8.4: Uhifadhi wa Nishati

Malengo ya kujifunza

• Kuunda kanuni ya uhifadhi wa nishati ya mitambo, pamoja na au bila kuwepo kwa nguvu zisizo za kihafidhina
• Tumia uhifadhi wa nishati ya mitambo ili kuhesabu mali mbalimbali za mifumo rahisi

Katika sehemu hii, sisi kufafanua na kupanua matokeo sisi inayotokana na uwezo wa Nishati ya Mfumo, ambapo sisi upya aliandika kazi ya nishati theorem katika suala la mabadiliko katika kinetic na uwezo nguvu ya chembe. Hii itatuongoza kwenye majadiliano ya kanuni muhimu ya uhifadhi wa nishati ya mitambo. Unapoendelea kuchunguza mada mengine katika fizikia, katika sura za baadaye za kitabu hiki, utaona jinsi sheria hii ya uhifadhi inavyojumuishwa ili kuhusisha aina nyingine za uhamisho wa nishati na nishati. Sehemu ya mwisho ya sura hii inatoa hakikisho.

Maneno 'kiasi kihifadhi' na 'sheria ya uhifadhi' yana maana maalum, kisayansi katika fizikia, ambayo ni tofauti na maana za kila siku zinazohusiana na matumizi ya maneno haya. (Maoni sawa pia ni kweli kuhusu matumizi ya kisayansi na ya kila siku ya neno 'kazi.') Katika matumizi ya kila siku, unaweza kuhifadhi maji kwa kutoitumia, au kwa kutumia chini yake, au kwa kutumia tena. Maji yanajumuisha molekuli yenye atomi mbili za hidrojeni na moja ya oksijeni. Kuleta atomi hizi pamoja kuunda molekuli na kujenga maji; dissociate atomi katika molekuli hiyo na kuharibu maji. Hata hivyo, katika matumizi ya kisayansi, kiasi kilichohifadhiwa kwa mfumo kinaendelea mara kwa mara, hubadilika kwa kiasi cha uhakika kinachohamishiwa kwenye mifumo mingine, na/au kinabadilishwa kuwa aina nyingine za kiasi hicho. Kiasi kilichohifadhiwa, kwa maana ya kisayansi, kinaweza kubadilishwa, lakini sio kuundwa au kuharibiwa. Hivyo, hakuna sheria ya kimwili ya uhifadhi wa maji.

Mifumo yenye chembe moja au Kitu

Tunazingatia kwanza mfumo wenye chembe moja au kitu. Kurudi kwa maendeleo yetu ya Equation 8.2.2, kukumbuka kwamba sisi kwanza kutengwa vikosi vyote vinavyofanya chembe katika aina ya kihafidhina na yasiyo ya kihafidhina, na kuandika kazi iliyofanywa na kila aina ya nguvu kama muda tofauti katika theorem ya kazi ya nishati. Kisha tulibadilisha kazi iliyofanywa na vikosi vya kihafidhina na mabadiliko katika nishati ya uwezo wa chembe, kuchanganya na mabadiliko katika nishati ya kinetic ya chembe ili kupata Equation 8.2.2. Sasa, tunaandika equation hii bila hatua ya kati na kufafanua jumla ya nguvu za kinetic na uwezo, K + U = E; kuwa nishati ya mitambo ya chembe.

Uhifadhi wa Nishati

Nishati ya mitambo E ya chembe inakaa mara kwa mara isipokuwa vikosi vya nje ya mfumo au majeshi yasiyo ya kihafidhina hufanya kazi juu yake, katika hali hiyo, mabadiliko katika nishati ya mitambo ni sawa na kazi iliyofanywa na majeshi yasiyo ya kihafidhina:

\[W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.12}\]

Taarifa hii inaonyesha dhana ya uhifadhi wa nishati kwa chembe ya classical kwa muda mrefu kama hakuna kazi isiyo ya kihafidhina. Kumbuka kwamba chembe classical ni tu molekuli uhakika, ni nonrelativistic, na kutii sheria Newton ya mwendo. Katika Uhusiano, tutaona kwamba uhifadhi wa nishati bado unatumika kwa chembe isiyo ya kawaida, lakini kwa hiyo kutokea, tunapaswa kufanya marekebisho kidogo kwa ufafanuzi wa nishati.

