)(20.0 \, m) + (5.00)^2}\]

\[= 20.4 \, m/s.\]

Majadiliano na Athari

Kwanza, kumbuka kuwa wingi hufuta. Hii ni sawa kabisa na uchunguzi kufanywa katika Kuanguka vitu kwamba vitu vyote kuanguka kwa kiwango sawa kama msuguano ni kidogo. Pili, kasi tu ya coaster roller inachukuliwa; hakuna habari kuhusu mwelekeo wake wakati wowote. Hii inaonyesha ukweli mwingine wa jumla. Wakati msuguano ni mdogo, kasi ya mwili wa kuanguka inategemea tu kasi yake ya awali na urefu, na si kwa wingi wake au njia iliyochukuliwa. Kwa mfano, coaster ya roller itakuwa na kasi sawa ya mwisho ikiwa inaanguka 20.0 m moja kwa moja chini au inachukua njia ngumu zaidi kama ile iliyo kwenye takwimu. Tatu, na labda bila kutarajia, kasi ya mwisho katika sehemu (b) ni kubwa kuliko sehemu (a), lakini kwa mbali chini ya 5.00 m/s Hatimaye, kumbuka kwamba kasi inaweza kupatikana kwa urefu wowote njiani kwa kutumia tu thamani sahihi ya\(h\) wakati wa riba.

Tumeona kwamba kazi iliyofanywa na au dhidi ya nguvu ya mvuto inategemea tu pointi za mwanzo na za mwisho, na sio kwenye njia kati, kutuwezesha kufafanua dhana ya kurahisisha ya nishati ya uwezo wa mvuto. Tunaweza kufanya kitu kimoja kwa vikosi vingine chache, na tutaona kwamba hii inasababisha ufafanuzi rasmi wa sheria ya uhifadhi wa nishati.

Kufanya Connections: Kuchukua-Nyumbani Uchunguzi - Kubadilisha Uwezo

Kinetic Nishati

Mtu anaweza kujifunza uongofu wa nishati ya uwezo wa mvuto katika nishati ya kinetic katika jaribio hili. Juu ya uso laini, kiwango, tumia mtawala wa aina ambayo ina groove inayoendesha urefu wake na kitabu cha kufanya kutembea (angalia Mchoro). Weka marumaru kwenye nafasi ya 10-cm juu ya mtawala na uache chini ya mtawala. Unapopiga uso wa ngazi, pima muda unachukua ili upinde mita moja. Sasa mahali marumaru katika 20-cm na nafasi 30-cm na tena kupima mara inachukua roll 1 m juu ya uso ngazi. Kupata kasi ya marumaru juu ya uso ngazi kwa nafasi zote tatu. Plot kasi squared dhidi ya umbali alisafiri na jiwe. Ni sura gani ya kila njama? Ikiwa sura ni mstari wa moja kwa moja, njama inaonyesha kwamba nishati ya kinetic ya marumaru chini ni sawa na nishati yake ya uwezo katika hatua ya kutolewa.

Kitabu kimelala juu ya meza na mwisho mmoja wa mtawala hutegemea makali ya kitabu hiki huku mwisho mwingine unakaa juu ya meza, na kuifanya kuwa mteremko. Marumaru inavyoonyeshwa chini ya mtawala. — Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Marumaru hupungua chini ya mtawala, na kasi yake juu ya uso wa ngazi hupimwa.

Muhtasari

Kazi iliyofanywa dhidi ya mvuto katika kuinua kitu inakuwa nishati ya uwezo wa mfumo wa kitu-Dunia .
Mabadiliko katika nishati ya uwezo wa mvuto\(\Delta PE_g\)\(\Delta PE_g = mgh\), ni, kwa\(h\) kuwa ongezeko la urefu na\(g\) kuongeza kasi kutokana na mvuto.
Nishati ya uwezo wa mvuto wa kitu karibu na uso wa Dunia ni kutokana na nafasi yake katika mfumo wa Misa ya Dunia. Tofauti tu katika nishati ya uwezo wa mvuto,\(\Delta PE_g\), kuwa na umuhimu wa kimwili.
Kama kitu kinachotoka bila msuguano, nishati yake ya uwezo wa mvuto hubadilika katika nishati ya kinetic inayohusiana na kasi ya kuongezeka, ili\(\Delta KE = - \Delta PE_g\).

faharasa

uwezo wa mvuto wa nishati: nishati kitu kina kutokana na msimamo wake katika uwanja wa mvuto