15.2: Rahisi Harmonic Motion

Last updated
Save as PDF

Page ID: 177016

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Eleza kipindi cha maneno na mzunguko
Andika orodha ya mwendo rahisi wa harmonic
Eleza dhana ya mabadiliko ya awamu
Andika usawa wa mwendo kwa mfumo wa wingi na spring unaoendelea mwendo rahisi wa harmonic.
Eleza mwendo wa molekuli oscillating juu ya spring wima

Unapopiga kamba ya gitaa, sauti inayosababisha ina sauti ya kutosha na hudumu kwa muda mrefu (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Kamba hutetemeka karibu na msimamo wa usawa, na oscillation moja imekamilika wakati kamba inapoanza kutoka nafasi ya awali, huenda kwenye nafasi moja kali, kisha kwa nafasi nyingine kali, na kurudi kwenye nafasi yake ya awali. Tunafafanua mwendo wa mara kwa mara kuwa mwendo wowote unaojirudia kwa vipindi vya mara kwa mara, kama vile ilivyoonyeshwa na kamba ya gitaa au kwa mtoto akizungusha kwenye swing. Katika sehemu hii, tunasoma sifa za msingi za kufuta na maelezo yao ya hisabati.

Picha ya gitaa inayochezwa. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Wakati kamba ya gitaa imevunjwa, kamba huvuta juu na chini katika mwendo wa mara kwa mara. Kamba ya vibrating husababisha molekuli za hewa zinazozunguka kusonga, kuzalisha mawimbi ya sauti. (mikopo: Yutaka Tsutano)

Kipindi na Frequency katika Oscillations

Kutokuwepo kwa msuguano, wakati wa kukamilisha oscillation moja inabakia mara kwa mara na inaitwa kipindi (T). Vitengo vyake ni kawaida sekunde, lakini inaweza kuwa kitengo chochote cha wakati. Neno 'kipindi' linamaanisha wakati wa tukio fulani ikiwa linarudia au la, lakini katika sura hii, tutashughulika hasa katika mwendo wa mara kwa mara, ambao kwa ufafanuzi unarudia.

Dhana karibu kuhusiana na kipindi ni mzunguko wa tukio. Frequency (f) hufafanuliwa kuwa idadi ya matukio kwa wakati wa kitengo. Kwa mwendo wa mara kwa mara, mzunguko ni idadi ya oscillations kwa wakati wa kitengo. Uhusiano kati ya mzunguko na kipindi ni

\[f = \frac{1}{T} \ldotp \label{15.1}\]

Kitengo cha SI cha mzunguko ni hertz (Hz) na hufafanuliwa kama mzunguko mmoja kwa pili:

\[1\; Hz = 1\; cycle/sec\; or\; 1\; Hz = \frac{1}{s} = 1\; s^{-1} \ldotp\]

Mzunguko ni oscillation moja kamili

Mfano\(\PageIndex{1}\): Determining the Frequency of Medical Ultrasound

Mashine ya ultrasound hutumiwa na wataalamu wa matibabu kufanya picha za kuchunguza viungo vya ndani vya mwili. Mashine ya ultrasound hutoa mawimbi ya sauti ya juu-frequency, ambayo yanaonyesha viungo, na kompyuta inapokea mawimbi, ikitumia kuunda picha. Tunaweza kutumia formula iliyotolewa katika moduli hii kuamua mzunguko, kulingana na kile tunachojua kuhusu oscillations. Fikiria kifaa cha picha ya matibabu ambacho kinazalisha ultrasound kwa kusonga kwa kipindi cha 0.400\(\mu\) s Ni mzunguko gani wa oscillation hii?

Mkakati

Kipindi (T) kinatolewa na tunaulizwa kupata mzunguko (f).

Suluhisho

Mbadala 0.400 μs kwa T katika f =\(\frac{1}{T}\):

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.400 \times 10^{-6}\; s} \ldotp \nonumber\]

Tatua kupata

\[f = 2.50 \times 10^{6}\; Hz \ldotp \nonumber\]

Umuhimu

Mzunguko huu wa sauti ni mkubwa zaidi kuliko mzunguko wa juu ambao wanadamu wanaweza kusikia (upeo wa kusikia kwa binadamu ni 20 Hz hadi 20,000 Hz); kwa hiyo, inaitwa ultrasound. Kufutwa kwa usahihi katika mzunguko huu huzalisha ultrasound inayotumiwa kwa ajili ya uchunguzi wa matibabu usio na uvamizi, kama vile uchunguzi wa fetusi tumboni.

Tabia ya Simple Harmonic Motion

Aina ya kawaida ya mwendo wa mara kwa mara inaitwa mwendo rahisi wa harmonic (SHM). Mfumo unaozunguka na SHM unaitwa oscillator rahisi ya harmonic.

