5.3: Theorem ya Msingi ya Calculus

Malengo ya kujifunza

• Eleza maana ya Theorem ya Thamani ya Maana kwa Integrals.
• Eleza maana ya Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 1.
• Tumia Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 1, kutathmini derivatives ya integrals.
• Eleza maana ya Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 2.
• Tumia Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 2, kutathmini integrals uhakika.
• Eleza uhusiano kati ya upambanuzi na ushirikiano.

Katika sehemu mbili zilizopita, tuliangalia umuhimu wa uhakika na uhusiano wake na eneo chini ya pembe ya kazi. Kwa bahati mbaya, hadi sasa, zana pekee ambazo tumepatikana ili kuhesabu thamani ya muhimu ya uhakika ni kanuni za eneo la kijiometri na mipaka ya kiasi cha Riemann, na mbinu zote mbili ni mbaya sana. Katika sehemu hii tunaangalia mbinu zenye nguvu zaidi na muhimu za kutathmini viungo vya uhakika.

Mbinu hizi mpya zinategemea uhusiano kati ya upambanuzi na ushirikiano. Uhusiano huu uligunduliwa na kuchunguzwa na wote Sir Isaac Newton na Gottfried Wilhelm Leibniz (miongoni mwa wengine) wakati wa miaka ya 1600 marehemu na miaka ya 1700 mapema, na ni kodified katika kile tunachoita Theorem ya Msingi ya Calculus, ambayo ina sehemu mbili ambazo tunachunguza katika sehemu hii. Jina lake linaonyesha jinsi kati ya theorem hii ni kwa maendeleo yote ya calculus.

Michango ya Isaac Newton katika hisabati na fizikia ilibadilisha jinsi tunavyoangalia ulimwengu. Mahusiano aliyoyogundua, yaliyosimbwa kama sheria za Newton na sheria ya gravitation zima, bado hufundishwa kama nyenzo za msingi katika fizikia leo, na hesabu yake imetoa nyanja nzima za hisabati.

Kabla ya kupata theorem hii muhimu, hata hivyo, hebu tuchunguze theorem nyingine muhimu, Theorem ya Thamani ya Maana kwa Integrals, ambayo inahitajika kuthibitisha Theorem ya Msingi ya Calculus.

Theorem ya Thamani ya Maana kwa Integrals

Theorem ya Thamani ya Maana kwa Integrals inasema kuwa kazi inayoendelea kwenye muda uliofungwa inachukua thamani yake ya wastani kwa hatua sawa katika kipindi hicho. Theorem inathibitisha kwamba ikiwa\(f(x)\) inaendelea, hatua\(c\) ipo katika muda\([a,b]\) kama kwamba thamani ya kazi katika\(c\) ni sawa na thamani ya wastani ya\(f(x)\) juu\([a,b]\). Tunasema theorem hii kwa hesabu kwa msaada wa formula kwa thamani ya wastani ya kazi ambayo tuliwasilisha mwishoni mwa sehemu iliyotangulia.

Theorem\(\PageIndex{1}\): The Mean Value Theorem for Integrals

Ikiwa\(f(x)\) ni kuendelea zaidi ya muda\([a,b]\), basi kuna angalau hatua moja\(c∈[a,b]\) kama hiyo

\[f(c)=\dfrac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

Fomu hii pia inaweza kuwa alisema kama

\[∫^b_af(x)\,dx=f(c)(b−a). \label{meanvaluetheorem} \]

Kwa kuwa\(f(x)\) ni kuendelea juu ya\([a,b]\), na thamani uliokithiri theorem (angalia sehemu ya Maxima na Minima), ni akubali maadili ya chini na kiwango cha juu -\(m\) na\(M\), kwa mtiririko huo - juu ya\([a,b]\). Kisha, kwa wote\(x\) katika\([a,b]\), tuna\(m≤f(x)≤M.\) Kwa hiyo, kwa theorem kulinganisha (angalia Sehemu ya Integral Definite), tuna

