15.3: Nishati katika Simple Harmonic Motion

Malengo ya kujifunza

• Eleza uhifadhi wa nishati ya mfumo wa wingi na chemchemi
• Eleza dhana za pointi zilizo imara na zisizo na uhakika

Ili kuzalisha deformation katika kitu, lazima tufanye kazi. Hiyo ni, ikiwa unakata kamba ya gitaa au kuimarisha mshtuko wa mshtuko wa gari, nguvu lazima ifanyike kwa mbali. Ikiwa matokeo pekee ni deformation, na hakuna kazi inakwenda katika nishati ya joto, sauti, au kinetic, basi kazi yote ni awali kuhifadhiwa katika kitu kilichoharibika kama aina fulani ya nishati ya uwezo.

Fikiria mfano wa block iliyounganishwa na chemchemi kwenye meza isiyo na msuguano, ikisonga katika SHM. Nguvu ya spring ni nguvu ya kihafidhina (ambayo ulijifunza katika sura juu ya nishati na uhifadhi wa nishati), na tunaweza kufafanua nishati inayoweza kuifanya. Nishati hii ya uwezo ni nishati iliyohifadhiwa katika chemchemi wakati chemchemi inapanuliwa au imesisitizwa. Katika kesi hii, block oscillates katika mwelekeo mmoja na nguvu ya spring kaimu sambamba na mwendo:

\[W = \int_{x_{i}}^{x_{f}} F_{x} dx \int_{x_{i}}^{x_{f}} -kxdx = \Big[ - \frac{1}{2} kx^{2} \Big]_{x_{i}}^{x_{f}} = - \Big[ \frac{1}{2} kx_{f}^{2} - \frac{1}{2} kx_{i}^{2} \Big] = - [U_{f} - U_{i}] = - \Delta U \ldotp\]

Wakati wa kuzingatia nishati iliyohifadhiwa katika chemchemi, nafasi ya usawa, iliyowekwa kama x _i = 0.00 m, ni nafasi ambayo nishati iliyohifadhiwa katika chemchemi ni sawa na sifuri. Wakati chemchemi imetambulishwa au imesisitizwa umbali x, nishati inayohifadhiwa katika chemchemi ni

\[U = \frac{1}{2} kx^{2} \ldotp\]

Nishati na Oscillator rahisi ya Harmonic

Ili kujifunza nishati ya oscillator rahisi ya harmonic, tunahitaji kuzingatia aina zote za nishati. Fikiria mfano wa kizuizi kilichounganishwa na chemchemi, kilichowekwa kwenye uso usio na msuguano, ukizunguka katika SHM. Nishati inayohifadhiwa katika deformation ya spring ni

\[U = \frac{1}{2} kx^{2} \ldotp\]

Katika oscillator rahisi ya harmonic, nishati hupunguza kati ya nishati ya kinetic ya wingi K =\(\frac{1}{2}\) mv ² na nishati ya uwezo U =\(\frac{1}{2}\) kx ² iliyohifadhiwa katika chemchemi. Katika SHM ya mfumo wa wingi na wa spring, hakuna nguvu za kupoteza, hivyo nishati ya jumla ni jumla ya nishati na nishati ya kinetic. Katika sehemu hii, tunazingatia uhifadhi wa nishati ya mfumo. Dhana zilizochunguzwa halali kwa oscillators zote rahisi za harmonic, ikiwa ni pamoja na wale ambapo nguvu ya mvuto ina jukumu.