Rahisi Harmonic Motion

Katika mwendo rahisi wa harmonic, kasi ya mfumo, na kwa hiyo nguvu ya wavu, ni sawa na uhamisho na hufanya kinyume chake cha uhamisho.

Mfano mzuri wa SHM ni kitu kilicho na wingi\(m\) unaohusishwa na chemchemi kwenye uso usio na msuguano, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{2}\). Kitu kinachozunguka nafasi ya usawa, na nguvu ya wavu juu ya kitu ni sawa na nguvu iliyotolewa na chemchemi. Nguvu hii inatii sheria ya Hooke F _s = -kx, kama ilivyojadiliwa katika sura iliyotangulia.

Kama nguvu wavu inaweza kuelezewa na sheria Hooke na hakuna damping (kupunguza kasi kutokana na msuguano au majeshi mengine yasiyo ya kihafidhina), oscillator rahisi harmonic oscillates na makazi yao sawa upande wowote wa nafasi ya usawa, kama inavyoonekana kwa kitu juu ya spring katika Kielelezo \(\PageIndex{2}\). Uhamisho wa juu kutoka kwa usawa huitwa amplitude (A). Vitengo vya amplitude na uhamisho ni sawa lakini hutegemea aina ya oscillation. Kwa kitu juu ya chemchemi, vitengo vya amplitude na uhamisho ni mita.

Mifumo ya mwendo na bure ya mwili wa molekuli iliyounganishwa na spring ya usawa, spring mara kwa mara k, kwa pointi mbalimbali katika mwendo wake. Katika takwimu (a) wingi huhamishwa kwa nafasi x = A kwa haki ya x =0 na kutolewa kutoka kupumzika (v=0.) Spring imetambulishwa. Nguvu juu ya wingi ni upande wa kushoto. Mchoro wa mwili wa bure una uzito w chini, nguvu ya kawaida N juu na sawa na uzito, na nguvu F upande wa kushoto. (b) Masi ni saa x = 0 na kusonga katika hasi x-mwelekeo na kasi — v ndogo max. Spring ni walishirikiana. Nguvu juu ya wingi ni sifuri. Mchoro wa mwili wa bure una uzito w chini, nguvu ya kawaida N juu na sawa na uzito. (c) Masi iko chini ya A, upande wa kushoto wa x = 0 na unapumzika (v =0.) Spring imesisitizwa. Nguvu F ni ya haki. Mchoro wa mwili wa bure una uzito w chini, nguvu ya kawaida N juu na sawa na uzito, na nguvu F kwa haki. (d) wingi ni saa x = 0 na kusonga katika chanya x-mwelekeo na kasi pamoja v ndogo max. Spring ni walishirikiana. Nguvu juu ya wingi ni sifuri. Mchoro wa mwili wa bure una uzito w chini, nguvu ya kawaida N juu na sawa na uzito. (e) wingi ni tena katika x = A kwa haki ya x =0 na kupumzika (v=0.) Spring imetambulishwa. Nguvu juu ya wingi ni upande wa kushoto. Mchoro wa mwili wa bure una uzito w chini, nguvu ya kawaida N juu na sawa na uzito, na nguvu F upande wa kushoto. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): - Kitu kilichounganishwa na spring kinachotembea juu ya uso usio na msuguano ni oscillator rahisi ya harmonic. Katika seti ya juu ya takwimu, wingi unaunganishwa na chemchemi na kuwekwa kwenye meza isiyo na msuguano. Mwisho mwingine wa chemchemi umeunganishwa na ukuta. Msimamo wa wingi, wakati chemchemi haijatambulishwa wala kusisitizwa, imewekwa kama x = 0 na ni nafasi ya usawa. (a) Masi ni makazi yao kwa nafasi x = A na kutolewa kutoka mapumziko. (b) Masi huharakisha kama inakwenda katika mwelekeo mbaya wa x-mwelekeo, kufikia kasi ya kiwango cha juu cha x = 0. (c) Masi inaendelea kuhamia katika mwelekeo wa x-hasi, kupunguza kasi mpaka inakuja kuacha saa x = -A. (d) Masi sasa huanza kuharakisha katika mwelekeo mzuri wa x, kufikia kasi ya kiwango cha juu cha x = 0. (e) Masi kisha inaendelea kuhamia mwelekeo mzuri mpaka itaacha saa x = A. Masi inaendelea katika SHM ambayo ina amplitude A na kipindi T. kasi ya juu ya kitu hutokea kama inapita kupitia usawa. Stiffer spring ni, ndogo kipindi T. kubwa ya wingi wa kitu ni, zaidi ya kipindi T.

