15.6: Oscillations damped

Last updated
Save as PDF

Page ID: 177019

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Eleza mwendo wa mwendo wa harmonic damped
Andika equations ya mwendo kwa oscillations damped harmonic
Eleza mwendo wa inaendeshwa, au kulazimishwa, damped harmonic mwendo
Andika equations ya mwendo kwa kulazimishwa, damped harmonic mwendo

Katika ulimwengu wa kweli, oscillations mara chache kufuata SHM kweli. Msuguano wa aina fulani kwa kawaida hufanya kudhoofisha mwendo hivyo hufa mbali, au unahitaji nguvu zaidi kuendelea. Katika sehemu hii, sisi kuchunguza baadhi ya mifano ya damped harmonic mwendo na kuona jinsi ya kurekebisha milinganyo ya mwendo kuelezea kesi hii ya jumla zaidi.

Kamba ya gitaa huacha kusonga sekunde chache baada ya kung'olewa. Ili kuendelea kuzungumza kwenye uwanja wa michezo, lazima uendelee kusuuza (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Ingawa tunaweza mara nyingi kufanya msuguano na majeshi mengine yasiyo ya kihafidhina ndogo au kidogo, mwendo kabisa undamped ni nadra. Kwa kweli, tunaweza hata kutaka kufuta oscillations, kama vile absorbers mshtuko gari.

Picha ya mtu kwenye swing — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Ili kukabiliana na vikosi vya kupungua, unahitaji kuendelea kusukwa swing. (mikopo: Bob Mical)

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) inaonyesha molekuli m masharti ya spring na nguvu ya mara kwa mara k. wingi ni kufufuliwa kwa nafasi A ₀, amplitude ya awali, na kisha kutolewa. Masi oscillates karibu nafasi ya usawa katika maji na viscosity lakini amplitude inapungua kwa kila oscillation. Kwa mfumo una kiasi kidogo cha damping, kipindi na mzunguko ni mara kwa mara na ni karibu sawa na kwa SHM, lakini amplitude hupungua hatua kwa hatua kama inavyoonekana. Hii hutokea kwa sababu nguvu isiyo ya kihafidhina ya uchafu huondoa nishati kutoka kwa mfumo, kwa kawaida kwa namna ya nishati ya joto.

Masi m imesimamishwa kutoka kwenye chemchemi ya wima na kuingizwa katika maji ambayo ina chai ya viscosity. Grafu ya oscillation ya damped inaonyesha uhamisho x katika mita kwenye mhimili wima kama kazi ya muda kwa sekunde kwenye mhimili usio na usawa. Aina ya x inatoka chini ya sifuri ndogo hadi pamoja na sifuri ndogo. Wakati wadogo ni kutoka sifuri hadi 7 T, na tics katika nyongeza ya T. makazi yao ni pamoja na sifuri ndogo wakati sifuri na oscillates kati ya maxima chanya na minima hasi, na kila mzunguko kamili kuchukua wakati huo huo T lakini amplitude ya oscillations kupungua kwa wakati. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kwa wingi juu ya spring oscillating katika maji KINATACHO, kipindi bado mara kwa mara, lakini amplitudes ya oscillations hupungua kutokana na damping unasababishwa na maji.

Fikiria nguvu zinazofanya juu ya wingi. Kumbuka kuwa mchango pekee wa uzito ni kubadili msimamo wa usawa, kama ilivyojadiliwa hapo awali katika sura. Kwa hiyo, nguvu ya wavu ni sawa na nguvu ya spring na nguvu ya uchafu (\(F_D\)). Ikiwa ukubwa wa kasi ni mdogo, maana ya wingi oscillates polepole, nguvu ya damping ni sawia na kasi na vitendo dhidi ya mwelekeo wa mwendo (\(F_D = −b\)). Nguvu ya wavu juu ya wingi ni kwa hiyo

\[ma = -bv - kx \ldotp\]

Kuandika hii kama equation tofauti katika x, tunapata

\[m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0 \ldotp \label{15.23}\]

Kuamua ufumbuzi wa equation hii, fikiria njama ya nafasi dhidi ya wakati inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Curve inafanana Curve cosine oscillating katika bahasha ya kazi kielelezo\(A_0e^{−\alpha t}\) ambapo\(\alpha = \frac{b}{2m}\). Suluhisho ni

\[x(t) = A_{0} e^{- \frac{b}{2m} t} \cos (\omega t + \phi) \ldotp \label{15.24}\]

Imeachwa kama zoezi la kuthibitisha kwamba hii ni, kwa kweli, suluhisho. Ili kuthibitisha kuwa ni suluhisho sahihi, chukua derivatives ya kwanza na ya pili kwa heshima na wakati na ubadilishe katika Equation 15.23. Ni kupatikana kuwa Equation 15.24 ni suluhisho kama

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}} \ldotp\]

Kumbuka kwamba mzunguko wa angular wa molekuli unaofanyika SHM ni sawa na mizizi ya mraba ya nguvu ya mara kwa mara imegawanywa na wingi. Hii mara nyingi hujulikana kama mzunguko wa angular wa asili, ambao unawakilishwa kama

\[\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} \ldotp \label{15.25}\]

Mzunguko wa angular kwa mwendo wa harmonic damped inakuwa

\[\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}} \ldotp \label{15.26}\]

