1.3: Usahihi, Usahihi, na Takwimu muhimu

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Kuamua idadi sahihi ya takwimu muhimu katika kuongeza na kuondoa, pamoja na mahesabu ya kuzidisha na mgawanyiko.
• Tumia asilimia kutokuwa na uhakika wa kipimo.

Usahihi na Usahihi wa Kipimo

Sayansi inategemea uchunguzi na majaribio-yaani juu ya vipimo. Usahihi ni jinsi kipimo kilivyo karibu na thamani sahihi kwa kipimo hicho. Kwa mfano, hebu sema kwamba unapima urefu wa karatasi ya kawaida ya kompyuta. Ufungaji ambao umenunua karatasi unasema kuwa ni urefu wa inchi 11.0. Unapima urefu wa karatasi mara tatu na kupata vipimo vifuatavyo: 11.1 in., 11.2 in., na 10.9 in. Vipimo hivi ni sahihi kabisa kwa sababu ni karibu sana na thamani sahihi ya inchi 11.0. Kwa upande mwingine, ikiwa umepata kipimo cha inchi 12, kipimo chako hakitakuwa sahihi sana.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Uwiano wa mitambo ya sufuria mbili hutumiwa kulinganisha raia tofauti. Kawaida kitu kilicho na wingi usiojulikana kinawekwa kwenye sufuria moja na vitu vya molekuli inayojulikana huwekwa kwenye sufuria nyingine. Wakati bar inayounganisha sufuria mbili ni ya usawa, basi raia katika sufuria zote mbili ni sawa. “Watu wanaojulikana” ni kawaida mitungi ya chuma ya molekuli ya kawaida kama gramu 1, gramu 10, na gramu 100. (mikopo: Serge Melki)

Usahihi wa mfumo wa upimaji unahusu jinsi makubaliano yalivyo karibu kati ya vipimo vya mara kwa mara (ambavyo hurudiwa chini ya hali sawa). Fikiria mfano wa vipimo vya karatasi. Usahihi wa vipimo unamaanisha kuenea kwa maadili yaliyopimwa. Njia moja ya kuchambua usahihi wa vipimo itakuwa kuamua upeo, au tofauti, kati ya maadili ya chini na ya juu ya kipimo. Katika hali hiyo, thamani ya chini kabisa ilikuwa 10.9 katika. na thamani ya juu ilikuwa 11.2 ndani. Kwa hiyo, maadili yaliyopimwa yamepotoka kutoka kwa kila mmoja kwa zaidi ya 0.3 ndani. Vipimo hivi vilikuwa sahihi kwa sababu hazikutofautiana sana kwa thamani. Hata hivyo, kama maadili ya kipimo yalikuwa 10.9, 11.1, na 11.9, basi vipimo havikuwa sahihi sana kwa sababu kutakuwa na tofauti kubwa kutoka kipimo kimoja hadi kingine.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mizani mingi ya mitambo, kama vile mizani mbili-sufuria, yamebadilishwa na mizani ya digital, ambayo inaweza kawaida kupima wingi wa kitu kwa usahihi zaidi. Ingawa usawa wa mitambo unaweza kusoma tu wingi wa kitu hadi kumi ya karibu ya gramu, mizani mingi ya digital inaweza kupima wingi wa kitu hadi karibu elfu ya gramu. (mikopo: Karel Jakubec)

