13.1: Utaratibu na Nukuu zao
- Page ID
- 177916
- Andika maneno ya mlolongo unaofafanuliwa na formula iliyo wazi.
- Andika maneno ya mlolongo unaofafanuliwa na formula ya kujirudia.
- Matumizi factorial notation.
Kampuni ya mchezo wa video inazindua kampeni mpya ya matangazo ya kusisimua. Wanatabiri idadi ya ziara za mtandaoni kwenye tovuti yao, au hits, zitakuwa mara mbili kila siku. Mfano wanaotumia unaonyesha\(2\) hupiga siku ya kwanza,\(4\) hupiga siku ya pili,\(8\) hupiga siku ya tatu, na kadhalika (Jedwali\(\PageIndex{1}\)).
Siku | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... |
---|---|---|---|---|---|---|
Hits | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | ... |
Ikiwa mfano wao unaendelea, ngapi hits itakuwa mwishoni mwa mwezi? Ili kujibu swali hili, tutahitaji kwanza kujua jinsi ya kuamua orodha ya namba zilizoandikwa kwa utaratibu maalum. Katika sehemu hii, sisi kuchunguza aina hii ya orodha kuamuru.
Kuandika Masharti ya Mlolongo Imeelezwa na Mfumo wa wazi
Njia moja ya kuelezea orodha iliyoamriwa ya namba ni kama mlolongo. Mlolongo ni kazi ambayo uwanja wake ni subset ya idadi ya kuhesabu. Mlolongo ulioanzishwa na idadi ya hits kwenye tovuti ni
\(\{ 2,4,8,16,32,…\}\)
ellipsis (...) inaonyesha kwamba mlolongo unaendelea kwa muda usiojulikana. Kila namba katika mlolongo inaitwa neno. Masharti tano ya kwanza ya mlolongo huu ni\(2\)\(4\),\(8\),\(16\), na\(32\).
Kuorodhesha maneno yote kwa mlolongo inaweza kuwa mbaya. Kwa mfano, kutafuta idadi ya hits kwenye tovuti mwishoni mwa mwezi itahitaji kuorodhesha\(31\) maneno mengi. Njia bora zaidi ya kuamua muda maalum ni kwa kuandika formula ili kufafanua mlolongo.
Aina moja ya formula ni formula wazi, ambayo inafafanua masharti ya mlolongo kwa kutumia msimamo wao katika mlolongo. Fomula wazi ni muhimu kama tunataka kupata muda maalum wa mlolongo bila kupata masharti yote ya awali. Tunaweza kutumia formula ili kupata neno la nth la mlolongo, ambapo nn ni idadi yoyote nzuri. Katika mfano wetu, kila idadi katika mlolongo ni mara mbili idadi ya awali, hivyo tunaweza kutumia nguvu ya 2 kuandika formula kwa muda nth.
Muda wa kwanza wa mlolongo ni\(2^1=2\), muda wa pili ni\(2^2=4\), muda wa tatu ni\(2^3=8\), na kadhalika. Neno la nth la mlolongo linaweza kupatikana kwa kuongeza 2 hadi nguvu ya nth. Fomu ya wazi ya mlolongo inaitwa na barua ya chini ya kesi\(a\)\(b\),,\(c\)... na usajili\(n\). Fomu ya wazi ya mlolongo huu ni
\(a_n=2^n\)
Sasa kwa kuwa tuna formula kwa muda nth ya mlolongo, tunaweza kujibu swali vinavyotokana mwanzoni mwa sehemu hii. Tuliulizwa kupata idadi ya hits mwishoni mwa mwezi, ambayo tutachukua kuwa siku 31. Ili kupata idadi ya hits siku ya mwisho ya mwezi, tunahitaji kupata muda wa 31 wa mlolongo. Tutabadilisha 31\(n\) kwa formula.
\[ \begin{align*} a_{31}=2^{31} \\ [5pt] &=2,147,483,648 \end{align*}\]
Ikiwa mwenendo wa mara mbili unaendelea, kampuni\(2,147,483,648\) itapata hits siku ya mwisho ya mwezi. Hiyo ni zaidi ya\(2.1\) bilioni hits! Idadi kubwa labda ni isiyo ya kweli kwa sababu haina kuchukua maslahi ya walaji na ushindani katika akaunti. Inafanya, hata hivyo, kutoa kampuni ya mwanzo ambayo kuzingatia maamuzi ya biashara.