Nini ni muhimu sana kuhusu SHM? Kwa jambo moja, kipindi\(T\) na mzunguko\(f\) wa oscillator rahisi harmonic ni huru ya amplitude. Kamba ya gitaa, kwa mfano, oscillates na mzunguko huo kama kung'olewa kwa upole au ngumu.

Sababu mbili muhimu zinaathiri kipindi cha oscillator rahisi ya harmonic. Kipindi hiki kinahusiana na jinsi mfumo ulivyo ngumu. Kitu ngumu sana kina nguvu kubwa ya mara kwa mara (k), ambayo inasababisha mfumo kuwa na kipindi kidogo. Kwa mfano, unaweza kurekebisha ugumu wa bodi ya kupiga mbizi-ni ngumu, kasi inazunguka, na muda mfupi. Kipindi pia kinategemea wingi wa mfumo wa oscillating. Mfumo mkubwa zaidi ni, muda mrefu. Kwa mfano, mtu mzito kwenye bodi ya kupiga mbizi hupanda juu na chini polepole zaidi kuliko moja ya mwanga. Kwa kweli, molekuli m na nguvu ya mara kwa mara k ni sababu pekee zinazoathiri kipindi na mzunguko wa SHM. Ili kupata equation kwa kipindi na mzunguko, lazima kwanza kufafanua na kuchambua equations ya mwendo. Kumbuka kuwa mara kwa mara nguvu wakati mwingine hujulikana kama mara kwa mara ya spring.

Ulinganyo wa SHM

Fikiria kizuizi kilichounganishwa na chemchemi kwenye meza isiyo na msuguano (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Msimamo wa usawa (nafasi ambapo chemchemi haijatambulishwa wala kusisitizwa) imewekwa kama x = 0. Katika nafasi ya usawa, nguvu ya wavu ni sifuri.

Kizuizi kinaunganishwa na chemchemi ya usawa na kuwekwa kwenye meza isiyo na msuguano. Msimamo wa usawa, ambapo chemchemi haipatikani wala kusisitizwa, imewekwa kama x=0. Msimamo upande wa kushoto wa block ni alama kama x = - A na nafasi umbali sawa na haki ya kuzuia ni alama kama x = + A. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Block ni masharti ya spring na kuwekwa kwenye meza frictionless. Msimamo wa usawa, ambapo chemchemi haipatikani wala kusisitizwa, imewekwa kama x = 0.

Kazi imefanywa kwenye kizuizi ili kuiondoa kwenye nafasi ya x = + A, na kisha hutolewa kutoka kwa kupumzika. Upeo wa x-position (A) huitwa amplitude ya mwendo. Kizuizi huanza kusonga katika SHM kati ya x = + A na x = -A, ambapo A ni amplitude ya mwendo na T ni kipindi cha oscillation. Kipindi ni wakati wa kufuta moja. Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha mwendo wa block kama inakamilisha oscillations moja na nusu baada ya kutolewa.

