Skip to main content
Global

3.E: Kinematiki mbili-Dimensional (Mazoezi)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    183418

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Maswali ya dhana

    3.2: Kuongezea Vector na Kutoa: Mbinu za kielelezo

    1. Ni ipi kati ya yafuatayo ni vector: urefu wa mtu, urefu juu ya Mlima. Everest, umri wa Dunia, kiwango cha kuchemsha cha maji, gharama ya kitabu hiki, idadi ya watu duniani, kasi ya mvuto?

    2. Kutoa mfano maalum wa vector, akisema ukubwa wake, vitengo, na mwelekeo.

    3. Je, vectors na scalars zina sawa? Wanatofautiaje?

    4. Campers wawili katika Hifadhi ya Taifa kuongezeka kutoka cabin yao kwa doa moja katika ziwa, kila kuchukua njia tofauti, kama inavyoonekana hapa chini. Umbali wa jumla uliotembea kwenye Njia ya 1 ni kilomita 7.5, na kwamba kando ya Njia 2 ni 8.2 km. Je, ni uhamisho wa mwisho wa kila camper?

    Kona ya kusini magharibi ya takwimu ni cabin na kona ya kaskazini mashariki ni ziwa. Vector S yenye urefu wa kilomita tano za sifuri huunganisha cabin hadi ziwa kwa pembe ya digrii 40 kaskazini mwa mashariki. Njia mbili za vilima zilizoitwa Njia ya 1 na Njia ya 2 zinawakilisha njia zilizotembea kutoka cabin hadi ziwa.

    5. Kama majaribio ya ndege ni aliiambia kuruka 123 km katika mstari wa moja kwa moja kupata kutoka San Francisco kwa Sacramento, kueleza kwa nini angeweza kuishia mahali popote kwenye mduara inavyoonekana katika Kielelezo. Nini habari nyingine angehitaji kupata Sacramento?

    ramani ya kaskazini mwa California na mduara na radius ya kilomita mia moja ishirini na tatu katikati ya San Francisco. Sacramento liko juu ya mzunguko wa mduara huu katika mwelekeo arobaini na tano digrii kaskazini ya mashariki kutoka San Francisco.

    6. Tuseme unachukua hatua mbili A na B (yaani, uhamisho wa nonzero mbili). Chini ya hali gani unaweza kuishia katika hatua yako ya mwanzo? Kwa ujumla, chini ya hali gani wanaweza vectors mbili zisizo na zero kuongeza kutoa sifuri? Je, umbali wa juu unaweza kuishia kutoka mwanzo A+B jumla ya urefu wa hatua mbili?

    7. Eleza kwa nini haiwezekani kuongeza scalar kwa vector

    8. Ikiwa unachukua hatua mbili za ukubwa tofauti, unaweza kuishia katika hatua yako ya mwanzo? Kwa ujumla, unaweza vectors mbili na ukubwa tofauti milele kuongeza sifuri? Je, tatu au zaidi?

    3.3: Vector Aidha na Ondoa: Analytical Mbinu

    9. Tuseme unaongeza vectors mbili A na B. Ni mwelekeo gani wa jamaa kati yao hutoa matokeo na ukubwa mkubwa zaidi? Ukubwa wa kiwango cha juu ni nini? Ni mwelekeo gani wa jamaa kati yao hutoa matokeo na ukubwa mdogo zaidi? Ukubwa wa chini ni nini?

    10. Kutoa mfano wa vector nonzero ambayo ina sehemu ya sifuri.

    11. Eleza kwa nini vector haiwezi kuwa na sehemu kubwa kuliko ukubwa wake mwenyewe.

    12. Ikiwa vectors A na B ni perpendicular, ni sehemu gani ya A pamoja na mwelekeo wa B? Ni sehemu gani ya B pamoja na mwelekeo wa A?

    3.4: Mwendo wa Projectile

    13. Jibu maswali yafuatayo kwa ajili ya mwendo wa projectile kwenye ardhi ya ngazi kuchukua upinzani mdogo wa hewa (angle ya awali kuwa wala 0º wala 90º):

    (a) Je kasi milele sifuri?

    (b) Ni lini kasi ya chini? kiwango cha juu?

    (c) Je kasi milele kuwa sawa na kasi ya awali kwa wakati mwingine zaidi ya saa\(t=0\)?

    (d) Je, kasi inaweza kuwa sawa na kasi ya awali kwa wakati mwingine zaidi ya saa\(t=0\)?

    14. Jibu maswali yafuatayo kwa ajili ya mwendo wa projectile kwenye ardhi ya ngazi kuchukua upinzani mdogo wa hewa (angle ya awali kuwa\(0º\) wala\(90º\)):

    (a) Je kuongeza kasi milele sifuri?

    (b) Je kuongeza kasi milele katika mwelekeo sawa na sehemu ya kasi?

    (c) Je kuongeza kasi milele kinyume katika mwelekeo wa sehemu ya kasi?

    15. Kwa kasi ya awali ya awali, aina mbalimbali ya projectile imedhamiriwa na angle ambayo inafukuzwa. Kwa wote lakini kiwango cha juu, kuna pembe mbili zinazotoa aina sawa. Kuzingatia mambo ambayo yanaweza kuathiri uwezo wa upinde kugonga lengo, kama vile upepo, kueleza kwa nini angle ndogo (karibu na usawa) inafaa. Je! Itakuwa ni wakati gani kwa mshambuliaji kutumia angle kubwa? Kwa nini punter katika mchezo wa soka hutumia trajectory ya juu?

    16. Wakati wa maandamano ya hotuba, profesa huweka sarafu mbili kwenye makali ya meza. Kisha flicks moja ya sarafu usawa mbali meza, wakati huo huo nudging nyingine juu ya makali. Eleza mwendo baadae ya sarafu mbili, hasa kujadili kama hit sakafu kwa wakati mmoja.

    3.5: Kuongezea kasi

    17. Ni sura gani au muafaka wa kumbukumbu unayotumia wakati wa kuendesha gari? Wakati wa kuruka katika ndege ya ndege ya kibiashara?

    18. Mchezaji wa mpira wa kikapu akipiga chenga chini ya mahakama kwa kawaida anaweka macho yake fasta juu ya wachezaji walio karibu naye. Yeye ni kusonga haraka. Kwa nini hana haja ya kuweka macho yake juu ya mpira?

    19. Ikiwa mtu anaendesha nyuma ya lori ya kuchukua na kumtupia softball moja kwa moja nyuma, je, inawezekana kwa mpira kuanguka moja kwa moja chini kama inavyotazamwa na mtu amesimama upande wa barabara? Chini ya hali gani hii itatokea? Je! Mwendo wa mpira ungeonekanaje kwa mtu aliyeitupa?

    20. Kofia ya jogger inayoendesha kasi ya mara kwa mara huanguka nyuma ya kichwa chake. Chora mchoro unaoonyesha njia ya kofia katika sura ya kumbukumbu ya jogger. Chora njia yake kama inavyotazamwa na mwangalizi wa kituo.