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Ushahidi

Kwa kuwa\(f(x)\) ni kuendelea juu ya\([a,b]\), na thamani uliokithiri theorem (angalia sehemu ya Maxima na Minima), ni akubali maadili ya chini na kiwango cha juu -\(m\) na\(M\), kwa mtiririko huo - juu ya\([a,b]\). Kisha, kwa wote\(x\) katika\([a,b]\), tuna\(m≤f(x)≤M.\) Kwa hiyo, kwa theorem kulinganisha (angalia Sehemu ya Integral Definite), tuna

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Kugawanya na\(b−a\) inatupa

\[ m≤\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx≤M. \nonumber \]

Kwa kuwa\(\displaystyle \frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx\) ni idadi kati\(m\) na\(M\), na tangu\(f(x)\) ni kuendelea na akubali maadili na\(M\) zaidi\([a,b]\),\(m\) na Theorem kati Theorem Theorem, kuna idadi\(c\) juu ya\([a,b]\) vile kwamba

\[ f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx, \nonumber \]

na ushahidi ni kamili.

□

Mfano\(\PageIndex{1}\): Finding the Average Value of a Function

Kupata thamani ya wastani ya kazi\(f(x)=8−2x\) juu ya muda\([0,4]\) na kupata\(c\) vile kwamba\(f(c)\) ni sawa na thamani ya wastani ya kazi juu\([0,4].\)

Suluhisho

Fomu inasema thamani ya maana ya\(f(x)\) is given by

\[\displaystyle \frac{1}{4−0}∫^4_0(8−2x)\,dx. \nonumber \]

Tunaweza kuona katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kwamba kazi inawakilisha mstari wa moja kwa moja na aina pembetatu haki imepakana na\(x\)- and \(y\)-axes. The area of the triangle is \(A=\frac{1}{2}(base)(height).\) We have

\[A=\dfrac{1}{2}(4)(8)=16. \nonumber \]

Thamani ya wastani inapatikana kwa kuzidisha eneo hilo\(1/(4−0).\) Thus, the average value of the function is

\[\dfrac{1}{4}(16)=4 \nonumber \]

Weka thamani ya wastani sawa na\(f(c)\) and solve for \(c\).

\[ \begin{align*} 8−2c =4 \nonumber \\[4pt] c =2 \end{align*}\]

Katika\(c=2,f(2)=4\).

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Kwa Theorem ya Thamani ya Maana, kazi inayoendelea\(f(x)\) inachukua thamani yake ya wastani\(c\) angalau mara moja juu ya muda uliofungwa.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Kupata thamani ya wastani wa kazi\(f(x)=\dfrac{x}{2}\) juu ya muda\([0,6]\) na kupata c kama kwamba\(f(c)\) ni sawa na thamani ya wastani wa kazi juu ya\([0,6].\)

Kidokezo

Tumia taratibu kutoka kwa Mfano\(\PageIndex{1}\) ili kutatua tatizo

Jibu

Thamani ya wastani ni\(1.5\) na\(c=3\).

Mfano\(\PageIndex{2}\): Finding the Point Where a Function Takes on Its Average Value

Kutokana\(\displaystyle ∫^3_0x^2\,dx=9\), kupata\(c\) vile kwamba\(f(c)\) sawa na thamani ya wastani ya\(f(x)=x^2\) juu\([0,3]\).

Suluhisho

Sisi ni kuangalia kwa thamani ya\(c\) vile kwamba

\[f(c)=\frac{1}{3−0}∫^3_0x^2\,\,dx=\frac{1}{3}(9)=3. \nonumber \]

Kubadilisha\(f(c)\) na\(c^2\), tuna

\[ \begin{align*} c^2 &=3 \\[4pt] c &= ±\sqrt{3}. \end{align*}\]

Kwa kuwa\(−\sqrt{3}\) ni nje ya muda, chukua tu thamani nzuri. Hivyo,\(c=\sqrt{3}\) (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Zaidi ya muda\([0,3]\), kazi\(f(x)=x^2\) inachukua thamani yake ya wastani\(c=\sqrt{3}\).

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Kutokana\(\displaystyle ∫^3_0(2x^2−1)\,dx=15\), kupata\(c\) vile kwamba\(f(c)\) sawa na thamani ya wastani ya\(f(x)=2x^2−1\) juu\([0,3]\).

