1.6: Matibabu ya Hisabati ya Matokeo ya Upimaji
- Page ID
- 176685
- Eleza uchambuzi wa mwelekeo (studio ya sababu) mbinu ya mahesabu ya hisabati yanayohusisha kiasi.
- Eleza jinsi ya kutumia uchambuzi wa mwelekeo kutekeleza mabadiliko ya kitengo kwa mali fulani na hesabu zinazohusisha mali mbili au zaidi.
- Badilisha kati ya vitengo vitatu vya joto kuu: Fahrenheit, Celsius, na Kelvin.
Mara nyingi ni kesi kwamba wingi wa riba inaweza kuwa rahisi (au hata iwezekanavyo) kupima moja kwa moja lakini badala yake lazima ihesabiwe kutoka kwa mali nyingine za kipimo moja kwa moja na mahusiano sahihi ya hisabati. Kwa mfano, fikiria kupima kasi ya wastani ya mwanariadha anayeendesha sprints. Hii ni kawaida kukamilika kwa kupima muda unaohitajika kwa mwanamichezo kukimbia kutoka mstari kuanzia mstari wa kumaliza, na umbali kati ya mistari hizi mbili, na kisha kompyuta kasi kutoka equation kwamba inahusiana mali hizi tatu:
\[\mathrm{speed=\dfrac{distance}{time}} \nonumber \]
Mchezaji wa ubora wa Olimpiki anaweza kukimbia m 100 katika takriban 10 s, sawa na kasi ya wastani
\[\mathrm{\dfrac{100\: m}{10\: s}=10\: m/s} \nonumber \]
Kumbuka kuwa hesabu hii rahisi inahusisha kugawa namba za kila kiasi cha kipimo ili kuzalisha idadi ya kiasi kilichohesabiwa (100/10 = 10) na vivyo hivyo kugawa vitengo vya kila kiasi cha kipimo ili kuzalisha kitengo cha kiasi kilichohesabiwa (m/s = m/s). Sasa, fikiria kutumia uhusiano huo kutabiri muda unaohitajika kwa mtu anayeendesha kwa kasi hii kusafiri umbali wa meta 25. uhusiano huo kati ya mali tatu hutumiwa, lakini katika kesi hii, kiasi mbili zinazotolewa ni kasi (10 m/s) na umbali (25 m). Ili kuzalisha mali inayotakiwa, wakati, equation inapaswa kupangwa upya ipasavyo:
\[\mathrm{time=\dfrac{distance}{speed}} \nonumber \]
Wakati huo unaweza kuhesabiwa kama:
\[\mathrm{\dfrac{25\: m}{10\: m/s}=2.5\: s} \nonumber \]
Tena, hesabu juu ya namba (25/10 = 2.5) ilifuatana na hesabu sawa kwenye vitengo (m/m/s = s) ili kutoa idadi na kitengo cha matokeo, 2.5 s Kumbuka kwamba, kama vile namba, wakati kitengo kinagawanywa na kitengo sawa (katika kesi hii, m/m), matokeo ni “1” -au, kama kawaida, vitengo” ghairi.”
Mahesabu haya ni mifano ya mbinu inayofaa ya hisabati inayojulikana kama uchambuzi wa mwelekeo (au njia ya sababu ya studio). Uchunguzi wa dimensional unategemea Nguzo hii: vitengo vya kiasi vinapaswa kuwa chini ya shughuli sawa za hisabati kama namba zao zinazohusiana. Njia hii inaweza kutumika kwa hesabu kuanzia mabadiliko rahisi kitengo kwa ngumu zaidi, mahesabu hatua mbalimbali kuwashirikisha kiasi kadhaa tofauti.