Njia nyingine ya kuwakilisha mlolongo ni kwa kutumia meza. Masharti tano ya kwanza ya mlolongo na muda wa nth wa mlolongo huonyeshwa katika Jedwali\(\PageIndex{2}\).
\(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(n\) |
---|---|---|---|---|---|---|
\(n^{th}\)muda wa mlolongo,\(a_n\) | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | \(2^n\) |
Graphing hutoa uwakilishi Visual ya mlolongo kama seti ya pointi tofauti. Tunaweza kuona kutoka grafu katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kwamba idadi ya hits ni kupanda kwa kiwango kielelezo. Mlolongo huu hasa huunda kazi ya kielelezo.
Kielelezo\(\PageIndex{1}\)
Mwishowe, tunaweza kuandika mlolongo huu kama
\(\{2,4,8,16,32,…,2^n,…\}\)
Mlolongo unaoendelea kwa muda usiojulikana huitwa mlolongo usio. Kikoa cha mlolongo usio na kipimo ni seti ya namba za kuhesabu. Ikiwa tunazingatia\(10\) masharti ya kwanza ya mlolongo, tunaweza kuandika
\(\{2,4,8,16,32,…,2^n,…,1024\}\)
Mlolongo huu unaitwa mlolongo wa mwisho kwa sababu hauendelei kwa muda usiojulikana.
Mlolongo ni kazi ambayo uwanja wake ni seti ya integers nzuri. Mlolongo wa mwisho ni mlolongo ambao uwanja wake una integers tu ya kwanza\(n\) nzuri. Nambari katika mlolongo huitwa maneno. Tofauti\(a\) na usajili wa nambari hutumiwa kuwakilisha maneno katika mlolongo na kuonyesha nafasi ya neno katika mlolongo.
\[a_1,a_2,a_3,…,a_n,…\]
Tunaita muda\(a_1\) wa kwanza wa mlolongo, muda\(a_2\) wa pili wa mlolongo, muda\(a_3\) wa tatu wa mlolongo, na kadhalika. Neno\(a_n\) linaitwa neno la nth la mlolongo, au muda wa jumla wa mlolongo. Fomu ya wazi inafafanua muda wa nth wa mlolongo kwa kutumia nafasi ya neno. mlolongo kwamba inaendelea kwa muda usiojulikana ni mlolongo usio.
Hapana. Katika matatizo fulani, inaweza kuwa na manufaa kufafanua muda wa awali kama\(a_0\) badala ya\(a_1\). Katika matatizo haya, uwanja wa kazi ni pamoja na\(0\).
- Badilisha kila thamani ya\(n\) ndani ya formula. Anza na\(n=1\) kupata muda wa kwanza,\(a_1\).
- Ili kupata muda wa pili\(a_2\), tumia\(n=2\).
- Endelea kwa namna ile ile mpaka utakapotambua masharti yote ya nn.
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula iliyo wazi\(a_n=−3n+8\).
Suluhisho
Badala\(n=1\) katika formula. Kurudia kwa maadili\(2\) kupitia\(5\) kwa\(n\).
\(\begin{array}{ll} n=1 & a_1=−3(1)+8=5 \\ n=2 & a_2=−3(2)+8=2 \\ n=3 & a_3=−3(3)+8=−1 \\ n=4 & a_4=−3(4)+8=−4 \\ n=5 & a_5=−3(5)+8=−7 \end{array}\)
Masharti tano ya kwanza ni\(\{5,2,−1,−4,−7\}\).
Uchambuzi
Maadili ya mlolongo yanaweza kuorodheshwa kwenye meza. Jedwali, kama Jedwali\(\PageIndex{3}\), ni njia rahisi ya kuingiza kazi katika matumizi ya graphing.
\(n\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
\(a_n\) | 5 | 2 | -1 | —4 | —7 |
Grafu inaweza kufanywa kutoka meza hii ya maadili. Kutoka grafu katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\), tunaweza kuona kwamba mlolongo huu inawakilisha kazi linear, lakini taarifa grafu si kuendelea kwa sababu uwanja ni juu ya integers chanya tu.