Mfululizo wa vielelezo vya wingi, unaohusishwa na chemchemi ya usawa na kupiga sliding juu ya uso usio na usawa, unaonyeshwa. Msimamo wa wingi, chemchemi, na nguvu juu ya wingi huonyeshwa kila kipindi cha nane kutoka t = 0 hadi t = kipindi cha nusu na nusu. Mifano zimeunganishwa kwa wima na nafasi za wingi zinaunganishwa kutoka kwenye grafu moja hadi ijayo kwa kutumia mstari wa bluu, na kujenga grafu ya msimamo (usawa) utegemezi kwa wakati (wima). Msimamo wa x = 0 ni katikati ya uso usio na usawa. Katika grafu ya juu, wingi ni x = +A, nguvu ya wavu ni upande wa kushoto na ni sawa na — k A. spring ni aliweka kiwango cha juu. Wakati ni t = 0. Katika grafu ya pili, wingi ni kati ya x = +A/2 na x = A, nguvu ya wavu ni kushoto na ndogo kuliko kwenye grafu ya awali. Spring imetambulishwa chini ya saa t=0. Katika grafu ya tatu, wingi ni saa x = 0, hakuna nguvu ya wavu. Spring ni walishirikiana. Wakati ni t = robo moja T. grafu ya nne, wingi ni kati ya x = -A/2 na x = -A, nguvu ya wavu ni sawa. Ukubwa wa nguvu ni sawa na ile katika grafu ya pili. Spring ni kiasi fulani imesisitizwa. Katika grafu ya tano, wingi ni x = -A, nguvu ya wavu ni haki na ni sawa na + k A. spring imesisitizwa kiwango cha juu. Wakati ni t = 1/2 T. grafu ya sita, wingi ni kati ya x = -A/2 na x = -A, nguvu ya wavu ni sawa. Ukubwa wa nguvu ni sawa na ile katika grafu ya pili. Spring ni kiasi fulani imesisitizwa. Grafu hii inafanana na grafu ya nne. Katika grafu ya saba, wingi ni saa x = 0, hakuna nguvu ya wavu. Spring ni walishirikiana. Wakati ni t = 3/4 T. grafu hii inafanana na grafu ya tatu. Katika grafu ya nane, wingi ni kati ya x = +A/2 na x = A, nguvu ya wavu ni upande wa kushoto. Grafu hii inafanana na grafu ya pili. Katika grafu ya tisa, wingi ni x = +A, nguvu ya wavu ni upande wa kushoto na ni sawa na — k A. spring ni aliweka kiwango cha juu. Wakati ni t = 0. Grafu hii inafanana na grafu ya kwanza (juu). Grafu nne zilizobaki kurudia grafu ya pili, ya tatu, ya nne na ya tano, na wakati wa graph ya kumi na moja katika t = 1 na 1/4 T na kumi na tatu katika t = 1 na 1/2 T. Curve kuunganisha nafasi ya wingi hufanya wima sinusoidal Curve. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Block ni masharti ya mwisho mmoja wa spring na kuwekwa kwenye meza frictionless. Mwisho mwingine wa chemchemi umewekwa kwenye ukuta. Msimamo wa usawa, ambapo nguvu ya wavu ni sawa na sifuri, imewekwa kama x = 0 m.Kazi imefanywa kwenye kizuizi, kuifuta kwa x = + A, na block hutolewa kutoka kupumzika. block oscillates kati x = + A na x = -A. nguvu pia inavyoonekana kama vector.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha njama ya nafasi ya kuzuia dhidi ya wakati. Wakati nafasi imepangwa dhidi ya wakati, ni wazi kwamba data inaweza kuonyeshwa na kazi ya cosine na amplitude\(A\) na kipindi\(T\). Kazi cosine cos\(\theta\) kurudia kila nyingi ya 2\(\pi\), wakati mwendo wa block kurudia kila kipindi T. Hata hivyo, kazi\(\cos \left(\dfrac{2 \pi}{T} t \right)\) kurudia kila integer nyingi ya kipindi. Upeo wa kazi ya cosine ni moja, kwa hiyo ni muhimu kuzidisha kazi ya cosine na amplitude A.

\[x(t) = A \cos \left(\dfrac{2 \pi}{T} t \right) = A \cos (\omega t) \ldotp \label{15.2}\]

Kumbuka kutoka sura ya mzunguko kwamba mzunguko wa angular unafanana\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\). Katika kesi hiyo, kipindi hicho ni mara kwa mara, hivyo mzunguko wa angular hufafanuliwa kama 2\(\pi\) umegawanyika na kipindi,\(\omega = \frac{2 \pi}{T}\).

Grafu ya msimamo kwenye mhimili wima kama kazi ya muda kwenye mhimili usio na usawa. Kiwango cha wima ni kutoka — A hadi +A na kiwango cha usawa ni kutoka 0 hadi 3/2T. curve ni kazi ya cosine, na thamani ya +A wakati sifuri na tena kwa wakati T. — Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Grafu ya nafasi ya block inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kama kazi ya muda. Msimamo unaweza kuonyeshwa kama kazi ya mara kwa mara, kama kazi ya cosine au sine.

Equation kwa nafasi kama kazi ya muda\(x(t) = A\cos( \omega t)\) ni nzuri kwa ajili ya data modeling, ambapo nafasi ya kuzuia wakati wa awali t = 0.00 s ni katika amplitude A na kasi ya awali ni sifuri. Mara nyingi wakati wa kuchukua data ya majaribio, nafasi ya wingi wakati wa awali t = 0.00 s si sawa na amplitude na kasi ya awali sio sifuri. Fikiria sekunde 10 za data zilizokusanywa na mwanafunzi katika maabara, inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{6}\).

