13.4: Mfululizo na Maelezo yao
- Page ID
- 177810
- Tumia maelezo ya muhtasari.
- Tumia formula kwa jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya mfululizo wa hesabu.
- Tumia formula kwa jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri.
- Tumia formula kwa jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri.
- Kutatua matatizo annuity.
Wanandoa wanaamua kuanza mfuko wa chuo kwa binti yao. Wanapanga kuwekeza\($50\) katika mfuko wa kila mwezi. Mfuko hulipa riba ya\(6\%\) kila mwaka, imezungukwa kila mwezi. Ni kiasi gani cha fedha wataokoa wakati binti yao yuko tayari kuanza chuo kikuu kwa\(6\) miaka? Katika sehemu hii, tutajifunza jinsi ya kujibu swali hili. Kwa kufanya hivyo, tunahitaji kuzingatia kiasi cha fedha kilichowekeza na kiasi cha riba kilichopatikana.
Kutumia Nukuu ya Summation
Ili kupata jumla ya fedha katika mfuko wa chuo na jumla ya kiasi kilichowekwa, tunahitaji kuongeza kiasi kilichowekwa kila mwezi na kiasi kilichopatikana kila mwezi. Jumla ya maneno ya mlolongo inaitwa mfululizo. Fikiria, kwa mfano, mfululizo wafuatayo.
\(3+7+11+15+19+ \ldots \nonumber \)
Jumla ya\(n^{th}\) sehemu ya mfululizo ni jumla ya idadi ya mwisho ya maneno mfululizo kuanzia na muda wa kwanza. Uthibitisho\(S_n\) unawakilisha jumla ya sehemu.
\[\begin{align} S_1 &= 3 \nonumber \\ S_2 &= 3+7=10 \nonumber \\ S_3 &= 3+7+11=21 \nonumber \\ S_4 &= 3+7+11+15 =36 \nonumber \end{align} \nonumber\]
Ufafanuzi wa muhtasari hutumiwa kuwakilisha mfululizo. Summation nukuu mara nyingi inajulikana kama sigma nukuu kwa sababu inatumia Kigiriki mji mkuu herufi sigma\(\sum\),, kuwakilisha jumla. Ufafanuzi wa muhtasari unajumuisha formula wazi na hufafanua maneno ya kwanza na ya mwisho katika mfululizo. Fomu ya wazi kwa kila muda wa mfululizo inapewa haki ya sigma. Variable inayoitwa index ya summation imeandikwa chini ya sigma. Ripoti ya summation imewekwa sawa na kikomo cha chini cha summation, ambayo ni namba inayotumiwa kuzalisha muda wa kwanza katika mfululizo. Nambari iliyo juu ya sigma, inayoitwa kikomo cha juu cha summation, ni namba inayotumiwa kuzalisha muhula wa mwisho katika mfululizo.
Kama sisi kutafsiri nukuu iliyotolewa, tunaona kwamba inatuuliza kupata jumla ya maneno katika mfululizo\(a_k=2k\) kwa\(k=1\) njia ya\(k=5\). Tunaweza kuanza kwa kubadilisha masharti\(k\) na kuorodhesha masharti ya mfululizo huu.
\[\begin{align}a_1 &=2(1)=2 \nonumber \\ a_2 &=2(2)=4 \nonumber \\ a_3 &= 2(3)=6 \nonumber \\ a_4 &= 2(4)=8 \nonumber \\ a_5 &= 2(5)=10 \nonumber \end{align} \nonumber\]
Tunaweza kupata jumla ya mfululizo kwa kuongeza maneno:
\[\sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10=30 \nonumber\]
Jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo yanaweza kuelezwa kwa maelezo ya muhtasari kama ifuatavyo:
\[\sum_{k=1}^{n}a_k\]
Nukuu hii inatuambia kupata jumla ya\(a_k\) kutoka\(k=1\) kwa\(k=n\).
\(k\)inaitwa index ya summation,\(1\) ni kikomo cha chini cha summation, na\(n\) ni kikomo cha juu cha summation.