Kielelezo\(\PageIndex{2}\)
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula iliyo wazi\(t_n=5n−4\).
- Jibu
-
Masharti tano ya kwanza ni\(\{1,6, 11, 16, 21\}\).
Kuchunguza Utaratibu mbadala
Wakati mwingine Utaratibu una maneno ambayo ni mbadala. Kwa kweli, maneno inaweza kweli mbadala katika ishara. Hatua za kutafuta maneno ya mlolongo ni sawa na kama ishara hazibadilika. Hata hivyo, maneno yanayotokana hayataonyesha ongezeko au kupungua kama\(n\) ongezeko. Hebu tuangalie mlolongo wafuatayo.
\(\{2,−4,6,−8\}\)
Angalia muda wa kwanza ni mkubwa kuliko muhula wa pili, muda wa pili ni chini ya muhula wa tatu, na muda wa tatu ni mkubwa kuliko muda wa nne. Hali hii inaendelea milele. Usipange upya maneno kwa nambari ili kutafsiri mlolongo.
- Badilisha kila thamani ya nn katika formula. Anza na\(n=1\) kupata muda wa kwanza,\(a_1\). Ishara ya neno hutolewa na\({(−1)}^n\) fomu iliyo wazi.
- Ili kupata muda wa pili\(a_2\), tumia\(n=2\).
- Endelea kwa namna ile ile mpaka utakapotambua\(n\) masharti yote.
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo.
\(a_n=\dfrac{{(−1)}^nn^2}{n+1}\)
Suluhisho
Mbadala\(n=1\),\(n=2\), na kadhalika katika formula.
\(\begin{array}{ll} n=1 & a_1=\dfrac{{(−1)}^12^2}{1+1}=−\dfrac{1}{2} \\ n=2 & a_2=\dfrac{{(−1)}^22^2}{2+1}=\dfrac{4}{3} \\ n=3 & a_3=\dfrac{{(−1)}^33^2}{3+1}=−\dfrac{9}{4} \\ n=4 & a_4=\dfrac{{(−1)}^44^2}{4+1}=\dfrac{16}{5} \\ n=5 & a_5=\dfrac{{(−1)}^55^2}{5+1}=−\dfrac{25}{6} \end{array}\)
Masharti tano ya kwanza ni\(\{−12,43,−94,165,−256\}\).
Uchambuzi
Grafu ya kazi hii, iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{3}\), inaonekana tofauti na yale tuliyoyaona hapo awali katika sehemu hii kwa sababu maneno ya mlolongo hubadilisha kati ya maadili mazuri na hasi.
Kielelezo\(\PageIndex{3}\)
Ndiyo, nguvu inaweza kuwa\(n\),\(n+1\)\(n−1\), na kadhalika, lakini mamlaka yoyote isiyo ya kawaida yatasababisha muda usiofaa, na hata nguvu yoyote itasababisha muda mzuri.
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo:
\(a_n=\dfrac{4n}{{(−2)}^n}\)
- Jibu
-
Masharti tano ya kwanza ni\(\{−2, 2, −32, 1, −58\}\).
Kuchunguza Piecewise wazi formula
Tumejifunza kwamba utaratibu ni kazi ambao uwanja wake ni juu ya integers chanya. Hii ni kweli kwa aina nyingine za kazi, ikiwa ni pamoja na baadhi ya kazi za kipande. Kumbuka kwamba kazi piecewise ni kazi inavyoelezwa na vifungu vingi. formula tofauti inaweza kuwakilisha kila kifungu cha mtu binafsi.
- Tambua formula ambayo\(n=1\) inatumika.
- Ili kupata muda wa kwanza\(a_1\), tumia\(n=1\) katika formula sahihi.
- Tambua formula ambayo\(n=2\) inatumika.
- Ili kupata muda wa pili\(a_2\), tumia\(n=2\) katika fomu inayofaa.
- Endelea kwa namna ile ile mpaka utakapotambua\(n\) masharti yote.
Andika maneno sita ya kwanza ya mlolongo.
\(a_n=\begin{cases}n^2\space \text{if n is not divisible by } 3\\\dfrac{n}{3} \text{if n is divisible by } 3\end{cases}\)
Suluhisho
Mbadala\(n=1\),\(n=2\), na kadhalika katika formula sahihi. Matumizi\(n^2\) wakati\(n\) si nyingi ya\(3\). Matumizi\(n^3\) wakati\(n\) ni nyingi ya\(3\).