Kidokezo

Tumia taratibu kutoka Mfano\(\PageIndex{2}\) ili kutatua tatizo.

Jibu

\(c=\sqrt{3}\)

Theorem ya msingi ya Calculus Sehemu 1: Integrals na Antiderivatives

Kama ilivyoelezwa hapo awali, Theorem ya Msingi ya Calculus ni theorem yenye nguvu sana inayoanzisha uhusiano kati ya upambanuzi na ushirikiano, na inatupa njia ya kutathmini integrals dhahiri bila kutumia kiasi cha Riemann au kuhesabu maeneo. Theorem inajumuisha sehemu mbili, kwanza ambayo, Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 1, imeelezwa hapa. Sehemu ya 1 huanzisha uhusiano kati ya upambanuzi na ushirikiano.

Theorem\(\PageIndex{2}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1

Kama\(f(x)\) ni kuendelea juu ya muda\([a,b]\), na kazi\(F(x)\) hufafanuliwa na

\[F(x)=∫^x_af(t)\,dt, \nonumber \]

kisha\(F′(x)=f(x)\) juu\([a,b]\).

Kabla ya kuingia katika ushahidi, udanganyifu kadhaa ni muhimu kutaja hapa. Kwanza, maoni juu ya nukuu. Kumbuka kwamba tuna defined kazi\(F(x)\),, kama muhimu uhakika wa kazi nyingine\(f(t)\), kutoka hatua a kwa uhakika\(x\). Kwa mtazamo wa kwanza, hii inachanganya, kwa sababu tumesema mara kadhaa kwamba muhimu ya uhakika ni namba, na hapa inaonekana kama ni kazi. ufunguo hapa ni taarifa kwamba kwa thamani yoyote ya\(x\), muhimu uhakika ni idadi. Hivyo kazi\(F(x)\) anarudi idadi (thamani ya muhimu uhakika) kwa kila thamani ya\(x\).

Pili, ni muhimu kutoa maoni juu ya baadhi ya maana muhimu ya theorem hii. Kuna sababu inaitwa Theorem ya Msingi ya Calculus. Sio tu kwamba kuanzisha uhusiano kati ya ushirikiano na upambanuzi, lakini pia inathibitisha kwamba kazi yoyote integrable ina antiderivative. Hasa, inathibitisha kwamba kazi yoyote inayoendelea ina antiderivative.

Ushahidi: Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 1

Kutumia ufafanuzi wa derivative, tuna

\[ \begin{align*} F′(x) &=\lim_{h→0}\frac{F(x+h)−F(x)}{h} \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h} \left[∫^{x+h}_af(t)dt−∫^x_af(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}\left[∫^{x+h}_af(t)\,dt+∫^a_xf(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_xf(t)\,dt. \end{align*}\]

Kuangalia kwa makini katika kujieleza hii ya mwisho, tunaona\(\displaystyle \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt\) ni thamani ya wastani wa kazi\(f(x)\) zaidi ya muda\([x,x+h]\). Kwa hiyo, kwa Equation\ ref {meanvalueteorem}, kuna idadi fulani\(c\) katika\([x,x+h]\) vile

\[ \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=f(c). \nonumber \]

Aidha, tangu\(c\) ni kati\(x\) na\(h\),\(c\) mbinu\(x\) kama\(h\) mbinu zero. Pia, tangu\(f(x)\) ni kuendelea, tuna

\[ \lim_{h→0}f(c)=\lim_{c→x}f(c)=f(x) \nonumber \]

Kuweka vipande hivi vyote pamoja, tuna

\[ F′(x)=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=\lim_{h→0}f(c)=f(x), \nonumber \]

na ushahidi ni kamili.

□

Mfano\(\PageIndex{3}\): Finding a Derivative with the Fundamental Theorem of Calculus

Matumizi Theorem ya msingi ya Calculus, Sehemu ya 1 kupata derivative ya

\[g(x)=∫^x_1\frac{1}{t^3+1}\,dt. \nonumber \]

Suluhisho

Kulingana na Theorem ya Msingi ya Calculus, derivative hutolewa na

\[g′(x)=\frac{1}{x^3+1}. \nonumber \]

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Matumizi Theorem ya msingi ya Calculus, Sehemu ya 1 kupata derivative ya\(\displaystyle g(r)=∫^r_0\sqrt{x^2+4}\,dx\).