Hapana. Kikomo cha chini cha summation kinaweza kuwa namba yoyote, lakini\(1\) hutumiwa mara nyingi. Tutaangalia mifano na mipaka ya chini ya summation isipokuwa\(1\).
- Tambua kikomo cha chini cha summation.
- Tambua kikomo cha juu cha summation.
- Badilisha kila thamani ya\(k\) kutoka kikomo cha chini hadi kikomo cha juu katika formula.
- Ongeza ili kupata jumla.
Tathmini
\(\sum_{k=3}^{7}k^2\)
Suluhisho
Kwa mujibu wa notation, kikomo cha chini cha summation ni\(3\) na kikomo cha juu ni\(7\). Kwa hiyo tunahitaji kupata jumla ya\(k^2\) kutoka\(k=3\) kwa\(k=7\). Tunapata masharti ya mfululizo kwa kubadili\(k=3, 4, 5, 6,\) na\(7\) katika kazi\(k^2\). Tunaongeza maneno ili kupata jumla.
\[\begin{align}\sum_{k=3}^{7}k^2 &= 3^2+4^2+5^2+6^2+7^2 \nonumber \\[4pt] &= 9+16+25+36+49 \nonumber \\[4pt] &= 135 \nonumber \end{align} \nonumber\]
Tathmini
\(\sum_{k=2}^{5}(3k–1)\)
- Jibu
-
\(38\)
Kutumia Mfumo wa Mfululizo wa Hesabu
Kama vile tulivyojifunza aina maalum za utaratibu, tutaangalia aina maalum za mfululizo. Kumbuka kwamba mlolongo wa hesabu ni mlolongo ambao tofauti kati ya maneno yoyote mawili mfululizo ni tofauti ya kawaida,\(d\). Jumla ya maneno ya mlolongo wa hesabu inaitwa mfululizo wa hesabu. Tunaweza kuandika jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa hesabu kama:
\[S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_n–d)+a_n. \nonumber \]
Tunaweza pia kubadili utaratibu wa maneno na kuandika jumla kama
\[S_n=a_n+(a_n–d)+(a_n–2d)+...+(a_1+d)+a_1. \nonumber\]
Ikiwa tunaongeza maneno haya mawili kwa jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa hesabu, tunaweza kupata formula kwa jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wowote wa hesabu.
\[S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_n–d)+a_n \nonumber\]
\[\underline{+S_n=a_n+(a_n–d)+(a_n–2d)+...+(a_1+d)+a_1} \nonumber\]
\[2S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n) \nonumber\]
Kwa sababu kuna\(n\) maneno katika mfululizo, tunaweza kurahisisha jumla hii
\[2S_n=n(a_1+a_n). \nonumber \]
Tunagawanya na kupata fomu kwa jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa hesabu.\(2\)
\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2} \nonumber \]
Mfululizo wa hesabu ni jumla ya maneno ya mlolongo wa hesabu. Fomu ya jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya mlolongo wa hesabu ni
\[S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\]
- Tambua\(a_1\) na\(a_n\).
- Kuamua\(n\).
- Maadili ya mbadala kwa\(a_1\)\(a_n\),, na\(n\) katika formula\(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\).
- Kurahisisha kupata\(S_n\).
Pata jumla ya kila mfululizo wa hesabu.
- \(5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32\)
- \(20 + 15 + 10 +…+ −50\)
- \(\sum_{k=1}^{12}3k−8\)
Suluhisho
- Tunapewa\(a_1=5\) na\(a_n=32\).
Hesabu idadi ya maneno katika mlolongo wa kupata\(n=10\).
Maadili ya mbadala kwa\(a_1\),\(a_n\), na\(n\) katika formula na kurahisisha.
\[\begin{align*} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\ S_{10}&=\dfrac{10(5+32)}{2}\\ &=185 \end{align*}\]
- Tunapewa\(a_1=20\) na\(a_n=−50\).