Mambo ya uongofu na Uchambuzi wa
Uwiano wa kiasi mbili sawa kilichoonyeshwa na vitengo tofauti vya upimaji unaweza kutumika kama sababu ya uongofu wa kitengo. Kwa mfano, urefu wa cm 2.54 na 1 katika. ni sawa (kwa ufafanuzi), na hivyo sababu ya uongofu wa kitengo inaweza kutolewa kutokana na uwiano,
\[\mathrm{\dfrac{2.54\: cm}{1\: in.}\:(2.54\: cm=1\: in.)\: or\: 2.54\:\dfrac{cm}{in.}} \nonumber \]
Vipengele vingine vingi vinavyotumika kwa kawaida vinatolewa katika Jedwali\(\PageIndex{1}\).
| Urefu | Volume | Misa |
|---|---|---|
| 1 m = 1.0936 yd | 1 L = 1.0567 qt | 1 kg = 2.2046 lb |
| 1 ndani. = 2.54 cm (halisi) | 1 qt = 0.94635 L | 1 lb = 453.59 g |
| 1 km = 0.62137 mi | 1 ft 3 = 28.317 L | 1 (avoirdupois) oz = 28.349 g |
| 1 mi = 1609.3 m | 1 tbsp = 14.787 ml | 1 (troy) oz = 31.103 g |
Tunapozidisha wingi (kama vile umbali uliotolewa kwa inchi) kwa sababu inayofaa ya uongofu wa kitengo, tunabadilisha wingi kuwa thamani sawa na vitengo tofauti (kama vile umbali katika sentimita). Kwa mfano, kuruka wima ya mchezaji wa mpira wa kikapu ya inchi 34 inaweza kubadilishwa kwa sentimita na:
\[\mathrm{34\: \cancel{in.} \times \dfrac{2.54\: cm}{1\:\cancel{in.}}=86\: cm} \nonumber \]
Kwa kuwa hesabu hii rahisi inahusisha kiasi, Nguzo ya uchambuzi wa dimensional inahitaji kuzidisha namba zote na vitengo. Idadi ya kiasi hiki mbili huongezeka ili kuzalisha idadi ya wingi wa bidhaa, 86, wakati vitengo vinaongezeka ili kuzalisha
\[\mathrm{\dfrac{in.\times cm}{in.}}. \nonumber \]
Kama vile kwa idadi, uwiano wa vitengo vinavyofanana pia ni sawa na moja,
\[\mathrm{\dfrac{in.}{in.}=1} \nonumber \]
na bidhaa kitengo hivyo simplifies kwa cm. (Wakati vitengo vinavyofanana vinagawanyika ili kuzalisha sababu ya 1, wanasemekana “kufuta.”) Kutumia uchambuzi wa mwelekeo, tunaweza kuamua kuwa sababu ya uongofu wa kitengo imeanzishwa kwa usahihi kwa kuangalia ili kuthibitisha kwamba kitengo cha awali kitafuta, na matokeo yatakuwa na kitengo cha kutafutwa (kilichobadilishwa).
Uzito wa ushindani Frisbee ni 125 g Badilisha wingi wake kwa ounces kwa kutumia kitengo cha uongofu sababu inayotokana na uhusiano 1 oz = 28.349 g (Jedwali\(\PageIndex{1}\)).
Suluhisho
Kama tuna sababu ya uongofu, tunaweza kuamua wingi katika kilo kwa kutumia equation sawa moja kutumika kwa ajili ya kubadilisha urefu kutoka inchi hadi sentimita.
\[x\:\mathrm{oz=125\: g\times unit\: conversion\: factor}\nonumber \]
Tunaandika kipengele cha uongofu wa kitengo katika aina zake mbili:
\[\mathrm{\dfrac{1\: oz}{28.349\: g}\:and\:\dfrac{28.349\: g}{1\: oz}}\nonumber \]
Sababu sahihi ya uongofu wa kitengo ni uwiano unaoondoa vitengo vya gramu na majani ya ounces.
\ [kuanza {align*}
x\:\ ce {oz} &=\ mathrm {125\:\ kufuta {g}\ mara\ dfrac {1\: oz} {28.349\:\\ kufuta {g}}\\
&=\\ hesabu {kushoto (\ dfrac {125} {28.349}\ haki)\ :oz}\\
&=\ mathrm {4.41\: oz\: (tatu\: muhimu\: takwimu)}
\ mwisho {align*}\ nonumber\]
Badilisha kiasi cha 9.345 qt kwa lita.
