22.2: Hisabati muhimu

Hesabu ya kielelezo

Nukuu ya kielelezo hutumiwa kueleza namba kubwa sana na ndogo sana kama bidhaa ya namba mbili. Nambari ya kwanza ya bidhaa, neno la tarakimu, kwa kawaida ni namba isiyo chini ya 1 na si sawa au zaidi ya 10. Nambari ya pili ya bidhaa, neno la ufafanuzi, imeandikwa kama 10 na kielelezo. Baadhi ya mifano ya nukuu ya kielelezo ni:

$$\begin{array}{ccc}\hfill 1000& =& 1\times {10}^3\hfill \\ \hfill 100& =& 1\times {10}^2\hfill \\ \hfill 10& =& 1\times {10}^1\hfill \\ \hfill 1& =& 1\times {10}^0\hfill \\ \hfill 0.1& =& 1\times {10}^{-1}\hfill \\ \hfill 0.001& =& 1\times {10}^{\mathrm{1-3}}\hfill \\ \hfill 2386& =& 2.386\times 1000=2.386\times {10}^3\hfill \\ \hfill 0.123& =& 1.23\times 0.1=1.23\times {10}^{-1}\hfill \end{array}$$

Nguvu (exponent) ya 10 ni sawa na idadi ya maeneo ambayo decimal inabadilishwa kutoa nambari ya tarakimu. Njia ya kielelezo ni notation muhimu sana kwa idadi kubwa sana na ndogo sana. Kwa mfano, 1,230,000,000 = 1.23$\times$10 ⁹, na 0.00000000036 = 3.6$\times$^10-10.

Aidha ya Exponentials

Badilisha namba zote kwa nguvu sawa ya 10, ongeza masharti ya tarakimu ya namba, na ikiwa inafaa, kubadilisha neno la tarakimu nyuma kwa idadi kati ya 1 na 10 kwa kurekebisha muda wa kielelezo.

Mfano B1

Kuongeza Exponentials

Ongeza 5.00$\times$10 ^-5 na 3.00$\times$^10-3.

Suluhisho

$$\begin{array}{ccc}\hfill 3.00\times {10}^{\mathrm{1-3}}& =& 300\times {10}^{-5}\hfill \\ \hfill (5.00\times {10}^{-5})+(300\times {10}^{-5})& =& 305\times {10}^{-5}=3.05\times {10}^{\mathrm{1-3}}\hfill \end{array}$$

Ondoa ya Exponentials

Badilisha namba zote kwa nguvu sawa ya 10, kuchukua tofauti ya maneno ya tarakimu, na ikiwa inafaa, kubadilisha neno la tarakimu nyuma kwa idadi kati ya 1 na 10 kwa kurekebisha muda wa kielelezo.

Mfano B2

Kutoa Exponentials

Ondoa 4.0$\times$10 ^-7 kutoka 5.0$\times$10 ^-6.

Suluhisho

$$\begin{array}{}\\ 4.0\times {10}^{-7}=0.40\times {10}^{-6}\\ (5.0\times {10}^{-6})-(0.40\times {10}^{-6})=4.6\times {10}^{-6}\end{array}$$

Kuongezeka kwa Exponentials

Panua maneno ya tarakimu kwa njia ya kawaida na uongeze maonyesho ya maneno ya kielelezo.

Mfano B3

Kuzidisha Exponentials

Kuzidisha 4.2$\times$10 ^-8 na 2.0$\times$10 ³.

Suluhisho

$$(4.2\times {10}^{-8})\times (2.0\times {10}^3)=(4.2\times 2.0)\times {10}^{(-8)+(\mathrm{+3})}=8.4\times {10}^{-5}$$

Idara ya Exponentials

Gawanya muda wa tarakimu ya nambari kwa muda wa tarakimu ya denominator na uondoe maonyesho ya maneno ya kielelezo.

Mfano B4

Kugawa Exponentials

Gawanya 3.6$\times$10 ^—5 na 6.0$\times$^10-4.

Suluhisho

$$\frac{3.6\times {10}^{-5}}{6.0\times {10}^{-4}}=\left(\frac{3.6}{6.0}\right)\times {10}^{(-5)-(-4)}=0.60\times {10}^{-1}=6.0\times {10}^{-2}$$

Squaring ya Exponentials

Square neno tarakimu kwa njia ya kawaida na kuzidisha exponent ya muda kielelezo na 2.

Mfano B5

Squaring Exponentials

Square idadi 4.0$\times$10 ^-6.

Suluhisho

$${(4.0\times {10}^{-6})}^2=4\times 4\times {10}^{2\times (-6)}=16\times {10}^{-12}=1.6\times {10}^{-11}$$

Cubing ya Exponentials

Cube neno tarakimu kwa njia ya kawaida na kuzidisha exponent ya muda kielelezo na 3.

Mfano B6

Cubing Exponentials

mchemraba namba 2$\times$10 ⁴.