    21. Kamba la uchafu huanguka kutoka kitanda cha lori linalohamia. Inapiga ardhi moja kwa moja chini ya mwisho wa lori. Ni mwelekeo gani wa kasi yake kuhusiana na lori kabla ya kugonga? Je, hii ni sawa na mwelekeo wa kasi yake jamaa na ardhi kabla ya hits? Eleza majibu yako.

    Matatizo na Mazoezi

    3.2: Kuongezea Vector na Kutoa: Mbinu za kielelezo

    Tumia mbinu za kielelezo ili kutatua matatizo haya. Unaweza kudhani data kuchukuliwa kutoka grafu ni sahihi kwa tarakimu tatu.

    22. Pata zifuatazo kwa njia A katika Kielelezo:

    (a) umbali wa jumla uliotembea, na

    (b) ukubwa na mwelekeo wa uhamisho kutoka mwanzo hadi mwisho.

    Ramani ya mji imeonyeshwa. Nyumba ni katika mfumo wa vitalu vya mraba wa upande wa mita mia moja na ishirini kila mmoja. Njia ya A inaenea hadi vitalu vitatu kuelekea kaskazini halafu kizuizi kimoja kuelekea mashariki. Inaulizwa kujua umbali wa jumla uliotembea ukubwa na mwelekeo wa uhamisho kutoka mwanzo hadi mwisho.

    Mistari mbalimbali inawakilisha njia zilizochukuliwa na watu tofauti wanaotembea mjiani. Vitalu vyote ni 120 m upande.

    ufumbuzi:
    (a) 480 m
    (b) 379 m, 18.4º mashariki ya kaskazini

    23. Pata zifuatazo kwa njia B katika Kielelezo:

    (a) umbali wa jumla uliotembea, na

    (b) ukubwa na mwelekeo wa uhamisho kutoka mwanzo hadi mwisho.

    24. Kupata sehemu ya kaskazini na mashariki ya makazi yao kwa hikers inavyoonekana katika Kielelezo.

    Kona ya kusini magharibi ya takwimu ni cabin na kona ya kaskazini mashariki ni ziwa. Vector S yenye urefu wa kilomita tano za sifuri huunganisha cabin hadi ziwa kwa pembe ya digrii 40 kaskazini mwa mashariki. Njia mbili za vilima zilizoitwa Njia ya 1 na Njia ya 2 zinawakilisha njia zilizotembea kutoka cabin hadi ziwa.


    Solution sehemu
    kaskazini 3.21 km, sehemu ya mashariki 3.83 km

    25. Tuseme unatembea 18.0 m moja kwa moja magharibi na kisha 25.0 m moja kwa moja kaskazini. Umbali gani kutoka hatua yako ya kuanzia, na ni nini dira mwelekeo wa mstari kuunganisha hatua yako ya kuanzia na nafasi yako ya mwisho? (Ikiwa unawakilisha miguu miwili ya kutembea kama uhamisho wa vector A na B, kama kwenye Mchoro, basi tatizo hili linakuomba kupata jumla yao R=A+B.)

    Katika takwimu hii kuratibu axes zinaonyeshwa. Vector A kutoka asili kuelekea hasi ya mhimili x inavyoonyeshwa. Kutoka kichwa cha vector A vector nyingine B hutolewa kuelekea mwelekeo mzuri wa mhimili y. Matokeo R ya wadudu hawa wawili inavyoonekana kama vector kutoka mkia wa vector A kwa kichwa cha vector B. vector Hii R inakabiliwa na theta angle na mhimili x hasi.
    Uhamisho wawili A na B huongeza kutoa uhamisho wa jumla R kuwa\(R\) na ukubwa na mwelekeo\(θ\).


    26. Tuseme wewe kwanza kutembea 12.0 m katika mwelekeo 20º magharibi ya kaskazini na kisha 20.0 m katika mwelekeo 40.0º kusini mwa magharibi. Umbali gani kutoka hatua yako ya kuanzia, na ni nini dira mwelekeo wa mstari kuunganisha hatua yako ya kuanzia na nafasi yako ya mwisho? (Ikiwa unawakilisha miguu miwili ya kutembea kama uhamisho wa vector A na B, kama katika Mchoro, basi tatizo hili hupata jumla yao R = A + B.)

    Katika takwimu zilizopewa kuratibu axes zinaonyeshwa. Vector A na mkia wa asili ni kutegemea kwa angle ya digrii ishirini na mwelekeo mzuri wa mhimili x. Ukubwa wa vector A ni mita kumi na mbili. Vector nyingine B huanza kutoka kichwa cha vector A na kutegemea kwa angle ya digrii arobaini na usawa. Matokeo R ya wadudu A na B pia hutolewa kutoka mkia wa vector A hadi kichwa cha vector B. mwelekeo wa vector R ni theta na usawa.

    Solution
    \(19.5 m, 4.65º\) kusini mwa magharibi

    27. Kurudia tatizo hapo juu, lakini urekebishe utaratibu wa miguu miwili ya kutembea; onyesha kwamba unapata matokeo sawa ya mwisho. Hiyo ni, wewe kwanza kutembea mguu B, ambayo ni 20.0 m katika mwelekeo hasa 40º kusini ya magharibi, na kisha mguu A ukubwa 12 {A} {}, ambayo ni 12.0 m katika mwelekeo hasa 20º magharibi ya kaskazini. (Tatizo hili linaonyesha kuwa A+B = B+A.)

    28. (a) Kurudia tatizo matatizo mawili kabla, lakini kwa mguu wa pili unatembea 20.0 m katika mwelekeo 40.0º kaskazini mwa mashariki (ambayo ni sawa na kutoa B kutoka A-yaani, kutafuta R'=A-B).

    (b) Kurudia tatizo matatizo mawili kabla, lakini sasa unatembea kwanza 20.0 m katika mwelekeo 40.0º kusini mwa magharibi na kisha 12.0 m katika mwelekeo 20.0º mashariki mwa kusini (ambayo ni sawa na kutoa A kutoka B - yaani, kutafuta R"=B-A=-R '). Onyesha kuwa hii ndiyo kesi.

    Solution
    (a)\(26.6 m, 65.1º\) kaskazini ya mashariki
    (b)\(26.6 m, 65.1º\) kusini mwa magharibi

    29. Onyesha kwamba utaratibu wa kuongeza vectors tatu hauathiri jumla yao. Onyesha mali hii kwa kuchagua wadudu watatu A, B na C, wote wana urefu tofauti na maelekezo. Kupata jumla A + B + C kisha kupata jumla yao wakati aliongeza katika utaratibu tofauti na kuonyesha matokeo ni sawa. (Kuna amri nyingine tano ambazo A, B, na C zinaweza kuongezwa; chagua moja tu.)

