15.4: Kulinganisha Simple Harmonic Motion na Mviringo Motion

Last updated
Save as PDF

Page ID: 177012

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Eleza jinsi kazi za sine na cosine zinahusiana na dhana za mwendo wa mviringo
Eleza uhusiano kati ya mwendo rahisi wa harmonic na mwendo wa mviringo

Njia rahisi ya kutengeneza Simple Harmonic Motion (SHM) ni kwa kuzingatia mwendo sare mviringo. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha njia moja ya kutumia njia hii. Nguruwe (silinda ya kuni) inaunganishwa na diski ya wima, inayozunguka na mzunguko wa angular mara kwa mara.

Mfano wa njia iliyojadiliwa katika maandiko ya kutupa kivuli cha oscillating. Nguruwe hutembea kutoka kwenye disk inayozunguka wima ambayo imewekwa kwa wima kwenye ukuta. Seti ya taa huangaza chini, kuangaza kilele kutoka hapo juu. Kivuli cha nguruwe kinaonyeshwa hapa chini kama inavyoonekana mara kadhaa wakati wa kufuta, na kutengeneza mfululizo wa pointi kwenye mstari unaofanana na ukuta. Umbali kutoka katikati ya mstari hadi eneo la kivuli ni x. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): SHM inaweza kuonyeshwa kama mwendo wa mzunguko kwa kuangalia kivuli cha nguruwe kwenye gurudumu linalozunguka kwenye mzunguko wa angular mara kwa mara.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha mtazamo wa upande wa disk na nguruwe. Ikiwa taa imewekwa juu ya diski na nguruwe, nguruwe hutoa kivuli. Hebu disk kuwa na radius ya r = A na kufafanua msimamo wa kivuli kwamba sanjari na mstari katikati ya disk kuwa x = 0.00 m Kama disk inazunguka kwa kiwango cha mara kwa mara, kivuli oscillates kati x = + A na x = -A Sasa fikiria block juu ya spring chini ya sakafu kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

Ulinganisho wa eneo la angular la nguruwe kwenye diski inayozunguka, nafasi ya kivuli chake, na nafasi ya kusonga kwa wingi kwenye chemchemi ya usawa. Katika kila takwimu, nguruwe inaangazwa kutoka juu na seti ya taa, ikitoa kivuli kwenye mstari usio na usawa. Disk ina radius r = A na inazunguka kinyume na omega kasi ya angular. Msimamo wa angular wa nguruwe, theta, ni sifuri wakati nguruwe iko moja kwa moja na haki ya katikati ya diski. Spring inaunganishwa na ukuta upande wa kushoto na wingi upande wa kulia. Msimamo wa wingi na kivuli ni x, ambapo x=0 ni moja kwa moja chini ya katikati ya diski, X =-A ni moja kwa moja chini ya makali ya kushoto ya disk, na X=+A ni moja kwa moja chini ya makali ya haki ya disk. Katika takwimu a, t=0.0. Nguruwe ni moja kwa moja na haki ya katikati ya diski. Kivuli chake na wingi ni wote katika x = +A Katika takwimu b, kigingi ni angle theta sawa omega t, katika roboduara ya kwanza. Kivuli na masi yake yote ni moja kwa moja chini ya kigingi katika kile kinachoonekana kuwa x = +A/2. Wakati haujainishwa. Katika takwimu c, t=t/4. Nguruwe ni moja kwa moja juu ya katikati ya diski. Msimamo wake wa angular theta sawa na omega t. kivuli chake na wingi ni wote katika x =0. Katika takwimu d, nguruwe iko kwenye theta ya angle sawa na omega t, sasa katika quadrant ya pili. Kivuli na masi yake yote ni moja kwa moja chini ya kigingi katika kile kinachoonekana kuwa x = -A/2. Wakati haujainishwa. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Mwanga huangaza chini kwenye diski ili nguruwe hufanya kivuli. Ikiwa disk inazunguka kwenye mzunguko wa angular tu, kivuli kinachofuata mwendo wa block kwenye chemchemi. Ikiwa hakuna nishati iliyosababishwa kutokana na nguvu zisizo za kihafidhina, kizuizi na kivuli kitapungua na kurudi kwa pamoja. Katika takwimu hii, picha nne zinachukuliwa kwa nyakati nne tofauti. (a) Gurudumu huanza saa\(\theta\) = 0° na kivuli cha kigingi ni x = + A, inayowakilisha wingi katika nafasi x = + A. (b) Kama disk inazunguka kupitia angle\(\theta\) =\(\omega\) t, kivuli cha kigingi ni kati ya x = + A na x = 0. (c) Disk inaendelea kuzunguka hadi\(\theta\) = 90°, ambapo kivuli kinachofuata wingi kwa x = 0. (d) Disk inaendelea kugeuka, kivuli kinachofuata nafasi ya wingi.

Ikiwa disk inarudi kwenye mzunguko sahihi wa angular, kivuli kinachofuata pamoja na block. Msimamo wa kivuli unaweza kuonyeshwa na equation

\[x(t) = A \cos (\omega t) \ldotp \label{15.14}\]

Kumbuka kwamba block masharti ya spring haina hoja kwa kasi ya mara kwa mara. Ni mara ngapi gurudumu linapaswa kugeuka kuwa na kivuli cha nguruwe daima kwenye kizuizi? Disk lazima igeuke kwenye mzunguko wa angular mara kwa mara sawa na\(\pi\) mara 2 mzunguko wa oscillation (\(\omega\)= 2\(\pi\) f).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\) inaonyesha uhusiano wa msingi kati ya mwendo sare mviringo na SHM. Nguruwe iko kwenye ncha ya radius, umbali A kutoka katikati ya diski. Mhimili wa x-hufafanuliwa na mstari unaofanana na ardhi, kukata disk kwa nusu. Mhimili wa y (hauonyeshwa) hufafanuliwa na mstari wa perpendicular chini, kukata disk katika nusu ya kushoto na nusu sahihi. Katikati ya disk ni hatua (x = 0, y = 0). Makadirio ya msimamo wa kigingi kwenye x-axis fasta inatoa nafasi ya kivuli, ambayo inakabiliwa na SHM sawa na mfumo wa kuzuia na spring. Wakati ulioonyeshwa kwenye takwimu, makadirio ina msimamo x na huenda upande wa kushoto na kasi\(v\). Kasi ya tangential ya nguruwe karibu na mduara sawa\(\bar{v}_{max}\) na block juu ya chemchemi. Sehemu ya x-ya kasi ni sawa na kasi ya kuzuia wakati wa chemchemi.

Tunaweza kutumia Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kuchambua kasi ya kivuli kama disk rotates. kigingi hatua katika mduara na kasi ya v _max = A\(\omega\). Kivuli kinatembea kwa kasi sawa na sehemu ya kasi ya kigingi yaani sambamba na uso ambako kivuli kinazalishwa:

\[v = -v_{max} \sin (\omega t) \ldotp \label{15.15}\]

Inafuata kwamba kuongeza kasi ni

\[a = -a_{max} \cos (\omega t) \ldotp \label{15.16}\]

Zoezi 15.3

Tambua kitu kinachopitia mwendo wa mviringo wa sare. Eleza jinsi unaweza kufuatilia SHM ya kitu hiki.