Vipimo katika mfano wa karatasi ni sahihi na sahihi, lakini wakati mwingine, vipimo ni sahihi lakini si sahihi, au ni sahihi lakini si sahihi. Hebu fikiria mfano wa mfumo GPS kwamba ni kujaribu Machapisho nafasi ya mgahawa katika mji. Fikiria eneo la mgahawa kama zilizopo katikati ya lengo la jicho la ng'ombe, na fikiria kila jaribio la GPS la Machapisho mgahawa kama dot nyeusi. Katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\), unaweza kuona kwamba vipimo GPS ni kuenea mbali mbali na kila mmoja, lakini wote ni karibu na eneo halisi ya mgahawa katika kituo cha lengo. Hii inaonyesha usahihi wa chini, mfumo wa kupima usahihi wa juu. Hata hivyo, katika Mchoro wa 4, vipimo vya GPS vinajilimbikizia karibu sana, lakini ziko mbali na eneo la lengo. Hii inaonyesha usahihi wa juu, mfumo wa kupima usahihi wa chini.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Mfumo wa GPS unajaribu kupata mgahawa katikati ya jicho la ng'ombe. Dots nyeusi zinawakilisha kila jaribio la kuthibitisha eneo la mgahawa. Dots huenea mbali kabisa na kila mmoja, kuonyesha usahihi mdogo, lakini kila mmoja ni karibu na eneo halisi la mgahawa, kuonyesha usahihi wa juu. (mikopo: Dark Evil)

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Katika takwimu hii, dots hujilimbikizia kwa karibu sana, kuonyesha usahihi wa juu, lakini ni mbali sana na eneo halisi la mgahawa, kuonyesha usahihi mdogo. (mikopo: Dark Evil)

Usahihi, Usahihi, na kutokuwa na uhakika

Kiwango cha usahihi na usahihi wa mfumo wa kupimia ni kuhusiana na kutokuwa na uhakika katika vipimo. Kutokuwa na uhakika ni kipimo cha kiasi gani maadili yako kipimo kinyume na kiwango au inatarajiwa thamani. Ikiwa vipimo vyako si sahihi sana au sahihi, basi kutokuwa na uhakika wa maadili yako itakuwa juu sana. Kwa maneno zaidi ya jumla, kutokuwa na uhakika kunaweza kufikiriwa kama Kanusho kwa maadili yako ya kipimo. Kwa mfano, ikiwa mtu alikuomba utoe mileage kwenye gari lako, unaweza kusema kuwa ni maili 45,000, pamoja na maili 500. Kiasi cha pamoja au cha chini ni kutokuwa na uhakika katika thamani yako. Hiyo ni, unaonyesha kwamba mileage halisi ya gari lako inaweza kuwa chini kama maili 44,500 au juu kama maili 45,500, au popote katikati. Vipimo vyote vina kiasi fulani cha kutokuwa na uhakika. Katika mfano wetu wa kupima urefu wa karatasi, tunaweza kusema kwamba urefu wa karatasi ni 11 in., plus au minus 0.2 in. Kutokuwa na uhakika katika kipimo, A, mara nyingi huashiria kama Δa (“delta A”), hivyo matokeo ya kipimo yangeandikwa kama A ± ΔA. Katika mfano wetu wa karatasi, urefu wa karatasi unaweza kuelezwa kama 11 katika.± 0.2.

Sababu zinazochangia kutokuwa na uhakika katika kipimo ni pamoja na:

1. Vikwazo vya kifaa cha kupimia,
2. Ujuzi wa mtu anayefanya kipimo,
3. Hitilafu katika kitu kinachopimwa,
4. Sababu nyingine yoyote inayoathiri matokeo (inategemea sana hali hiyo).

Katika mfano wetu, mambo kama hayo yanayochangia kutokuwa na uhakika inaweza kuwa yafuatayo: mgawanyiko mdogo zaidi juu ya mtawala ni 0.1 in., mtu anayetumia mtawala ana macho mabaya, au upande mmoja wa karatasi ni kidogo zaidi kuliko nyingine. Kwa kiwango chochote, kutokuwa na uhakika katika kipimo lazima iwe msingi wa kuzingatia kwa makini mambo yote ambayo yanaweza kuchangia na madhara yao iwezekanavyo.

KUFANYA UHUSIANO: UHUSIANO HALISI WA DUNIA - HOMA AU BARIDI?