Tumia formula kwa muda wa jumla wa mlolongo wa hesabu ili kupata\(n\).
\[\begin{align*} a_n&=a_1+(n-1)d\\ -50&=20+(n-1)(-5)\\ -70&=(n-1)(-5)\\ 14&=n-1\\ 15&=n \end{align*}\]
Maadili ya mbadala kwa\(a_1\),\(a_n\),\(n\) katika formula na kurahisisha.
\[\begin{align*} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\ S_{15}&=\dfrac{15(20-50)}{2}\\ &=-225 \end{align*}\]
- Ili kupata\(a_1\), mbadala\(k=1\) katika formula iliyotolewa wazi.
\[\begin{align*} a_k&=3k-8\\ a_1&=3(1)-8\\ &=-5 \end{align*}\]
Sisi ni kutokana na kwamba\(n=12\). Ili kupata\(a_12\), mbadala\(k=12\) katika formula iliyotolewa wazi.
\[\begin{align*} a_k&=3k-8\\ a_{12}&=3(12)-8\\ &=28 \end{align*}\]
Maadili ya mbadala kwa\(a_1\),\(a_n\), na\(n\) katika formula na kurahisisha.
\[\begin{align*} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\ S_{12}&=\dfrac{12(-5+28)}{2}\\ &=138 \end{align*}\]
Tumia formula ili kupata jumla ya kila mfululizo wa hesabu.
\(1.4 + 1.6 + 1.8 + 2.0 + 2.2 + 2.4 + 2.6 + 2.8 + 3.0 + 3.2 + 3.4\)
- Jibu
-
\(26.4\)
\(13 + 21 + 29 + …+ 69\)
- Jibu
-
\(328\)
\(\sum_{k=1}{10}5−6k\)
- Jibu
-
\(−280\)
Jumapili baada ya upasuaji mdogo, mwanamke anaweza kutembea nusu maili. Kila Jumapili, anatembea zaidi ya robo maili. Baada ya\(8\) wiki, itakuwa nini jumla ya maili yeye ametembea?
Suluhisho
Tatizo hili linaweza kuonyeshwa na mfululizo wa hesabu\(a_1=\dfrac{1}{2}\) na\(d=\dfrac{1}{4}\). Sisi ni kuangalia kwa jumla ya idadi ya maili kutembea baada ya\(8\) wiki, hivyo tunajua kwamba\(n=8\), na sisi ni kuangalia kwa\(S_8\). Ili kupata\(a_8\), tunaweza kutumia formula wazi kwa mlolongo wa hesabu.
\[\begin{align*} a_n&=a_1+d(n-1)\\ a_8&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}(8-1)\\ &=\dfrac{9}{4} \end{align*}\]
Sasa tunaweza kutumia formula kwa ajili ya mfululizo hesabu.
\[\begin{align*} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\ S_8&=\dfrac{8\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{4}\right)}{2}\\ &=11 \end{align*}\]
Yeye kuwa na kutembea jumla ya\(11\) maili.
Mtu hupata\($100\) wiki ya kwanza ya Juni. Kila wiki, anapata\($12.50\) zaidi ya wiki iliyopita. Baada ya\(12\) wiki, ni kiasi gani alichopata?
- Jibu
-
\($2,025\)
Kutumia Mfumo wa Mfululizo wa Kijiometri
Kama vile jumla ya maneno ya mlolongo wa hesabu inaitwa mfululizo wa hesabu, jumla ya maneno katika mlolongo wa kijiometri inaitwa mfululizo wa kijiometri. Kumbuka kwamba mlolongo wa kijiometri ni mlolongo ambao uwiano wa maneno yoyote mawili mfululizo ni uwiano wa kawaida,\(r\). Tunaweza kuandika jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri kama
\(S_n=a_1+ra_1+r^2a_1+...+r^{n–1}a_1\).
Kama vile kwa mfululizo wa hesabu, tunaweza kufanya udanganyifu wa algebraic ili kupata formula kwa jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri. Tutaanza kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na\(r\).
\(rS_n=ra_1+r^2a_1+r^3a_1+...+r^na_1\)
Kisha, tunaondoa equation hii kutoka equation ya awali.
\[\begin{align*} S_n&=a_1+ra_1+r^2a_1+...+r^{n-1}a_1\\ \underline{-rS_n}&=\underline{-(ra_1+r^2a_1+r^3a_1+...+r^na_1)}\\ (1-r)S_n&=a_1-r^na_1 \end{align*}\]
Kumbuka kwamba wakati sisi Ondoa, wote lakini muda wa kwanza wa equation juu na mrefu ya mwisho ya equation chini kufuta nje. Ili kupata formula kwa\(S_n\), kugawanya pande zote mbili na\((1−r)\).
