15.7: Kufutwa kwa kulazimishwa

Last updated
Save as PDF

Page ID: 177023

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Eleza kufuta kulazimishwa
Orodha ya usawa wa mwendo unaohusishwa na oscillations kulazimishwa
Eleza dhana ya resonance na athari zake juu ya amplitude ya oscillator
Andika orodha ya sifa za mfumo unaozunguka katika resonance

Kaa mbele ya piano wakati mwingine na kuimba maelezo mafupi kwa hiyo na dampers mbali na masharti yake (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Itakuwa kuimba note sawa nyuma katika wewe-masharti, kuwa na masafa sawa na sauti yako, ni resonating katika kukabiliana na majeshi kutoka mawimbi ya sauti kwamba alimtuma yao. Huu ni mfano mzuri wa ukweli kwamba vitu-katika kesi hii, piano kamba-inaweza kulazimishwa oscillate, na oscillate kwa urahisi zaidi katika frequency yao ya asili. Katika sehemu hii, tunachunguza kwa ufupi kutumia nguvu ya kuendesha gari mara kwa mara inayofanya oscillator rahisi ya harmonic. Nguvu ya kuendesha gari huweka nishati ndani ya mfumo kwa mzunguko fulani, sio sawa na mzunguko wa asili wa mfumo. Kumbuka kwamba mzunguko wa asili ni mzunguko ambao mfumo ungeweza kusonga ikiwa hapakuwa na kuendesha gari na hakuna nguvu ya damping.

Picha ya karibu ya masharti katika piano — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): - Unaweza kusababisha masharti katika piano kutetemeka tu kwa kuzalisha mawimbi ya sauti kutoka kwa sauti yako.

Wengi wetu wamecheza na toys kuwashirikisha kitu mkono juu ya bendi elastic, kitu kama mpira paddle kusimamishwa kutoka kidole katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Fikiria kidole katika takwimu ni kidole chako. Mara ya kwanza, unashikilia kidole chako kwa kasi, na mpira hupanda juu na chini na kiasi kidogo cha uchafu. Ikiwa unasonga kidole chako juu na chini polepole, mpira hufuata pamoja bila kujifungua sana. Unapoongeza mzunguko ambao unasonga kidole chako juu na chini, mpira hujibu kwa kusonga kwa kuongeza amplitude. Unapoendesha mpira kwenye mzunguko wake wa asili, oscillations ya mpira huongezeka kwa amplitude na kila oscillation kwa muda mrefu kama wewe kuendesha gari. Jambo la kuendesha mfumo na mzunguko sawa na mzunguko wake wa asili huitwa resonance. Mfumo unaoendeshwa kwa mzunguko wake wa asili unasemekana kurudia. Kama mzunguko wa kuendesha gari anapata kuendelea juu kuliko frequency resonant au asili, amplitude ya oscillations inakuwa ndogo mpaka oscillations karibu kutoweka, na kidole yako tu hatua juu na chini na athari kidogo juu ya mpira.

Takwimu inaonyesha picha tatu za usawa kutazamwa kamba imesimamishwa kutoka kwa kidole, na mpira umefungwa hadi mwisho wake wa chini. Katika takwimu ya kwanza, kidole huenda juu na chini na frequency ya chini f, na mpira huenda juu na chini umbali mbali na urefu wake wa usawa, makazi yao inavyoonekana katika takwimu kama vivuli vya faded ya mpira na msimamo wa usawa kama picha nyeusi. Katika takwimu ya pili kidole hatua juu na chini na frequency f ndogo zero na harakati ya mpira ni kubwa zaidi kuliko katika kwanza. Katika takwimu ya tatu kidole huenda juu na chini na mzunguko wa juu f, na harakati ya mpira ni ndogo kuliko katika takwimu ya kwanza. Katika takwimu zote tatu umbali wa jumla kutoka chini hadi nafasi ya juu ya mpira unahitajika kama 2 A. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mpira wa paddle kwenye bendi yake ya mpira huenda kwa kukabiliana na kidole kinachounga mkono. Ikiwa kidole kinaendelea na mzunguko wa asili f0 wa mpira kwenye bendi ya mpira, basi resonance inapatikana, na amplitude ya oscillations ya mpira huongezeka kwa kasi. Katika mzunguko wa juu na wa chini wa kuendesha gari, nishati huhamishiwa kwenye mpira chini ya ufanisi, na hujibu kwa oscillations ya chini-amplitude.