Kutokuwa na uhakika ni kipande muhimu cha habari, wote katika fizikia na katika maombi mengine mengi ya ulimwengu halisi. Fikiria unamtunza mtoto mgonjwa. Unashutumu mtoto ana homa, kwa hiyo uangalie joto lake na thermometer. Nini ikiwa kutokuwa na uhakika wa thermometer ulikuwa 3.0ºC? Ikiwa joto la mtoto lilikuwa 37.0ºC (ambayo ni joto la kawaida la mwili), joto la “kweli” linaweza kuwa mahali popote kutoka 34.0ºC ya hypothermic hadi 40.0ºC ya hatari. Thermometer yenye kutokuwa na uhakika wa 3.0ºC itakuwa haina maana.

asilimia kutokuwa na uhakika

Njia moja ya kuonyesha kutokuwa na uhakika ni kama asilimia ya thamani ya kipimo. Ikiwa kipimo A kinaonyeshwa kwa kutokuwa na uhakika\(δA\), asilimia kutokuwa na uhakika (%kutokuwa na uhakika) hufafanuliwa kuwa

\[\% \,\text{unc} =\dfrac {δA}{A} \times 100\%\]

Mfano\(\PageIndex{1}\): Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

Duka la vyakula huuza mifuko ya 5-lb ya apples. Unununua mifuko minne kwa kipindi cha mwezi na kupima apples kila wakati. Unapata vipimo vifuatavyo:

Wiki 1 uzito: 4.8 lb
Wiki 2 uzito: 5.3 lb
Wiki 3 uzito: 4.9 lb
Wiki 4 uzito: 5.4 lb

Unaamua kwamba uzito wa mfuko wa 5-lb una uhakika wa ± 0.4lb. Je, ni asilimia ya kutokuwa na uhakika wa uzito wa mfuko?

Mkakati

Kwanza, kuchunguza kwamba inatarajiwa thamani ya uzito mfuko wa,\(A\), ni 5 lb. kutokuwa na uhakika katika thamani hii,\(δA\), ni 0.4 lb. tunaweza kutumia equation zifuatazo kuamua asilimia kutokuwa na uhakika wa uzito:

\(\text{% unc} =\frac{δA}{A}×100%\).

Suluhisho

Plug maadili inayojulikana katika equation:

\(\text{% unc} =\frac{0.4 lb}{5 lb}×100%=8%\).

Majadiliano

Tunaweza kuhitimisha kwamba uzito wa mfuko wa apple ni\(5lb±8%\). Fikiria jinsi asilimia hii ya kutokuwa na uhakika ingebadilika ikiwa mfuko wa apples ulikuwa nusu kama nzito, lakini kutokuwa na uhakika katika uzito ulibakia sawa. Dokezo kwa mahesabu ya baadaye: wakati wa kuhesabu asilimia kutokuwa na uhakika, daima kumbuka kwamba lazima uongeze sehemu kwa 100%. Ikiwa hutafanya hivyo, utakuwa na kiasi cha decimal, si thamani ya asilimia.

Kutokuwa na uhakika katika mahesabu

Kuna kutokuwa na uhakika katika chochote kilichohesabiwa kutoka kwa kiasi cha kipimo. Kwa mfano, eneo la sakafu lililohesabiwa kutoka kwa vipimo vya urefu na upana wake lina uhakika kwa sababu urefu na upana hauna uhakika. Jinsi kubwa ni kutokuwa na uhakika katika kitu mahesabu kwa kuzidisha au mgawanyiko? Ikiwa vipimo vinavyoingia katika hesabu vina uhakika mdogo (asilimia chache au chini), basi njia ya kuongeza asilimia inaweza kutumika kwa kuzidisha au mgawanyiko. Njia hii inasema kuwa asilimia kutokuwa na uhakika kwa kiasi kilichohesabiwa na kuzidisha au mgawanyiko ni jumla ya kutokuwa na uhakika wa asilimia katika vitu vinavyotumiwa kufanya hesabu. Kwa mfano, kama sakafu ina urefu wa 4.00m na upana wa 3.00m, na uhakika wa 2% na 1%, kwa mtiririko huo, basi eneo la sakafu ni 12.0m2 na ina uhakika wa 3%. (Imeelezwa kama eneo hili ni 0.36m2, ambalo tunazunguka\(0.4\,m^2\) tangu eneo la sakafu linapewa sehemu ya kumi ya mita ya mraba.)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Kocha wa kufuatilia shule ya sekondari amenunua stopwatch mpya. Mwongozo wa stopwatch unasema kwamba stopwatch ina uhakika wa ± 0.05s. Wanariadha kwenye timu ya kocha wa kufuatilia mara kwa mara wanakaribia sprints 100-m ya 11.49 s hadi 15.01 s Katika mkutano wa mwisho wa shule, mwanariadha wa nafasi ya kwanza alikuja saa 12.04 s na mwanariadha wa pili alikuja saa 12.07 s Je, saa mpya ya kocha itawasaidia wakati wa timu ya sprint? Kwa nini au kwa nini?