Kidokezo

Fuata taratibu kutoka Mfano\(\PageIndex{3}\) ili kutatua tatizo.

Jibu

\(g′(r)=\sqrt{r^2+4}\)

Mfano\(\PageIndex{4}\): Using the Fundamental Theorem and the Chain Rule to Calculate Derivatives

Hebu\(\displaystyle F(x)=∫^{\sqrt{x}}_1 \sin t \,dt.\) Tafuta\(F′(x)\).

Suluhisho

Kuruhusu\(u(x)=\sqrt{x}\), tuna\(\displaystyle F(x)=∫^{u(x)}_1 \sin t \,dt\).

Hivyo, kwa Theorem ya Msingi ya Calculus na utawala wa mnyororo,

\[ F′(x)=\sin(u(x))\frac{du}{\,dx}=\sin(u(x))⋅\left(\dfrac{1}{2}x^{−1/2}\right)=\dfrac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. \nonumber \]

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Hebu\(\displaystyle F(x)=∫^{x^3}_1 \cos t\,dt\). Kupata\(F′(x)\).

Kidokezo

Tumia utawala wa mnyororo ili kutatua tatizo.

Jibu

\(F′(x)=3x^2\cos x^3\)

Mfano\(\PageIndex{5}\): Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration

Hebu\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Kupata\(F′(x)\).

Suluhisho

Tuna\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Wote mipaka ya ushirikiano ni variable, hivyo tunahitaji kugawanya hii katika integrals mbili. Tunapata

\[\begin{align*} F(x) &=∫^{2x}_xt^3\,dt =∫^0_xt^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt \\[4pt] &=−∫^x_0t^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt. \end{align*}\]

Kutofautisha muda wa kwanza, tunapata

\[ \frac{d}{\,dx} \left[−∫^x_0t^3\, dt\right]=−x^3 . \nonumber \]

Kutofautisha muda wa pili, sisi kwanza basi\((x)=2x.\) Kisha,

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] &=\frac{d}{dx} \left[∫^{u(x)}_0t^3\,dt \right] \\[4pt] &=(u(x))^3\,du\,\,dx \\[4pt] &=(2x)^3⋅2=16x^3.\end{align*}\]

Hivyo,

\[\begin{align*} F′(x) &=\frac{d}{dx} \left[−∫^x_0t^3\,dt \right]+\frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] \\[4pt] &=−x^3+16x^3=15x^3 \end{align*}\]

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Hebu\(\displaystyle F(x)=∫^{x^2}_x \cos t \, dt.\) Tafuta\(F′(x)\).

Kidokezo

Tumia taratibu kutoka kwa Mfano\(\PageIndex{5}\) ili kutatua tatizo

Jibu

\(F′(x)=2x\cos x^2−\cos x\)

Theorem ya msingi ya Calculus, Sehemu ya 2: Theorem ya Tathmini

Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 2, labda ni theorem muhimu zaidi katika calculus. Baada ya jitihada zisizo na kuchoka na wanahisabati kwa takriban miaka 500, mbinu mpya zilijitokeza zilizotoa wanasayansi zana muhimu za kueleza matukio mengi. Kwa kutumia hesabu, wanaastronomia wanaweza hatimaye kuamua umbali katika anga na ramani za sayari. Matatizo ya kifedha ya kila siku kama vile kuhesabu gharama ndogo au kutabiri faida ya jumla sasa inaweza kushughulikiwa kwa unyenyekevu na usahihi. Wahandisi wanaweza kuhesabu nguvu za kupiga vifaa au mwendo wa tatu-dimensional wa vitu. Mtazamo wetu wa ulimwengu ulibadilishwa milele na calculus.