Suluhisho

$${(2\times {10}^4)}^3=2\times 2\times 2\times {10}^{3\times 4}=8\times {10}^{12}$$

Kuchukua Mizizi ya Mraba ya Maonyesho

Ikiwa ni lazima, kupungua au kuongeza muda wa ufafanuzi ili nguvu ya 10 iwe sawasawa na 2. Dondoa mizizi ya mraba ya neno la tarakimu na ugawanye neno la ufafanuzi na 2.

Mfano B7

Kutafuta Mizizi ya Mraba ya Maonyesho

Pata mizizi ya mraba ya 1.6$\times$^10-7.

Suluhisho

$$\begin{array}{ccc}\hfill 1.6\times {10}^{-7}& =& 16\times {10}^{-8}\hfill \\ \hfill \sqrt{16\times {10}^{-8}}=\sqrt{16}\times \sqrt{{10}^{-8}}& =\hfill & \sqrt{16}\times {10}^{-\frac{8}{2}}=4.0\times {10}^{-4}\hfill \end{array}$$

Takwimu muhimu

Mkulima wa nyuki anaripoti kuwa ana nyuki 525,341. Takwimu tatu za mwisho za nambari ni wazi kuwa sahihi, kwa wakati mlinzi alikuwa akihesabu nyuki, baadhi yao walikufa na wengine walipigwa; hii inafanya kuwa vigumu sana kuamua idadi halisi ya nyuki. Ingekuwa na busara zaidi kama mfugaji nyuki angeripoti namba 525,000. Kwa maneno mengine, takwimu tatu za mwisho si muhimu, ila kuweka nafasi ya hatua ya decimal. Maadili yao halisi hayana maana muhimu katika hali hii. Wakati wa kuripoti kiasi, tumia tu takwimu nyingi muhimu kama usahihi wa vibali vya kipimo.

Umuhimu wa takwimu muhimu liko katika maombi yao kwa hesabu ya msingi. Kwa kuongeza na kutoa, jumla au tofauti lazima iwe na tarakimu nyingi kwa haki ya decimal kama kwamba katika angalau baadhi ya idadi kutumika katika hesabu (unahitajika kwa kusisitiza katika mfano ufuatao).

Mfano B8

Kuongezea na Kutoa kwa Takwimu muhimu

Ongeza 4.383 g na 0.0023 g.

Suluhisho

$$\frac{\begin{array}{l}\\ 4.38\underset{\_}{3}\text{g}\\ 0.002\underset{\_}{3}\text{g}\end{array}}{4.38\underset{\_}{5}\text{g}}$$

Katika kuzidisha na mgawanyiko, bidhaa au quotient haipaswi kuwa na tarakimu zaidi kuliko ile katika sababu iliyo na idadi ndogo ya takwimu muhimu.

Mfano B9

Kuzidisha na Idara na Takwimu muhimu

Panua 0.6238 na 6.6.

Suluhisho

$$0.623\underset{\_}{8}\times 6.\underset{\_}{6}=4.\underset{\_}{1}$$

Wakati namba za mzunguko, ongeze tarakimu iliyohifadhiwa na 1 ikiwa inafuatiwa na namba kubwa kuliko 5 (“pande zote”). Usibadilishe tarakimu iliyohifadhiwa ikiwa tarakimu zinazofuata ni chini ya 5 (“pande zote chini”). Ikiwa tarakimu iliyohifadhiwa inafuatiwa na 5, pande zote ikiwa tarakimu iliyobaki ni isiyo ya kawaida, au pande zote chini ikiwa ni hata (baada ya kuzunguka, tarakimu iliyohifadhiwa itakuwa hivyo daima kuwa hata).

Matumizi ya Logarithms na Hesabu za Kielelezo

Logarithm ya kawaida ya namba (logi) ni nguvu ambayo 10 inapaswa kuinuliwa ili sawa na idadi hiyo. Kwa mfano, logarithm ya kawaida ya 100 ni 2, kwa sababu 10 inapaswa kuinuliwa kwa nguvu ya pili ili sawa 100. Mifano ya ziada hufuata.

Logarithms na Idadi ya Kielelezo

Idadi	Idadi Walionyesha Kielelezo	Logarithm ya kawaida
1000	10 ^3	3
10	10 ^1	1
1	10 ^0	0
0.1	^10 -1	-1
0.001	^10-3	1-3

Jedwali B1

Nini logarithm ya kawaida ya 60? Kwa sababu 60 iko kati ya 10 na 100, ambayo ina logarithms ya 1 na 2, kwa mtiririko huo, logarithm ya 60 ni 1.7782; yaani,

$$\text{60}={\text{10}}^{\text{1}\text{.782}}$$

Logarithm ya kawaida ya idadi chini ya 1 ina thamani hasi. Logarithm ya 0.03918 ni -1.4069, au

$$0.03918={10}^{-1.4069}=\frac{1}{{10}^{1.4069}}$$

Ili kupata logarithm ya kawaida ya namba, tumia kifungo cha logi kwenye calculator yako. Ili kuhesabu namba kutoka kwa logarithm yake, chukua logi ya inverse ya logarithm, au uhesabu 10 ^x (ambapo x ni logarithm ya nambari).