    30. Onyesha kwamba jumla ya wadudu kujadiliwa katika Mfano anatoa matokeo inavyoonekana katika Kielelezo.

    Suluhisho
    \(52.9 m, 90.1º\) kwa heshima ya x-axis.

    31. Pata ukubwa wa kasi\(v_A\) na\(v_B\) katika Kielelezo

    Kwenye vector kasi ya grafu V ndogo A huanza kwa asili na inakabiliwa na mhimili x kwa angle ya digrii ishirini na mbili hatua tano. Kutoka mkuu wa vector V ndogo A mwingine vector V ndogo B huanza. Matokeo ya wadudu wawili, kinachoitwa V ndogo tot, ni kutega vector V ndogo A katika ishirini na sita uhakika digrii tano na vector V ndogo B katika ishirini na tatu digrii uhakika sifuri. V ndogo tot ina ukubwa wa mita 6.72 kwa pili.

    Velocities mbili\(v_A\) na\(v_B\) kuongeza kutoa jumla\(v_{tot}\).

    32. Pata vipengele vya\(v_{tot}\) pamoja na x- na y-axes katika Kielelezo.

    Suluhisho
    x-kipengele 4.41 m/s
    y sehemu 5.07 m/s

    33. Kupata vipengele ya\(v_{tot}\) pamoja seti ya shoka perpendicular kuzungushwa\(30º\) kinyume jamaa na wale katika Kielelezo.

    3.3: Vector Aidha na Ondoa: Analytical Mbinu

    34. Pata zifuatazo kwa njia C katika Kielelezo:

    (a) umbali wa jumla uliosafiri na

    (b) ukubwa na mwelekeo wa uhamisho kutoka mwanzo hadi mwisho. Katika sehemu hii ya tatizo, wazi kuonyesha jinsi ya kufuata hatua za njia ya uchambuzi wa kuongeza vector.

    Ramani ya mji imeonyeshwa. Nyumba ni katika mfumo wa vitalu vya mraba wa upande wa mita mia moja na ishirini kila mmoja. Njia nne A B C na D zinaonyeshwa kwa rangi tofauti. Njia c inavyoonyeshwa kama buluu inaenea hadi kizuizi kimoja kuelekea kaskazini, halafu vitalu vitano kuelekea mashariki halafu vitalu viwili kuelekea kusini halafu kizuizi kimoja kuelekea magharibi na kizuizi kimoja kuelekea kaskazini na hatimaye Inaulizwa kujua umbali wa jumla uliotembea ukubwa na mwelekeo wa uhamisho kutoka mwanzo hadi mwisho kwa njia C.

    Mistari mbalimbali inawakilisha njia zilizochukuliwa na watu tofauti wanaotembea mjiani. Vitalu vyote ni 120 m upande.

    Solution
    (a) 1.56 km
    (b) 120 m mashariki

    35. Pata zifuatazo kwa njia D katika Kielelezo:

    (a) umbali wa jumla uliosafiri na

    (b) ukubwa na mwelekeo wa uhamisho kutoka mwanzo hadi mwisho. Katika sehemu hii ya tatizo, wazi kuonyesha jinsi ya kufuata hatua za njia ya uchambuzi wa kuongeza vector.

    36. Kupata sehemu kaskazini na mashariki ya makazi yao kutoka San Francisco kwa Sacramento inavyoonekana katika Kielelezo.

    ramani ya kaskazini mwa California na mduara na radius ya kilomita mia moja ishirini na tatu katikati ya San Francisco. Sacramento liko juu ya mzunguko wa mduara huu katika mwelekeo arobaini na tano digrii kaskazini ya mashariki kutoka San Francisco.

    Solution
    Kaskazini-sehemu 87.0 km, sehemu ya mashariki 87.0 km

    37. Kutatua tatizo zifuatazo kwa kutumia mbinu za uchambuzi: Tuseme kutembea 18.0 m moja kwa moja magharibi na kisha 25.0 m moja kwa moja kaskazini. Umbali gani kutoka hatua yako ya kuanzia, na ni nini dira mwelekeo wa mstari kuunganisha hatua yako ya kuanzia na nafasi yako ya mwisho? (Ikiwa unawakilisha miguu miwili ya kutembea kama uhamisho wa vector A na B, kama kwenye Mchoro, basi tatizo hili linakuomba kupata jumla yao R=A+B.)

    Katika takwimu iliyotolewa uhamisho wa mtu huonyeshwa. Harakati ya kwanza ya mtu huonyeshwa kama vector A kutoka asili pamoja na mhimili hasi x. Kisha anarudi kwa haki yake. Harakati yake sasa imeonyeshwa kama vector wima katika mwelekeo wa kaskazini. Vector ya uhamisho R pia imeonyeshwa. Katika swali unaulizwa kupata uhamisho wa mtu tangu mwanzo hadi mwisho.
    Uhamisho wawili A na B huongeza kutoa uhamisho wa jumla R kuwa\(R\) na ukubwa na mwelekeo\(θ\).

    Kumbuka kwamba unaweza pia kutatua hili graphically. Jadili kwa nini mbinu ya uchambuzi ya kutatua tatizo hili inawezekana kuwa sahihi zaidi kuliko mbinu ya graphical.

    38. Kurudia Zoezi kwa kutumia mbinu za uchambuzi, lakini reverse utaratibu wa miguu miwili ya kutembea na kuonyesha kwamba unapata matokeo sawa ya mwisho. (Tatizo hili linaonyesha kwamba kuongeza yao katika utaratibu reverse anatoa matokeo sawa-yaani, B + A = A + B.) Jadili jinsi kuchukua njia nyingine kufikia hatua hiyo inaweza kusaidia kushinda kikwazo kuzuia njia nyingine.

    Suluhisho
    30.8 m, 35.8 magharibi mwa kaskazini

    Unaendesha kilomita 7.50 kwa mstari wa moja kwa moja katika mwelekeo 15º.

    (a) Kupata umbali ungekuwa kuendesha moja kwa moja mashariki na kisha moja kwa moja kaskazini kufika katika hatua moja. (Uamuzi huu ni sawa na kupata vipengele vya makazi yao kando ya maelekezo ya mashariki na kaskazini.)

    (b) Onyesha kwamba bado unakuja kwenye hatua moja ikiwa miguu ya mashariki na kaskazini inabadilishwa kwa utaratibu.

    39. a) Je, Zoezi tena kutumia mbinu za uchambuzi na ubadili mguu wa pili wa kutembea hadi 25.0 m moja kwa moja kusini. (Hii ni sawa na kutoa B kutoka A-yaani, kutafuta R'=A - B)

    (b) Kurudia tena, lakini sasa unatembea kwanza 25.0 m ukubwa 12 {"25" “.” “0 m"} {} kaskazini na kisha 18.0 m ukubwa 12 {"18" “.” “0 m"} {} mashariki. (Hii ni sawa na Ondoa A ukubwa 12 {A} {} kutoka ukubwa B 12 {B} {} —yaani, kupata A = B+C ukubwa 12 {A=B+C} {}. Je, hiyo ni sawa na matokeo yako?)