\(S_n=\dfrac{a_1(1−r^n)}{1−r}\)\(r≠1\)
Mfululizo wa kijiometri ni jumla ya maneno katika mlolongo wa kijiometri. Fomu ya jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya mlolongo wa kijiometri inawakilishwa kama
\(S_n=\dfrac{a_1(1−r^n)}{1−r}\)\(r≠1\)
- Tambua\(a_1\),\(r\), na\(n\).
- Maadili ya mbadala kwa\(a_1\)\(r\),, na\(n\) katika formula\(S_n=\dfrac{a_1(1−r^n)}{1−r}\).
- Kurahisisha kupata\(S_n\).
Tumia fomu ili kupata jumla ya sehemu iliyoonyeshwa ya kila mfululizo wa kijiometri.
- \(S_{11}\)kwa mfululizo\(8 + -4 + 2 + …\)
- \(\sum_{ 6}^{k=1}3⋅2k\)
Suluhisho
- \(a_1=8\), na sisi ni kutokana na kwamba\(n=11\).
Tunaweza kupata\(r\) kwa kugawa muda wa pili wa mfululizo na wa kwanza.
\(r=\dfrac{−4}{8}=−\dfrac{1}{2}\)
Maadili ya mbadala kwa\(a_1\),\(r\), na\(n\) katika formula na kurahisisha.
\[\begin{align*} S_n&=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}\\ S_{11}&=\dfrac{8\left(1-{\left(-\dfrac{1}{2}\right)}^{11}\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\\ &\approx 5.336 \end{align*}\]
- Pata\(a_1\) kwa kubadili\(k=1\) fomu iliyotolewa wazi.
\(a_1=3⋅2^1=6\)
Tunaweza kuona kutoka formula kutokana wazi kwamba\(r=2\). Kikomo cha juu cha summation ni\(6\), hivyo\(n=6\).
Maadili ya mbadala kwa\(a_1\),\(r\), na\(n\) katika formula, na kurahisisha.
\[\begin{align*} S_n&=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}\\ S_6&=\dfrac{6(1-2^6)}{1-2}\\ &=378 \end{align*}\]
Tumia fomu ili kupata jumla ya sehemu iliyoonyeshwa ya kila mfululizo wa kijiometri.
\(S_{20}\)kwa mfululizo\(1,000 + 500 + 250 + …\)
- Jibu
-
\(≈2,000.00\)
\(\sum_{k=1}^{8}3^k\)
- Jibu
-
\(9,840\)
Katika kazi mpya, mshahara wa mfanyakazi wa kuanzia ni\($26,750\). Anapokea kuongeza\(1.6\%\) kila mwaka. Pata mapato yake ya jumla mwishoni mwa\(5\) miaka.
Suluhisho
Tatizo linaweza kuwakilishwa na mfululizo wa kijiometri na\(a_1=26,750\)\(n=5\);; na\(r=1.016\). Maadili ya mbadala kwa\(a_1\)\(r\),, na\(n\) katika formula na kurahisisha kupata jumla ya kiasi kilichopatikana mwishoni mwa\(5\) miaka.
\[\begin{align*} S_n&=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}\\ S_5&=\dfrac{26,750(1-{1.016}^5)}{1-1.016}\\ &\approx 138,099.03 \end{align*}\]
Yeye kuwa na chuma jumla ya\($138,099.03\) ifikapo mwisho wa\(5\) miaka.
Katika kazi mpya, mshahara wa mfanyakazi wa kuanzia ni\($32,100\). Anapata kuongeza\(2\%\) kila mwaka. Je! Atapata kiasi gani mwishoni mwa\(8\) miaka?