\(\begin{array}{ll} a_1=1^2=1 & 1 \text{ is not a multiple of }3. \text{ Use } n^2. \\ a_2=2^2=4 & 2 \text{ is not a multiple of }3 \text{ . Use }n^2. \\ a_3=\dfrac{3}{3}=1 & 3 \text{ is a multiple of }3 \text{. Use }\dfrac{n}{3}. \\ a_4=4^2=16 & 4 \text{ is not a multiple of }3. \text{ Use }n^2. \\ a_5=5^2=25 & 5 \text{ is not a multiple of } 3. \text{Use }n^2. \\ a_6=\dfrac{6}{3}=2 & 6 \text{ is a multiple of }3. \text{Use }\dfrac{n}{3} \end{array}\)
Masharti sita ya kwanza ni\(\{1, 4, 1, 16, 25, 2\}\).
Uchambuzi
Kila hatua ya tatu kwenye grafu iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{4}\) inasimama kutoka kwenye pointi mbili zilizo karibu. Hii hutokea kwa sababu mlolongo ulifafanuliwa na kazi piecewise.
Kielelezo\(\PageIndex{4}\)
Andika maneno sita ya kwanza ya mlolongo.
\(a_n=\begin{cases}2n^3 \text{ if } n\text{ is odd} \\ \dfrac{5n}{2} \text{ if } n \text{ is even}\end{cases}\)
- Jibu
-
Masharti sita ya kwanza ni\(\{2, 5, 54, 10, 250, 15\}\).
Kutafuta Mfumo wa wazi
Hadi sasa, tumepewa formula wazi na kuulizwa kupata idadi ya masharti ya mlolongo. Wakati mwingine, formula wazi kwa muda wa nth wa mlolongo haipatikani. Badala yake, tunapewa maneno kadhaa kutoka kwa mlolongo. Wakati hii itatokea, tunaweza kufanya kazi katika reverse kupata formula wazi kutoka masharti ya kwanza chache ya mlolongo. Funguo la kutafuta formula wazi ni kuangalia mfano katika maneno. Kumbuka kwamba muundo unaweza kuhusisha alternating maneno, formula kwa ajili ya nambari, formula kwa denominators, exponents, au besi.
- Angalia mfano kati ya maneno.
- Ikiwa maneno ni sehemu ndogo, angalia mfano tofauti kati ya nambari na denominators.
- Angalia mfano kati ya ishara za maneno.
- Andika formula\(a_n\) kwa suala la\(n\). Mtihani formula yako kwa\(n=1\)\(n=2\),, na\(n=3\).
Andika formula wazi kwa muda wa nth wa kila mlolongo.
- \(\{−\dfrac{2}{11}, \dfrac{3}{13}, −\dfrac{4}{15}, \dfrac{5}{17}, −\dfrac{6}{19},…\}\)
- \(\{−\dfrac{2}{25}, −\dfrac{2}{125}, −\dfrac{2}{625}, −\dfrac{2}{3,125}, −\dfrac{2}{15,625},…\}\)
- \(\{e^4,e^5,e^6,e^7,e^8,…\}\)
Suluhisho
Angalia mfano katika kila mlolongo.
- Masharti yanabadilisha kati ya chanya na hasi. Tunaweza kutumia\({(−1)}^n\) ili kufanya maneno mbadala. Nambari inaweza kuwakilishwa na\(n+1\). Denominator inaweza kuwakilishwa na\(2n+9\).
\(a_n=\dfrac{{(−1)}^n(n+1)}{2n+9}\)
- Masharti yote ni hasi.
Kwa hiyo tunajua kwamba sehemu ni hasi, namba ni\(2\), na denominator inaweza kuwakilishwa na\(5n+1\).
\(a_n=−\dfrac{2}{5^{n+1}}\)
- Masharti ni nguvu ya\(e\). Kwa\(n=1\), muda wa kwanza ni\(e^4\) hivyo exponent lazima\(n+3\).
\(a_n=e^{n+3}\)
Andika formula wazi kwa muda wa nth wa mlolongo.