Fikiria jaribio rahisi. Ambatanisha molekuli m kwa chemchemi katika maji machafu, sawa na vifaa vilivyojadiliwa katika oscillator ya harmonic iliyopigwa. Wakati huu, badala ya kurekebisha mwisho wa bure wa chemchemi, ambatisha mwisho wa bure kwenye diski inayoendeshwa na motor ya kasi. Magari hugeuka na mzunguko wa kuendesha gari wa angular ya ω. Disk inayozunguka hutoa nishati kwa mfumo kwa kazi iliyofanywa na nguvu ya kuendesha gari (F _d = F ₀ dhambi (\(\omega\)t)). Vifaa vya majaribio vinaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{3}\).

Masi m imesimamishwa kutoka kwenye chemchemi ya wima na kuingizwa katika maji ambayo ina chai ya viscosity. Juu ya chemchemi inaunganishwa na makali ya disk wima inayozunguka kwenye mhimili usio na usawa na omega ya kasi ya angular. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Kulazimishwa, damped harmonic mwendo zinazozalishwa na kuendesha gari spring na wingi na disk inaendeshwa na motor variable kasi.

Kwa kutumia sheria ya pili ya Newton (\(\vec{F}_{net} = m \vec{a}\)), tunaweza kuchambua mwendo wa wingi. Equation kusababisha ni sawa na equation nguvu kwa oscillator damped harmonic, pamoja na kuongeza ya nguvu ya kuendesha gari:

\[-kx -b \frac{dx}{dt} + F_{0} \sin (\omega t) = m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} \ldotp \label{15.27}\]

Wakati oscillator inalazimika kwa nguvu ya kuendesha gari mara kwa mara, mwendo unaweza kuonekana kuwa machafuko. Mwendo wa oscillator hujulikana kama muda mfupi. Baada ya muda mfupi kufa, oscillator hufikia hali ya kutosha, ambapo mwendo ni mara kwa mara. Baada ya muda fulani, ufumbuzi wa hali ya kutosha kwa equation hii tofauti ni

\[x(t) = A \cos (\omega t + \phi) \ldotp \label{15.28}\]

Mara nyingine tena, ni kushoto kama zoezi kuthibitisha kwamba equation hii ni suluhisho. Kuchukua derivative ya mara ya kwanza na ya pili ya x (t) na kuwabadilisha katika nguvu equation inaonyesha kwamba x (t) = Asin (\(\omega t + \phi\)) ni suluhisho kwa muda mrefu kama amplitude ni sawa na

\[A = \frac{F_{0}}{\sqrt{m^{2} (\omega^{2} - \omega_{0}^{2})^{2} + b^{2} \omega^{2}}} \label{15.29}\]

\(\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\)wapi mzunguko wa angular wa asili wa mfumo wa wingi na spring. Kumbuka kwamba mzunguko wa angular, na hivyo mzunguko, wa magari unaweza kubadilishwa. Kuangalia denominator ya equation kwa amplitude, wakati mzunguko wa kuendesha gari ni ndogo sana, au kubwa zaidi, kuliko mzunguko wa asili, mraba wa tofauti ya masafa mawili ya angular\((\omega^{2} − \omega_{0}^{2})^{2}\) ni chanya na kubwa, na kufanya denominator kubwa, na matokeo yake ni amplitude ndogo oscillations ya wingi. Kama mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari inakaribia mzunguko wa asili wa mfumo, denominator inakuwa ndogo na amplitude ya oscillations inakuwa kubwa. Matokeo ya amplitude ya juu wakati mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari unafanana na mzunguko wa asili wa mfumo (A _max =\(\frac{F_{0}}{b \omega}\)).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha grafu ya amplitude ya oscillator ya harmonic ya damped kama kazi ya mzunguko wa nguvu ya mara kwa mara inayoendesha gari. Kila moja ya curves tatu kwenye grafu inawakilisha kiasi tofauti cha damping. Vipande vyote vitatu vilele wakati ambapo mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari unafanana na mzunguko wa asili wa oscillator ya harmonic. Kilele cha juu, au majibu makubwa, ni kwa kiasi kidogo cha uchafu, kwa sababu nishati ndogo huondolewa na nguvu ya damping. Kumbuka kwamba tangu amplitude inakua kama kupungua kwa damping, kuchukua hii hadi kikomo ambapo hakuna damping (b = 0), amplitude inakuwa isiyo na mwisho.

Kumbuka kuwa nguvu ndogo ya kuendesha gari inaweza kuzalisha majibu makubwa ya amplitude. Jambo hili linajulikana kama resonance. Mfano wa kawaida wa resonance ni mzazi anayepiga mtoto mdogo kwenye swing. Wakati mtoto anataka kwenda juu, mzazi hana kurudi nyuma na kisha, kupata kuanza mbio, slam ndani ya mtoto, kutumia nguvu kubwa katika muda mfupi. Badala yake, mzazi hutumia mtoto mdogo kwa mzunguko tu, na ukubwa wa swings ya mtoto huongezeka.