Fikiria Kielelezo\(\PageIndex{1}\), ambayo inaonyesha kuzuia oscillating masharti ya spring. Katika kesi ya SHM undamped, nishati oscillates na kurudi kati ya kinetic na uwezo, kwenda kabisa kutoka aina moja ya nishati hadi nyingine kama mfumo oscillates. Hivyo kwa mfano rahisi wa kitu kwenye uso usio na msuguano unaohusishwa na chemchemi, mwendo huanza na nishati yote iliyohifadhiwa katika chemchemi kama nishati ya uwezo wa elastic. Kama kitu kinaanza kuhamia, nishati ya uwezo wa elastic inabadilishwa kuwa nishati ya kinetic, kuwa nishati ya kinetic kabisa katika nafasi ya usawa. Nishati hiyo inabadilishwa tena kuwa nishati ya uwezo wa elastic na chemchemi kama imetambulishwa au imesisitizwa. Kasi inakuwa sifuri wakati nishati ya kinetic inabadilishwa kabisa, na mzunguko huu unarudia. Kuelewa uhifadhi wa nishati katika mizunguko hii itatoa ufahamu wa ziada hapa na katika matumizi ya baadaye ya SHM, kama vile mzunguko wa kubadilisha.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Mabadiliko ya nishati katika SHM kwa kitu kilichounganishwa na chemchemi kwenye uso usio na msuguano. (a) Wakati wingi ulipo katika nafasi x = + A, nishati yote huhifadhiwa kama nishati inayoweza katika chemchemi U =\(\frac{1}{2}\) kA ². Nishati ya kinetic ni sawa na sifuri kwa sababu kasi ya wingi ni sifuri. (b) Kama molekuli inakwenda kuelekea x = -A, wingi huvuka msimamo x = 0. Kwa hatua hii, chemchemi haipatikani wala kusisitizwa, hivyo nishati inayohifadhiwa katika chemchemi ni sifuri. Katika x = 0, nishati ya jumla ni nishati yote ya kinetic ambapo K =\(\frac{1}{2}\) m (-v _max) ². (c) Masi inaendelea kusonga mpaka kufikia x = -A ambapo umati unaacha na kuanza kusonga kuelekea x = + A. msimamo x = -A, nishati ya jumla huhifadhiwa kama nishati ya uwezo katika USITUMIE U =\(\frac{1}{2}\) k (-A) ² na nishati ya kinetic ni sifuri. (d) Kama wingi unapita kupitia nafasi x = 0, nishati ya kinetic ni K =\(\frac{1}{2}\) mv _max ² na nishati inayohifadhiwa katika chemchemi ni sifuri. (e) Misa inarudi kwenye nafasi x = + A, ambapo K = 0 na U =\(\frac{1}{2}\) kA ².

Fikiria Kielelezo\(\PageIndex{1}\), ambayo inaonyesha nishati katika pointi maalum juu ya mwendo wa mara kwa mara. Wakati wa kukaa mara kwa mara, nishati hupunguza kati ya nishati ya kinetic ya block na nishati inayohifadhiwa katika chemchemi:

\[E_{Total} = U + K = \frac{1}{2} kx^{2} + \frac{1}{2} mv^{2} \ldotp\]

Mwendo wa kuzuia kwenye chemchemi katika SHM hufafanuliwa na msimamo x (t) = Acos\(\omega\) t +\(\phi\)) na kasi ya v (t) = -A\(\omega\) dhambi (\(\omega\)t +\(\phi\)). Kutumia equations hizi, utambulisho wa trigonometric cos ^{2\(\theta\) + dhambi 2}\(\theta\) = 1 na\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), tunaweza kupata nishati ya jumla ya mfumo:

\[\begin{split} E_{Total} & = \frac{1}{2} kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi) + \frac{1}{2} mA^{2} \omega^{2} \sin^{2} (\omega t + \phi) \\ & = \frac{1}{2} kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi) + \frac{1}{2} mA^{2} \left(\dfrac{k}{m}\right) \sin^{2} (\omega t + \phi) \\ & = \frac{1}{2} kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi) + \frac{1}{2} kA^{2} \sin^{2} (\omega t + \phi) \\ & = \frac{1}{2} kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi) + \frac{1}{2} mA^{2} \omega^{2} \sin^{2} (\omega t + \phi) \\ & = \frac{1}{2} kA^{2} (\cos^{2} (\omega t + \phi) + \sin^{2} (\omega t + \phi)) \\ & = \frac{1}{2} kA^{2} \ldotp \end{split}\]

Nishati ya jumla ya mfumo wa kuzuia na spring ni sawa na jumla ya nishati inayohifadhiwa katika chemchemi pamoja na nishati ya kinetic ya kuzuia na ni sawa na mraba wa amplitude E _Jumla =\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\) kA ². Nishati ya jumla ya mfumo ni mara kwa mara.