- Jibu
-
\($275,513.31\)
Kutumia Mfumo wa Jumla ya Mfululizo wa Kijiometri usio na mwisho
Hadi sasa, tumeangalia tu katika mfululizo wa mwisho. Wakati mwingine, hata hivyo, tunavutiwa na jumla ya masharti ya mlolongo usio badala ya jumla ya\(n\) maneno ya kwanza tu. Mfululizo usio na mwisho ni jumla ya maneno ya mlolongo usio. Mfano wa mfululizo usio na kipimo ni\(2+4+6+8+...\)
Mfululizo huu pia inaweza kuandikwa katika muhtasari nukuu kama\(\sum_{k=1}^{\infty}2k\), ambapo kikomo juu ya summation ni infinity. Kwa sababu maneno hayajali sifuri, jumla ya mfululizo huongezeka bila kufungwa kama tunavyoongeza maneno zaidi. Kwa hiyo, jumla ya mfululizo huu usio na kipimo haijafafanuliwa. Wakati jumla si idadi halisi, tunasema mfululizo hupungua.
Kuamua Kama Jumla ya Mfululizo wa Kijiometri usio na kipimo hufafanuliwa
Ikiwa maneno ya mbinu ya mfululizo wa kijiometri usio na kipimo\(0\), jumla ya mfululizo wa kijiometri usio na kipimo unaweza kuelezwa. Masharti katika mbinu hii ya mfululizo\(0\):
\(1+0.2+0.04+0.008+0.0016+...\)
Uwiano wa kawaida\(r = 0.2\). Kama\(n\) anapata kubwa sana, maadili ya\(r^n\) kupata ndogo sana na mbinu\(0\). Kila neno mfululizo huathiri jumla chini ya muda uliopita. Kama kila neno linalofanikiwa linakaribia\(0\), jumla ya maneno yanakaribia thamani ya mwisho. Masharti ya mfululizo wowote wa kijiometri usio na kipimo na\(−1<r<1\) mbinu\(0\); jumla ya mfululizo wa kijiometri hufafanuliwa wakati\(−1<r<1\).
Jumla ya mfululizo usio na kipimo hufafanuliwa kama mfululizo ni kijiometri na\(−1<r<1\).
- Pata uwiano wa muda wa pili hadi muhula wa kwanza.
- Pata uwiano wa muda wa tatu hadi muhula wa pili.
- Endelea mchakato huu ili kuhakikisha uwiano wa muda kwa muda uliopita ni mara kwa mara katika. Ikiwa ndivyo, mfululizo ni kijiometri.
- Kama uwiano wa kawaida,\(r\), ilipatikana katika hatua ya 3, angalia ili uone kama\(−1<r<1\). Ikiwa ndivyo, jumla hufafanuliwa. Ikiwa sio, jumla haijafafanuliwa.
Kuamua kama jumla ya kila mfululizo usio hufafanuliwa.
- \(12 + 8 + 4 + …\)
- \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...\)
- \(\sum_{k=1}^{\infty}27⋅{(\dfrac{1}{3})}^k\)
- \(\sum_{k=1}^{\infty}5k\)
Suluhisho
- Uwiano wa muda wa pili hadi wa kwanza ni\(\dfrac{2}{3}\), ambayo si sawa na uwiano wa muda wa tatu hadi wa pili,\(\dfrac{1}{2}\) .Mfululizo sio kijiometri.
- Uwiano wa muda wa pili hadi wa kwanza ni sawa na uwiano wa muda wa tatu hadi wa pili. Mfululizo ni kijiometri na uwiano wa kawaida wa\(\dfrac{2}{3}\). Jumla ya mfululizo usio na kipimo hufafanuliwa.
- formula kutokana ni kielelezo na msingi wa\(\dfrac{1}{3}\); mfululizo ni kijiometri na uwiano wa kawaida wa\(\dfrac{1}{3}\). Jumla ya mfululizo usio na kipimo hufafanuliwa.
- Fomu iliyotolewa sio kielelezo; mfululizo si kijiometri kwa sababu maneno yanaongezeka, na hivyo hawezi kutoa jumla ya mwisho.
Kuamua kama jumla ya mfululizo usio na kipimo hufafanuliwa.
\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{8}+...\)
- Jibu
-
Jumla hufafanuliwa. Ni kijiometri.