Takwimu za msimamo dhidi ya muda kwa wingi juu ya chemchemi. Mhimili usio na usawa ni wakati t kwa sekunde, kuanzia sekunde 0 hadi 10. Mhimili wima ni msimamo x kwa sentimita, kuanzia -3 sentimita hadi sentimita 4. Takwimu zinaonyeshwa kama pointi na inaonekana kuchukuliwa kwa vipindi vya kawaida kwa pointi 10 kwa pili. Data oscillates sinusoidally, na kidogo zaidi ya nne mzunguko kamili wakati wa 10 sekunde ya data umeonyesha. Msimamo katika t=0 ni x = -0.8 sentimita. Msimamo ni katika kiwango cha juu cha x = 3 sentimita karibu t = 0.6 s, 3.1 s, 5.5 s, na 7.9 s. nafasi ni katika kiwango cha chini cha x = -3 sentimita katika takriban t=1.9 s, 4.3 s, 6.7 s, na 9.0 s. — Kielelezo\(\PageIndex{6}\): Takwimu zilizokusanywa na mwanafunzi katika maabara zinaonyesha nafasi ya kuzuia iliyounganishwa na chemchemi, iliyopimwa na mkuta wa aina ya sauti. Data zilizokusanywa kuanzia wakati t = 0.00s, lakini nafasi ya awali ni karibu nafasi x ≈ -0.80 cm 合 3.00 cm, hivyo nafasi ya awali haina sawa amplitude x ₀ = + A. kasi ni derivative wakati wa nafasi, ambayo ni mteremko katika hatua kwenye grafu ya nafasi dhidi ya wakati . Kasi si v = 0.00 m/s wakati t = 0.00 s, kama inavyoonekana kwa mteremko wa grafu ya nafasi dhidi ya wakati, ambayo si sifuri wakati wa awali.

Data katika Kielelezo bado\(\PageIndex{6}\) inaweza kuonyeshwa na kazi ya mara kwa mara, kama kazi ya cosine, lakini kazi inabadilishwa kwa haki. Mabadiliko haya yanajulikana kama mabadiliko ya awamu na kwa kawaida huwakilishwa na barua ya Kigiriki phi (\(\phi\)). equation ya nafasi kama kazi ya muda kwa ajili ya kuzuia juu ya spring inakuwa

\[x(t) = A \cos (\omega t + \phi) \ldotp\]

Hii ni equation ya jumla kwa SHM ambapo t ni wakati kipimo kwa sekunde,\(\omega\) ni mzunguko wa angular na vitengo vya sekunde inverse, A ni amplitude kipimo katika mita au sentimita, na\(\phi\) ni mabadiliko ya awamu kipimo katika radians (Kielelezo\(\PageIndex{7}\)). Ikumbukwe kwamba kwa sababu kazi za sine na cosine zinatofautiana tu na mabadiliko ya awamu, mwendo huu unaweza kuonyeshwa kwa kutumia kazi ya cosine au sine.

Grafu mbili za kazi ya oscillating ya angle. Katika takwimu a, tunaona kazi cosine ya theta kama kazi ya theta, kutoka kwa pi ndogo hadi pi mbili. Kazi oscillates kati ya -1 na +1, na ni juu ya +1 katika theta sawa na sifuri. Katika takwimu b, tunaona kazi cosine ya wingi theta plus phi kama kazi ya theta, kutoka kwa pi ya chini hadi pi mbili. kazi oscillates kati -1 na +1, na ni kiwango cha juu katika theta sawa phi. Curve ni curve cosine, kubadilishwa kwa haki kwa kiasi phi. — Kielelezo\(\PageIndex{7}\): (a) Kazi ya cosine. (b) Kazi ya cosine imebadilishwa kwa haki kwa pembe\(\phi\). Pembe\(\phi\) inajulikana kama mabadiliko ya awamu ya kazi.

Kasi ya wingi juu ya chemchemi, kusonga katika SHM, inaweza kupatikana kwa kuchukua derivative ya equation nafasi:

\[v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (A \cos (\omega t + \phi)) = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) = -v_{max} \sin (\omega t + \phi) \ldotp\]

Kwa sababu kazi sine oscillates kati -1 na +1, kasi ya kiwango cha juu ni amplitude mara frequency angular, v _max = A\(\omega\). Upeo wa kiwango cha juu hutokea katika nafasi ya usawa (x = 0) wakati umati unahamia kuelekea x = + A. kasi ya juu katika mwelekeo hasi inapatikana katika nafasi ya usawa (x = 0) wakati wingi unahamia kuelekea x = -A na ni sawa na -v _max.

Kuongezeka kwa wingi juu ya chemchemi kunaweza kupatikana kwa kuchukua muda wa kasi ya kasi:

\[a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (-A \omega \sin (\omega t + \phi)) = -A \omega^{2} \cos (\omega t + \varphi) = -a_{max} \cos (\omega t + \phi) \ldotp\]

Kuongeza kasi ya juu ni _max = A\(\omega^{2}\). Upeo wa kasi hutokea kwenye nafasi (x = -A), na kuongeza kasi katika nafasi (x = -A) na ni sawa na -a _max.