Grafu ya amplitude dhidi ya mzunguko wa kuendesha gari inayoonyesha curves kwa damping ndogo, damping kati, na damping nzito. Masafa ya sifuri ndogo juu ya mbili, f ndogo sifuri, na tatu f ndogo sifuri juu ya mbili ni lebo juu ya mhimili usawa. Curves ni symmetric na wote kwa amplitude yao ya juu katika mzunguko wa sifuri ndogo. Curve ndogo ya damping ina kiwango cha juu zaidi, na curve nzito ya damping ina kiwango cha juu kidogo zaidi. Upana wa curves kwa nusu thamani yao ya juu huonyeshwa. Curve nyembamba ni curve ndogo ya damping, pana zaidi ni curve nzito damping. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Amplitude ya oscillator harmonic kama kazi ya mzunguko wa nguvu ya kuendesha gari. Curves inawakilisha oscillator sawa na mzunguko sawa wa asili lakini kwa kiasi tofauti cha damping. Resonance hutokea wakati mzunguko wa kuendesha gari unafanana na mzunguko wa asili, na majibu makubwa ni kwa kiasi kidogo cha uchafu. Jibu nyembamba pia ni kwa ajili ya uchafu mdogo.

Inashangaza kutambua kwamba upana wa curves resonance inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\) hutegemea damping: chini ya damping, nyembamba resonance. Matokeo ni kwamba ikiwa unataka oscillator inayoendeshwa ili kurudia kwa mzunguko maalum sana, unahitaji damping kidogo iwezekanavyo. Kwa mfano, redio ina mzunguko ambao hutumika kuchagua kituo fulani cha redio. Katika kesi hiyo, oscillator ya kulazimishwa imejumuisha kupinga, capacitor, na inductor, ambayo itajadiliwa baadaye katika kozi hii. Mzunguko ni “tuned” kuchukua kituo fulani cha redio. Hapa ni kuhitajika kuwa na curve resonance kuwa nyembamba sana, kuchukua mzunguko halisi wa kituo cha redio waliochaguliwa. Upungufu wa grafu, na uwezo wa kuchukua mzunguko fulani, unajulikana kama ubora wa mfumo. Ubora hufafanuliwa kama kuenea kwa mzunguko wa angular, au sawa, kuenea kwa mzunguko, kwa nusu ya amplitude ya juu, imegawanywa na mzunguko wa asili (Q =\(\frac{\Delta \omega}{\omega_{0}}\)) kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{5}\). Kwa damping ndogo, ubora ni takriban sawa na Q ≈\(\frac{2b}{m}\).

Grafu ya amplitude dhidi ya mzunguko wa angular. Curve ni symmetric na kilele, na amplitude upeo wa A katika frequency kinachoitwa kama omega ndogo zero. Upana wa curve, ambapo amplitude ni nusu A upande wowote wa upeo, unaonyeshwa. — Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Ubora wa mfumo hufafanuliwa kama kuenea kwa mzunguko wa nusu ya amplitude iliyogawanywa na mzunguko wa asili.

Vipengele hivi vya oscillators ya harmonic inayoendeshwa hutumika kwa mifumo mbalimbali. Kwa mfano, picha ya resonance magnetic (MRI) ni chombo kinachotumiwa sana cha uchunguzi wa matibabu ambapo viini vya atomiki (hasa viini vya hidrojeni au protoni) vinafanywa kwa kurudia na mawimbi ya redio zinazoingia (kwa utaratibu wa 100 MHz). Katika kesi zote hizi, ufanisi wa uhamisho wa nishati kutoka kwa nguvu ya kuendesha gari ndani ya oscillator ni bora katika resonance. Kielelezo\(\PageIndex{6}\) kinaonyesha London Milenia Footbridge ambayo inaruhusu watembea kwa miguu kuvuka Mto Thames katika London. Daraja hili liliitwa jina la utani la “Bridge Wobbly” wakati watembea kwa miguu walipopata mwendo wa kutembea wakati wa kuvuka. Daraja lilifungwa kwa takribani miaka miwili ili kuondokana na mwendo huu.

Picha inaonyesha London Milenia Footbridge. — Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Awali wakati watu walivuka London Milenia Footbridge, walipata mwendo wa kutembea. Watu wanaoendelea kuvuka waliimarisha amplitude ya oscillation, na hivyo kuongeza tatizo la shida. (mikopo: Adrian Pingstone/Wikimedia Commons)

Zoezi 15.6

Hila maarufu ya uchawi inahusisha mwigizaji anayeimba kumbuka kuelekea kioo kioo mpaka kioo kikivunja. Eleza kwa nini hila hufanya kazi kwa suala la resonance na mzunguko wa asili.