Takwimu inaonyesha grafu ya uhamisho, x katika mita, pamoja na mhimili wima, dhidi ya muda kwa sekunde pamoja na mhimili usio na usawa. makazi yao ni kati ya bala A ndogo zero pamoja na ndogo sifuri na wakati ni kati ya 0 hadi 10 T. makazi yao, inavyoonekana na Curve bluu, oscillates kati ya maxima chanya na minima hasi, na kutengeneza wimbi ambayo amplitude ni kupungua hatua kwa hatua kama sisi hoja mbali na t=0. Wakati, T, kati ya viumbe vya karibu vinaendelea kuwa sawa. Bahasha, curve laini inayounganisha viumbe na curve nyingine laini inayounganisha mabwawa ya oscillations, inaonyeshwa kama jozi ya mistari nyekundu iliyopigwa. Curve ya juu kuunganisha viumbe ni kinachoitwa kama pamoja A ndogo zero mara e kwa wingi bala b t juu ya 2 m. curve ya chini kuunganisha mabwawa ni kinachoitwa kama bala A ndogo sifuri mara e kwa wingi bala b t zaidi ya m 2. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Nafasi dhidi ya muda kwa wingi oscillating juu ya spring katika maji KINATACHO. Angalia kwamba Curve inaonekana kuwa kazi ya cosine ndani ya bahasha ya kielelezo.

Kumbuka kwamba wakati sisi alianza maelezo haya ya damped harmonic mwendo, sisi alisema kuwa damping lazima ndogo. Maswali mawili huja akilini. Kwa nini damping lazima iwe ndogo? Na jinsi ndogo ni ndogo? Kama hatua kwa hatua kuongeza kiasi cha damping katika mfumo, kipindi na frequency kuanza kuathirika, kwa sababu damping anapinga na hivyo kupunguza kasi ya nyuma na nje mwendo. (Nguvu ya wavu ni ndogo katika pande zote mbili.) Ikiwa kuna damping kubwa sana, mfumo hauna hata oscillate-huenda polepole kuelekea usawa. Mzunguko wa angular ni sawa na

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}} \ldotp\]

Kama b kuongezeka,\(\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}\) inakuwa ndogo na hatimaye kufikia sifuri wakati b =\(\sqrt{4mk}\). Kama b inakuwa yoyote kubwa,\(\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}\) inakuwa idadi hasi na\(\sqrt{\frac{k}{m} - \left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}}\) ni idadi tata.

Msimamo, x katika mita kwenye mhimili wima, dhidi ya muda kwa sekunde kwenye mhimili usio na usawa, na digrii tofauti za uchafu. Hakuna kiwango kinachotolewa kwa mhimili wowote. Curves zote tatu kuanza katika nafasi sawa chanya wakati sifuri. Blue Curve a, iliyoandikwa na b squared ni chini ya 4 m k, inakabiliwa kidogo zaidi ya mbili na robo oscillations ya amplitude kupungua na kipindi cha mara kwa mara. Red Curve b, iliyoandikwa na b squared ni sawa na 4 m k, itapungua saa t=0 chini ya kasi kuliko curve ya bluu, lakini haina oscillate. Curve nyekundu inakaribia x=0 asymptotically, na ni karibu sifuri ndani ya oscillation moja ya Curve bluu. Curve ya kijani c, iliyoandikwa na b squared ni kubwa kuliko m 4 k, itapungua kwa t = 0 chini ya kasi kuliko curve nyekundu, na haina oscillate. Curve ya kijani inakaribia x=0 kwa urahisi, lakini bado inaonekana juu ya sifuri mwishoni mwa grafu, baada ya kufuta zaidi ya mbili ya curve ya bluu. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Msimamo dhidi ya muda kwa mifumo mitatu yenye wingi na chemchemi katika maji machafu. (a) Kama damping ni ndogo (b\(\sqrt{4mk}\) <), wingi oscillates, polepole kupoteza amplitude kama nishati ni dissipated na nguvu zisizo kihafidhina (s). Kesi ya kikwazo ni (b) ambapo damping ni (b =\(\sqrt{4mk}\)). (c) Ikiwa damping ni kubwa sana (b >\(\sqrt{4mk}\)), wingi hauingii wakati wa kuhamishwa, lakini hujaribu kurudi kwenye nafasi ya usawa.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha uhamisho wa oscillator ya harmonic kwa kiasi tofauti cha damping.

Wakati mara kwa mara damping ni ndogo, b\(\sqrt{4mk}\) <, mfumo oscillates wakati amplitude ya mwendo kuoza exponentially. Mfumo huu unasemekana kuwa underdamped, kama katika Curve (a). Mifumo mingi ni underdamped, na oscillate wakati amplitude itapungua exponentially, kama vile wingi oscillating juu ya spring. Damping inaweza kuwa ndogo sana, lakini hatimaye umati huja kupumzika.
Kama mara kwa mara damping ni\(b = \sqrt{4mk}\), mfumo inasemekana kuwa kina damped, kama katika Curve (\(b\)). Mfano wa mfumo wa kina damped ni absorbers mshtuko katika gari. Ni faida ya kuwa na oscillations kuoza haraka iwezekanavyo. Hapa, mfumo hauwezi kusonga, lakini kwa njia isiyo ya kawaida hukaribia hali ya usawa haraka iwezekanavyo.
Curve (c) katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\) inawakilisha mfumo overdamped ambapo\(b > \sqrt{4mk}\). Mfumo ulioingizwa utakaribia usawa kwa muda mrefu zaidi.

Damping muhimu mara nyingi hutakiwa, kwa sababu mfumo huo unarudi kwa usawa haraka na unabaki katika usawa pia. Aidha, nguvu ya mara kwa mara kutumika kwa mfumo kina damped hatua mfumo kwa nafasi mpya ya usawa katika muda mfupi iwezekanavyo bila overshooting au oscillating kuhusu nafasi mpya.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Kwa nini oscillators harmonic kabisa undamped hivyo nadra?