    Solution
    (a)\(30.8 m, 54.2º\) kusini ya magharibi
    (b)\(30.8 m, 54.2º\) kaskazini ya mashariki

    40. Mmiliki mpya ana kipande cha triangular cha ardhi ya gorofa anayotaka uzio. Kuanzia kona ya magharibi, yeye hatua upande wa kwanza kuwa 80.0 m mrefu na karibu kuwa 105 m pande hizi zinawakilishwa kama wadudu makazi yao A kutoka B katika Kielelezo. Kisha huhesabu kwa usahihi urefu na mwelekeo wa upande wa tatu\(C\). Matokeo yake ni nini?

    Katika takwimu iliyotolewa pande za kipande cha ardhi ya triangular zinaonyeshwa katika fomu ya vector. Kona ya Magharibi ni asili. Vector huanza kutoka asili kuelekea upande wa kusini mashariki na hufanya angle digrii ishirini na moja na usawa. Kisha kutoka kwa kichwa cha vector hii vector nyingine B inayofanya angle digrii kumi na moja na wima hutolewa juu. Kisha vector nyingine C kutoka kichwa cha vector B hadi mkia wa vector ya awali hutolewa. Urefu na mwelekeo wa upande C unaonyeshwa kama haijulikani, unaowakilishwa na alama ya swali.

    41. Unaruka ukubwa wa kilomita 32.0 12 {"32" “.” “0 km"} {} katika mstari wa moja kwa moja katika hewa bado katika mwelekeo 35.0º ukubwa 12 {"35"°} {} kusini mwa magharibi.

    (a) Kupata umbali ungekuwa kuruka moja kwa moja kusini na kisha moja kwa moja magharibi kufika katika hatua moja. (Uamuzi huu ni sawa na kutafuta vipengele vya makazi yao kando ya maelekezo ya kusini na magharibi.)

    (b) Kupata umbali ungepaswa kuruka kwanza katika mwelekeo 45.0º kusini mwa magharibi na kisha katika mwelekeo 45.0º magharibi ya kaskazini. Hizi ni sehemu ya makazi yao pamoja na seti tofauti ya axe-moja kuzungushwa 45º.

    Solution
    18.4 km kusini, kisha 26.2 km magharibi (b) 31.5 km katika 45.0º kusini ya magharibi, kisha 5.56 km katika 45.0º magharibi ya kaskazini

    42. Mkulima anataka uzio mbali shamba lake nne upande wa ardhi gorofa. Anachukua pande tatu za kwanza, zilizoonyeshwa kama A, B, na C katika Kielelezo, na kisha huhesabu kwa usahihi urefu na mwelekeo wa upande wa nne\(D\). Matokeo yake ni nini?

    pembenne na pande A, B, C, na D. huanza mwishoni mwa D na ni 4 kumweka kilomita saba sifuri kwa pembe ya 7 uhakika 5 digrii kusini mwa magharibi. B huanza mwishoni mwa A na ni 2 kumweka kilomita nne nane katika mwelekeo digrii kumi na sita magharibi ya kaskazini. C huanza mwishoni mwa B na ni 3 kumweka sifuri 2 kilomita katika mwelekeo kumi na tisa digrii kaskazini ya magharibi. D huanza mwishoni mwa C na anaendesha umbali na mwelekeo kwamba lazima mahesabu

    43. Katika jaribio la kutoroka kisiwa chake, Gilligan hujenga raft na anaweka baharini. Upepo hubadilika sana wakati wa mchana, na hupigwa kwenye mistari ifuatayo ya moja kwa moja: 2.50 km 45.0º kaskazini mwa magharibi; kisha 4.70 km 60.0º kusini mwa mashariki; kisha 1.30km 25.0º kusini mwa magharibi; kisha 5.10 km moja kwa moja mashariki; kisha 1.70km 5.00º mashariki ya kaskazini; kisha 7.20 km 55.0º kusini mwa magharibi; na hatimaye 2.80 km 10.0º kaskazini mwa mashariki. Nini nafasi yake ya mwisho kuhusiana na kisiwa hicho?

    Solution
    \(7.34 km, 63.5º\) kusini mwa mashariki

    44. Tuseme majaribio nzi 40.0 km katika mwelekeo 60º kaskazini ya mashariki na kisha nzi 30.0 km katika mwelekeo 15º kaskazini ya mashariki kama inavyoonekana katika Kielelezo. Pata umbali wake wa jumla\(R\) kutoka hatua ya mwanzo na mwelekeo\(θ\) wa njia ya mstari wa moja kwa moja hadi nafasi ya mwisho. Jadili kimaelezo jinsi ndege hii ingebadilishwa na upepo kutoka kaskazini na jinsi athari za upepo zitategemea kasi ya upepo na kasi ya ndege ikilinganishwa na molekuli ya hewa.

    pembetatu inavyoelezwa na wadudu A, B, na R. huanza katika asili na kukimbia kilomita arobaini katika mwelekeo digrii sitini kaskazini ya mashariki. B huanza mwishoni mwa A na anaendesha kilomita thelathini katika mwelekeo digrii kumi na tano kaskazini ya mashariki. R ni vector matokeo na anaendesha kutoka asili (mwanzo wa A) hadi mwisho wa B kwa umbali na katika mwelekeo theta ambayo inahitaji kuhesabiwa.

    3.4: Mwendo wa Projectile

    45. Projectile imezinduliwa kwa kiwango cha chini na kasi ya awali ya 50.0 m/s kwa angle ya 30.0º juu ya usawa. Inapiga shabaha juu ya ardhi sekunde 3.00 baadaye. Ni nini\(x\) na\(y\) umbali kutoka ambapo projectile ilizinduliwa mahali ambapo ardhi?

    Suluhisho
    \(x=1.30 m×10%2\)
    \(y=30.9 m.\)

    46. Mpira hupigwa kwa kasi ya awali ya 16 m/s katika mwelekeo usio na usawa na 12 m/s katika mwelekeo wa wima.

    (a) Je, mpira hupiga chini kwa kasi gani?

    (b) Kwa muda gani mpira unabaki hewa?

    (c) Nini urefu upeo ni kupatikana kwa mpira?

    47. Mpira unatupwa kwa usawa kutoka juu ya jengo la 60.0-m na ardhi 100.0 m kutoka msingi wa jengo hilo. Puuza upinzani wa hewa.

    (a) Mpira ni muda gani katika hewa?

    (b) Ni lazima kuwa sehemu ya awali ya usawa wa kasi?

    (c) ni sehemu ya wima ya kasi kabla ya mpira hits chini nini? (d) kasi ni nini (ikiwa ni pamoja na sehemu zote mbili usawa na wima) ya mpira kabla hits ardhi?

