4.7E: Mazoezi ya Sehemu ya 4.7

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178847

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kwa mazoezi 1 - 4, jibu kwa ushahidi, counterexample, au maelezo.

1) Unapopata kiwango cha juu cha tatizo la uboreshaji, kwa nini unahitaji kuangalia ishara ya derivative karibu na pointi muhimu?

Jibu: Pointi muhimu inaweza kuwa minima, maxima, au wala.

2) Kwa nini unahitaji kuangalia mwisho wa matatizo ya uboreshaji?

3) Kweli au Uongo. Kwa kila kazi isiyoendelea isiyo ya kawaida, unaweza kupata thamani$x$ ambayo huongeza kazi.

Jibu: Uongo;$y=−x^2$ ina kiwango cha chini tu

4) Kweli au Uongo. Kwa kila kazi isiyoendelea isiyo ya mara kwa mara kwenye kikoa kilichofungwa, cha mwisho, kuna angalau moja$x$ ambayo hupunguza au huongeza kazi.

Katika mazoezi ya 5 - 8, kuanzisha na kutathmini kila tatizo la uboreshaji.

5) Ili kubeba suti kwenye ndege, sanduku lazima iwe chini ya au sawa na$62$ ndani.$\text{length}+\text{width}+\text{height}$ Kwa kuzingatia urefu umewekwa, onyesha kwamba kiwango cha juu ni Urefu$V=h\left(31−\frac{1}{2}h\right)^2.$ gani unakuwezesha kuwa na kiasi kikubwa?

Jibu: $h=\frac{62}{3}$katika.

6) Unajenga sanduku la kadi na vipimo$2$ m na$4$ m Kisha ukata mraba sawa na ukubwa kutoka kila kona ili uweze kuzunguka kando. Je! Ni vipimo gani vya sanduku na kiasi kikubwa zaidi?

$Mstatili hutolewa na urefu wa 2 na upana 4. Kila kona ina mraba na urefu wa upande x alama juu yake.$

7) Pata integer chanya ambayo inapunguza jumla ya idadi na usawa wake.

Jibu: $1$

8) Pata integers mbili nzuri kama vile jumla yao ni$10$, na kupunguza na kuongeza jumla ya mraba wao.

Katika mazoezi 9 - 11, fikiria ujenzi wa kalamu ili kuzingatia eneo hilo.

9) Una uzio$400\,\text{ft}$ wa kujenga kalamu ya mstatili kwa ng'ombe. Je! Ni vipimo gani vya kalamu vinavyoongeza eneo hilo?

Jibu: $100\,\text{ft}$na$100\,\text{ft}$

10) Una uzio$800\,\text{ft}$ wa kufanya kalamu kwa nguruwe. Ikiwa una mto upande mmoja wa mali yako, ni nini mwelekeo wa kalamu ya mstatili ambayo huongeza eneo hilo?

11) Unahitaji kujenga uzio karibu na eneo la$1600\,\text{ft}^2$. Je! Ni vipimo gani vya kalamu ya mstatili ili kupunguza kiasi cha nyenzo zinazohitajika?

Jibu: $40\,\text{ft}$na$40\,\text{ft}$

12) Miti miwili imeunganishwa na waya ambayo pia imeunganishwa chini. Pole ya kwanza ni$20\,\text{ft}$ ndefu na pole ya pili ni$10\,\text{ft}$ ndefu. Kuna umbali wa$30\,\text{ft}$ kati ya miti miwili. Je, waya inapaswa kuwekwa wapi chini ili kupunguza kiasi cha waya kinachohitajika?

$Miti miwili imeonyeshwa, moja ambayo ni 10 mrefu na nyingine ni urefu wa 20. Pembetatu ya kulia inafanywa na pole fupi na urefu mwingine wa upande x. umbali kati ya miti miwili ni 30.$

13) [T] Wewe ni kuhamia katika ghorofa mpya na taarifa kuna kona ambapo barabara ya ukumbi nyembamba kutoka$8\,\text{ft}$ kwa$6\,\text{ft}$. Urefu wa kipengee kirefu zaidi ambacho kinaweza kufanyika kwa usawa kuzunguka kona?