Jibu

Hapana, kutokuwa na uhakika katika stopwatch ni kubwa mno kutofautisha kwa ufanisi kati ya nyakati za sprint.

Usahihi wa Vyombo vya Kupima na Takwimu muhimu

Sababu muhimu katika usahihi na usahihi wa vipimo inahusisha usahihi wa chombo cha kupimia. Kwa ujumla, chombo sahihi cha kupima ni moja ambayo inaweza kupima maadili katika nyongeza ndogo sana. Kwa mfano, mtawala wa kawaida anaweza kupima urefu hadi millimeter iliyo karibu, wakati caliper anaweza kupima urefu hadi karibu 0.01 millimeter. Caliper ni chombo sahihi zaidi cha kupimia kwa sababu kinaweza kupima tofauti ndogo sana kwa urefu. Chombo sahihi zaidi cha kupimia, vipimo sahihi zaidi na sahihi vinaweza kuwa.

Tunapoelezea maadili ya kipimo, tunaweza tu kuorodhesha tarakimu nyingi kama tulivyopimwa awali na chombo chetu cha kupimia. Kwa mfano, ukitumia mtawala wa kawaida kupima urefu wa fimbo, unaweza kupima kuwa 36.7cm. Huwezi kueleza thamani hii kama 36.71cm kwa sababu chombo chako cha kupimia hakikuwa sahihi ya kutosha kupima sentimita mia moja. Ikumbukwe kwamba tarakimu ya mwisho katika thamani ya kipimo imekadiriwa kwa namna fulani na mtu anayefanya kipimo. Kwa mfano, mtu kupima urefu wa fimbo na mtawala anatambua kwamba urefu wa fimbo inaonekana kuwa mahali fulani kati ya 36.6cm na 36.7cm, na yeye lazima kukadiria thamani ya tarakimu ya mwisho. Kutumia njia ya takwimu muhimu, utawala ni kwamba tarakimu ya mwisho iliyoandikwa katika kipimo ni tarakimu ya kwanza na kutokuwa na uhakika. Ili kuamua idadi ya tarakimu muhimu kwa thamani, kuanza na thamani ya kwanza ya kipimo upande wa kushoto na uhesabu idadi ya tarakimu kupitia tarakimu ya mwisho iliyoandikwa upande wa kulia. Kwa mfano, thamani ya kipimo 36.7cm ina tarakimu tatu, au takwimu muhimu. Takwimu muhimu zinaonyesha usahihi wa chombo cha kupimia kilichotumiwa kupima thamani.

Zeros

Kuzingatia maalum hutolewa kwa zero wakati wa kuhesabu takwimu muhimu. Zero katika 0.053 sio muhimu, kwa sababu wao ni wahifadhi tu ambao hupata uhakika wa decimal. Kuna takwimu mbili muhimu katika 0.053. Zero katika 10.053 sio wahifadhi lakini ni muhimu—idadi hii ina takwimu tano muhimu. Zero katika 1300 inaweza au si muhimu kulingana na mtindo wa namba za kuandika. Wangeweza kumaanisha idadi inajulikana kwa tarakimu ya mwisho, au wanaweza kuwa placeepers. Hivyo 1300 inaweza kuwa na takwimu mbili, tatu, au nne muhimu. (Ili kuepuka utata huu, andika 1300 katika nukuu ya kisayansi.) Zeros ni muhimu isipokuwa wakati wao kutumika tu kama placeepers.