    Suluhisho
    (a) 3.50 s
    (b) 28.6 m/s
    (c) 34.3 m/s
    (d) 44.7 m/s, 50.2º chini ya usawa

    48. (a) Daredevil ni kujaribu kuruka pikipiki yake juu ya mstari wa mabasi wamejipanga mwisho hadi mwisho kwa kuendesha gari hadi 32º njia panda kwa kasi ya 40.0 m/s (144 km/h). Je! Mabasi ngapi anaweza kufafanua ikiwa juu ya barabara ya kuchukua iko kwenye urefu sawa na vichwa vya basi na mabasi ni urefu wa 20.0 m?

    (b) Jadili kile jibu lako linamaanisha kuhusu kiasi cha kosa katika tendo hili-yaani, fikiria ni kiasi gani kikubwa zaidi kuliko umbali usio na usawa anapaswa kusafiri kukosa mwisho wa basi ya mwisho. (Puuza upinzani wa hewa.)

    49. Mpiga upinde hupiga mshale kwenye lengo la mbali la mita 75.0; jicho la ng'ombe la shabaha lina urefu sawa na urefu wa kutolewa wa mshale.

    (a) Je, mshale unapaswa kutolewa kwa pembe gani ili kugonga jicho la ng'ombe ikiwa kasi yake ya awali ni 35.0 m/s? Katika sehemu hii ya tatizo, wazi kuonyesha jinsi ya kufuata hatua zinazohusika katika kutatua matatizo projectile mwendo.

    (b) Kuna mti mkubwa katikati ya upinde na shabaha yenye tawi lenye usawa wa 3.50 m juu ya urefu wa kutolewa wa mshale. Je! Mshale utaenda juu au chini ya tawi?

    Suluhisho
    (a) 18.4º
    (b) Mshale utaenda juu ya tawi.

    50. Mchezaji wa raga hupita mpira 7.00 m kote shamba, ambapo hupatikana kwa urefu sawa kama ulivyoacha mkono wake.

    (a) Kwa pembe gani mpira ulitupwa ikiwa kasi yake ya awali ilikuwa 12.0 m/s, kudhani kwamba ndogo ya pembe mbili iwezekanavyo ilitumika?

    (b) Nini angle nyingine inatoa mbalimbali sawa, na kwa nini itakuwa si kutumika?

    (c) Je, hii kupita ilichukua muda gani?

    51. Thibitisha safu za projectiles katika Kielelezo (a) kwa\(θ=45º\) na kasi ya awali iliyotolewa.

    Solution
    \(R=\frac{v^2_0}{sin2θ_0g}\)
    Kwa\(θ=45º,R=\frac{v^2_0}{g}\)
    \(R=91.8m\) ajili\(v_0=30m/s; R=163m\) ya kwa\(v_0=40m/s; R=255m\) ajili ya\(v_=50m/s\).

    52. Thibitisha safu zilizoonyeshwa kwa projectiles kwenye Kielelezo (b) kwa kasi ya awali ya 50 m/s kwenye pembe zilizopewa awali.

    53. Cannon juu ya vita inaweza kupiga shell umbali wa juu wa kilomita 32.0.

    (a) Tumia kasi ya awali ya shell.

    (b) Ni urefu gani wa juu unaofikia? (Katika kiwango chake cha juu, ganda liko juu ya 60% ya angami—lakini upinzani wa hewa sio duni sana kama inavyodhaniwa kufanya tatizo hili iwe rahisi.)

    (c) Bahari si gorofa, kwa sababu Dunia imepigwa. Fikiria kwamba radius ya Dunia ni\(6.37×10^3km\). Ni mita ngapi chini ya uso wake utakuwa kilomita 32.0 kutoka meli kwenye mstari usio na usawa unaofanana na uso kwenye meli? Je, jibu lako linamaanisha kuwa hitilafu iliyotokana na dhana ya Dunia gorofa katika mwendo wa projectile ni muhimu hapa?

    Suluhisho
    (a) 560 m/s
    \(8.00×10^3m\)
    (b) (c) 80.0 m Hitilafu hii si muhimu kwa sababu ni 1% tu ya jibu katika sehemu (b).

    54. Mshale unapigwa risasi kutoka kimo cha 1.5 m kuelekea mwamba wa urefu wa\(H\) ukubwa 12 {H} {}. Inapigwa kwa kasi ya 30 m/s kwa pembe ya 60º juu ya usawa. Ni ardhi juu ya makali ya juu ya mwamba 4.0 s baadaye.

    (a) Urefu wa mwamba ni nini?

    (b) Urefu wa juu unafikiwa na mshale kwenye trajectory yake ni nini?

    (c) ni mshale wa athari kasi kabla ya kupiga mwamba nini?

    55. Katika kuruka pana kusimama, squats moja na kisha inasubu mbali na miguu kuona jinsi mbali mtu anaweza kuruka. Tuseme ugani wa miguu kutoka nafasi ya inama ni 0.600 m na kasi inayopatikana kutoka nafasi hii ni mara 1.25 kasi kutokana na mvuto,\(g\) ukubwa 12 {g} {}. Jinsi mbali wanaweza kuruka? Hali mawazo yako. (Kuongezeka kwa kiwango kikubwa kunaweza kupatikana kwa kugeuza silaha katika mwelekeo wa kuruka.)

    Suluhisho
    1.50 m, kuchukua angle ya uzinduzi wa 45º

    56. Rekodi ya kuruka kwa muda mrefu duniani ni 8.95 m (Mike Powell, Marekani, 1991). Kutibiwa kama projectile, ni nini kiwango cha juu kinachoweza kupatikana na mtu ikiwa ana kasi ya kuchukua ya 9.5 m/s? Hali mawazo yako.

    57. Kutumikia kwa kasi ya kilomita 170/h, mchezaji wa tenisi anapiga mpira kwa urefu wa 2.5 m na angle\(θ\) chini ya usawa. Mstari wa msingi ni 11.9 m kutoka kwenye wavu, ambayo ni 0.91 m juu. Je! Ni pembe\(θ\) gani ambayo mpira unavuka tu wavu? Je! Mpira utaingia kwenye sanduku la huduma, ambalo mstari wa huduma ni 6.40 m kutoka kwenye wavu?

    Suluhisho
    \(θ=6.1º\)
    ndiyo, mpira hupanda 5.3 m kutoka kwenye wavu

    58. Quarterback soka ni kusonga moja kwa moja nyuma kwa kasi ya 2.00 m/s wakati yeye kumtupia kupita kwa mchezaji 18.0 m moja kwa moja downfield.

    (a) Ikiwa mpira unatupwa kwa pembe ya 25º kuhusiana na ardhi na hupatikana kwa urefu sawa na kutolewa, ni kasi gani ya awali inayohusiana na ardhi?

    (b) Inachukua muda gani ili kupata mpokeaji?

    (c) Urefu wake wa juu juu ya hatua yake ya kutolewa ni nini?

    59. Vituko vya bunduki vinarekebishwa kwa lengo la juu ili kulipa fidia kwa athari za mvuto, kwa ufanisi kufanya bunduki sahihi tu kwa aina mbalimbali maalum.