\(24+(−12)+6+(−3)+...\)
- Jibu
-
Jumla ya mfululizo usio na kipimo hufafanuliwa.
\(\sum_{k=1}^{\infty}15⋅{(–0.3)}^k\)
- Jibu
-
Jumla ya mfululizo usio na kipimo hufafanuliwa.
Kupata Sums ya mfululizo usio na mwisho
Wakati jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri ipo, tunaweza kuhesabu jumla. Fomu ya jumla ya mfululizo usio na kipimo ni kuhusiana na formula kwa jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri.
\[S_n=\dfrac{a_1(1−r^n)}{1−r}\]
Sisi kuchunguza mfululizo usio na\(r=\dfrac{1}{2}\). Ni nini\(r^n\) kinachotokea\(n\) kwa kuongezeka?
\[\begin{align*} \left(\dfrac{1}{2}\right)^2&=\dfrac{1}{4}\\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^3&=\dfrac{1}{8}\\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^4&=\dfrac{1}{16} \end{align*}\]
Thamani ya\(r^n\) itapungua kwa kasi. Nini kinatokea kwa maadili zaidi ya\(n\)?
\[\begin{align*} {\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{10} &= \dfrac{1}{1,024} \\ {\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{20} &= \dfrac{1}{1,048,576} \\ {\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{30} &= \dfrac{1}{1,073,741,824} \end{align*}\]
Kama\(n\) anapata kubwa sana,\(r^n\) anapata ndogo sana. Tunasema kwamba, kama\(n\) ongezeko bila kufungwa,\(r^n\) mbinu 0. Kama\(r^n\) mbinu\(0\),\(1\),\(−r^n\) mbinu\(1\). Wakati hii itatokea, namba inakaribia\(a_1\). Hii inatupa formula kwa jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri.
Fomu ya jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri na\(−1<r<1\) ni
\[S=\dfrac{a_1}{1−r}\]
- Tambua\(a_1\) na\(r\).
- Thibitisha kwamba\(–1<r<1\).
- Maadili ya mbadala\(a_1\) na\(r\) ndani ya formula,\(S=\dfrac{a_1}{1−r}\).
- Kurahisisha kupata\(S\).
Pata jumla, ikiwa iko, kwa yafuatayo:
- \(10+9+8+7+…\)
- \(248.6+99.44+39.776 + …\)
- \(\sum_{k=1}^{\infty}4,374⋅{(–\dfrac{1}{3})}^{k–1}\)
- \(\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{9}⋅{(\dfrac{4}{3})}^k\)
Suluhisho
- Hakuna uwiano wa mara kwa mara; mfululizo sio kijiometri.
- Kuna uwiano wa mara kwa mara; mfululizo ni kijiometri. \(a_1=248.6\)na\(r=\dfrac{99.44}{248.6}=0.4\), hivyo jumla ipo. Mbadala\(a_1=248.6\) na\(r=0.4\) katika formula na kurahisisha kupata jumla:
\[ \begin{align*} S&=\dfrac{a_1}{1−r} \\[4pt] &=\dfrac{248.6}{1−0.4} \\[4pt] &=414.\overline{3} \end{align*}\]
- Fomu hiyo ni ya kielelezo, hivyo mfululizo ni kijiometri na\(r=–\dfrac{1}{3}\). Pata\(a_1\) kwa kubadili\(k=1\) fomu iliyotolewa wazi:
\(a_1=4,374⋅{(–\dfrac{1}{3})}^{1–1}=4,374\)
Mbadala\(a_1=4,374\) na\(r=−\dfrac{1}{3}\) katika formula, na kurahisisha kupata jumla:
\[ \begin{align*} S&=\dfrac{a_1}{1−r} \\[4pt] &= \dfrac{4,374}{1−\left(−\dfrac{1}{3}\right)} \\[4pt] &= 3,280.5 \end{align*}\]
- Fomu hiyo ni ya kielelezo, hivyo mfululizo ni kijiometri, lakini\(r>1\). Jumla haipo.