- Jibu
-
8.844 L
Zaidi ya mabadiliko ya kitengo rahisi, njia ya studio ya sababu inaweza kutumika kutatua matatizo magumu zaidi yanayohusisha hesabu. Bila kujali maelezo, mbinu ya msingi ni sawa-mambo yote yanayohusika katika hesabu lazima ipasavyo oriented kuhakikisha kwamba maandiko yao (vitengo) itakuwa ipasavyo kufuta na/au kuchanganya na mavuno kitengo taka katika matokeo. Hii ndiyo sababu inajulikana kama njia ya sababu ya studio. Kama utafiti wako wa kemia unaendelea, utakutana na fursa nyingi za kutumia njia hii.
Je, ni wiani wa antifreeze ya kawaida katika vitengo vya G/ml? Sampuli ya 4.00-qt ya antifreeze ina uzito wa 9.26 lb.
Suluhisho
Tangu\(\mathrm{density=\dfrac{mass}{volume}}\), tunahitaji kugawanya wingi kwa gramu kwa kiasi katika mililita. Kwa ujumla: idadi ya vitengo vya B = idadi ya vitengo vya kipengele\(\times\) cha uongofu wa kitengo. Sababu muhimu za uongofu hutolewa katika Jedwali 1.7.1:1 lb = 453.59 g; 1 L = 1.0567 qt; 1 L = 1,000 ml. Tunaweza kubadilisha wingi kutoka paundi hadi gramu kwa hatua moja:
\[\mathrm{9.26\:\cancel{lb}\times \dfrac{453.59\: g}{1\:\cancel{lb}}=4.20\times 10^3\:g}\nonumber \]
Tunahitaji kutumia hatua mbili za kubadilisha kiasi kutoka kwa quarts hadi mililita.
- Badilisha quarts kwa lita.
\[\mathrm{4.00\:\cancel{qt}\times\dfrac{1\: L}{1.0567\:\cancel{qt}}=3.78\: L}\nonumber \]
- Badilisha lita kwa mililita.
\[\mathrm{3.78\:\cancel{L}\times\dfrac{1000\: mL}{1\:\cancel{L}}=3.78\times10^3\:mL}\nonumber \]
Kisha,
\[\mathrm{density=\dfrac{4.20\times10^3\:g}{3.78\times10^3\:mL}=1.11\: g/mL}\nonumber \]
Vinginevyo, hesabu inaweza kuanzishwa kwa njia ambayo inatumia mambo matatu ya uongofu wa kitengo sequentially kama ifuatavyo:
\[\mathrm{\dfrac{9.26\:\cancel{lb}}{4.00\:\cancel{qt}}\times\dfrac{453.59\: g}{1\:\cancel{lb}}\times\dfrac{1.0567\:\cancel{qt}}{1\:\cancel{L}}\times\dfrac{1\:\cancel{L}}{1000\: mL}=1.11\: g/mL}\nonumber \]
Je! Ni kiasi gani katika lita za 1.000 oz, kutokana na kwamba 1 L = 1.0567 qt na 1 qt = 32 oz (hasa)?
- Jibu
-
\(\mathrm{2.956\times10^{-2}\:L}\)
Wakati akiendeshwa kutoka Philadelphia hadi Atlanta, umbali wa takriban 1250 km, a 2014 Lamborghini Aventador Roadster inatumia 213 L petroli.
- Uchumi wa mafuta (wastani), kwa maili kwa kila lita, Roadster ilipata wakati wa safari hii?
- Ikiwa petroli ina gharama ya dola 3.80 kwa kila lita, ni gharama gani ya mafuta ya safari hii?