    (a) Ikiwa bunduki itaonekana kugonga malengo yaliyo kwenye urefu sawa na bunduki na umbali wa m 100.0, risasi itapungua kwa kiasi gani ikiwa inalenga moja kwa moja kwenye lengo la umbali wa mita 150.0? Kasi ya muzzle ya risasi ni 275 m/s.

    (b) Jadili kimaelezo jinsi kasi kubwa ya muzzle ingeathiri tatizo hili na nini itakuwa athari za upinzani wa hewa.

    Suluhisho
    (a) -0.486 m
    (b) Kubwa kasi ya muzzle, ndogo kupotoka katika mwelekeo wa wima, kwa sababu wakati wa kukimbia utakuwa mdogo. Upinzani wa hewa ungekuwa na athari za kupungua wakati wa kukimbia, kwa hiyo kuongeza kupotoka kwa wima.

    60. Tai inaruka kwa usawa kwa kasi ya 3.00 m/s wakati samaki katika taloni zake hupungua na huanguka ndani ya ziwa 5.00 m chini. Tumia kasi ya jamaa ya samaki na maji wakati inapiga maji.

    61. Bundi linabeba panya kwa vifaranga katika kiota chake. Msimamo wake wakati ule ni 4.00 m magharibi na 12.0 m juu ya katikati ya kiota cha kipenyo cha 30.0 cm. Bundi ni kuruka mashariki saa 3.50 m/s kwa angle 30.0º ukubwa 12 {"30º} chini ya usawa wakati ajali matone panya. Je, bundi ni bahati ya kuwa na panya hit kiota? Ili kujibu swali hili, tumia nafasi ya usawa ya panya wakati imeshuka 12.0 m.

    Suluhisho
    4.23 m Hapana, bunduki si bahati; anakosa kiota.

    62. Tuseme mchezaji wa soka anapiga mpira kutoka umbali wa m 30 kuelekea lengo. Pata kasi ya awali ya mpira ikiwa inapita juu ya lengo, 2.4 m juu ya ardhi, kutokana na mwelekeo wa awali kuwa 40º juu ya usawa.

    63. Je, golikipa katika goli lake anaweza kupiga mpira wa soka ndani ya bao la mpinzani bila mpira kugusa ardhi? Umbali utakuwa karibu 95 m.Golikipa anaweza kutoa mpira kasi ya 30 m/s.

    Suluhisho
    Hapana, kiwango cha juu (kupuuza upinzani wa hewa) ni karibu 92 m.

    64. Mstari wa kutupa bure katika mpira wa kikapu ni 4.57 m (15 ft) kutoka kikapu, ambayo ni 3.05 m (10 ft) juu ya sakafu. Mchezaji amesimama kwenye mstari wa kutupa bure anatupa mpira kwa kasi ya awali ya 8.15 m/s, akitoa kwa urefu wa 2.44 m (8 ft) juu ya sakafu. Kwa pembe gani juu ya usawa lazima mpira utupwe kwa hit kikapu? Kumbuka kuwa wachezaji wengi kutumia kubwa ya awali angle badala ya gorofa risasi kwa sababu inaruhusu kwa kiasi kubwa ya makosa. Onyesha wazi jinsi unavyofuata hatua zinazohusika katika kutatua matatizo ya mwendo wa projectile.

    65. Mwaka 2007, Michael Carter (Marekani) aliweka rekodi ya dunia katika risasi iliyowekwa na kutupa ya 24.77 m Ilikuwa kasi gani ya awali ya risasi ikiwa aliitoa kwa kimo cha 2.10 m na kuitupa kwa pembe ya 38.0º juu ya usawa? (Ingawa umbali wa kiwango cha juu cha projectile kwenye ardhi ya ngazi unapatikana saa 45º wakati upinzani wa hewa unapuuzwa, angle halisi ya kufikia kiwango cha juu ni ndogo; hivyo, 38º itatoa urefu mrefu kuliko 45º katika kuweka risasi.)

    Suluhisho
    15.0 m/s

    66. Mchezaji wa mpira wa kikapu anaendesha saa 5.00 m/s moja kwa moja kuelekea kikapu wakati anaruka hewani ili dunk mpira. Anaendelea kasi yake ya usawa.

    (a) Ni kasi gani ya wima anahitaji kupanda 0.750 m juu ya sakafu?

    (b) Ni mbali gani na kikapu (kipimo katika mwelekeo usawa) lazima aanze kuruka kwake kufikia urefu wake wa juu kwa wakati mmoja anapofikia kikapu?

    67. Mchezaji wa soka hupiga mpira kwenye angle ya 45.0º. Bila athari kutoka upepo, mpira ungesafiri 60.0 m kwa usawa.

    (a) kasi ya awali ya mpira ni nini?

    (b) Wakati mpira uko karibu na urefu wake wa juu unapata gust fupi ya upepo ambayo inapunguza kasi yake ya usawa kwa 1.50 m/s.

    Suluhisho
    (a) 24.2 m/s
    (b) Mpira husafiri jumla ya 57.4 m na upepo mfupi wa upepo.

    68. Thibitisha kwamba trajectory ya projectile ni parabolic, kuwa na fomu\(y=ax+bx^2\). Ili kupata usemi huu, kutatua equation\(x=v_{0x}t\) kwa\(t\) na badala yake katika kujieleza kwa\(y=v_{0y}t–(1/2)gt^2\) (milinganyo hizi kuelezea\(x\) na\(y\) nafasi ya projectile inayoanza katika asili.) Unapaswa kupata equation ya fomu\(y=ax+bx^2\) ambapo\(a\) na\(b\) ni mara kwa mara.

    69. Pata\(R=\frac{v^2_0sin2θ_0}{g}\) kwa aina mbalimbali ya projectile juu ya ardhi ngazi kwa kutafuta muda\(t\) ambao\(y\) inakuwa sifuri na kubadilisha thamani hii ya\(t\) katika kujieleza kwa\(x−x_0\), akibainisha kuwa\(R=x−x_0\)

    Suluhisho
    \(y−y_0=0=v_{0y}t−\frac{1}{2}gt^2=(v_0sinθ)t−\frac{1}{2}gt^2\)
    ili\(t=\frac{2(v0sinθ)}{g}\)
    \(x−x_0=v_0xt=(v_0cosθ)t=R,\) na kubadilisha kwa\(t\) kutoa:
    \(R=v_0cosθ(\frac{2v_0sinθ}{g})=\frac{2v^2_0sinθcosθ}{g}\)
    tangu\(2sinθcosθ=sin2θ\), upeo ni:
    \(R=\frac{v_0^2sin2θ}{g}\)

    70. Matokeo yasiyo ya maana

    (a) Pata upeo wa juu wa kanuni ya super ambayo ina kasi ya muzzle ya 4.0 km/s.

    (b) Je, ni busara kuhusu aina uliyopata?