Kuangalia kwa karibu nishati ya mfumo inaonyesha kwamba nishati ya kinetic oscillates kama kazi ya sine-squared, wakati nishati ya uwezo oscillates kama kazi cosine-squared. Hata hivyo, nishati ya jumla ya mfumo ni mara kwa mara na ni sawa na mraba wa amplitude. Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha njama ya uwezo, kinetic, na nguvu za jumla za mfumo wa kuzuia na spring kama kazi ya wakati. Pia walipanga ni msimamo na kasi kama kazi ya wakati. Kabla ya muda t = 0.0 s, block inaunganishwa na chemchemi na kuwekwa kwenye nafasi ya usawa. Kazi imefanywa kwenye kizuizi kwa kutumia nguvu ya nje, kuifuta kwa nafasi ya x = + A. mfumo sasa una uwezo wa nishati kuhifadhiwa katika spring. Kwa wakati t = 0.00 s, nafasi ya kuzuia ni sawa na amplitude, nishati inayohifadhiwa katika chemchemi ni sawa na U =\(\frac{1}{2}\) kA ², na nguvu juu ya kuzuia ni kiwango cha juu na pointi katika mwelekeo wa x-hasi (F _S = -ka). Kasi na nishati ya kinetic ya block ni sifuri kwa wakati t = 0.00 s Wakati t = 0.00 s, block hutolewa kutoka kupumzika.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Grafu ya nishati ya kinetic, nishati ya uwezo, na nishati ya jumla ya kuzuia oscillating juu ya spring katika SHM. Pia inavyoonekana ni grafu ya nafasi dhidi ya muda na kasi dhidi ya wakati. Nishati ya jumla inabakia mara kwa mara, lakini nishati oscillates kati ya nishati kinetic na nishati uwezo. Wakati nishati ya kinetic ni ya juu, nishati ya uwezo ni sifuri. Hii hutokea wakati kasi ni ya juu na wingi ni katika nafasi ya usawa. Nishati ya uwezo ni ya juu wakati kasi ni sifuri. Nishati ya jumla ni jumla ya nishati ya kinetic pamoja na nishati inayoweza na ni mara kwa mara.

Oscillations Kuhusu Msimamo wa Msawazo

Tumezingatia tu nishati ya SHM kama kazi ya wakati. Mtazamo mwingine wa kuvutia wa oscillator rahisi ya harmonic ni kuzingatia nishati kama kazi ya nafasi. Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kinaonyesha grafu ya nishati dhidi ya nafasi ya mfumo unaofanyika SHM.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Grafu ya nishati ya kinetic (nyekundu), nishati ya uwezo (bluu), na nishati ya jumla (kijani) ya oscillator rahisi ya harmonic. Nguvu ni sawa na F = -\(\frac{dU}{dx}\). Msimamo wa usawa unaonyeshwa kama nukta nyeusi na ni hatua ambapo nguvu ni sawa na sifuri. Nguvu ni chanya wakati x < 0, negative when x > 0, na sawa na sifuri wakati x = 0.

uwezo wa nishati Curve katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\) inafanana bakuli. Wakati jiwe limewekwa kwenye bakuli, linaweka kwenye nafasi ya usawa kwenye hatua ya chini kabisa ya bakuli (x = 0). Hii hutokea kwa sababu nguvu ya kurejesha inaelezea kuelekea hatua ya usawa. Hatua hii ya usawa wakati mwingine hujulikana kama hatua ya kudumu. Wakati marumaru inasumbuliwa kwa nafasi tofauti (x = + A), marumaru huzunguka nafasi ya usawa. Kuangalia nyuma kwenye grafu ya nishati inayoweza kupatikana, nguvu inaweza kupatikana kwa kuangalia mteremko wa grafu ya nishati inayoweza (F = -\(\frac{dU}{dx}\)). Kwa kuwa nguvu upande wowote wa hatua ya kudumu inarudi kuelekea hatua ya usawa, hatua ya usawa inaitwa uhakika wa usawa. Pointi x = A na x = -A huitwa pointi za kugeuka. (Angalia uwezo wa Nishati na Uhifadhi wa Nishati.) Utulivu ni dhana muhimu. Ikiwa hatua ya usawa imara, usumbufu mdogo wa kitu ambacho ni awali kwenye hatua ya usawa imara itasababisha kitu kusonga karibu na hatua hiyo. Hatua ya usawa imara hutokea kwa sababu nguvu upande wowote inaelekezwa kuelekea. Kwa uhakika usio na uhakika wa usawa, ikiwa kitu kinasumbuliwa kidogo, hakirudi kwenye hatua ya usawa.