Baada ya kupata maeneo ya takriban kwa kuongeza maeneo ya n rectangles, matumizi ya theorem hii ni moja kwa moja kwa kulinganisha. Karibu inaonekana rahisi sana kwamba eneo la mkoa mzima wa mviringo linaweza kuhesabiwa kwa kutathmini tu antiderivative katika mwisho wa kwanza na wa mwisho wa muda.

Theorem\(\PageIndex{3}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Kama\(f(x)\) ni kuendelea juu ya muda\([a,b]\) na\(F(x)\) ni antiderivative yoyote ya\(f(x),\) basi

\[ ∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a). \label{FTC2} \]

Mara nyingi tunaona notation\(\displaystyle F(x)|^b_a\) ili kuashiria maneno\(F(b)−F(a)\). Tunatumia bar hii ya wima\(a\) na\(b\) mipaka inayohusishwa na kuonyesha kwamba tunapaswa kutathmini kazi\(F(x)\) kwenye kikomo cha juu (katika kesi hii,\(b\)), na uondoe thamani ya kazi\(F(x)\) iliyopimwa kwa kikomo cha chini (katika kesi hii,\(a\)).

Theorem ya msingi ya Calculus, Sehemu ya 2 (pia inajulikana kama theorem ya tathmini) inasema kwamba ikiwa tunaweza kupata antiderivative kwa integrand, basi tunaweza kutathmini muhimu ya uhakika kwa kutathmini antiderivative katika mwisho wa muda na kutoa.

Ushahidi

Hebu\(P={x_i},i=0,1,…,n\) kuwa sehemu ya mara kwa mara ya\([a,b].\) Kisha, tunaweza kuandika

\[ \begin{align*} F(b)−F(a) &=F(x_n)−F(x_0) \\[4pt] &=[F(x_n)−F(x_{n−1})]+[F(x_{n−1})−F(x_{n−2})] + … + [F(x_1)−F(x_0)] \\[4pt] &=\sum^n_{i=1}[F(x_i)−F(x_{i−1})]. \end{align*} \nonumber \]

Sasa, tunajua\(F\) ni antiderivative ya\(f\) juu ya\([a,b],\) hivyo kwa Theorem Mean Theorem Theorem (tazama Theorem Theorem Maana Theorem) kwa maana\(i=0,1,…,n\) tunaweza kupata\(c_i\) katika\([x_{i−1},x_i]\) vile kwamba

\[F(x_i)−F(x_{i−1})=F′(c_i)(x_i−x_{i−1})=f(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Kisha, kubadilisha katika equation uliopita, tuna

\[ F(b)−F(a)=\sum_{i=1}^nf(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Kuchukua kikomo ya pande zote mbili kama\(n→∞,\) sisi kupata

\[ F(b)−F(a)=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^nf(c_i)Δx=∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

□

Mfano\(\PageIndex{6}\): Evaluating an Integral with the Fundamental Theorem of Calculus

Tumia Equation\ ref {FTC2} kutathmini

\[ ∫^2_{−2}(t^2−4)\,dt. \nonumber \]

Suluhisho

Kumbuka utawala wa nguvu kwa Antiderivatives:

Kama\(y=x^n\),

\[∫x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \nonumber \]

Tumia sheria hii ili kupata antiderivative ya kazi na kisha utumie theorem. Tuna

\[ \begin{align*} ∫^2_{−2}(t^2−4)dt &=\left( \frac{t^3}{3}−4t \right)∣^2_{−2} \\[4pt] &=\left[\frac{(2)^3}{3}−4(2)\right]−\left[\frac{(−2)^3}{3}−4(−2)\right] \\[4pt] &=\left[\frac{8}{3}−8\right] − \left[−\frac{8}{3}+8 \right] \\[4pt] &=\frac{8}{3}−8+\frac{8}{3}−8 \\[4pt] &=\frac{16}{3}−16=−\frac{32}{3}.\end{align*} \nonumber \]

Uchambuzi

Kumbuka kwamba hatukuwa ni pamoja na “\(+ C\)” neno wakati sisi aliandika antiderivative. Sababu ni kwamba, kulingana na Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 2 (Equation\ ref {FTC2}), kazi yoyote ya antiderivative. Kwa hiyo, kwa urahisi, tulichagua antiderivative na\(C=0\). Kama tungechagua mwingine antiderivative, mrefu mara kwa mara ingekuwa kufutwa nje. Hii daima hutokea wakati wa kutathmini muhimu ya uhakika.