Suluhisho
(a) Sisi kwanza kubadilisha umbali kutoka kilomita hadi maili:
\[\mathrm{1250\: km\times\dfrac{0.62137\: mi}{1\: km}=777\: mi}\nonumber \]
na kisha kubadilisha kiasi kutoka lita hadi galoni:
\[\mathrm{213\:\cancel{L}\times\dfrac{1.0567\:\cancel{qt}}{1\:\cancel{L}}\times\dfrac{1\: gal}{4\:\cancel{qt}}=56.3\: gal}\nonumber \]
Kisha,
\[\mathrm{(average)\: mileage=\dfrac{777\: mi}{56.3\: gal}=13.8\: miles/gallon=13.8\: mpg}\nonumber \]
Vinginevyo, hesabu inaweza kuanzishwa kwa njia ambayo inatumia mambo yote ya uongofu sequentially, kama ifuatavyo:
\[\mathrm{\dfrac{1250\:\cancel{km}}{213\:\cancel{L}}\times\dfrac{0.62137\: mi}{1\:\cancel{km}}\times\dfrac{1\:\cancel{L}}{1.0567\:\cancel{qt}}\times\dfrac{4\:\cancel{qt}}{1\: gal}=13.8\: mpg}\nonumber \]
(b) Kutumia kiasi kilichohesabiwa hapo awali katika galoni, tunaona:
\[\mathrm{56.3\: gal\times\dfrac{$3.80}{1\: gal}=$214}\nonumber \]
Toyota Prius Hybrid inatumia petroli 59.7 L kuendesha gari kutoka San Francisco hadi Seattle, umbali wa kilomita 1300 (tarakimu mbili muhimu).
- Uchumi wa mafuta (wastani), kwa maili kwa kila lita, Prius alipata wakati wa safari hii?
- Ikiwa petroli ina gharama ya dola 3.90 kwa kila lita, ni gharama gani ya mafuta ya safari hii?
- Jibu
-
51 mpg
- Jibu b
-
$62
Uongofu wa vitengo vya Joto
Tunatumia neno joto kutaja moto au baridi ya dutu. Njia moja tunapima mabadiliko ya joto ni kutumia ukweli kwamba vitu vingi vinapanua wakati joto lao linapoongezeka na mkataba wakati joto lao linapungua. Zebaki au pombe katika thermometer ya kawaida ya kioo hubadilisha kiasi chake kama joto linabadilika. Kwa sababu kiasi cha kioevu kinabadilika zaidi ya kiasi cha kioo, tunaweza kuona kioevu kupanua wakati inapata joto na mkataba wakati inapopata baridi.
Kuweka kiwango kwenye thermometer, tunahitaji seti ya maadili ya kumbukumbu: Mbili ya kawaida hutumiwa ni joto la kufungia na la kuchemsha la maji kwenye shinikizo la anga maalum. Kwa kiwango cha Celsius, 0 °C hufafanuliwa kama halijoto ya kufungia ya maji na 100 °C kama halijoto ya kuchemsha ya maji. Nafasi kati ya joto mbili imegawanywa katika vipindi 100 sawa, ambavyo tunaita digrii. Kwa kiwango cha Fahrenheit, kiwango cha kufungia cha maji hufafanuliwa kama 32 °F na joto la kuchemsha kama 212 °F.
Kufafanua mizani ya joto ya Celsius na Fahrenheit kama ilivyoelezwa katika aya iliyotangulia husababisha uhusiano mdogo zaidi kati ya maadili ya joto kwenye mizani hii miwili kuliko kwa vitengo tofauti vya kipimo kwa mali nyingine. Vitengo vingi vya kipimo kwa mali iliyotolewa ni sawia moja kwa moja na kila mmoja (y = mx). Kutumia vitengo vya urefu wa kawaida kama mfano mmoja:
\[\mathrm{length\: in\: feet=\left(\dfrac{1\: ft}{12\: in.}\right)\times length\: in\: inches} \nonumber \]
wapi
- y = urefu kwa miguu,
- x = urefu katika inchi, na
- mara kwa mara uwiano, m, ni sababu ya uongofu.
Mizani ya joto ya Celsius na Fahrenheit, hata hivyo, haishiriki kiwango cha kawaida cha sifuri, na hivyo uhusiano kati ya mizani hizi mbili ni moja ya mstari badala ya moja sawia (\(y = mx + b\)). Kwa hiyo, kubadilisha joto kutoka kwa moja ya mizani hii hadi nyingine inahitaji zaidi ya kuzidisha rahisi kwa sababu ya uongofu, m, pia lazima izingatie tofauti katika pointi za sifuri za mizani (\(b\)).