Wakati mwingine ni rahisi kutenganisha kesi ambapo kazi iliyofanywa na majeshi yasiyo ya kihafidhina ni sifuri, ama kwa sababu hakuna nguvu hizo zinachukuliwa sasa, au, kama nguvu ya kawaida, hufanya kazi ya sifuri wakati mwendo unafanana na uso. Kisha

\[0 = W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.13}\]

Katika kesi hiyo, uhifadhi wa nishati ya mitambo inaweza kuelezwa kama ifuatavyo: Nishati ya mitambo ya chembe haibadilika ikiwa nguvu zote zisizo za kihafidhina ambazo zinaweza kutenda juu yake hazifanyi kazi. Kuelewa dhana ya uhifadhi wa nishati ni jambo muhimu, si equation fulani unayotumia kueleza.

Mkakati wa Kutatua matatizo: Uhifadhi wa Nishati

1. Tambua mwili au miili ya kujifunza (mfumo). Mara nyingi, katika matumizi ya kanuni ya uhifadhi wa nishati ya mitambo, tunajifunza mwili zaidi ya moja kwa wakati mmoja.
2. Tambua majeshi yote yanayofanya mwili au miili.
3. Kuamua kama kila nguvu inayofanya kazi ni kihafidhina. Ikiwa nguvu isiyo ya kihafidhina (kwa mfano, msuguano) inafanya kazi, basi nishati ya mitambo haihifadhiwe. Mfumo lazima uchambuliwe na kazi isiyo ya kihafidhina, Equation\ ref {8.13}.
4. Kwa kila nguvu inayofanya kazi, chagua hatua ya kumbukumbu na ueleze kazi ya nishati inayoweza kutumika kwa nguvu. Vipengele vya kumbukumbu kwa nguvu mbalimbali za uwezo hazipaswi kuwa mahali sawa.
5. Tumia kanuni ya uhifadhi wa nishati ya mitambo kwa kuweka jumla ya nguvu za kinetic na nguvu za uwezo sawa katika kila hatua ya riba.

Mfano 8.7: Pendulum rahisi

Chembe ya molekuli m imefungwa kutoka dari kwa kamba isiyo na urefu wa urefu wa 1.0 m, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{1}\). Chembe hutolewa kutoka kupumzika, wakati angle kati ya kamba na mwelekeo wa wima wa kushuka ni 30°. Je! Ni kasi gani inapofikia kiwango cha chini kabisa cha arc yake?

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Chembe iliyofungwa kutoka kwenye kamba hufanya pendulum rahisi. Inaonyeshwa wakati iliyotolewa kutoka kupumzika, pamoja na umbali fulani uliotumiwa katika kuchambua mwendo.

Mkakati

Kutumia mkakati wetu wa kutatua matatizo, hatua ya kwanza ni kufafanua kwamba tunavutiwa na mfumo wa chembechembe ya Dunia. Pili, nguvu tu ya mvuto inafanya kazi kwenye chembe, ambayo ni kihafidhina (hatua ya 3). Tunapuuza upinzani wa hewa katika tatizo, na hakuna kazi inayofanywa na mvutano wa kamba, ambayo ni perpendicular kwa arc ya mwendo. Kwa hiyo, nishati ya mitambo ya mfumo imehifadhiwa, kama inawakilishwa na Equation\ ref {8.13}, 0 =\(\Delta\) (K + U). Kwa sababu chembe huanza kutoka kupumzika, ongezeko la nishati ya kinetic ni nishati tu ya kinetic kwenye hatua ya chini kabisa. Ongezeko hili la nishati ya kinetic linalingana na kupungua kwa nishati ya uwezo wa mvuto, ambayo tunaweza kuhesabu kutoka jiometri. Katika hatua ya 4, tunachagua hatua ya kumbukumbu ya nishati ya uwezo wa mvuto wa sifuri kuwa kwenye hatua ya chini kabisa ya chembe inayofikia, ambayo ni katikati ya swing. Hatimaye, katika hatua ya 5, tunaweka jumla ya nguvu kwa kiwango cha juu (awali) cha swing hadi hatua ya chini kabisa (ya mwisho) ya swing ili hatimaye kutatua kasi ya mwisho.