$Takwimu ya umbo la L inayotolewa na sehemu _ kuwa 6 pana na sehemu ya | sehemu kuwa 8 pana. Kuna mstari unaotokana na sehemu _ hadi sehemu | ambayo inagusa kona ya karibu ya sura ili kuunda hypotenuse kwa pembetatu ya kulia pande nyingine kuwa zingine za _ na | sehemu. Mstari huu umewekwa alama L.$

Jibu: $19.73\,\text{ft}$

14) Hatua za mgonjwa wa mgonjwa$70 \,\text{bpm},\, 80 \,\text{bpm}$, basi$120 \,\text{bpm}$. Kuamua kipimo sahihi cha pigo, daktari anataka kujua ni thamani gani inapunguza maneno$(x−70)^2+(x−80)^2+(x−120)^2$? Thamani gani inapunguza?

15) Katika tatizo la awali, kudhani mgonjwa alikuwa na hofu wakati wa kipimo cha tatu, kwa hiyo sisi tu uzito kwamba thamani nusu kama vile wengine. Thamani ni nini kinachopunguza$(x−70)^2+ (x−80)^2+\frac{1}{2}(x−120)^2?$

Jibu: $84 \,\text{bpm}$

16) Unaweza kukimbia kwa kasi ya$6$ mph na kuogelea kwa kasi ya$3$ mph na ziko kwenye pwani,$4$ maili mashariki ya kisiwa ambacho ni$1$ maili kaskazini ya pwani. Umbali gani unapaswa kukimbia magharibi ili kupunguza muda unaohitajika kufikia kisiwa hicho?

$Mstatili hutolewa ambao una urefu wa 1 na urefu wa 4. Kona ya chini ya kulia, ni alama “Wewe” na kona ya juu kushoto ni alama “Kisiwa.”$

Kwa mazoezi 17 - 19, fikiria mlinzi wa maisha kwenye bwawa la mviringo na kipenyo$40$ m lazima afikie mtu anayezama upande wa pili wa bwawa, kwenye nafasi$C$. Mlinzi wa maisha huogelea kwa kasi$v$ na anaendesha karibu na bwawa kwa kasi$w=3v.$

$Mduara hutolewa na pointi A na C kwenye kipenyo. Kuna hatua B inayotolewa kwenye mduara kama kwamba angle BAC fomu angle papo hapo.$

17) Kupata kazi ambayo hatua jumla ya muda inachukua kufikia mtu kuzama kama kazi ya angle kuogelea,$θ$.

Jibu: $T(θ)=\dfrac{40θ}{3v}+\dfrac{40\cos θ}{v}$

18) Pata$θ$ kwa pembe gani mlinzi wa maisha anapaswa kuogelea ili kufikia mtu aliyezama kwa muda mdogo.

19) Lori inatumia gesi kama$g(v)=av+\dfrac{b}{v}$, ambapo$v$ inawakilisha kasi ya lori na$g$ inawakilisha galoni ya mafuta kwa maili. Je, matumizi ya mafuta yanapunguzwa kwa kasi gani?

Jibu: $v=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$

Kwa mazoezi 20 - 21, fikiria limousine ambayo inapata$m(v)=\frac{120−2v}{5}\,\text{mi/gal}$ kasi$v$, gharama za dereva$$15/\text{h}$, na gesi ni$$3.50/\text{gal}$.

20) Pata gharama kwa kila maili kwa kasi$v.$

21) Kupata kasi ya kuendesha gari nafuu.

Jibu: takriban$34.02$ mph

Kwa mazoezi 22 - 24, fikiria pizzeria inayouza pizzas kwa mapato$R(x)=ax$ na gharama$C(x)=b+cx+dx^2$, ambapo$x$ inawakilisha idadi ya pizzas.

22) Pata kazi ya faida kwa idadi ya pizzas. Ni pizzas ngapi hutoa faida kubwa kwa pizza?

23) Fikiria kwamba$R(x)=10x$ na$C(x)=2x+x^2$. Ngapi pizzas kuuzwa maximizes faida?

Jibu: Kuuza$4$ pizzas itaongeza faida.

24) Kudhani kwamba$R(x)=15x$, na$C(x)=60+3x+\frac{1}{2}x^2$. Ngapi pizzas kuuzwa maximizes faida?

Kwa mazoezi 25 - 26, fikiria waya$4$ ft muda mrefu kukatwa vipande viwili. Kipande kimoja kinaunda mduara$r$ na radius na nyingine huunda mraba wa upande$x$.

25) Chagua$x$ kuongeza jumla ya maeneo yao.

Jibu: $x = 0$

26) Chagua$x$ kupunguza jumla ya maeneo yao.