Fikiria marumaru katika mfano bakuli. Ikiwa bakuli ni upande wa kulia, marumaru, ikiwa inasumbuliwa kidogo, itazunguka karibu na uhakika wa usawa. Ikiwa bakuli imegeuka chini, marumaru inaweza kuwa na usawa juu, kwenye hatua ya usawa ambapo nguvu ya wavu ni sifuri. Hata hivyo, ikiwa marumaru inasumbuliwa kidogo, haitarudi kwenye hatua ya usawa, lakini badala yake itaondoka bakuli. Sababu ni kwamba nguvu upande wowote wa hatua ya usawa inaelekezwa mbali na hatua hiyo. Hatua hii ni uhakika usio na uhakika wa usawa.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha hali tatu. Ya kwanza ni uhakika wa usawa (a), pili ni uhakika wa usawa uhakika (b), na mwisho pia ni uhakika wa usawa uhakika (c), kwa sababu nguvu upande mmoja tu inaelezea kuelekea hatua ya usawa.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Mifano ya pointi za usawa. (a) uhakika wa usawa imara; (b) uhakika usio na uhakika wa usawa; (c) uhakika usio na uhakika wa usawa (wakati mwingine hujulikana kama hatua ya usawa wa nusu imara).

Mchakato wa kuamua kama hatua ya usawa ni imara au imara inaweza kuwa rasmi. Fikiria uwezo wa nishati curves inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{5}\). Nguvu inaweza kupatikana kwa kuchambua mteremko wa grafu. Nguvu ni F = -\(\frac{dU}{dx}\). Katika (a), hatua iliyowekwa ni saa x = 0.00 m Wakati x <0.00 m, nguvu ni chanya. Wakati x> 0.00 m, nguvu ni hasi. Hii ni hatua imara. Katika (b), hatua iliyowekwa ni saa x = 0.00 m Wakati x <0.00 m, nguvu ni hasi. Wakati x> 0.00 m, nguvu pia ni hasi. Hii ni hatua isiyo imara.

Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Mifano miwili ya kazi ya uwezo wa nishati. Nguvu katika nafasi ni sawa na hasi ya mteremko wa grafu kwenye nafasi hiyo. (a) uwezo wa nishati kazi na uhakika imara usawa. (b) Kazi ya nishati yenye uwezo na uhakika usio na uhakika wa usawa. Hatua hii wakati mwingine huitwa nusu-imara kwa sababu nguvu upande mmoja inaelezea kuelekea hatua iliyowekwa.

Matumizi ya vitendo ya dhana ya pointi za usawa imara ni nguvu kati ya atomi mbili za neutral katika molekuli. Ikiwa molekuli mbili ziko karibu, zikitenganishwa na kipenyo chache cha atomiki, zinaweza kupata nguvu ya kuvutia. Ikiwa molekuli zinakaribia kwa kutosha ili maganda ya elektroni ya elektroni mengine yameingiliana, nguvu kati ya molekuli inakuwa ya kutisha. Nguvu ya kuvutia kati ya atomi hizo mbili inaweza kusababisha atomi kuunda molekuli. Nguvu kati ya molekuli hizo mbili si nguvu ya mstari na haiwezi kuonyeshwa tu kama raia mbili zilizotengwa na chemchemi, lakini atomi za molekuli zinaweza kusonga karibu na hatua ya usawa wakati wa kuhamishwa kiasi kidogo kutoka nafasi ya usawa. Atomi oscillate kutokana na nguvu ya kuvutia na nguvu repulsive kati ya atomi mbili.

Fikiria mfano mmoja wa mwingiliano kati ya atomi mbili unaojulikana kama mwingiliano wa van Der Waals. Ni zaidi ya upeo wa sura hii kujadili kwa kina mwingiliano wa atomi mbili, lakini oscillations ya atomi inaweza kuchunguzwa kwa kuzingatia mfano mmoja wa mfano wa nishati uwezo wa mfumo. Pendekezo moja la mfano wa nishati ya uwezo wa molekuli hii ni pamoja na uwezo wa Lennard-Jones 6-12:

\[U(x) = 4 \epsilon \Bigg[ \left(\dfrac{\sigma}{x}\right)^{12} - \left(\dfrac{\sigma}{x}\right)^{6} \Bigg] \ldotp\]

Grafu ya kazi hii inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{6}\). Vigezo viwili\(\epsilon\) na\(\sigma\) hupatikana kwa majaribio.

Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Lennard-Jones uwezo nishati kazi kwa ajili ya mfumo wa atomi mbili upande wowote. Ikiwa nishati iko chini ya nishati ya juu, mfumo huu unasimama karibu na nafasi ya usawa kati ya pointi mbili za kugeuka.