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Kuamua idadi ya takwimu muhimu katika vipimo vifuatavyo:

1. 0.0009
2. 15,45.0
3. × 10 3
4. 87.990
5. 30.42

Solutions

1. 1; zero katika nambari hii ni wahifadhi ambao huonyesha hatua ya decimal
2. 6; hapa, zero zinaonyesha kwamba kipimo kilifanywa kwa hatua ya 0.1 decimal, hivyo zero ni muhimu
3. 1; thamani 3 inaashiria mahali pa decimal, si idadi ya maadili ya kipimo
4. 5; sifuri ya mwisho inaonyesha kwamba kipimo kilifanywa kwa kiwango cha 0.001 decimal, hivyo ni muhimu
5. 4; zero yoyote iliyoko kati ya takwimu muhimu katika idadi pia ni muhimu

Takwimu muhimu katika Mahesabu

Wakati wa kuchanganya vipimo na digrii tofauti za usahihi na usahihi, idadi ya tarakimu muhimu katika jibu la mwisho haiwezi kuwa kubwa zaidi kuliko idadi ya tarakimu muhimu katika thamani ndogo ya kipimo. Kuna sheria mbili tofauti, moja kwa kuzidisha na mgawanyiko na nyingine kwa kuongeza na kuondoa, kama ilivyojadiliwa hapa chini.

1. Kwa kuzidisha na mgawanyiko: Matokeo yanapaswa kuwa na idadi sawa ya takwimu muhimu kama kiasi kilicho na takwimu ndogo zaidi zinazoingia katika hesabu. Kwa mfano, eneo la mduara linaweza kuhesabiwa kutoka kwenye radius yake kwa kutumia A=πR2. Hebu tuone ni takwimu ngapi muhimu eneo hilo lina kama radius ina mbili tu-sema, r=1.2m. Kisha,

\[A=πr2=(3.1415927...)×(1.2m)^2=4.5238934\,m^2\]

ni nini ungependa kupata kutumia calculator ambayo ina pato nane tarakimu. Lakini kwa sababu radius ina takwimu mbili tu muhimu, inapunguza kiasi cha mahesabu kwa takwimu mbili muhimu au

\[A=4.5\,m^2,\]

hata kama\ (ni nzuri kwa tarakimu angalau nane.

2. Kwa kuongeza na kutoa: Jibu linaweza kuwa na maeneo zaidi ya decimal kuliko kipimo cha angalau sahihi. Tuseme kwamba unununua kilo 7.56 za viazi kwenye duka la vyakula kama kipimo kwa kiwango na usahihi 0.01 kg. Kisha unaacha 6.052-kg ya viazi kwenye maabara yako kama kipimo kwa kiwango na usahihi 0.001 kg. Hatimaye, unakwenda nyumbani na kuongeza kilo 13.7 cha viazi kama kipimo na kiwango cha bafuni na usahihi wa kilo 0.1. Je! Una kilo ngapi za viazi sasa, na ni takwimu ngapi muhimu zinazofaa katika jibu? Masi hupatikana kwa kuongeza rahisi na kuondoa:

kilo - 6.052\, kg + 13.7\, kilo\, 15. 208\, kilo = 15.2\, kilo.\]

Kisha, tunatambua kipimo cha chini zaidi: kilo 13.7. Kipimo hiki kinaonyeshwa mahali pa 0.1 decimal, hivyo jibu letu la mwisho linapaswa pia kuonyeshwa mahali pa 0.1 decimal. Kwa hiyo, jibu linazunguka mahali pa kumi, kutupa kilo 15.2.