    (c) Je, Nguzo haina maana au ni equation inapatikana haitumiki? Eleza jibu lako.

    (d) Ikiwa kasi ya muzzle inaweza kupatikana, jadili madhara ya upinzani wa hewa, kuponda hewa na urefu, na curvature ya Dunia juu ya aina mbalimbali za kanuni kubwa.

    71. Kujenga tatizo lako mwenyewe

    Fikiria mpira uliochafuka juu ya uzio. Kujenga tatizo ambayo mahesabu ya mpira inahitajika kasi ya awali ya wazi tu uzio. Miongoni mwa mambo ya kuamua ni; urefu wa uzio, umbali wa uzio kutoka hatua ya kutolewa kwa mpira, na urefu ambao mpira hutolewa. Unapaswa pia kuzingatia kama inawezekana kuchagua kasi ya awali ya mpira na tu kuhesabu angle ambayo inatupwa. Pia kuchunguza uwezekano wa ufumbuzi mbalimbali kutokana na umbali na urefu umechagua.

    3.5: Kuongezea kasi

    72. Bryan Allen alipeleka ndege inayoendeshwa na binadamu katika Channel ya Kiingereza kutoka maporomoko ya Dover hadi Cap Gris-Nez mnamo Juni 12, 1979.

    (a) Aliruka kwa dakika 169 kwa kasi ya wastani ya 3.53 m/s katika mwelekeo\(45º\) kusini mwa mashariki. Uhamisho wake wa jumla ulikuwa nini?

    (b) Allen alikutana na upepo wa kichwa wastani wa 2.00 m/s karibu kwa usahihi katika mwelekeo kinyume cha mwendo wake kuhusiana na Dunia. Je, kasi yake ya wastani ilikuwa ikilinganishwa na hewa?

    (c) Ni nini makazi yake ya jumla jamaa na molekuli hewa?

    Solution
    (a)\(35.8 km, 45º\) kusini ya mashariki
    (b)\(5.53 m/s, 45º\) kusini ya mashariki
    (c)\(56.1 km, 45º\) kusini ya mashariki

    73. Seagull inaruka kwa kasi ya 9.00 m/s moja kwa moja ndani ya upepo.

    (a) Ikiwa inachukua ndege 20.0 min kusafiri kilomita 6.00 kuhusiana na Dunia, ni kasi gani ya upepo?

    (b) Ikiwa ndege hugeuka na kuruka na upepo, atachukua muda gani kurudi kilomita 6.00?

    (c) Jadili jinsi upepo unavyoathiri jumla ya safari na safari wakati ikilinganishwa na nini itakuwa bila upepo.

    74. Karibu na mwisho wa mbio za marathon, wanariadha wawili wa kwanza wanajitenga kwa umbali wa 45.0 m.M. mkimbiaji wa mbele ana kasi ya 3.50 m/s, na pili - kasi ya 4.20 m/s.

    (a) Ni kasi gani ya mkimbiaji wa pili jamaa na wa kwanza?

    (b) Kama mkimbiaji wa mbele ni 250 m kutoka mstari wa kumaliza, nani atashinda mbio, kuchukua wao kukimbia kwa kasi ya mara kwa mara?

    (c) Ni umbali gani mbele mshindi atakuwa wakati yeye huvuka mstari wa kumaliza?

    Suluhisho
    (a) 0.70 m/s kasi
    (b) Mkimbiaji wa pili atashinda
    (c) 4.17 m

    75. Thibitisha kwamba sarafu imeshuka na abiria wa ndege katika Mfano husafiri 144 m kwa usawa huku ikishuka 1.50 m katika sura ya kumbukumbu ya Dunia.

    76. Quarterback soka ni kusonga moja kwa moja nyuma kwa kasi ya 2.00 m/s wakati yeye kumtupia kupita kwa mchezaji 18.0 m moja kwa moja downfield. Mpira unatupwa kwa pembe ya\(25.0º\) jamaa na ardhi na huchukuliwa kwa urefu sawa kama unatolewa. ni kasi ya awali ya mpira jamaa quarterback nini?

    Suluhisho
    \(17.0 m/s, 22.1º\)

    77. Meli inaweka meli kutoka Rotterdam, Uholanzi, ikielekea kaskazini kwa 7.00 m/s kuhusiana na maji. Bahari ya ndani ya sasa ni 1.50 m/s katika mwelekeo\(40.0º\) kaskazini mwa mashariki. Je! Ni kasi gani ya meli inayohusiana na Dunia?

    78. (a) Ndege ya ndege inayoruka kutoka Darwin, Australia, ina kasi ya hewa ya 260 m/s katika mwelekeo\(5.0º\) kusini mwa magharibi. Iko katika mkondo wa ndege, ambao unapiga saa 35.0 m/s katika mwelekeo\(15º\) kusini mwa mashariki. Je! Ni kasi gani ya ndege inayohusiana na Dunia?

    (b) Jadili kama majibu yako yanaendana na matarajio yako kwa athari za upepo kwenye njia ya ndege.

    Suluhisho
    (a)\(230 m/s, 8.0º\) kusini mwa magharibi
    (b) Upepo unapaswa kufanya ndege kusafiri polepole na zaidi kusini, ambayo ndiyo iliyohesabiwa.

    79. (a) Katika mwelekeo gani meli katika Zoezi itakuwa na kusafiri ili kuwa na kasi moja kwa moja kaskazini jamaa na Dunia, kuchukua kasi yake kuhusiana na maji bado\(7.00 m/s\)?

    (b) Je, kasi yake ingekuwa ikilinganishwa na Dunia?

    80. (a) Ndege nyingine inaruka katika mkondo wa ndege unaopiga saa 45.0 m/s katika mwelekeo 20º ukubwa 12 {"20º"} {} kusini mwa mashariki (kama katika Zoezi). Mwelekeo wake wa mwendo kuhusiana na Dunia ni ukubwa wa 45.0º 12 {"45.0º"} {} kusini mwa magharibi, ilhali mwelekeo wake wa kusafiri kuhusiana na hewa ni ukubwa wa 5.00º 12 {5.00º} {} kusini mwa magharibi. Je, kasi ya ndege inahusiana na mzunguko wa hewa? (b) Kasi ya ndege inahusiana na Dunia nini?

    Suluhisho
    (a) 63.5 m/s
    (b) 29.6 m/s

    81. Sandali imeshuka kutoka juu ya mlingoti wa urefu wa 15.0-m kwenye meli inayohamia saa 1.75 m/s kutokana kusini. Tumia kasi ya viatu wakati inapiga staha ya meli:

    (a) jamaa na meli na

    (b) jamaa na mwangalizi stationary pwani.

    (c) Jadili jinsi majibu yanatoa matokeo thabiti kwa nafasi ambayo mchanga hupiga staha.