Eneo la eneo ambalo tumehesabu tu linaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Kumbuka kuwa kanda kati ya pembe na\(x\) -axis ni chini ya\(x\) -axis. Eneo daima ni chanya, lakini muhimu ya uhakika bado inaweza kuzalisha idadi hasi (eneo lililosainiwa wavu). Kwa mfano, kama hii ilikuwa kazi ya faida, nambari hasi inaonyesha kampuni inafanya kazi kwa hasara juu ya muda uliopewa.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Tathmini ya muhimu ya uhakika inaweza kuzalisha thamani hasi, ingawa eneo daima ni chanya.

Mfano\(\PageIndex{7}\): Evaluating a Definite Integral Using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Kutathmini muhimu zifuatazo kwa kutumia Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 2 (Equation\ ref {FTC2}):

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{\sqrt{x}}dx. \nonumber \]

Suluhisho

Kwanza, kuondoa radical kwa kuandika upya muhimu kwa kutumia exponents busara. Kisha, toa masharti ya nambari kwa kuandika kila mmoja juu ya denominator:

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{x^{1/2}}\,dx=∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}} \right)\,dx. \nonumber \]

Tumia mali ya watazamaji ili kurahisisha:

\[ ∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}}\right)\,dx=∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx. \nonumber \]

Sasa, kuunganisha kutumia utawala wa nguvu:

\[ \begin{align*} ∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx &= \left(\frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right)∣^9_1 \\[4pt] &= \left[\frac{(9)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(9)^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right]− \left[\frac{(1)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(1)^{1/2}}{\frac{1}{2}} \right] \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(27)−2(3)\right]−\left[\frac{2}{3}(1)−2(1)\right] \\[4pt] &=18−6−\frac{2}{3}+2=\frac{40}{3}. \end{align*} \nonumber \]

Angalia Kielelezo\(\PageIndex{4}\).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Eneo chini ya pembe kutoka\(x=1\) kwa\(x=9\) inaweza kuhesabiwa kwa kutathmini muhimu ya uhakika.

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Tumia Kumbuka ili kutathmini\(\displaystyle ∫^2_1x^{−4}\,dx.\)

Kidokezo

Tumia utawala wa nguvu.

Jibu

\(\frac{7}{24}\)

Mfano\(\PageIndex{8}\): A Roller-Skating Race

James na Kathy ni racing juu ya skates roller. Wanapiga mbio kwa muda mrefu, sawa, na yeyote aliyekwenda mbali zaidi baada ya sekunde ya 5 atashinda tuzo. Kama James anaweza skate kwa kasi ya\(f(t)=5+2t\) ft/sec na Kathy anaweza skate kwa kasi ya\(g(t)=10+\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) ft/sec, ni nani atakayeshinda mbio?

Suluhisho

Tunahitaji kuunganisha kazi zote mbili kwa muda\([0,5]\) na kuona thamani gani ni kubwa zaidi. Kwa James, tunataka kufanya mahesabu

\[ ∫^5_0(5+2t)\,dt. \nonumber \]

Kutumia utawala wa nguvu, tuna

\[ \begin {align*} ∫^5_0(5+2t)\,dt &= \left(5t+t^2\right)∣^5_0 \\[4pt] &=(25+25) \\[4pt] &=50. \end{align*}\]

Hivyo, James amesimama 50 ft baada ya sekunde 5. Kugeuka sasa kwa Kathy, tunataka kuhesabu

\[∫^5_010 + \cos \left(\frac{π}{2}t\right)\, dt. \nonumber \]