Takwimu muhimu katika Nakala hii

Katika maandishi haya, idadi nyingi zinadhaniwa kuwa na takwimu tatu muhimu. Aidha, idadi thabiti ya takwimu muhimu hutumiwa katika mifano yote ya kazi. Utaona kwamba jibu lililopewa tarakimu tatu linategemea pembejeo nzuri kwa angalau tarakimu tatu, kwa mfano. Ikiwa pembejeo ina takwimu chache muhimu, jibu pia litakuwa na takwimu ndogo muhimu. Huduma pia inachukuliwa kuwa idadi ya takwimu muhimu ni nzuri kwa hali hiyo. Katika mada fulani, hasa katika optics, namba sahihi zaidi zinahitajika na takwimu zaidi ya tatu muhimu zitatumika. Hatimaye, ikiwa namba ni halisi, kama vile mbili katika fomu ya mzunguko wa mduara,\(=2πr,\) haiathiri idadi ya takwimu muhimu katika hesabu.

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Fanya mahesabu yafuatayo na ueleze jibu lako kwa kutumia namba sahihi ya tarakimu muhimu.

1. Mwanamke ana mifuko miwili yenye uzito wa paundi 13.5 na mfuko mmoja wenye uzito wa paundi 10.2. Uzito wa jumla wa mifuko ni nini?
2. Nguvu\(F\) juu ya kitu ni sawa na molekuli yake m imeongezeka kwa kasi yake\(a\). Kama gari na uzito 55 kg kuchochea kasi kwa kiwango cha\(0.0255 m/s^2\), ni nini nguvu juu ya gari? (Kitengo cha nguvu kinaitwa Newton, na kinaelezwa kwa ishara N.)

Jibu

(a) paundi 37.2; Kwa sababu idadi ya mifuko ni thamani halisi, haipatikani katika takwimu muhimu.

(b) 1.4 N; Kwa sababu thamani ya kilo 55 ina takwimu mbili tu muhimu, thamani ya mwisho lazima pia iwe na takwimu mbili muhimu.

PHET EXPLORATIONS: MAKADIRIO

Kuchunguza ukubwa makadirio katika moja, mbili, na tatu vipimo! Ngazi nyingi za ugumu zinaruhusu kuboresha ujuzi wa maendeleo.

Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Makadirio

Muhtasari

• Usahihi wa thamani ya kipimo inahusu jinsi kipimo kilivyo karibu na thamani sahihi. Kutokuwa na uhakika katika kipimo ni makadirio ya kiasi ambacho matokeo ya kipimo yanaweza kutofautiana na thamani hii.
• Usahihi wa maadili ya kipimo inahusu jinsi makubaliano yalivyo karibu kati ya vipimo vya mara kwa mara.
• Usahihi wa chombo cha kupimia ni kuhusiana na ukubwa wa vipimo vyake vya kipimo. Vipimo vidogo vya kipimo, chombo sahihi zaidi.
• Takwimu muhimu zinaonyesha usahihi wa chombo cha kupimia.
• Wakati wa kuzidisha au kugawa maadili ya kipimo, jibu la mwisho linaweza kuwa na takwimu nyingi muhimu kama thamani ndogo zaidi.
• Wakati wa kuongeza au kuondoa maadili ya kipimo, jibu la mwisho haliwezi kuwa na sehemu zaidi ya decimal kuliko thamani angalau sahihi.

faharasa

usahihi

kiwango ambacho thamani ya kipimo inakubaliana na thamani sahihi kwa kipimo hicho

njia ya kuongeza asilimia

asilimia kutokuwa na uhakika kwa kiasi kilichohesabiwa na kuzidisha au mgawanyiko ni jumla ya kutokuwa na uhakika wa asilimia katika vitu vinavyotumiwa kufanya hesabu

asilimia kutokuwa na uhakika

uwiano wa kutokuwa na uhakika wa kipimo kwa thamani kipimo, walionyesha kama asilimia

usahihi

kiwango ambacho vipimo vya mara kwa mara vinakubaliana

takwimu muhimu

kueleza usahihi wa chombo cha kupimia kilichotumiwa kupima thamani

kutokuwa na uhakika

kipimo cha kiasi cha kiasi gani maadili yako kipimo kinyume na kiwango au inatarajiwa thamani

Wachangiaji na Majina

Template:ContribOpenStaxCollege