\(\{9,−81,729,−6,561,59,049,…\}\)
- Jibu
-
\(a_n={(−1)}^{n+1}9^n\)
Andika formula wazi kwa muda wa nth wa mlolongo.
\(\{−34,−98,−2712,−8116,−24320,...\}\)
- Jibu
-
\(a_n=−\dfrac{3^n}{4n}\)
Andika formula wazi kwa muda wa nth wa mlolongo.
\(\left \{ \dfrac{1}{e^2}, \dfrac{1}{e}, 1, e, e^2,... \right \}\)
- Jibu
-
\(a_n=e^{n−3}\)
Kuandika Masharti ya Mlolongo Inafafanuliwa na Mfumo wa Kurudia
Utaratibu hutokea kiasili katika mifumo ya ukuaji wa maganda ya nautilus, pinecones, matawi ya miti, na miundo mingine mingi ya asili. Tunaweza kuona mlolongo katika mpangilio wa jani au tawi, idadi ya petals ya maua, au mfano wa vyumba katika shell ya nautilus. Ukuaji wao unafuata mlolongo wa Fibonacci, mlolongo maarufu ambao kila neno linaweza kupatikana kwa kuongeza masharti mawili yaliyotangulia. idadi katika mlolongo ni mifano\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,….\) mingine kutoka dunia ya asili kwamba kuonyesha mlolongo Fibonacci ni Calla Lily, ambayo ina petal moja tu, Black Eyed Susan na\(13\) petals, na aina tofauti ya daisies ambayo inaweza kuwa\(21\) au\(34\) petals.
Kila muda wa mlolongo wa Fibonacci unategemea maneno ambayo huja kabla yake. Mlolongo wa Fibonacci hauwezi kuandikwa kwa urahisi kwa kutumia formula wazi. Badala yake, tunaelezea mlolongo kwa kutumia formula ya kujirudia, formula inayofafanua masharti ya mlolongo kwa kutumia maneno ya awali.
Fomu ya kujirudia daima ina sehemu mbili: thamani ya muda wa awali (au maneno), na equation inayofafanua\(a_n\) kwa suala la maneno yaliyotangulia. Kwa mfano, tuseme tunajua yafuatayo:
\[\begin{align*} a_1 &= 3 \\ a_n &= 2a_{n−1}−1 , \text{ for }n≥2 \end{align*}\]
Tunaweza kupata masharti yafuatayo ya mlolongo kwa kutumia muda wa kwanza.
\[\begin{align*} a_1 &= 3 \\ a_2 &= 2a_1−1=2(3)−1=5 \\ a_3 &= 2a_2−1=2(5)−1=9 \\ a_4 &= 2a_3−1=2(9)−1=17 \end{align*}\]
Hivyo masharti manne ya kwanza ya mlolongo ni\(\{3, 5, 9, 17\}\).
Fomu ya kujirudia kwa mlolongo wa Fibonacci inasema maneno mawili ya kwanza na hufafanua kila neno mfululizo kama jumla ya maneno mawili yaliyotangulia.
\[\begin{align*}a_1 &= 1 \\ a_2 &= 1 \\ a_n &= a_{n−1}+a_{n−2} \text{, for }n≥3 \end{align*}\]
Ili kupata muda wa kumi wa mlolongo, kwa mfano, tunahitaji kuongeza maneno ya nane na ya tisa. Tuliambiwa hapo awali kwamba suala la nane na tisa ni\(34\),\(21\) na hivyo
\(a_{10}=a_9+a_8=34+21=55\)
Fomula ya kujirudia ni formula inayofafanua kila neno la mlolongo kwa kutumia muda (s) uliopita. Fomu za kujirudia lazima zieleze muda wa awali, au maneno, ya mlolongo.
Hapana. Mlolongo wa Fibonacci unafafanua kila neno kwa kutumia maneno mawili yaliyotangulia, lakini formula nyingi za kujirudia hufafanua kila neno kwa kutumia muda mmoja tu uliopita. Utaratibu huu unahitaji tu muda wa kwanza kufafanuliwa.
- Tambua muda wa awali\(a_1\), ambao hutolewa kama sehemu ya formula. Huu ndio neno la kwanza.
- Ili kupata muda wa pili\(a_2\), badala ya muda wa awali katika formula kwa\(a_{n−1}\). Kutatua.