Muhtasari wa Ulinganisho wa Mwendo kwa SHM

Kwa muhtasari, mwendo wa oscillatory wa kuzuia kwenye chemchemi unaweza kuonyeshwa na usawa wafuatayo wa mwendo:

\[ \begin{align} x(t) &= A \cos (\omega t + \phi) \label{15.3} \\[4pt] v(t) &= -v_{max} \sin (\omega t + \phi) \label{15.4} \\[4pt] a(t) &= -a_{max} \cos (\omega t + \phi) \label{15.5} \end{align}\]

\[ \begin{align} x_{max} &= A \label{15.6} \\[4pt] v_{max} &= A \omega \label{15.7} \\[4pt] a_{max} &= A \omega^{2} \ldotp \label{15.8} \end{align}\]

Hapa,\(A\) ni amplitude ya mwendo,\(T\) ni kipindi,\(\phi\) ni mabadiliko ya awamu, na\(\omega = \frac{2 \pi}{T}\) = 2\(\pi\) f ni mzunguko wa angular wa mwendo wa block.

Mfano 15.2: Kuamua Ulinganisho wa Mwendo kwa Block na Spring

Kizuizi cha kilo 2.00-kinawekwa kwenye uso usio na msuguano. Spring yenye nguvu ya mara kwa mara ya k = 32.00 N/m inaunganishwa na block, na mwisho wa pili wa spring unaunganishwa na ukuta. Spring inaweza kusisitizwa au kupanuliwa. Msimamo wa usawa umewekwa kama x = 0.00 m Kazi imefanywa kwenye kizuizi, kuifuta kwa x = + 0.02 m. block hutolewa kutoka kupumzika na oscillates kati x = + 0.02 m na x = -0.02 m Kipindi cha mwendo ni 1.57 s.Kuamua usawa wa mwendo.

Mkakati

Sisi kwanza kupata mzunguko wa angular. Mabadiliko ya awamu ni sifuri,\(\phi\) = 0.00 rad, kwa sababu block hutolewa kutoka kupumzika saa x = A = + 0.02 m Mara baada ya mzunguko wa angular unapatikana, tunaweza kuamua kasi ya juu na kuongeza kasi ya juu.

Suluhisho

Mzunguko wa angular unaweza kupatikana na kutumika kupata kasi ya juu na kuongeza kasi ya juu:

\[\begin{split} \omega & = \frac{2 \pi}{1.57\; s} = 4.00\; s^{-1}; \\ v_{max} & = A \omega = (0.02\; m)(4.00\; s^{-1}) = 0.08\; m/s; \\ a_{max} & = A \omega^{2} = (0.02; m)(4.00\; s^{-1})^{2} = 0.32\; m/s^{2} \ldotp \end{split}\]

Yote iliyoachwa ni kujaza milinganyo ya mwendo:

\[\begin{split} x(t) & = a \cos (\omega t + \phi) = (0.02\; m) \cos (4.00\; s^{-1} t); \\ v(t) & = -v_{max} \sin (\omega t + \phi) = (-0.8\; m/s) \sin (4.00\; s^{-1} t); \\ a(t) & = -a_{max} \cos (\omega t + \phi) = (-0.32\; m/s^{2}) \cos (4.00\; s^{-1} t) \ldotp \end{split}\]

Umuhimu

Msimamo, kasi, na kuongeza kasi zinaweza kupatikana kwa wakati wowote. Ni muhimu kukumbuka kwamba wakati wa kutumia equations hizi, calculator yako lazima iwe katika hali ya radians.

Kipindi na Frequency ya Misa juu ya Spring

Tabia moja ya kuvutia ya SHM ya kitu kilichounganishwa na chemchemi ni kwamba mzunguko wa angular, na kwa hiyo kipindi na mzunguko wa mwendo, hutegemea tu wingi na nguvu ya mara kwa mara, na si kwa sababu nyingine kama vile amplitude ya mwendo. Tunaweza kutumia equations ya mwendo na sheria ya pili ya Newton (\(\vec{F}_{net} = m \vec{a}\)) kupata equations kwa mzunguko angular, frequency, na kipindi.

Fikiria kizuizi juu ya chemchemi kwenye uso usio na msuguano. Kuna majeshi matatu juu ya wingi: uzito, nguvu ya kawaida, na nguvu kutokana na chemchemi. Majeshi mawili pekee ambayo hufanya perpendicular kwa uso ni uzito na nguvu ya kawaida, ambayo ina ukubwa sawa na maelekezo kinyume, na hivyo jumla ya sifuri. Nguvu pekee inayofanya sambamba na uso ni nguvu kutokana na chemchemi, hivyo nguvu ya wavu lazima iwe sawa na nguvu ya chemchemi:

\[\begin{split} F_{x} & = -kx; \\ ma & = -kx; \\ m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} & = -kx; \\ \frac{d^{2} x}{dt^{2}} & = - \frac{k}{m} x \ldotp \end{split}\]

Kubadilisha equations ya mwendo kwa x na inatupa

\[-A \omega^{2} \cos (\omega t + \phi) = - \frac{k}{m} A \cos (\omega t +\phi) \ldotp\]

Kufuta nje kama maneno na kutatua kwa mavuno ya mzunguko wa angular

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \ldotp \label{15.9}\]