Equation linear zinazohusiana Celsius na Fahrenheit joto ni rahisi inayotokana na joto mbili kutumika kufafanua kila wadogo. Anawakilisha joto Celsius kama\(x\) na joto Fahrenheit kama\(y\), mteremko\(m\), ni computed kuwa:
\[\begin{align*} m &=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \\[4pt] &= \mathrm{\dfrac{212\: ^\circ F - 32\: ^\circ F}{100\: ^\circ C-0\: ^\circ C}} \\[4pt] &= \mathrm{\dfrac{180\: ^\circ F}{100\: ^\circ C}} \\[4pt] &= \mathrm{\dfrac{9\: ^\circ F}{5\: ^\circ C} }\end{align*} \nonumber \]
Y-intercept ya equation, b, kisha huhesabiwa kwa kutumia mojawapo ya jozi sawa za joto, (100 °C, 212 °F) au (0 °C, 32 °F), kama:
\[\begin{align*} b&=y-mx \\[4pt] &= \mathrm{32\:^\circ F-\dfrac{9\:^\circ F}{5\:^\circ C}\times0\:^\circ C} \\[4pt] &= \mathrm{32\:^\circ F} \end{align*} \nonumber \]
Equation inayohusiana na mizani ya joto ni basi:
\[\mathrm{\mathit{T}_{^\circ F}=\left(\dfrac{9\:^\circ F}{5\:^\circ C}\times \mathit{T}_{^\circ C}\right)+32\:^\circ C} \nonumber \]
Fomu iliyofupishwa ya equation hii inayoacha vitengo vya upimaji ni:
\[\mathrm{\mathit{T}_{^\circ F}=\dfrac{9}{5}\times \mathit{T}_{^\circ C}+32} \nonumber \]
Upyaji wa equation hii hutoa fomu muhimu kwa kubadili kutoka Fahrenheit hadi Celsius:
\[\mathrm{\mathit{T}_{^\circ C}=\dfrac{5}{9}(\mathit{T}_{^\circ F}+32)} \nonumber \]
Kama ilivyoelezwa hapo awali katika sura hii, kitengo cha SI cha joto ni kelvin (K). Tofauti na mizani ya Celsius na Fahrenheit, kiwango cha kelvin ni kiwango cha joto kabisa ambacho 0 (sifuri) K inalingana na joto la chini kabisa linaloweza kupatikana kinadharia. Ugunduzi wa mapema wa karne ya 19 wa uhusiano kati ya kiasi cha gesi na halijoto ulipendekeza kwamba kiasi cha gesi kitakuwa sifuri saa -273.15 °C Mwaka 1848, mwanafizikia wa Uingereza William Thompson, ambaye baadaye alikubali cheo cha Bwana Kelvin, alipendekeza kiwango cha joto kabisa kulingana na dhana hii (zaidi matibabu ya mada hii hutolewa katika sura ya maandishi haya juu ya gesi).
Kufungia joto la maji kwa kiwango hiki ni 273.15 K na joto yake ya kuchemsha 373.15 K. Angalia tofauti ya namba katika joto hizi mbili kumbukumbu ni 100, sawa na kwa kiwango Celsius, na hivyo uhusiano linear kati ya mizani hizi mbili joto itakuwa kuonyesha mteremko wa\(\mathrm{1\:\dfrac{K}{^\circ\:C}}\). Kufuatia mbinu hiyo hiyo, usawa wa kugeuza kati ya mizani ya joto ya kelvin na Celsius hutolewa kuwa:
\[T_{\ce K}=T_{\mathrm{^\circ C}}+273.15 \nonumber \]
\[T_\mathrm{^\circ C}=T_{\ce K}-273.15 \nonumber \]
Ya 273.15 katika equations hizi imeamua majaribio, hivyo si sahihi. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha uhusiano kati ya mizani mitatu ya joto. Kumbuka kwamba hatutumii ishara ya shahada na joto kwenye kiwango cha kelvin.