Tunajua\(\sin t\) ni antiderivative ya\(\cos t\), hivyo ni busara kutarajia kwamba antiderivative ya\(\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) bila kuhusisha\(\sin\left(\frac{π}{2}t\right)\). Hata hivyo, tunapofafanua\(\sin \left(π^2t\right)\), tunapata\(π^2 \cos\left(π^2t\right)\) kama matokeo ya utawala wa mnyororo, kwa hiyo tunapaswa kuzingatia mgawo huu wa ziada wakati tunapounganisha. Tunapata

\[ \begin{align*} ∫^5_010+\cos \left(\frac{π}{2}t\right)\,dt &= \left(10t+\frac{2}{π} \sin \left(\frac{π}{2}t\right)\right)∣^5_0 \\[4pt] &=\left(50+\frac{2}{π}\right)−\left(0−\frac{2}{π} \sin 0\right )≈50.6. \end{align*}\]

Kathy amepanda takriban futi 50.6 baada ya sekunde 5. Kathy mafanikio, lakini si kwa kiasi!

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Tuseme James na Kathy wana rematch, lakini wakati huu rasmi ataacha mashindano baada ya sekunde 3 tu. Je, hii inabadilisha matokeo?

Kidokezo

Badilisha mipaka ya ushirikiano kutoka kwa wale walio katika Mfano\(\PageIndex{7}\).

Jibu

Kathy bado anafanikiwa, lakini kwa kiasi kikubwa zaidi: James skates 24 ft katika sec 3, lakini Kathy skates 29.3634 ft katika 3 sec.

Parachutist katika Free Fall

Julie ni skydiver avid na anaruka zaidi ya 300 chini ya ukanda wake na ina mastered sanaa ya kufanya marekebisho ya nafasi yake ya mwili katika hewa ili kudhibiti jinsi ya kufunga yeye maporomoko. Ikiwa anaruka nyuma na anasema tumbo lake kuelekea chini, anafikia kasi ya mwisho ya takriban 120 mph (176 ft/sec). Ikiwa, badala yake, anaelekeza mwili wake kwa kichwa chake chini, huanguka kwa kasi, akifikia kasi ya mwisho ya 150 mph (220 ft/sec).

Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Skydivers wanaweza kurekebisha kasi ya kupiga mbizi yao kwa kubadilisha nafasi ya mwili wao wakati wa kuanguka kwa bure. (mikopo: Jeremy T. Lock)

Kwa kuwa Julie atahamia (kuanguka) katika mwelekeo wa kushuka, tunadhani mwelekeo wa kushuka ni chanya ili kurahisisha mahesabu yetu. Julie executes anaruka yake kutoka urefu wa ft 12,500. Baada ya yeye exits ndege, yeye mara moja kuanza kuanguka kwa kasi iliyotolewa na\(v(t)=32t.\)

Anaendelea kuharakisha kulingana na kazi hii ya kasi mpaka atakapofikia kasi ya mwisho. Baada ya kufikia kasi ya mwisho, kasi yake inabakia mara kwa mara mpaka atakapovuta ripcord yake na kupungua chini hadi nchi.

Juu ya kuruka kwake kwanza kwa siku, Julie anajielekeza katika nafasi ya polepole “tumbo chini” (kasi ya mwisho ni 176 ft/sec). Kutumia habari hii, jibu maswali yafuatayo.

1. Muda gani baada ya yeye exits ndege gani Julie kufikia kasi terminal?
2. Kulingana na jibu lako la swali la 1, weka usemi unaohusisha integrals moja au zaidi ambayo inawakilisha umbali Julie huanguka baada ya sekunde 30.
3. Ikiwa Julie huchota ripcord yake kwenye urefu wa 3000 ft, anatumia muda gani katika kuanguka kwa bure?
4. Julie pulls ripcord yake katika 3000 ft. Inachukua sekunde 5 kwa parachute yake kufungua kabisa na kwa ajili yake kupunguza kasi, wakati ambapo yeye huanguka mwingine 400 ft. Baada ya mto wake kufunguliwa kikamilifu, kasi yake imepungua hadi 16 ft/sec. Find jumla ya muda Julie inatumia katika hewa, tangu wakati yeye majani ndege mpaka wakati miguu yake kugusa ardhi. Juu ya kuruka kwa pili ya Julie ya siku hiyo, anaamua anataka kuanguka kwa kasi kidogo na anajielekeza katika nafasi ya “kichwa chini”. Upeo wake wa mwisho katika nafasi hii ni 220 ft/sec. Jibu maswali haya kulingana na kasi hii:
5. Inachukua muda gani Julie kufikia kasi ya mwisho katika kesi hii?
6. Kabla ya kuvuta ripcord yake, Julie anarudia mwili wake katika nafasi ya “tumbo chini” hivyo yeye si kusonga kabisa kwa haraka wakati parachute yake inafungua. Ikiwa anaanza uendeshaji huu kwa urefu wa 4000 ft, anatumia muda gani katika kuanguka kwa bure kabla ya kuanza upya?