- Ili kupata muda wa tatu\(a_3\), badala ya muda wa pili katika formula. Kutatua.
- Kurudia mpaka utatuliwa kwa muda wa nth.
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula ya kujirudia.
\[\begin{align*}a_1 &= 9 \\ a_n &= 3a_{n−1}−20 , \text{ for }n≥2 \end{align*}\]
Suluhisho
Neno la kwanza linatolewa katika formula. Kwa kila muda unaofuata, tunachukua nafasi\(a_n−1\) na thamani ya muda uliopita.
\(\begin{array}{ll} n=1 & a_1=9 \\ n=2 & a_2=3a_1−20=3(9)−20=27−20=7 \\ n=3 & a_3=3a_2−20=3(7)−20=21−20=1 \\ n=4 & a_4=3a_3−20=3(1)−20=3−20=−17 \\ n=5 & a_5=3a_4−20=3(−17)−20=−51−20=−71 \end{array}\)
Masharti tano ya kwanza ni\(\{9, 7, 1, –17, –71\}\). Angalia Kielelezo\(\PageIndex{5}\).
Kielelezo\(\PageIndex{5}\)
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula ya kujirudia.
\[\begin{align*} a_1 &= 2 \\ a_n &= 2a_{n−1}+1 , \text{ for }n≥2 \end{align*}\]
- Jibu
-
\(\{2, 5, 11, 23, 47\}\)
- Tambua muda wa awali\(a_1\), ambao hutolewa kama sehemu ya formula.
- Tambua muda wa pili\(a_2\), ambao hutolewa kama sehemu ya formula.
- Ili kupata muda wa tatu, badala ya muda wa awali na muda wa pili katika formula. Tathmini.
- Rudia mpaka uwe na tathmini ya muda wa nth.
Andika maneno sita ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula ya kujirudia.
\[\begin{align*} a_1 &=1 \\ a_2 &= 2 \\ a_n &= 3a_{n−1}+4a_{n−2} , \text{ for }n≥3 \end{align*}\]
Suluhisho
Masharti mawili ya kwanza yanatolewa. Kwa kila muda unaofuata, tunachukua nafasi\(a_{n−1}\)\(a_{n−2}\) na kwa maadili ya maneno mawili yaliyotangulia.
\(\begin{array}{ll} n=3 & a_3=3a_2+4a_1=3(2)+4(1)=10 \\ n=4 & a_4=3a_3+4a_2=3(10)+4(2)=38 \\ n=5 & a_5=3a_4+4a_3=3(38)+4(10)=154 \\ n=6 & a_6=3a_5+4a_4=3(154)+4(38)=614 \end{array}\)
Masharti sita ya kwanza ni\(\{1,2,10,38,154,614\}\). Angalia Kielelezo\(\PageIndex{6}\).
Kielelezo\(\PageIndex{6}\)
Andika\(8\) maneno ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula ya kujirudia.
\[\begin{align*}a_1 &= 0 \\ a_2 &= 1 \\ a_3 &= 1 \\ a_n &= \dfrac{a_{n−1}}{a_{n−2}}+a_{n−3} , \text{ for }n≥4 \end{align*}\]
- Jibu
-
\(\left \{0, 1, 1, 1, 2, 3, 52, 176 \right \}\).
Kutumia Nukuu ya Kielelezo
Fomu za utaratibu fulani ni pamoja na bidhaa za integers mfululizo mzuri. \(n\)factorial, imeandikwa kama\(n!\), ni bidhaa ya integers chanya kutoka\(1\) kwa\(n\). Kwa mfano,
\[\begin{align*}4! &= 4⋅3⋅2⋅1=24 \\ 5! &= 5⋅4⋅3⋅2⋅1=120 \end{align*}\]
Mfano wa formula iliyo na factorial ni\(a_n=(n+1)!\). Muda wa sita wa mlolongo unaweza kupatikana\(6\) kwa kubadili\(n\).
\(a_6=(6+1)!=7!=7·6·5·4·3·2·1=5040\)
factorial ya idadi yoyote yote\(n\) ni\(n(n−1)!\) Tunaweza kwa hiyo pia kufikiria\(5!\) kama\(5⋅4!\).