Pata sehemu sawa kwa decimal ya kurudia\(0.\overline{3}\)
Suluhisho
Tunaona decimal kurudia\(0.\overline{3}=0.333...\) ili tuweze kuandika upya decimal kurudia kama jumla ya maneno.
\(0.\overline{3}=0.3+0.03+0.003+...\)
Kuangalia mfano, tunaandika upya jumla, tukiona kwamba tunaona muda wa kwanza umeongezeka\(0.1\) kwa muda wa pili, na muda wa pili umeongezeka\(0.1\) kwa muda wa tatu.
Angalia mfano; sisi kuzidisha kila mrefu mfululizo kwa uwiano wa kawaida wa\(0.1\) kuanzia na muda wa kwanza wa\(0.3\). Hivyo, badala ya formula yetu kwa jumla usio kijiometri, tuna
\(S_n=\dfrac{a_1}{1−r}=\dfrac{0.3}{1−0.1}=\dfrac{0.3}{0.9}=\dfrac{1}{3}\).
Pata jumla, ikiwa iko.
\(2+23+29+...\)
- Jibu
-
\(3\)
\(\sum_{k=1}^{\infty}0.76k+1\)
- Jibu
-
Mfululizo sio kijiometri.
\(\sum_{k=1}^{\infty}{\left(−\dfrac{3}{8}\right)}^k\)
- Jibu
-
\(−\dfrac{3}{11}\)
Kutatua Matatizo Annuity
Mwanzoni mwa sehemu hiyo, tuliangalia tatizo ambalo wanandoa waliwekeza kiasi cha fedha kila mwezi katika mfuko wa chuo kwa miaka sita. Annuity ni uwekezaji ambao mnunuzi hufanya mlolongo wa malipo ya mara kwa mara, sawa. Ili kupata kiasi cha annuity, tunahitaji kupata jumla ya malipo yote na riba iliyopatikana. Katika mfano, wanandoa kuwekeza\($50\) kila mwezi. Hii ni thamani ya amana ya awali. Akaunti kulipwa riba ya\(6\%\) kila mwaka, imezungukwa kila mwezi. Ili kupata kiwango cha riba kwa kipindi cha malipo, tunahitaji kugawanya kiwango cha asilimia ya\(6\%\) kila mwaka (Aprili) na\(12\). Hivyo kiwango cha riba ya kila mwezi ni\(0.5\%\). Tunaweza kuzidisha kiasi katika akaunti kila mwezi na\(100.5\%\) kupata thamani ya akaunti baada ya riba imeongezwa.
Tunaweza kupata thamani ya annuity haki baada ya amana ya mwisho kwa kutumia mfululizo kijiometri na\(a_1=50\) na\(r=100.5%=1.005\). Baada ya amana ya kwanza, thamani ya annuity itakuwa\($50\). Hebu tuone kama tunaweza kuamua kiasi katika mfuko wa chuo na riba chuma.
Tunaweza kupata thamani ya annuity baada ya amana nn kutumia formula kwa jumla ya masharti ya kwanza nn ya mfululizo kijiometri. Katika\(6\) miaka, kuna\(72\) miezi, hivyo\(n=72\). Tunaweza mbadala\(a_1=50\),\(r=1.005\), na\(n=72\) katika formula, na kurahisisha kupata thamani ya annuity baada ya miaka 6.
\(S_{72}=\dfrac{50(1−{1.005}^{72})}{1−1.005}≈4,320.44\)
Baada ya amana ya mwisho, wanandoa watakuwa na jumla ya\($4,320.44\) katika akaunti. taarifa, wanandoa alifanya\(72\) malipo ya\($50\) kila kwa jumla ya\(72(50) = $3,600\). Hii ina maana kwamba kwa sababu ya annuity, wanandoa walipata\($720.44\) riba katika mfuko wao wa chuo.
- Kuamua\(a_1\), thamani ya amana ya awali.
- Kuamua\(n\), idadi ya amana.
- Kuamua\(r\).
- Gawanya kiwango cha riba ya kila mwaka kwa idadi ya mara kwa mwaka kuwa riba imezungukwa.
- Ongeza 1 kwa kiasi hiki ili upate\(r\).