Suluhisho

Tunaacha majeshi yasiyo ya kihafidhina, kwa hiyo tunaandika formula ya uhifadhi wa nishati inayohusiana na chembe kwenye hatua ya juu (ya awali) na hatua ya chini kabisa katika swing (mwisho) kama

\[K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f} \ldotp\]

Kwa kuwa chembe hutolewa kutoka kupumzika, nishati ya awali ya kinetic ni sifuri. Katika hatua ya chini kabisa, tunafafanua uwezo wa nguvu ya mvuto kuwa sifuri. Kwa hiyo uhifadhi wetu wa formula nishati inapunguza

\[\begin{split} 0 + mgh & = \frac{1}{2} mv^{2} + 0 \\ v & = \sqrt{2gh} \ldotp \end{split}\]

Urefu wa wima wa chembe haukupewa moja kwa moja katika tatizo. Hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia trigonometry na vipaji viwili: urefu wa pendulum na angle ambayo chembe hutolewa kwa wima. Kuangalia mchoro, mstari uliopigwa wima ni urefu wa kamba ya pendulum. Urefu wa wima umeandikwa h. sehemu nyingine urefu wa kamba wima inaweza kuwa mahesabu na trigonometry. Kipande kwamba ni kutatuliwa kwa na

\[\cos \theta = \frac{x}{L} = L \cos \theta \ldotp\]

Kwa hiyo, kwa kuangalia sehemu mbili za kamba, tunaweza kutatua kwa urefu h,

\[\begin{split} x + h & = L \\ L \cos \theta + h & = L \\ h & = L - L \cos \theta \\ & = L(1 - \cos \theta) \ldotp \end{split}\]

Sisi badala ya urefu huu katika kujieleza awali kutatuliwa kwa kasi ya kuhesabu matokeo yetu:

\[v = \sqrt{2gL(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1\; m)(1 - \cos 30^{o})} = 1.62\; m/s \ldotp\]

Umuhimu

Tulipata kasi moja kwa moja kutoka kwa uhifadhi wa nishati ya mitambo, bila ya kutatua equation tofauti kwa mwendo wa pendulum (angalia Oscillations). Tunaweza kukabiliana na tatizo hili kwa suala la grafu za bar za nishati ya jumla. Awali, chembe ina nguvu zote za uwezo, kuwa katika hatua ya juu, na hakuna nishati ya kinetic. Wakati chembe inapita hatua ya chini kabisa chini ya swing, nishati huenda kutoka safu ya nishati ya uwezo kwenye safu ya nishati ya kinetic. Kwa hiyo, tunaweza kufikiria maendeleo ya uhamisho huu kama chembe inakwenda kati ya hatua yake ya juu, hatua ya chini ya swing, na kurudi kwenye hatua ya juu (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)). Kama chembe inasafiri kutoka hatua ya chini kabisa katika swing hadi hatua ya juu upande wa kulia wa mchoro, baa nishati kwenda katika utaratibu reverse kutoka (c) kwa (b) kwa (a).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Grafu za bar zinazowakilisha nishati ya jumla (E), nishati ya uwezo (U), na nishati ya kinetic (K) ya chembe katika nafasi tofauti. (a) Nishati ya jumla ya mfumo ni sawa na nishati ya uwezo na nishati ya kinetic ni sifuri, ambayo hupatikana kwa kiwango cha juu chembe hufikia. (b) chembe ni katikati ya hatua ya juu na ya chini, hivyo nishati kinetic pamoja uwezo grafu nishati bar sawa nishati jumla. (c) Chembe iko kwenye hatua ya chini kabisa ya swing, hivyo grafu ya bar ya nishati ya kinetic ni ya juu na sawa na nishati ya jumla ya mfumo.

Zoezi 8.7

Je, ni juu gani juu ya chini ya arc yake ni chembe katika pendulum rahisi hapo juu, wakati kasi yake ni 0.81 m/s?