Kutoka grafu, unaweza kuona kwamba kuna uwezo wa nishati vizuri, ambayo ina baadhi ya kufanana na uwezo wa nishati vizuri ya uwezo wa nishati kazi ya oscillator rahisi harmonic kujadiliwa katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Uwezo wa Lennard-Jones una uhakika thabiti wa usawa ambapo nishati ya uwezo ni ya chini na nguvu upande wowote wa pointi ya usawa kuelekea hatua ya usawa. Kumbuka kuwa tofauti na oscillator rahisi ya harmonic, uwezo wa uwezo wa uwezo wa Lennard-Jones sio ulinganifu. Hii ni kutokana na ukweli kwamba nguvu kati ya atomi si nguvu ya sheria ya Hooke na si linear. Atomi bado zinaweza kusonga karibu na msimamo wa usawa x _min kwa sababu wakati x <x _min, nguvu ni chanya; wakati x> x _min, nguvu ni hasi. Angalia kwamba kama x inakaribia sifuri, mteremko ni mwinuko na hasi, ambayo ina maana kwamba nguvu ni kubwa na nzuri. Hii inaonyesha kwamba inachukua nguvu kubwa kujaribu kushinikiza atomi karibu pamoja. Kama x inavyozidi kuwa kubwa, mteremko unakuwa chini ya mwinuko na nguvu ni ndogo na hasi. Hii inaonyesha kwamba ikiwa inapewa nishati kubwa ya kutosha, atomi zinaweza kutengwa.

Ikiwa una nia ya mwingiliano huu, pata nguvu kati ya molekuli kwa kuchukua derivative ya kazi ya nishati. Utaona mara moja kwamba nguvu haifanani na nguvu ya sheria ya Hooke (F = -kx), lakini ikiwa unajua theorem ya binomial:

\[(1 + x)^{n} = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!} x^{2} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!} x^{3} + \cdots,\]

nguvu inaweza kuwa approximated na nguvu Hooke ya sheria.

Uhifadhi wa kasi na Nishati

Kurudi kwenye mfumo wa block na spring katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\), mara moja block inatolewa kutoka kupumzika, huanza kuhamia katika mwelekeo hasi kuelekea nafasi ya usawa. Nishati ya uwezo hupungua na ukubwa wa kasi na ongezeko la nishati ya kinetic. Wakati t =\(\frac{T}{4}\), block hufikia msimamo wa usawa x = 0.00 m, ambapo nguvu juu ya kuzuia na nishati ya uwezo ni sifuri. Katika nafasi ya usawa, kizuizi kinafikia kasi hasi na ukubwa sawa na kasi ya juu v = -A\(\omega\). Nishati ya kinetic ni ya juu na sawa na K =\(\frac{1}{2}\) mV ² =\(\frac{1}{2}\) mA ² Ω\(\omega^{2}\) =\(\frac{1}{2}\) kA ². Katika hatua hii, nguvu juu ya kuzuia ni sifuri, lakini kasi hubeba block, na inaendelea katika mwelekeo hasi kuelekea x = -A Kama block inaendelea kusonga, nguvu juu yake hufanya katika mwelekeo mzuri na ukubwa wa kasi na kinetic nishati kupungua. Nishati ya uwezo huongezeka kama chemchemi inakabiliwa. Wakati t =\(\frac{T}{2}\), block hufikia x = -A Hapa kasi na nishati ya kinetic ni sawa na sifuri. Nguvu juu ya block ni F = + kA na nishati inayohifadhiwa katika chemchemi ni U =\(\frac{1}{2}\) kA ². Wakati wa oscillations, nishati ya jumla ni ya mara kwa mara na sawa na jumla ya nishati ya uwezo na nishati ya kinetic ya mfumo,

\[E_{Total} = \frac{1}{2} kx^{2} + \frac{1}{2} mv^{2} = \frac{1}{2} kA^{2} \ldotp \label{15.12}\]

Equation kwa nishati inayohusishwa na SHM inaweza kutatuliwa ili kupata ukubwa wa kasi katika nafasi yoyote:

\[|v| = \sqrt{\frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})} \ldotp \label{15.13}\]

Nishati katika oscillator rahisi ya harmonic ni sawa na mraba wa amplitude. Wakati wa kuzingatia aina nyingi za oscillations, utapata nishati sawia na amplitude squared.

Zoezi 15.1

Kwa nini kuumiza zaidi ikiwa umepiga mkono wako na mtawala kuliko kwa chemchemi huru, hata kama uhamisho wa kila mfumo ni sawa?

Zoezi 15.2

Kutambua njia moja unaweza kupunguza kasi ya juu ya oscillator rahisi harmonic.