Ingawa kiwango cha joto cha kelvin (kabisa) ni kiwango rasmi cha joto cha SI, Celsius hutumika kwa kawaida katika mazingira mengi ya kisayansi na ni kiwango cha uchaguzi kwa mazingira yasiyo ya sayansi katika karibu maeneo yote ya dunia. Nchi chache sana (Marekani na maeneo yake, Bahamas, Belize, Visiwa vya Cayman, na Palau) bado hutumia Fahrenheit kwa hali ya hewa, dawa, na kupikia.
Joto la kawaida la mwili limekubaliwa kwa kawaida kama 37.0 °C (ingawa inatofautiana kulingana na muda wa siku na njia ya kipimo, vilevile kati ya watu binafsi). Je! Joto hili ni nini kwenye kiwango cha kelvin na kwa kiwango cha Fahrenheit?
Suluhisho
\[\mathrm{K= {^\circ C}+273.15=37.0+273.2=310.2\: K}\nonumber \]
\[\mathrm{^\circ F=\dfrac{9}{5}\:{^\circ C}+32.0=\left(\dfrac{9}{5}\times 37.0\right)+32.0=66.6+32.0=98.6\: ^\circ F}\nonumber \]
Geuza 80.92 °C kwa K na °F.
- Jibu
-
354.07 K, 177.7 °F
Kuoka pizza iliyopangwa tayari huita joto la tanuri la 450 °F Kama uko Ulaya, na thermometer yako ya tanuri inatumia kiwango cha Celsius, ni mazingira gani? Joto la kelvin ni nini?
Suluhisho
\[\mathrm{^\circ C=\dfrac{5}{9}(^\circ F-32)=\dfrac{5}{9}(450-32)=\dfrac{5}{9}\times 418=232 ^\circ C\rightarrow set\: oven\: to\: 230 ^\circ C}\hspace{20px}\textrm{(two significant figures)}\nonumber \]
\[\mathrm{K={^\circ C}+273.15=230+273=503\: K\rightarrow 5.0\times 10^2\,K\hspace{20px}(two\: significant\: figures)}\nonumber \]
Geuza 50 °F kwa °C na K.
- Jibu
-
10 °C, 280 K
Muhtasari
Vipimo vinafanywa kwa kutumia vitengo mbalimbali. Mara nyingi ni muhimu au muhimu kubadili kiasi cha kipimo kutoka kitengo kimoja hadi kingine. Mabadiliko haya yanatimizwa kwa kutumia mambo ya uongofu wa kitengo, ambayo yanatokana na matumizi rahisi ya mbinu ya hisabati inayoitwa njia ya sababu ya studio au uchambuzi wa mwelekeo. Mkakati huu pia umeajiriwa kuhesabu kiasi kilichotafutwa kwa kutumia kiasi cha kipimo na mahusiano sahihi ya hisabati.
Mlinganyo muhimu
- \(T_\mathrm{^\circ C}=\dfrac{5}{9}\times T_\mathrm{^\circ F}-32\)
- \(T_\mathrm{^\circ F}=\dfrac{9}{5}\times T_\mathrm{^\circ C}+32\)
- \(T_\ce{K}={^\circ \ce C}+273.15\)
- \(T_\mathrm{^\circ C}=\ce K-273.15\)
faharasa
- uchambuzi wa mwelekeo
- (pia, sababu studio mbinu) hodari hisabati mbinu ambayo inaweza kutumika kwa hesabu kuanzia mabadiliko rahisi kitengo kwa ngumu zaidi, mahesabu mbalimbali hatua kuwashirikisha kiasi mbalimbali
- Fahrenheit
- kitengo cha joto; maji huganda saa 32 °F na majipu saa 212 °F kwa kiwango hiki
- kipengele cha uongofu wa kitengo
- uwiano wa kiasi sawa kilichoonyeshwa na vitengo tofauti; kutumika kubadili kutoka kitengo kimoja hadi kitengo tofauti