Mfano 8.8: Upinzani wa hewa juu ya kitu cha kuanguka

Helikopta inazunguka kwenye urefu wa kilomita 1 wakati jopo kutoka kwa manyoya yake huvunja huru na hupungua chini (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Uzito wa jopo ni kilo 15, na hupiga ardhi kwa kasi ya 45 m/s.Ni kiasi gani cha nishati ya mitambo kilichopigwa na upinzani wa hewa wakati wa kuzuka kwa jopo?

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Helikopta inapoteza jopo linaloanguka mpaka linafikia kasi ya mwisho ya 45 m/s.

Mkakati

Hatua ya 1: Hapa mwili mmoja tu unachunguzwa.

Hatua ya 2: Nguvu ya mvuto inafanya kazi kwenye jopo, pamoja na upinzani wa hewa, ambao umeelezwa katika tatizo.

Hatua ya 3: Nguvu ya mvuto ni kihafidhina; Hata hivyo, nguvu isiyo ya kihafidhina ya upinzani wa hewa inafanya kazi hasi kwenye jopo la kuanguka, hivyo tunaweza kutumia uhifadhi wa nishati ya mitambo, kwa fomu iliyoelezwa na Equation\ ref {8.12}, ili kupata nishati iliyosababishwa. Nishati hii ni ukubwa wa kazi:

\[\Delta E_{diss} = |W_{nc,if}| = |\Delta (K + U)_{if}| \ldotp\]

Hatua ya 4: Nishati ya awali ya kinetic, saa yi = 1 km, ni sifuri. Sisi kuweka nguvu uwezo wa mvuto kwa sifuri katika ngazi ya chini nje ya urahisi.

Hatua ya 5: Kazi isiyo ya kihafidhina imewekwa sawa na nguvu za kutatua kazi iliyosababishwa na upinzani wa hewa.

Suluhisho

Nishati ya mitambo iliyosababishwa na upinzani wa hewa ni jumla ya algebraic ya faida katika nishati ya kinetic na kupoteza kwa nishati inayoweza. Kwa hiyo, hesabu ya nishati hii ni

\[\begin{split} \Delta E_{diss} & = |K_{f} - K_{i} 9 U_{f} - U_{i}| \\ & = \Big| \frac{1}{2} (15\; kg)(45\; m/s)^{2} - 0 + 0 - (15\; kg)(9.8\; m/s^{2})(1000\; m) \Big| \\ & = 130\; kJ \ldotp \end{split}\]

Umuhimu

Wengi wa nishati ya awali ya mitambo ya jopo (U _i), 147 kJ, ilipotea kwa upinzani wa hewa. Angalia kwamba tuliweza kuhesabu nishati iliyosababishwa bila kujua nini nguvu ya upinzani wa hewa ilikuwa, tu kwamba ilikuwa dissipative.

Zoezi 8.8

Labda unakumbuka kuwa, kukataa upinzani wa hewa, ikiwa unatupa projectile moja kwa moja, wakati unachukua kufikia urefu wake wa juu ni sawa na wakati unachukua kuanguka kutoka urefu wa juu hadi urefu wa kuanzia. Tuseme huwezi kupuuza upinzani wa hewa, kama katika Mfano 8.8. Je, wakati projectile inachukua kwenda juu (a) kubwa kuliko, (b) chini ya, au (c) sawa na wakati inachukua kurudi chini? Eleza.

Katika mifano hii, tuliweza kutumia uhifadhi wa nishati kuhesabu kasi ya chembe tu kwa pointi fulani katika mwendo wake. Lakini njia ya kuchambua mwendo wa chembe, kuanzia uhifadhi wa nishati, ina nguvu zaidi kuliko hiyo. Matibabu ya juu zaidi ya nadharia ya mechanics inakuwezesha kuhesabu utegemezi wa muda kamili wa mwendo wa chembe, kwa nishati inayopewa uwezo. Kwa kweli, mara nyingi ni kesi kwamba mfano bora wa mwendo wa chembe hutolewa na fomu ya nguvu zake za kinetic na uwezo, badala ya equation kwa nguvu inayofanya juu yake. (Hii ni kweli hasa kwa maelezo quantum mitambo ya chembe kama elektroni au atomi.)