Logarithm ya asili ya namba (ln) ni nguvu ambayo inapaswa kuinuliwa ili sawa na idadi; e ni mara kwa mara 2.7182818. Kwa mfano, logarithm ya asili ya 10 ni 2.303; yaani,

$$\text{10}=e^{\text{2}\text{.303}}=\text{2}{\text{7.182818}}^{\text{2}\text{.303}}$$

Ili kupata logarithm ya asili ya namba, tumia kitufe cha ln kwenye calculator yako. Ili kuhesabu namba kutoka kwa logarithm yake ya asili, ingiza logarithm ya asili na kuchukua lon inverse ya logarithm ya asili, au uhesabu e ^x (ambapo x ni logarithm ya asili ya nambari).

Logarithms ni exponents; hivyo, shughuli zinazohusisha logarithms hufuata sheria sawa na shughuli zinazohusisha exponents.

1. Logarithm ya bidhaa ya namba mbili ni jumla ya logarithms ya namba mbili.
   $$\text{kigogo}xy=\text{kigogo}x+\text{kigogo}y,\text{na juu}xy=\text{juu ya}x+\text{juu ya}y$$
2. Logarithm ya namba inayotokana na mgawanyiko wa namba mbili ni tofauti kati ya logarithms ya namba mbili.
   $$\text{kigogo}\frac{x}{y}=\text{kigogo}x-\text{kigogo}y,\text{na juu}\frac{x}{y}=\text{juu ya}x-\text{juu ya}y$$
3. Logarithm ya nambari iliyoinuliwa kwa exponent ni bidhaa ya exponent na logarithm ya idadi.
   $$\text{kigogo}{x}^n=n\text{kigogo}x\text{na juu}{x}^n=n\text{juu ya}x$$

Suluhisho la Ulinganisho wa Quadratic

Kazi za hisabati za fomu hii zinajulikana kama polynomials ya pili au, kwa kawaida, kazi za quadratic.

$$a{x}^{\text{2}}+bx+c=\text{0}$$

Suluhisho au mizizi kwa equation yoyote ya quadratic inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula ifuatayo:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{\text{2}}-\text{4}ac}}{\text{2}a}$$

Mfano B10

Kutatua equations Quadratic

Tatua equation ya quadratic 3 x ² + 13 x - 10 = 0.

Suluhisho

Kubadilisha maadili a = 3, b = 13, c = -10 katika formula, tunapata

$$x=\frac{-13\pm \sqrt{{(13)}^2-4\times 3\times (-10)}}{2\times 3}$$

$$x=\frac{-13\pm \sqrt{169+120}}{6}=\frac{-13\pm \sqrt{289}}{6}=\frac{-13\pm 17}{6}$$

Mizizi miwili ni kwa hiyo

$$x=\frac{-13+17}{6}=\frac{2}{3}\text{na}x=\frac{-13-17}{6}=-5$$

Ulinganifu wa Quadratic uliojengwa kwenye data ya kimwili daima una mizizi halisi, na ya mizizi hii halisi, mara nyingi tu wale walio na maadili mazuri ni ya umuhimu wowote.

Mbili-Dimensional (x - y) Graphing

Uhusiano kati ya mali yoyote mbili za mfumo unaweza kuwakilishwa graphically na njama ya data mbili-dimensional. Grafu hiyo ina shoka mbili: moja ya usawa inayolingana na variable huru, au variable ambayo thamani yake inadhibitiwa (x), na mhimili wima unaohusiana na variable tegemezi, au variable ambayo thamani yake inazingatiwa au kipimo (y).

Wakati thamani ya y inabadilika kama kazi ya x (yaani, maadili tofauti ya x yanahusiana na maadili tofauti ya y), grafu ya mabadiliko haya yanaweza kupangwa au kupigwa. Grafu inaweza kuzalishwa kwa kutumia maadili maalum kwa jozi za data (x, y).

Mfano B11

Graphing Utegemezi wa y kwenye x

x	y
1	5
2	10
3	7
4	14

Jedwali hili lina pointi zifuatazo: (1,5), (2,10), (3,7), na (4,14). Kila moja ya pointi hizi zinaweza kupangwa kwenye grafu na kushikamana ili kuzalisha uwakilishi wa kielelezo wa utegemezi wa y kwenye x.

Ikiwa kazi inayoelezea utegemezi wa y kwenye x inajulikana, inaweza kutumika kukokotoa x, y data jozi ambayo inaweza hatimaye kupangwa.

Mfano B12

Kupanga data jozi

Ikiwa tunajua kwamba y = x ² + 2, tunaweza kuzalisha meza ya maadili machache (x, y) na kisha njama mstari kulingana na data iliyoonyeshwa hapa.

x	y = x ^2 + 2
1	3
2	6
3	11
4	18