Kwa mazoezi 27 - 30, fikiria namba mbili zisizo na hasi$x$ na$y$ vile vile$x+y=10$. Kuongeza na kupunguza kiasi.

27)$xy$

Jibu: Maximal:$x=5,\,y=5;$
Ndogo:$x=0,\,y=10$ na$y=0,\,x=10$

28$x^2y^2$

29)$y−\dfrac{1}{x}$

Jibu: Maximal:$x=1,\,y=9;$
Ndogo: hakuna

30)$x^2−y$

Katika mazoezi 31 - 36, futa tatizo lililopewa la ufanisi na kutatua.

31) Pata kiasi cha silinda kubwa ya mviringo inayofaa katika nyanja ya radius$1$.

Jibu: $V = \frac{4π}{3\sqrt{3}}$

32) Pata kiasi cha koni kubwa zaidi inayofaa katika nyanja ya radius$1$.

33) Pata eneo la mstatili mkubwa unaofanana na pembetatu na pande$x=0,\,y=0$ na$\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1.$

Jibu: $A = 6$

34) Pata kiasi kikubwa cha silinda kinachofaa ndani ya koni ambayo ina radius ya msingi$R$ na urefu$h$.

35) Pata vipimo vya kiasi cha$V=16π$ silinda kilichofungwa ambacho kina kiasi kidogo cha eneo la uso.

Jibu: $r=2,\,h=4$

36) Pata vipimo vya koni sahihi na eneo la uso$S=4π$ ambalo lina kiasi kikubwa zaidi.

Kwa mazoezi 37 - 40, fikiria pointi kwenye grafu za equations zilizopewa. Tumia calculator kwa grafu kazi.

37) [T] Ni wapi mstari wa$y=5−2x$ karibu na asili?

Jibu: $(2,1)$

38) [T] Ni wapi mstari$y=5−2x$ karibu na uhakika$(1,1)$?

39) [T] Ni wapi parabola$y=x^2$ karibu na uhakika$(2,0)$?

Jibu: $(0.8351,0.6974)$

40) [T] Ni wapi parabola$y=x^2$ karibu na uhakika$(0,3)$?

Katika mazoezi 41 - 45, kuanzisha, lakini si kutathmini, kila tatizo optimization.

41) Dirisha linajumuisha semicircle iliyowekwa juu ya mstatili. Ikiwa una$20\,\text{ft}$ vifaa vya kutengeneza dirisha kwa sura ya nje, ni ukubwa gani wa dirisha unayoweza kuunda? Tumia r kuwakilisha radius ya semicircle.

$Dirisha la semicircular linapatikana na r radius.$

Jibu: $A=20r−2r^2−\frac{1}{2}πr^2$

42) Una mstari wa bustani ya mimea ya$20$ watermelon ambayo huzalisha wastani wa$30$ watermelons moja. Kwa mimea yoyote ya ziada ya watermelon iliyopandwa, pato kwa mmea wa mtunguli hupungua kwa mtunguli mmoja. Ni mimea ngapi ya ziada ya watermelon unapaswa kupanda?

43) Unajenga sanduku kwa paka yako kulala. Vifaa vya plush kwa chini ya mraba ya gharama za sanduku$$5/\text{ft}^2$ na vifaa kwa gharama za pande$$2/\text{ft}^2$. Unahitaji sanduku na kiasi$4\,\text{ft}^3$. Pata vipimo vya sanduku vinavyopunguza gharama. Tumia$x$ kuwakilisha urefu wa upande wa sanduku.

Jibu: $C(x)=5x^2+\dfrac{32}{x}$

44) Wewe ni kujenga tano kalamu kufanana karibu na kila mmoja na jumla ya eneo la$1000\,\text{m}^2$, kama inavyoonekana katika takwimu zifuatazo. Ni vipimo gani unapaswa kutumia ili kupunguza kiasi cha uzio?

$Mstatili umegawanywa katika sehemu tano, na kila sehemu ina urefu y na upana x.$

45) Wewe ni meneja wa tata ya ghorofa na$50$ vitengo. Baada ya kuweka kodi katika$$800/\text{month}$, vyumba vyote ni kukodi. Kama wewe kuongeza kodi na$$25/\text{month}$, ghorofa moja wachache ni kukodi. Gharama za$$50/\text{month}$ matengenezo zinaendeshwa kila kitengo kilichofanyika. Kodi ni nini kinachoongeza jumla ya faida?

Jibu: $P(x)=(50−x)(800+25x−50)$