- Maadili ya mbadala kwa\(a_1\)\(r\),, na\(n\) katika formula kwa jumla ya masharti ya kwanza ya nn ya mfululizo wa kijiometri,\(S_n=\dfrac{a_1(1–r^n)}{1–r}\).
- Kurahisisha kupata\(S_n\), thamani ya annuity baada ya\(n\) amana.
amana ya\($100\) ni kuwekwa katika mfuko wa chuo mwanzoni mwa kila mwezi kwa\(10\) miaka. Mfuko hupata riba ya kila\(9\%\) mwaka, imejumuishwa kila mwezi, na kulipwa mwishoni mwa mwezi. Ni kiasi gani katika akaunti baada ya amana ya mwisho?
Suluhisho
Thamani ya amana ya awali ni\($100\), hivyo\(a_1=100\). Jumla ya amana za\(120\) kila mwezi zinafanywa kwa\(10\) miaka, hivyo\(n=120\). Ili kupata\(r\), kugawanya kiwango cha riba ya kila mwaka na\(12\) kupata kiwango cha riba ya kila mwezi na kuongeza\(1\) kuwakilisha amana mpya ya kila mwezi.
\(r=1+\dfrac{0.09}{12}=1.0075\)
Mbadala\(a_1=100\)\(r=1.0075\),, na\(n=120\) katika formula kwa jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri, na kurahisisha kupata thamani ya annuity.
\(S_{120}=\dfrac{100(1−{1.0075}^{120})}{1−1.0075}≈19,351.43\)
Hivyo akaunti ina $19,351.43 baada ya amana ya mwisho kufanywa.
Katika mwanzo wa kila mwezi,\($200\) ni zilizoingia katika mfuko wa kustaafu. Mfuko hupata riba ya kila\(6\%\) mwaka, imejumuishwa kila mwezi, na kulipwa katika akaunti mwishoni mwa mwezi. Ni kiasi gani katika akaunti ikiwa amana zinafanywa kwa\(10\) miaka?
- Jibu
-
\($92,408.18\)
Kupata rasilimali hizi online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na mfululizo.
Mlinganyo muhimu
| jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa hesabu | \(S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\) |
| jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri | \(S_n=\dfrac{a_1(1−r^n)}{1−r}\)\(r≠1\) |
| jumla ya mfululizo usio na kipimo wa kijiometri na\(–1<r< 1\) | \(S_n=\dfrac{a_1}{1−r}\)\(r≠1\) |
Dhana muhimu
- Jumla ya maneno katika mlolongo inaitwa mfululizo.
- Nukuu ya kawaida kwa mfululizo inaitwa notation summation, ambayo inatumia barua ya Kigiriki sigma kuwakilisha jumla. Angalia Mfano\(\PageIndex{1}\).
- Jumla ya maneno katika mlolongo wa hesabu inaitwa mfululizo wa hesabu.
- Jumla ya\(n\) masharti ya kwanza ya mfululizo wa hesabu yanaweza kupatikana kwa kutumia formula. Angalia Mfano\(\PageIndex{2}\) na Mfano\(\PageIndex{3}\).
- Jumla ya maneno katika mlolongo wa kijiometri inaitwa mfululizo wa kijiometri.
- Jumla ya\(n\) maneno ya kwanza ya mfululizo wa kijiometri yanaweza kupatikana kwa kutumia formula. Angalia Mfano\(\PageIndex{4}\) na Mfano\(\PageIndex{5}\).
- Jumla ya mfululizo usio na kipimo ipo ikiwa mfululizo ni kijiometri na\(–1<r<1\).
- Ikiwa jumla ya mfululizo usio na kipimo ipo, inaweza kupatikana kwa kutumia formula. Angalia Mfano\(\PageIndex{6}\), Mfano\(\PageIndex{7}\), na Mfano\(\PageIndex{8}\).
- Annuity ni akaunti ambayo mwekezaji hufanya mfululizo wa malipo ya mara kwa mara uliopangwa kufanyika. Thamani ya annuity inaweza kupatikana kwa kutumia mfululizo wa kijiometri. Angalia Mfano\(\PageIndex{9}\).