\(n\)factorial ni operesheni ya hisabati ambayo inaweza kuelezwa kwa kutumia formula kujirudia. factorial ya\(n\), ulionyehsa\(n!\), hufafanuliwa kwa integer chanya\(n\) kama:
\[\begin{align} 0! &= 1 \\ 1! &= 1 \\ n! &= n(n−1)(n−2)⋯(2)(1), \text{ for }n≥2 \end{align}\]
Kesi maalum\(0!\) hufafanuliwa kama\(0!=1\).
Hapana. Factorials kupata kubwa haraka sana-kasi kuliko hata kazi kielelezo! Wakati pato inapata kubwa mno kwa calculator, haitaweza kuhesabu factorial.
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula iliyo wazi\(a_n=\dfrac{5n}{(n+2)!}\).
Suluhisho
Mbadala\(n=1\),\(n=2\), na kadhalika katika formula.
\(\begin{array}{ll} n=1 & a_1=\dfrac{5(1)}{(1+2)!}=\dfrac{5}{3!}=\dfrac{5}{3·2·1}=\dfrac{5}{6} \\ n=2 & a_2=\dfrac{5(2)}{(2+2)!}=\dfrac{10}{4!}=\dfrac{10}{4·3·2·1}=\dfrac{5}{12} \\ n=3 & a_3=\dfrac{5(3)}{(3+2)!}=\dfrac{15}{5!}=\dfrac{15}{5·4·3·2·1}=\dfrac{1}{8} \\ n=4 & a_4=\dfrac{5(4)}{(4+2)!}=\dfrac{20}{6!}=\dfrac{20}{6·5·4·3·2·1}=\dfrac{1}{36} \\ n=5 & a_5=\dfrac{5(5)}{(5+2)!}=\dfrac{25}{7!}=\dfrac{25}{7·6·5·4·3·2·1}=\dfrac{5}{1,008} \end{array}\)
Masharti tano ya kwanza ni\(\left \{\dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{12}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{36}, \dfrac{5}{1,008} \right \}\).
Uchambuzi
Kielelezo\(\PageIndex{7}\) kinaonyesha grafu ya mlolongo. Kumbuka kwamba, kwa kuwa factorials kukua kwa haraka sana, uwepo wa neno factorial katika denominator matokeo katika denominator kuwa kubwa zaidi kuliko nambari kama nn inavyoongezeka. Hii inamaanisha kuwa quotient inapungua na, kama njama ya maneno inaonyesha, maneno yanapungua na inakaribia sifuri.
Kielelezo\(\PageIndex{7}\)
Andika maneno matano ya kwanza ya mlolongo unaofafanuliwa na formula iliyo wazi\(a_n=\dfrac{(n+1)!}{2n}\).
- Jibu
-
Masharti tano ya kwanza ni\(\left \{1, \dfrac{3}{2}, 4, 15, 72 \right \}\).
Kupata rasilimali hii online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na Utaratibu.
Mlinganyo muhimu
Mfumo wa factorial |
\(0!=1\) \(1!=1\) \(n!=n(n−1)(n−2)⋯(2)(1)\), kwa\(n≥2\) |
Dhana muhimu
- Mlolongo ni orodha ya namba, inayoitwa maneno, iliyoandikwa kwa utaratibu maalum.
- Fomula wazi hufafanua kila neno la mlolongo kwa kutumia nafasi ya neno. Angalia Mfano\(\PageIndex{1}\), Mfano\(\PageIndex{2}\), na Mfano\(\PageIndex{3}\).
- Fomu ya wazi kwa muda wa nth wa mlolongo inaweza kuandikwa kwa kuchambua muundo wa maneno kadhaa. Angalia Mfano\(\PageIndex{4}\).
- Fomula za kujirudia hufafanua kila neno la mlolongo kwa kutumia maneno ya awali.
- Fomu za kujirudia lazima zieleze muda wa awali, au maneno, ya mlolongo.
- Seti ya maneno yanaweza kuandikwa kwa kutumia formula ya kujirudia. Angalia Mfano\(\PageIndex{5}\) na Mfano\(\PageIndex{6}\).
- factorial ni operesheni ya hisabati ambayo inaweza kuelezwa recursively.
- factorial ya\(n\) ni bidhaa ya integers wote kutoka\(1\) kwa\(n\). Angalia Mfano\(\PageIndex{7}\).