    82. Kasi ya upepo kuhusiana na maji ni muhimu kwa sailboats. Tuseme meli iko katika sasa ya bahari ambayo ina kasi ya 2.20 m/s katika mwelekeo\(30.0º\) mashariki ya kaskazini kuhusiana na Dunia. Inakutana na upepo ambao una kasi ya 4.50 m/s katika mwelekeo wa\(50.0º\) kusini ya magharibi kuhusiana na Dunia. Je! Ni kasi gani ya upepo inayohusiana na maji?

    Solution
    \(6.68 m/s, 53.3º\) kusini mwa magharibi

    83. Mwanaastronomia mkuu Edwin Hubble aligundua kwamba galaxi zote za mbali zinatoka kwenye galaxi yetu ya Milky Way kwa kasi zinazofanana na umbali wake. Inaonekana kwa mwangalizi duniani kwamba tuko katikati ya ulimwengu unaopanua. Kielelezo unaeleza hii kwa galaxies tano amelazwa pamoja mstari wa moja kwa moja, na Milky Way Galaxy katika kituo. Kutumia data kutoka kwa takwimu, uhesabu kasi:

    (a) jamaa na galaxy 2 na

    (b) jamaa na galaxy 5.

    Matokeo yanamaanisha kwamba waangalizi kwenye galaxi zote watajiona katikati ya ulimwengu unaoenea, na wataweza kuwa na ufahamu wa kasi za jamaa, wakihitimisha kuwa haiwezekani kupata kituo cha upanuzi na taarifa iliyotolewa.

    Galaksi tano kwenye mstari wa moja kwa moja usawa zinaonyeshwa. Galaksi moja ya kushoto ina umbali wa mamilioni mia tatu ya miaka ya nuru na inahamia kuelekea kushoto. Galaksi ya pili na ya tatu katika takwimu imeonyesha hakuna kasi. Kasi ya galaxi ya nne na ya tano inaelekea kulia.

    Galaksi tano kwenye mstari wa moja kwa moja, zinaonyesha umbali na kasi zao kuhusiana na Galaxy ya Milky Way (MW). Umbali ni katika mamilioni ya miaka ya nuru (Mly), ambapo mwaka wa nuru ni umbali wa mwanga unasafiri kwa mwaka mmoja. Velocities ni karibu sawia na umbali. Ukubwa wa galaxi ni chumvi sana; galaxi wastani ni takriban 0.1 Mly kote.

    84. (a) Matumizi umbali na kasi data katika Kielelezo kupata kiwango cha upanuzi kama kazi ya umbali.

    (b) Ikiwa utajitokeza tena kwa wakati gani, galaxi zote zingekuwa zimekuwa katika nafasi sawa? Sehemu mbili za tatizo hili zinakupa wazo la jinsi mara kwa mara ya Hubble kwa upanuzi wa ulimwengu wote na wakati wa nyuma ya Big Bang umeamua, kwa mtiririko huo.

    Suluhisho
    (a)\(H_{average}=14.9\frac{km/s}{Mly}\)
    (b) miaka bilioni 20.2

    85. Mchezaji huvuka mto wa meta 25 kwa kuogelea perpendicular kwa sasa maji kwa kasi ya 0.5 m/s kuhusiana na maji. Anafikia upande wa pili kwa umbali 40 m chini ya mto kutoka hatua yake ya kuanzia. Je! Maji katika mto yanayotembea kwa kasi kwa heshima na ardhi? Je! Ni kasi gani ya kuogelea kwa heshima na rafiki wakati wa kupumzika chini?

    86. Meli meli katika mkondo wa Ghuba inaelekea\(25.0º\) magharibi mwa kaskazini kwa kasi ya 4.00 m/s ikilinganishwa na maji. Kasi yake kuhusiana na Dunia ni\(4.80 m/s 5.00º\) magharibi ya kaskazini. Je, ni kasi gani ya mkondo wa Ghuba? (Kasi iliyopatikana ni ya kawaida kwa Gulf Stream kilomita mia chache mbali na pwani ya mashariki ya Marekani.)

    Solution
    \(1.72 m/s, 42.3º\) kaskazini ya mashariki

    87. Mchezaji wa Hockey ya barafu anahamia saa 8.00 m/s wakati anapiga puck kuelekea lengo. Kasi ya puck jamaa na mchezaji ni 29.0 m/s. mstari kati ya katikati ya lengo na mchezaji hufanya\(90.0º\) angle jamaa na njia yake kama inavyoonekana katika Kielelezo. Ni pembe gani lazima kasi ya puck iwe jamaa na mchezaji (katika sura yake ya kumbukumbu) kugonga katikati ya lengo?

    barafu Hockey mchezaji ni kusonga katika Rink na kasi v mchezaji kuelekea upande wa kaskazini. Chapisho la lengo ni katika mwelekeo wa mashariki. Ili kugonga lengo mchezaji wa Hockey lazima hit na kasi ya puck v puck kufanya theta angle na mhimili usawa ili mwelekeo wake ni kuelekea kusini mashariki.

    Mchezaji wa Hockey wa barafu anayehamia kwenye rink lazima apige nyuma ili kutoa puck kasi kuelekea lengo.

    88. Matokeo yasiyo ya maana

    Tuseme unataka risasi vifaa moja kwa moja hadi astronauts katika obiti 36,000 km juu ya uso wa dunia.

    (a) Kwa kasi gani lazima vifaa vizinduliwe?

    (b) Je, ni busara kuhusu kasi hii?

    (c) Je, kuna tatizo na kasi ya jamaa kati ya vifaa na wanaanga wakati vifaa kufikia urefu wao upeo?

    (d) Je, Nguzo haina maana au ni equation inapatikana haitumiki? Eleza jibu lako.

    89. Matokeo yasiyo ya maana

    Ndege ya kibiashara ina kasi ya hewa ya\(280 m/s\) kutokana mashariki na inaruka kwa upepo mkali wa tailwind. Inasafiri km 3000 katika mwelekeo\(5º\) kusini mwa mashariki katika 1.50 h.

    (a) Ni kasi gani ya ndege ikilinganishwa na ardhi?

    (b) Kuhesabu ukubwa na mwelekeo wa kasi ya tailwind.

    (c) Ni nini maana kuhusu kasi hizi mbili?

    (d) Ni Nguzo ipi isiyo na maana?

    90. Kujenga tatizo lako mwenyewe

    Fikiria ndege inayoongozwa kwa barabara katika upepo wa msalaba. Kujenga tatizo ambalo wewe mahesabu angle ndege lazima kuruka jamaa na molekuli hewa ili kuwa na kasi sambamba na barabara. Miongoni mwa mambo ya kuzingatia ni mwelekeo wa barabara, kasi ya upepo na mwelekeo (kasi yake) na kasi ya ndege kuhusiana na molekuli ya hewa. Pia hesabu kasi ya ndege kuhusiana na ardhi. Kujadili yoyote maneuvers dakika ya mwisho majaribio anaweza kufanya ili ndege ya nchi na magurudumu yake akizungumzia moja kwa moja chini ya barabara.

    Wachangiaji na Majina