Mzunguko wa angular hutegemea tu nguvu ya mara kwa mara na wingi, na sio amplitude. Mzunguko wa angular hufafanuliwa kama\(\omega = \frac{2 \pi}{T}\), ambayo hutoa equation kwa kipindi cha mwendo:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \ldotp \label{15.10}\]

Kipindi pia kinategemea tu juu ya wingi na nguvu mara kwa mara. Misa kubwa, kipindi cha muda mrefu. Stiffer spring, mfupi kipindi. Mzunguko ni

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \ldotp \label{15.11}\]

Mwendo wa wima na Spring ya usawa

Wakati chemchemi imefungwa kwa wima na block imefungwa na kuweka katika mwendo, block oscillates katika SHM. Katika kesi hii, hakuna nguvu ya kawaida, na athari halisi ya nguvu ya mvuto ni kubadili msimamo wa usawa. Fikiria Kielelezo\(\PageIndex{8}\). Majeshi mawili hufanya juu ya kuzuia: uzito na nguvu ya chemchemi. Uzito ni mara kwa mara na nguvu ya mabadiliko ya spring kama urefu wa mabadiliko ya spring.

Mfano wa spring wima iliyounganishwa na dari. Mwelekeo y chanya ni juu. Katika takwimu upande wa kushoto, takwimu a, chemchemi haina molekuli iliyounganishwa nayo. Chini ya chemchemi ni umbali y sub sifuri kutoka sakafu. Katika takwimu ya kati, takwimu b, chemchemi ina molekuli m iliyounganishwa nayo. Juu ya chemchemi iko kwenye kiwango sawa na katika takwimu a, lakini chemchemi imetambulisha umbali wa delta y, ili chini ya chemchemi sasa ni umbali y ndogo 1 sawa y ndogo sifuri bala delta y kutoka sakafu. Kwa upande wa kulia, takwimu c, mchoro wa mwili wa bure wa wingi unaonyeshwa kwa nguvu ya chini m g na nguvu ya juu F ndogo s ambayo ni sawa na k delta y ambayo pia ni sawa na k mara wingi y ndogo sifuri bala y ndogo 1. — Kielelezo\(\PageIndex{8}\): Spring imefungwa kutoka dari. Wakati kizuizi kinaunganishwa, block iko kwenye nafasi ya usawa ambapo uzito wa block ni sawa na nguvu ya chemchemi. (a) Spring imefungwa kutoka dari na nafasi ya usawa ni alama kama yo. (b) Misa inaunganishwa na chemchemi na msimamo mpya wa usawa unafikiwa (y ₁ = y ₀ -\(\Delta\) y) wakati nguvu iliyotolewa na chemchemi inalingana na uzito wa wingi. (c) Mchoro wa bure wa mwili wa molekuli unaonyesha vikosi viwili vinavyofanya juu ya wingi: uzito na nguvu ya chemchemi.

Wakati kizuizi kinafikia msimamo wa usawa, kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{8}\), nguvu ya spring inalingana na uzito wa block, F _wavu = F _s - mg = 0, ambapo

\[-k (- \Delta y) = mg \ldotp\]

Kutoka takwimu, mabadiliko katika nafasi ni\( \Delta y = y_{0}-y_{1} \) na tangu\(-k (- \Delta y) = mg\), tuna

\[k (y_{0} - y_{1}) - mg = 0 \ldotp\]

Kama block ni makazi yao na kutolewa, itakuwa oscillate kuzunguka nafasi mpya ya usawa. Kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{9}\), ikiwa nafasi ya block imeandikwa kama kazi ya muda, kurekodi ni kazi ya mara kwa mara. Ikiwa kizuizi kinahamishwa kwenye nafasi y, nguvu ya wavu inakuwa F _wavu = k (y ₀ - y) - mg. Lakini tuligundua kuwa katika nafasi ya usawa, mg = k\(\Delta\) y = ky ₀ - ky ₁. Kubadilisha uzito katika mavuno ya equation

\[F_{net} =ky_{0} - ky - (ky_{0} - ky_{1}) = k (y_{1} - y) \ldotp\]

Kumbuka kwamba y ₁ ni msimamo wa usawa na nafasi yoyote inaweza kuweka kuwa uhakika y = 0.00 m Basi hebu kuweka y ₁ kwa y = 0.00 m. nguvu wavu basi inakuwa

\[\begin{split}F_{net} & = -ky; \\ m \frac{d^{2} y}{dt^{2}} & = -ky \ldotp \end{split}\]

Hii ndio tu tuliyopata hapo awali kwa molekuli ya usawa wa sliding kwenye chemchemi. Nguvu ya mara kwa mara ya mvuto ilitumikia tu kuhama eneo la usawa wa wingi. Kwa hiyo, suluhisho linapaswa kuwa fomu sawa na kwa kuzuia kwenye chemchemi ya usawa, y (t) = Acos (\(\omega\)t +\(\phi\)). Ulinganisho wa kasi na kasi pia una fomu sawa na kwa kesi ya usawa. Kumbuka kuwa kuingizwa kwa mabadiliko ya awamu ina maana kwamba mwendo unaweza kweli kutekelezwa kwa kutumia cosine au kazi ya sine, kwa kuwa kazi hizi mbili zinatofautiana tu na mabadiliko ya awamu.