Baadhi ya kuruka huvaa “wingsuits” (Kielelezo\(\PageIndex{6}\)). Suti hizi zina paneli za kitambaa kati ya mikono na miguu na kuruhusu aliyevaa kuzunguka karibu na kuanguka kwa bure, kama vile squirrel ya kuruka. (Hakika, suti wakati mwingine huitwa “suti za squirrel za kuruka.”) Wakati wa kuvaa suti hizi, kasi ya mwisho inaweza kupunguzwa hadi 30 mph (44 ft/sec), kuruhusu wavaa muda mrefu zaidi katika hewa. Vipeperushi vya Wingsuit bado vinatumia parachuti kutua; ingawa kasi za wima ziko ndani ya kiwango cha usalama, kasi za usawa zinaweza kuzidi 70 mph, haraka sana kutua kwa usalama.

Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Paneli za kitambaa kwenye mikono na miguu ya kazi ya wingsuit ili kupunguza kasi ya wima ya kuanguka kwa skydiver. (mikopo: Richard Schneider)

Jibu swali linalofuata kulingana na kasi katika wingsuit.

7. Kama Julie dons wingsuit kabla ya kuruka yake ya tatu ya siku, na yeye pulls ripcord yake katika urefu wa 3000 ft, ni muda gani yeye kupata kutumia gliding kuzunguka katika hewa

Dhana muhimu

• Theorem ya Thamani ya Maana kwa Integrals inasema kwamba kwa kazi inayoendelea juu ya muda uliofungwa, kuna thamani c kama hiyo\(f(c)\) sawa na thamani ya wastani ya kazi.
• Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 1 inaonyesha uhusiano kati ya derivative na muhimu.
• Theorem ya Msingi ya Calculus, Sehemu ya 2 ni formula ya kutathmini muhimu ya uhakika katika suala la antiderivative ya integrand yake. Eneo la jumla chini ya pembe linaweza kupatikana kwa kutumia formula hii.

Mlinganyo muhimu

• Maana Theorem Thamani kwa Integrals

Ikiwa\(f(x)\) ni kuendelea zaidi ya muda\([a,b]\), basi kuna angalau hatua moja\(c∈[a,b]\) kama hiyo\[f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx.\nonumber \]

• Theorem ya msingi ya Calculus, Sehemu ya 1

Kama\(f(x)\) ni kuendelea juu ya muda\([a,b]\), na kazi\(F(x)\) hufafanuliwa na\[ F(x)=∫^x_af(t)\,dt,\nonumber \]

basi\[F′(x)=f(x).\nonumber \]

• Theorem ya msingi ya Calculus, Sehemu ya 2

Kama\(f\) ni kuendelea juu ya muda\([a,b]\) na\(F(x)\) ni antiderivative yoyote ya\(f(x)\), basi\[∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a).\nonumber \]

faharasa

theorem ya msingi ya calculus

theorem, kati ya maendeleo yote ya calculus, ambayo huanzisha uhusiano kati ya tofauti na ushirikiano

theorem ya msingi ya calculus, sehemu ya 1

inatumia muhimu ya uhakika ili kufafanua antiderivative ya kazi

theorem ya msingi ya calculus, sehemu ya 2

(pia, tathmini theorem) tunaweza kutathmini muhimu ya uhakika kwa kutathmini antiderivative ya integrand katika mwisho wa muda na kutoa

maana theorem thamani kwa integrals

dhamana kwamba hatua\(c\) ipo vile kwamba\(f(c)\) ni sawa na thamani ya wastani wa kazi