Tunaweza kuonyesha baadhi ya vipengele rahisi zaidi vya mbinu hii ya nishati kwa kuzingatia chembe katika mwendo wa mwelekeo mmoja, na uwezo wa nishati U (x) na hakuna mwingiliano usio wa kihafidhina uliopo. Equation\ ref {8.12} na ufafanuzi wa kasi zinahitaji

\[K = \frac{1}{2} mv^{2} = E - U(x)\]

\[v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}} \ldotp\]

Toa vigezo x na t na kuunganisha, kutoka wakati wa awali t = 0 kwa wakati wa kiholela, ili kupata

\[t = \int_{0}^{t} dt = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}}} \ldotp \label{8.14}\]

Ikiwa unaweza kufanya muhimu katika Equation\ ref {8.14}, basi unaweza kutatua kwa x kama kazi ya t.

Mfano 8.9: Kuongeza kasi

Tumia nishati ya uwezo U (x) = -E\(\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right)\), kwa E> 0, katika Equation\ ref {8.14} ili kupata msimamo x wa chembe kama kazi ya wakati t.

Mkakati

Kwa kuwa tunajua jinsi nishati uwezo mabadiliko kama kazi ya x, tunaweza mbadala kwa ajili ya U (x) katika Equation\ ref {8.14}, kuunganisha, na kisha kutatua kwa x. matokeo haya katika usemi wa x kama kazi ya muda na constants ya nishati E, molekuli m, na nafasi ya awali x ₀.

Suluhisho

Kufuatia hatua mbili za kwanza alipendekeza katika mkakati hapo juu,

\[t = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)(x_{0} - x)}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \Big| -2\sqrt{(x_{0} - x)} \Big|_{x_{0}}^{x} = \frac{-2\sqrt{(x_{0} - x)}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \ldotp\]

Kutatua kwa nafasi, tunapata

\[x(t) = x_{0} - \frac{1}{2} \left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right) t^{2} \ldotp\]

Umuhimu

Msimamo kama kazi ya wakati, kwa uwezo huu, inawakilisha mwendo mmoja wa mwelekeo na kuongeza kasi ya mara kwa mara\(\left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right)\), a =, kuanzia kupumzika kutoka nafasi x ₀. Hii haishangazi sana, kwa kuwa hii ni nishati ya uwezo wa nguvu ya mara kwa mara, F\(− \frac{dU}{dx}\) = =\(\frac{E}{x_{0}}\), na a =\(\frac{F}{m}\).

Zoezi 8.9

Ni uwezo gani wa nishati U (x) unaweza kubadilisha katika Equation\ ref {8.13} ambayo itasababisha mwendo na kasi ya mara kwa mara ya 2 m/s kwa chembe ya uzito kilo 1 na nishati ya mitambo 1 J?

Tutaangalia mfano mwingine unaofaa zaidi wa kimwili wa matumizi ya Equation\ ref {8.13} baada ya kuchunguza baadhi ya madhara zaidi ambayo yanaweza inayotokana na fomu ya kazi ya nishati ya uwezo wa chembe.

Mifumo yenye Chembe kadhaa au Vitu

Mifumo kwa ujumla inajumuisha chembe zaidi ya moja au kitu. Hata hivyo, uhifadhi wa nishati ya mitambo, katika mojawapo ya aina katika Equation\ ref {8.12} au Equation\ ref {8.13}, ni sheria ya msingi ya fizikia na inatumika kwa mfumo wowote. Unahitaji tu kuingiza nguvu za kinetic na uwezo wa chembe zote, na kazi iliyofanywa na majeshi yote yasiyo ya kihafidhina yanayofanya juu yao. Mpaka kujifunza zaidi juu ya mienendo ya mifumo linajumuisha chembe nyingi, katika Momentum Linear na Migongano, Mzunguko wa Mzunguko wa Axis, na Momentum ya Angular, ni bora kuahirisha kujadili matumizi ya uhifadhi wa nishati hadi wakati huo.