Mfululizo wa mifano 10 ya mpira, iliyounganishwa na chemchemi ya wima, inavyoonyeshwa. Mifano huonyeshwa karibu na kila mmoja, na vichwa vya chemchemi vinavyolingana. Nafasi za wima y = + A, y = 0, na y = -A zimeandikwa upande wa kulia. Kufanya kazi kwa njia yetu kutoka kushoto kwenda kulia: Katika kuchora kushoto zaidi, chemchemi imesisitizwa hivyo mpira ni saa y = + A na kupumzika. Katika kuchora pili, mpira ni saa y = 0 na unahamia chini. Katika kuchora ya tatu, chemchemi imetambulishwa ili mpira uwe katika y = - A na kupumzika. Katika kuchora ya nne, mpira ni saa y = 0 na unahamia juu. Katika kuchora tano, chemchemi imesisitizwa hivyo mpira ni y = + A na kupumzika. Katika kuchora sita, mpira ni saa y = 0 na unahamia chini. Katika kuchora saba, chemchemi imetambulishwa ili mpira uwe katika y = - A na kupumzika. Katika kuchora ya nane, mpira ni saa y = 0 na unahamia juu. Katika kuchora tisa, chemchemi imesisitizwa hivyo mpira ni saa y = + A na kupumzika. Katika kuchora kumi, mpira ni saa y = 0 na unahamia chini. Chini ya vielelezo hivi ni mfululizo wa grafu, iliyokaa kwa wima. Grafu ya juu ni ya nafasi kama kazi ya wakati. Mhimili wima ni msimamo y, na aina mbalimbali ya — A kwa +A. mhimili usawa ni wakati t, kinachoitwa katika nyongeza ya T. graph ina thamani y =+a katika t = 0 na oscillates mbili na mzunguko robo moja. umbali usawa kati ya maxima ni kinachoitwa kama T na umbali wima kati ya mhimili usawa na upeo ni kinachoitwa kama amplitude A. graph katikati ni ya kasi kama kazi ya muda. mhimili wima ni kasi v, na aina mbalimbali ya bala v ndogo max kwa v max. Mhimili usawa ni wakati t, iliyoandikwa katika nyongeza ya T. grafu ina thamani v=0 na mteremko hasi katika t = 0, na oscillates mbili na moja robo mzunguko. Grafu ya chini ni ya kuongeza kasi kama kazi ya wakati. Mhimili wima ni kuongeza kasi a, na aina mbalimbali ya minus ndogo max kwa max. mhimili usawa ni wakati t, kinachoitwa katika nyongeza ya T. graph ina thamani sawa bala ndogo max na a na oscillates mbili na moja robo mzunguko. Chini ya grafu ni mifano mitatu ya mpira wakati wa chemchemi. Nafasi y = + A, y = 0, na y = -A zimeandikwa upande wa kulia. Katika mchoro wa kushoto, mkono unashikilia mpira na urefu wa chemchemi huitwa kama urefu usio na kipimo. Msimamo huu ni juu ya y = + nafasi. Katika picha ya kati, mpira haufanyiki na uko kwenye nafasi ya chini iliyoandikwa kama nafasi ya usawa. Msimamo huu ni y = 0. Katika mchoro wa kulia, mpira unaonyeshwa katika nafasi nne tofauti. Nafasi hizi ni y = + A, juu ya y = 0, chini ya y = 0, na katika y = -A. Spring inavyoonyeshwa tu na chini yake iliyounganishwa na mpira kwenye y = + nafasi. — Kielelezo\(\PageIndex{9}\): Grafu ya y (t), v (t), na a (t) dhidi ya t kwa mwendo wa kitu kwenye chemchemi ya wima. Nguvu ya wavu juu ya kitu inaweza kuelezewa na sheria ya Hooke, hivyo kitu kinaingia SHM. Kumbuka kuwa nafasi ya awali ina makazi ya wima kwa thamani yake ya juu A; v ni ya awali sifuri na kisha hasi kama kitu huenda chini; kuongeza kasi ya awali ni hasi, nyuma kuelekea msimamo wa usawa na inakuwa sifuri wakati huo.